2023-2024学年安徽省安庆市二十校联考八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省安庆市二十校联考八年级（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列根式是最简二次根式的是( )
A. 12B. 6C. 8D. 12
2.若式子 x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x<2B. x>2C. x≤2D. x≥2
3.下面计算正确的是( )
A. 3+ 3=3 3B. 27÷ 3=3C. 2+ 3= 5D. (−2)2=−2
4.下列方程中，一定是一元二次方程的是( )
①3x2+7=0：②ax2+bx+c=0；③(x−2)(x+5)=x2−1；④3x−1x=0．
A. ①B. ①②C. ①②③D. ①②③④
5.将一元二次方程2x2+3x=1化成一般形式时，它的二次项、一次项系数和常数项分别为( )
A. 2x2，−3，1B. 2x2，3，−1
C. −2x2，−3，−1D. −2x2，3，1
6.用配方法解一元二次方程2x2−2x−1=0，下列配方正确的是( )
A. (x−14)2=34B. (x−14)2=32C. (x−12)2=34D. (x−12)2=32
7.若y= x−1+ 2−2x−2，则(x+y)2024等于( )
A. 1B. 5C. −5D. −1
8.函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k−1=0的根的情况是( )
A. 没有实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 无法确定
9.甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现.在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了( )
A. 11人B. 12人C. 13人D. 14人
10.已知关于x的一元二次方程x2−2(a−1)x+a2−a−2=0有两个不相等的实数根x1，x2.且x1，x2满足x12+x22−x1x2=16，则a的值为( )
A. −6B. −1C. 1或−6D. 6或−1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.比较大小：2 5 ______5 2.(填“>”、“<”或“=”)
12.写出一个没有实数根的一元二次方程______．
13.若x1、x2是一元二次方程x2−7x+5=0的两根，则(x1−2)(x2−2)的值为______．
14.一直角三角形的三边分别为6，8，x，那么以x为边长的正方形的面积为______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：
(1)3 5+2 12− 20+14 32；
(2)( 3+ 2)2×(5−2 6)．
16.(本小题8分)
解方程：x(x−2)−x+2=0．
17.(本小题8分)
如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度DE=0.6m，将他往前推送2.4m(水平距离BC=2.4m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF=1.2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
18.(本小题8分)
观察下列一组等式，然后解答后面的问题
( 2+1)( 2−1)=1，( 3+ 2)( 3− 2)=1，
( 4+ 3)( 4− 3)=1…
观察上面规律，计算下面的式子1 2+1+1 3+ 2+1 4+ 3+…+1 99+ 100．
19.(本小题10分)
已知实数a、b满足 a−2+|b+3|=0，若关于x的一元二次方程x2−ax+b=0的两个实数根分别为x1、x2，则1x1+1x2的值．
20.(本小题10分)
已知关于x的一元二次方程x2−6kx+5k2=0．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若此方程的两个实数根x1，x2，满足x1−x2=4，求k的值．
21.(本小题12分)
如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t(s)．
(1)若△PCQ的面积是△ABC面积的14，求t的值？
(2)△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
22.(本小题12分)
“抖音直播带货”已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价.经过初期试销售调查发现：每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)之间满足如图所示的函数关系．
(1)求每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)之间的函数关系式；(不必写出自变量的取值范围)
(2)物价部门规定，该防护品每件的利润不许高于进货价的50%.该带货主播销售这种防护品每月的总利润要想达到10000元，那么每件的售价应定为多少元？
23.(本小题14分)
阅读材料：
例：说明代数式 x2+1+ (x−3)2+4的几何意义，并求它的最小值．
解： x2+1+ (x−3)2+4= (x−0)2+1+ (x−3)2+22．
几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点P(x,0)是x轴上一点，则 (x−0)2+1可以看成点P与点A(0,1)的距离， (x−3)2+22可以看成点P与点B(3,2)的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．
求最小值：设点A关于x轴对称点A′，则PA=PA′.因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′，B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度.为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以由勾股定理得A′B=3 2，即原式的最小值为3 2．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
(1)代数式 (x−1)2+1+ (x−2)2+16的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A(1,1)，点B ______的距离之和.(填写点B的坐标)
(2)代数式 x2+25+ x2−12x+45的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A ______、点B ______的距离之和.(填写点A，B的坐标)
(3)求出代数式 x2+25+ x2−12x+45的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、被开方数含分母， 12= 22，故A不符合题意；
