人教B版高中数学选择性必修第一册第一章 《空间向量与立体几何》 单元测试

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第一章 空间向量与立体几何 单元测试（时间：120分，满分：150分）一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）1．在空间四边形ABCD中，若向量=（﹣3，5，2），=（﹣7，-1，﹣4），点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（     ）A．（2，3，3） B．（﹣2，﹣3，﹣3）C．（5，﹣2，1） D．（﹣5，2，﹣1）【答案】B【详解】如图，取中点，连接, 如图，则, ,而,故选：B2．已知正方体，棱长为1，，分别为棱，的中点，则（    ）A．直线与直线共面 B．不垂直于C．直线与直线的所成角为60° D．三棱锥的体积为【答案】D【详解】如图，以为原点，以，，所在直线分别为，，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，  对于A，假设直线与直线共面，∵平面平面，平面平面，平面平面，∴，∵，∴，矛盾，∴直线与直线不共面，A错误；对于B，∵，，∴，∴，∴，B错误，对于C，设直线与直线所成的角为，∵，，∴，∴，∴C错误，对于D，∵平面，∴，D正确．故选：D．3．已知三棱柱，点为线段上一点，且，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】由题意得，因为，，所以.故选：D.4．下列命题正确的是（    ）A．| |-| |<| - |是向量，不共线的充要条件B．在空间四边形ABCD中，···=0C．在棱长为1的正四面体ABCD中，·D．设A､B､C三点不共线，O为平面ABC外一点，若，则P､A､B､C四点共面【答案】B【详解】对于A，由| |-| |<|- |，向量，可能共线，比如同向的两个共线向量，的模分别是3､2，则| |-| |=| - |，故A错误；对于B，在空间四边形ABCD中，···=（）···=·（）+·（）=··=0，故B正确；对于C，在棱长为1的正四面体ABCD中，·，故C错误；对于D，因为，而，所以P､A､B､C四点不共面，故D错误.故选：B5．在三棱锥中，底面ABC，，，，则点C到平面PAB的距离是 A． B． C． D．【答案】B【详解】在三棱锥中，底面ABC，，，，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则4，，4，，0，，0，，4，，0，，4，，设平面PAB的法向量y，，则，取，得，点C到平面PAB的距离．故选B．6．已知在长方体中，，，，是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为　　A． B． C． D．【答案】B【详解】在长方体中，，，，是侧棱的中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，0，，，，，0，，，0，，1，，设平面的法向量为，，则，取，得，设直线与平面所成角为，则．直线与平面所成角的正弦值为，故选B．7．已知直线，的方向向量分别为，，则直线，夹角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为直线，的方向向量分别为，，所以，则直线，夹角的余弦值为.故选：B.8．在正三棱锥中，是的中心，，则(    )A． B． C． D．【答案】D【详解】为正三棱椎，为的中心，∴平面，△ABC是等边三角形，∴PO⊥AO，∴，故．故选：D.二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．已知点 在平面内，平面法向量， 则下列点在内的是（    ）A． B． C． D．【答案】AC【详解】对于A选项，记点，，，点在平面内；对于B选项，记点，，，点不在平面内；对于C选项，记点，，，点在平面内；对于D选项，记点，，，点不在平面内.故选：AC.10．已知直线l的方向向量为，为直线l上一点，若点为直线l外一点，则P到直线l上任意一点Q的距离可能为（    ）A．2 B． C． D．1【答案】ABC【详解】依题意，，，而直线l的方向向量为，，，因此点P到直线l的距离为，即PQ的最小值为，所以选项A，B，C可能，选项D不可能.故选：ABC11．已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使成为空间的一个基底的是（    ）A． B．C． D．【答案】AC【详解】解：对于选项ACD，由，可得M，A，B，C四点共面，即共面，所以选项A中，不共面，可以构成基底，选项C中，不共面，可以构成基底；选项D中，因为，所以,可得M，A，B，C四点共面，即共面，无法构成基底，故选项D错误；对于选项B，根据平面向量基本定理，选项B中，因为，得共面，无法构成基底，故选项B错误.故选:AC.12．如图，棱长为2的正方体中，E、F分别为棱A1D1、AA1的中点，G为面对角线B1C上一个动点，则（    ）A．三棱锥的体积为定值B．线段B1C上存在点G，使平面EFG//平面BDC1C．当时，直线EG与BC1所成角的余弦值为D．三棱锥的外接球半径的最大值为【答案】ACD【详解】对A，，故A正确；对B，如图，以D为坐标原点，所在方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，，所以，令x=1，则.设，所以，若平面EFG//平面BDC1，则，故B错误；对C，设EG与BC1所成角为，此时，，所以.故C正确；对D，因为平面，且，所以根据球的性质容易判断，三棱锥的外接球球心在过线段EF的中点且垂直于平面的直线上，记球心为，由，易得,则外接球半径，而，则当时，，即.故D正确.故选：ACD.三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（2023春·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期末）如图，在直三棱柱中，，，点E是棱上一点，且，则异面直线与AE所成角的余弦值为 .【答案】【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，设异面直线与所成角为，则故答案为：14．在空间直角坐标系中，点在平面上的射影为点，则关于原点的对称点坐标是 ．