人教B版选择性必修第三册第六章《导数及其应用》章末综合检测卷 分层练习

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第六章：导数及其应用章末综合检测卷（试卷满分150分，考试用时120分钟）姓名___________ 班级_________ 考号_______________________一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（2024上·河南·高二校联考期末）一个做直线运动的质点的位移sm与时间ts的关系式为s=100t−5t2，则该质点的瞬时速度为0m/s时，t=（    ）A．50s B．20s C．10s D．5s【答案】C【分析】对s=100t−5t2求导，令导数为0计算即可.【详解】由题意知s=100t−5t2，则s'=100−10t，令s'=0，则t=10，即该质点瞬时速度为0m/s时，时间t=10s.故选: C.2．（2023上·江苏南京·高二期末）已知函数fx在点x=2处的切线方程为2x+y−1=0，则f'2+f2=（   ）A．−5 B．−3 C．3 D．5【答案】A【分析】根据导数的几何意义求解即可.【详解】因为函数fx在点x=2处的切线方程为2x+y−1=0，所以f'2=−2，且2×2+f2−1=0，所以f2=−3，所以f'2+f(2)=−5．故选：A.3．（2023上·湖北武汉·高二武汉市东湖中学校考期中）若函数y=f(x)在x=x0处可导，则limΔx→0fx0−2Δx−fx0Δx等于（    ）A．f'x0 B．2f'x0 C．−2f'x0 D．0【答案】C【分析】利用导数的定义求解即可.【详解】∵函数y=f(x)在x=x0处可导，∴ limΔx→0fx0−2Δx−fx0Δx=−2limΔx→0fx0−2Δx−fx0−2Δx=−2f'x0.故选：C.4．（2024·江苏·高二专题练习）已知函数f(x)=x(x−c)2在x=2处取得极大值，则c=（    ）A．2 B．6 C．2或6 D．−2或6【答案】B【分析】求出函数的导数，根据函数f(x)=x(x−c)2在x=2处取得极大值，可得f'2=0，即可求出c的值，验证后即可确定答案.【详解】由f(x)=x(x−c)2，可得f'x=(x−c)2+2x(x−c)=(x−c)(3x−c)，因为函数f(x)=x(x−c)2在x=2处取得极大值，∴f'2=(2−c)(6−c)=0，解得c=2，或c=6，当c=2时，f'x=(3x−2)(x−2)，当232时，f'x>0，fx在(2,+∞)上单调递增，故函数在x=2处取极小值，不符合题意；当c=6时，f'x=(x−6)(3x−6)，当x<2时，f'x>0，fx在(−∞,2)上单调递增，当21，所以y=lnx+1x的单调减区间为1,+∞.故选：D.6．（2023上·广东江门·高三统考阶段练习）若曲线y=e2ax在点0,1处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=（    ）A．−2 B．−1 C．1 D．2【答案】C【分析】由切线与直线垂直可得切线斜率为2，再对曲线求导，根据导数的几何意义结合条件即得.【详解】直线x+2y+1=0的斜率为k=−12，由题设知：y=e2ax在0,1处的切线的斜率为2，而y'=2a⋅e2ax，∴y'|x=0=2a=2，可得a=1.故选：C.7．（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数fx，其导函数f'x的图象如图所示，则（    ）    A．fx有2个极值点 B．fx在x=1处取得极小值C．fx有极大值，没有极小值 D．fx在−∞,1上单调递减【答案】C【分析】通过导函数图象分析函数的单调性即可得出结论.【详解】由题意及图得，fx在−∞,3上单调递增，在3,+∞上单调递减，∴fx有一个极大值，没有极小值，∴A，B，D错误，C正确，故选：C.8．（2024上·山东滨州·高二统考期末）若点P是曲线y=lnx−x2上任意一点，则点P到直线l:x+y−6=0的距离的最小值为（    ）A．22 B．32 C．522 D．922【答案】B【分析】利用导数求得平行于直线l与曲线y=lnx−x2相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由函数y=lnx−x2，可得y'=1x−2x,x>0，令1x−2x=−1，可得(x−1)(2x+1)=0，因为x>0，可得x=1，则y=−1，即平行于直线l:x+y−6=0且与曲线y=lnx−x2相切的切点坐标为P(1,−1)，由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离为d=1−1−62=32.