B、被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故B符合题意，
C、被开方数含能开得尽方的因数， 8=2 2，故C不符合题意；
D、被开方数含能开得尽方的因数， 12=2 3，故D不符合题意
故选：B．
检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意得：x−2≥0，解得：x≥2．
故选：D．
根据二次根式中的被开方数必须是非负数，即可求解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
3.【答案】B
【解析】解：∵3+ 3不能合并，故选项A错误；
∵ 27÷ 3= 9=3，故选项B正确；
∵ 2+ 3不能合并，故选项C错误；
∵ (−2)2=2，故选项D错误；
故选B．
根据各个选项中的式子可以得到正确的结果，然后对照即可得到哪个选项是正确的．
本题考查二次函数的混合运算，解题的关键是明确二次函数的混合运算的计算方法．
4.【答案】A
【解析】解：①3x2+7=0一定是一元二次方程；
②ax2+bx+c=0，当a=0时不是一元二次方程；
③(x−2)(x+5)=x2−1整理得，3x−9=0，是一元一次方程；
④3x−1x=0是分式方程．
故选：A．
根据一元二次方程的定义判断即可，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
本题考查的是一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
5.【答案】B
【解析】解：将一元二次方程2x2+3x=1化成一般形式为：2x2+3x−1=0，
∴它的二次项、一次项系数和常数项分别为：2x2，3，−1，
故选：B．
根据一元二次方程的一般形式，ax2+bx+c=0(a,b,c是常数，a≠0)判断即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：方程2x2−2x−1=0，
整理得：x2−x=12，
配方得：x2−x+14=34，即(x−12)2=34．
故选：C．
方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵y= x−1+ 2−2x−2，
∴x−1≥0且2−2x≥0，
∴x=1，
∴y= x−1+ 2−2x−2=0+0−2=−2，
∴(x+y)2024=(1−2)2024=(−1)2024=1．
故选：A．
首先根据二次根式有意义的条件可以确定x的值，进而求出y的值，再将x、y的值代入要求的式子即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式 a(a≥0)是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：由图象可得y=kx+b中k<0，b<0，
∵一元二次方程x2+bx+k−1=0的Δ=b2−4(k−1)=b2−4k+4，
∵b<0，
∴b2>0，
∴b2+4>0，
∵k<0，
∴−4k>0，
∴b2−4k+4>0
∴Δ>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
利用一次函数的图象与系数的关系得k<0，再计算判别式的值得到Δ=b2−4k+4，然后判断Δ的符号，从而得到方程根的情况．
本题考查了根的判别式，一次函数的图象与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac的关系是解决问题的关键：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
9.【答案】D
【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
根据题意，得x+1+(x+1)x=225，
解得：x=14或x=−16(舍去)，
答：每轮传染中平均一个人传染了14个人．
故选：D．
传染源为1人，每次传播x人，第一轮传播后，感染的人数一共为(x+1)人，(x+1)人则成为第二轮的传染源，因此第二轮感染的人数为x(x+1)人，根据两轮感染的总人数196即可列出方程求解．
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题．
10.【答案】B
【解析】解：根据题意得△=4(a−1)2−4(a2−a−2)>0，
解得a<3，
根据根与系数的关系得x1+x2=2(a−1)，x1x2=a2−a−2，
∵x12+x22−x1x2=16，
∴(x1+x2)2−3x1x2=16，
即4(a−1)2−3(a2−a−2)=16，
整理得a2−5a−6=0，
解得a1=−1，a2=6，
而a<3，
∴a的值为−1．
故选：B．
先根据判别式的意义得到a<3，再根据根与系数的关系得x1+x2=2(a−1)，x1x2=a2−a−2，利用x12+x22−x1x2=16得到4(a−1)2−3(a2−a−2)=16，解关于a的方程，然后利用a的范围确定满足条件的a的值．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca.也考查了根的判别式．
11.【答案】<
【解析】解：2 5= 22×5= 20，5 2= 52×2= 50，
∵20<50，
∴2 5<5 2，
故答案为：<．
先把根号外的因式移入根号内，再比较即可．
本题考查了算术平方根和实数的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．
12.【答案】y2+y+1=0(答案不唯一)
【解析】解：如y2+y+1=0，
∵Δ=b2−4ac=1−4×1×1=−3<0，
∴符合题意．
故答案为：y2+y+1=0(答案不唯一)．
由根的判别式Δ<0，方程无实根，任写一个即可，答案不唯一．
此题是一道简单的开放型的题目，主要考查了由根的判别式确定根的情况．
13.【答案】−5
【解析】解：∵x1、x2是一元二次方程x2−7x+5=0的两根，
∴x1+x2=7，x1x2=5，
∴(x1−2)(x2−2)
=x1x2−2(x1+x2)+4
=5−2×7+4
=−5．
故答案为：−5．
由根与系数的关系得出x1+x2=7，x1x2=5，代入(x1−2)(x2−2)=x1x2−2(x1+x2)+4计算可得．
本题考查一元二次方程根与系数的关系：若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−b a，x1x2=ca．
14.【答案】100或28
【解析】解：当较大的数8是直角边时，根据勾股定理，得x2=36+64=100；
当较大的数8是斜边时，根据勾股定理，得x2=64−36=28．
所以以x为边长的正方形的面积为100或28．
故答案为：100或28．
以x为边长的正方形的面积是x2，所以只需求得x2即可．但此题应分8为直角边和为斜边两种情况考虑．
此题考查勾股定理，此类题在没有明确直角边或斜边的时候，一定要注意分情况考虑，熟练运用勾股定理进行计算．
15.【答案】解：(1)3 5+2 12− 20+14 32
=3 5+2×12 2−2 5+14×4 2
=3 5+ 2−2 5+ 2
= 5+2 2；
(2)( 3+ 2)2×(5−2 6)
=(3+2 6+2)×(5−2 6)