【答案】【详解】根据在平面上的点的性质可知，纵坐标为0，其他坐标不变， 点在平面上的射影的坐标为，关于原点的对称点的坐标为．故答案为：15．设向量，，，则实数 .【答案】【详解】因为，所以，解得.故答案为：.16．如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是 .①直线平面，②三棱锥的体积为定值，③异面直线与所成角的取值范围是④直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】①②④【详解】对于①，连接，则，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，同理可得，因为，平面，所以平面，所以①正确，对于②，因为∥，平面，平面，所以∥平面，因为点在线段上运动，所以点到平面距离为定值，因为的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以②正确，对于③，连接，因为∥，所以异面直线与所成角即为与所成的角，因为，所以为等边三角形，所以当点位于点或点时，与所成的角为，当点位于的中点时，，此时与所成的角为，所以异面直线与所成角的取值范围是，所以③错误，对于④，如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，则，所以，设平面的法向量为，则，令，则，所以直线与平面所成角的正弦值为，当时，直线与平面所成角的正弦值最大，最大值为，所以④正确，故答案为：①②④四、解答题（共6小题，17题10分，其他每题12分，总分70分）17．如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点.(1)证明：；(2)再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值及点A到平面BPC的距离.①；②.【答案】(1)证明见解析.(2)二面角的余弦值为，点A到平面BPC距离为【详解】（1）证明：连接，，因为，所以，同理得：，又因为，平面，平面，所以平面，因为平面，所以.（2）选择①，由题，所以，同理得，则，，所以，由（1）可得，所以，，两两垂直，建立如图所示坐标系，则，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，取，平面的一个法向量，可得，，所以二面角的余弦值为.，，点到平面的距离，所以A到平面BPC的距离为.选择②由（1）得，，，平面，平面，，所以，由题，则，可得为直角三角形，，得，所以，，两两垂直，建立如图所示坐标系，则，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，取，平面的一个法向量，可得，，所以二面角的余弦值为.，，点到平面的距离，所以A到平面BPC的距离为.18．（用空间向量方法）如图，正方体的棱长为，为棱的中点．（1）求与所成角的大小．（2）求与平面所成角的正弦值．（3）求平面与平面所成角的余弦值．【答案】（1），（2） ，（3）.【详解】（1）如图，以为坐标原点，以，，的在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，．所以，， 设与所成角为，则，因为，所以，所以与成角为．（2）因为，，所以，平面是一个法向量，设与平面所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值为．（3），，，则，，设平面的一个法向量，则，令，则，设平面与平面所成角为，由图可知为锐角，则所以平面与平面所成角余弦值为．19．如图，在三棱锥中，已知都是边长为的等边三角形，为中点，且平面，为线段上一动点，记.（1）当时，求异面直线与所成角的余弦值；（2）当与平面所成角的正弦值为时，求的值.【答案】（1）；（2）.【详解】连接CE，以分别为轴，建立如图空间直角坐标系，则，因为F为线段AB上一动点，且，则， 所以．（1）当时，，，所以．   （2），设平面的一个法向量为=由,得，化简得，取 设与平面所成角为，则.解得或（舍去），所以．20．如图，在直三棱柱中，，，为的中点，在上且．（1）求证：平面⊥平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【详解】（1）在直三棱柱中，在上，，为的中点，则，因平面，平面，则，而，平面，于是得平面，又平面，所以平面平面；（2）依题意，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，令，则，0，0)，，4，0)，，3，4)，，2，0)，，，4)，，，0)，，，0)，设平面的法向量，，，则，取，得，设直线与平面所成角为，，所以直线与平面所成角的正弦值.21．如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，AB＝，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点.（1）证明：AE⊥PD；（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成的角最大为60°，求二面角E-AF-C的余弦值.【答案】（1）证明见解析，（2）【详解】（1）证明：因为四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，所以为正三角形，因为为的中点，所以，因为∥，所以，因为PA⊥平面ABCD，在平面内，所以，因为在平面内，在平面内，，所以平面，因为在平面内，所以，（2）解：以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，设，则，设，点为，则，所以，所以，设与平面所成角为，因为平面的法向量为，所以，因为与平面所成角最大值为，所以，解得，所以，因为，所以设平面的法向量为，则，令，则，同理可求得平面的法向量为，所以由图可知二面角E-AF-C为锐二面角，所以二面角E-AF-C的余弦值为22．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在三棱锥中，，为的中点.(1)证明：平面；(2)若点在棱上，且二面角为，求三棱锥的体积.【详解】（1）在三棱锥中，，O为的中点.，且，连接，，得，则，又，得，，平面ABC.（2）如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系由已知得，，取平面的一个法向量设，则设平面的法向量为，取，得，二面角为，解得：（舍去）或，则，所以，