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目9．（2024上·陕西榆林·高二统考期末）下列求导运算正确的是（    ）A．(exx)'=32exx B．(2x−log2x)'=(2x−x)ln2C．(cosx)'=−sinx D．(lnxx)'=1−lnxx2【答案】CD【分析】利用求导公式及导数的运算法则逐项计算即得.【详解】对于A，(exx)'=ex(x+12x)，A错误；对于B，(2x−log2x)'=2xln2−1xln2，B错误；由求导公式得C正确，由商的导数运算法则得D正确.故选：CD10．（2023下·高二课时练习）（多选题）已知函数fx满足f1=3，f'1=−3，则下列关于fx的图象描述正确的是（    ）A．fx的图象在x=1处的切线斜率大于0B．fx的图象在x=1处的切线斜率小于0C．fx的图象在x=1处位于x轴上方D．fx的图象在x=1处位于x轴下方【答案】BC【分析】结合f'1=−3<0，f1=3>0，利用导数的相关知识即可判断.【详解】因为f'1=−3<0，则fx的图象在x=1处的切线斜率小于0；因为f1=3>0，所以fx的图象在x=1处位于x轴上方．故选：BC.11．（2023下·高二课时练习）（多选题）当函数y=x2+a2xa>0在x=x0处的导数为0时，那么x0可以是（    ）A．a B．0C．−a D．a2【答案】AC【分析】由y'=0列方程来求得x0.【详解】由y'=2x×x−x2+a2x2=x2−a2x2=0，解得x0=±a.故选：AC12．（2023上·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期中）已知函数fx的定义域为R，且y+1fx=xfy+1，则（    ）A．f0=0 B．f1=0C．fx是奇函数 D．fx没有极值【答案】ACD【分析】利用赋值法，可判断A；令函数gx=fxx，计算得gx为常函数，可依次判断B,C,D.【详解】令x=y=0，则f0=0，A正确;当x≠0且y≠−1时，由y+1fx=xfy+1，得fxx=fy+1y+1，令函数gx=fxx，则gy+1=fy+1y+1，所以gx=gy+1，所以gx为常函数，令gx=k，则fx=kx，所以fx是奇函数，C正确;当k≠0时，f1=k≠0，B错误;因为函数fx在定义域内单调递增或单调递减，所以没有极值，D正确．故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2024上·上海闵行·高二闵行中学校联考期末）无论我们对函数y=ex求多少次导数，结果仍然是它本身；这就像我们在生活中无论遇到多少艰难险阻，都要不忘初心，坚持自我，按照自己制定的目标，奋勇前行！已知函数fx=ex−3x，则f'0= .【答案】−2【分析】根据函数的求导公式计算，带入即可.【详解】函数fx=ex−3x，f'x=ex−3f'0=e0−3=−2.故答案为：−214．（2024上·黑龙江牡丹江·高二牡丹江一中校考期末）若函数fx的导函数为f'x，且满足fx=2f'1lnx+x，则fe= ．【答案】−2+e/e−2【分析】由求导计算公式求出f'(1)，再代入求出f(e)即可.【详解】由f(x)=2f'(1)lnx+x，得f'(x)=2f'(1)x+1，令x=1，则f'(1)=2f'(1)1+1，解得f'(1)=−1，所以f(x)=−2lnx+x，f(e)=−2+e.故答案为：−2+e15．（2023上·海南·高三校联考阶段练习）烧水时，水温随着时间的推移而变化.假设水的初始温度为20°C，加热后的温度函数Tt= 100−ke−0.1t（k是常数，t表示加热的时间，单位：min），加热到第10min时，水温的瞬时变化率是 °C/min.【答案】8e【分析】根据公式和已知条件直接求解即可【详解】因为水的初始温度为20°C，所以T(0)=100−k=20，解得k=80，所以T'(t)=8e−0.1t，则T'(10)=8e，所以加热到第10min时，水温的瞬时变化率是8e°C/min.故答案为：8e16．（2024上·重庆·高二重庆一中校考期末）若函数f(x)=aex+cosx在区间π4,π2上单调递减，则实数a的取值范围为 .【答案】(−∞,1eπ2]．【分析】由f(x)在π4,π2上单调递减，得f'x≤0在π4,π2上恒成立，构造函数g(x)=sinxex，求导确定函数的最值，只需a≤g(x)min，即可得出答案．【详解】f'(x)=aex−sinx，因为f(x)在π4,π2上单调递减，所以f'x≤0在π4,π2上恒成立，所以f'(x)=aex−sinx≤0在π4,π2上恒成立，所以a≤sinxex在π4,π2上恒成立，令g(x)=sinxex，x∈π4,π2，g'(x)=cosx⋅ex−ex⋅sinx(ex)2=−sinx−cosxex=−2(22sinx−22cosx)ex=−2sin(x−π4)ex，当x∈π4,π2时，x−π4∈0,π4，所以sinx−π4≥0，故g'(x)≤0在x∈π4,π2恒成立，所以g(x)min=g(π2)=sinπ2eπ2=1eπ2，所以a≤1eπ2，所以a的取值范围为(−∞,1eπ2]．