=(5+2 6)(5−2 6)
=25−4×6
=25−24
=1．
【解析】(1)先化简，再合并同类二次根式；
(2)先利用完全平方公式计算乘方，再利用平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解决本题的关键．
16.【答案】解：方程变形得：x(x−2)−(x−2)=0，
分解因式得：(x−1)(x−2)=0，
可得x−1=0或x−2=0，
解得：x1=1，x2=2．
【解析】方程变形后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．
17.【答案】解：在Rt△ACB中，
AC2+BC2=AB2，
设秋千的绳索长为x m，则AC=(x+0.6−1.2)m，
故x2=2.42+(x+0.6−1.2)2，5.76−1.2x+0.36=0
解得：x=5.1，
答：绳索AD的长度是5.1m．
【解析】设秋千的绳索长为x m，根据题意可得AC=(x−1.2)m，利用勾股定理可得x2=62+(x−1.2)2．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC、AB的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
18.【答案】解：原式= 2−1+ 3− 2+ 4− 3++ 100− 99
= 100−1
=10−1
=9．
【解析】根据题目中材料，可以先将所求式子分母有理化，再化简即可解答本题．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确将二次根式分母有理化是解题关键．
19.【答案】解：∵ a−2+|b+3|=0，
∴a−2=0，b+3=0，
∴a=2，b=−3，
∴x2−2x−3=0的两个实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2=2，x1⋅x2=−3，
∴1x1+1x2=x2+x1x1x2=2−3=−23．
【解析】根据非负数的性质得出a=2，b=3，由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=2，x1⋅x2=3，再将所求式子变形后代入即可得到答案．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握算式平方根和绝对值的非负性，求出a，b的值和一元二次方程根与系数的关系．
20.【答案】(1)证明：∵Δ=(−6k)2−4×5k2=16k2≥0，
∴该方程总有两个实数根；
(2)解：根据根与系数的关系得x1+x2=6k，x1x2=5k2，
∵x1−x2=4，
∴(x1−x2)2=16，
∴(x1+x2)2−4x1x2=16，
∴36k2−4×5k2=16，
即k2=1，
解得k1=1，k2=−1．
故k的值为1或−1．
【解析】(1)通过计算根的判别式的值得到Δ=16k2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
(2)根据根与系数的关系得x1+x2=6k，x1x2=5k2，再利用x1−x2=4得到(x1+x2)2−4x1x2=16，则36k2−4×5k2=16，然后解方程，从而得到满足条件的k的值．
本题考查根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵S△PCQ=12t(8−2t)，S△ABC=12×4×8=16，
∴12t(8−2t)=16×14，
整理得t2−4t+4=0，
解得t=2，
当t=2s时△PCQ的面积为△ABC面积的14；
(2)当S△PCQ=12S△ABC时，
12t(8−2t)=16×12，
整理得t2−4t+8=0，
△=(−4)2−4×1×8=−16<0，
∴此方程没有实数根，
∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半．
【解析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
(1)根据三角形的面积公式可以得出△ABC面积为12×4×8=16，△PCQ的面积为12t(8−2t)，由题意列出方程解答即可；
(2)由等量关系S△PCQ=12S△ABC列方程求出t的值，但方程无解．
22.【答案】解：(1)由图象可知每月销售量y(件)与售价x(元)之间为一次函数关系，设其函数关系式为y=kx+b(k≠0,x≥50)，
将(60,600)，(80,400)代入，得：
60k+b=60080k+b=400，
解得：k=−10b=1200，
∴每月销售y(件)与售价x(元)的函数关系式为y=−10x+1200；
(2)由题意得：
10000=(−10x+1200)(x−50)，
解得x=70或100，
∵该防护品的每件利润不允许高于进货价的50%，
∴x≤50×(1+50%)，即x≤75，
∴x=70，
∴售价定为70元可获得利润是10000元．
【解析】(1)由图象可知每月销售量y(件)与售价x(元)之间为一次函数关系，设其函数关系式为y=kx+b(k≠0,x≥50)，用待定系数法求解即可；
(2)由题意得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
23.【答案】(2,4)或(2,−4) (0,5) (6,3)
【解析】解：(1)∵原式化为 (x−1)2+1+ (x−2)2+16的形式，
∴代数式 (x−1)2+1+ (x−2)2+16的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A(1,1)、点B(2,4)或(2,−4)的距离之和，
故答案为：(2,4)，(2,−4)；
(2)∵原式化为 x2+25+ (x−6)2+9的形式，
∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A(0,5)、点B(6,3)的距离之和，
故答案为：(0,5)，(6,3)．
(3)如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，
∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，
∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度，
∵A(0,5)，B(6,3)
∴A′(0,−5)，A′C=6，BC=8，
∴A′B=10，
∴代数式 x2+25+ (x−6)2+9的最小值为10．
(1)先把原式化为 (x−1)2+1+ (x−2)2+16的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论；
(2)先把原式化为 x2+25+ x2−12x+45的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A(0,5)、点B(6,3)的距离之和，
(3)在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可．
题属于几何变换综合题，考查的是轴对称−最短路线问题，解答此题的关键是利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题．