四．解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2024上·北京丰台·高三统考期末）已知函数f(x)=ex(x2−ax−a)．(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴，求实数a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．【答案】(1)1(2)答案见解析【分析】（1）先求函数f(x)的导函数，若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴，只需保证f'(1)=0，求实数a的值即可；（2）求得f'(x)=0有两个根“x=−2和x=a”，再分a<−2、a=−2和a>−2三种情况分析函数f(x)的单调性即可.【详解】（1）由题可得f'(x)=ex[x2+(2−a)x−2a]，因为f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴，所以f'(1)=0，即e(3−3a)=0，解得a=1，经检验a=1符合题意．（2）因为f'(x)=ex[x2+(2−a)x−2a]，令f' (x)=0，得x=−2或x=a．当a<−2时，随x的变化，f' (x)，f (x)的变化情况如下表所示：所以f (x)在区间(−∞,a)上单调递增，在区间(a,−2)上单调递减，在区间(−2,+∞)上单调递增．当a=−2时，因为f' (x)=ex(x+2)2 ≥0，当且仅当x=−2时，f'(x)=0，所以f (x)在区间(−∞,+∞)上单调递增．当a>−2时，随x的变化，f' (x)，f (x)的变化情况如下表所示：所以f (x)在区间(−∞,−2)上单调递增，在区间(−2,a)上单调递减，在区间(a,+∞)上单调递增．综上所述，当a<−2时，f (x)的单调递增区间为(−∞,a)和(−2,+∞)，单调递减区间为(a,−2)；当a=−2时，f (x)的单调递增区间为(−∞,+∞)，无单调递减区间；当a>−2时，f (x)的单调递增区间为(−∞,−2)和(a,+∞)，单调递减区间为(−2,a)．18．（2024上·山东滨州·高二统考期末）已知函数fx=x2+x−3lnx.(1)求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；(2)求fx的极值.【答案】(1)y=2(2)极小值为2，无极大值【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可.（2）求出函数的极值点（注意定义域），再把极值点代入原函数即可得到极值.【详解】（1）fx=x2+x−3lnx的定义域为0,+∞，f'x=2x+1−3x，所以k=f'1=0，又因为f1=2，所以切点为1,2，所以曲线在1,f1处的切线方程为y=2（2）f'x=2x+1−3x=2x2+x−3x=2x+3x−1x，当x=1时，f'x=0，当x>1时，f'x>0，函数fx单调递增，当00，则f'x=3x2−3x=3x3−1x，令f'x<0，得00，得x>1；所以fx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，所以fx的最小值为f1=1−3ln1=1.（2）因为fx=x3−3lnx，gx=x3+3x−3，所以由fx≤gx，得x3−3lnx≤x3+3x−3，即lnx+1x−1≥0，令ℎx=lnx+1x−1，x>0，则ℎ'x=1x−1x2=x−1x2，令ℎ'x<0，得00，得x>1；所以ℎx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，则ℎx≥ℎ1=ln1+1−1=0，即lnx+1x−1≥0恒成立，所以fx≤gx.22．（2024上·山西大同·高二统考期末）已知函数fx=13x3−2x2+mx+n在x=1时取得极值．(1)求实数m的值；(2)若对于任意的x∈2,4，fx>n2恒成立，求实数n的取值范围．【答案】(1)3(2)0,1【分析】（1）由极值点定义可得f'1=12−4×1+m=0，解得m=3，进检验符合题意；（2）结合（1）中结论可得出函数fx在2,4上的单调性，求出最小值解不等式可求得实数n的取值范围．【详解】（1）易知f'x=x2−4x+m，依题意f'1=12−4×1+m=0，解得m=3，此时f'x=x2−4x+3=x−1x−3，当x<1或x>3时，f'x>0；当1n2，解得0