新教材人教B版步步高学习笔记【同步课件】第一章 再练一课(范围：§1.1～§1.2)

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再练一课(范围：§1.1～§1.2)第一章　空间向量与立体几何一、单项选择题1234567891011121314151.若a，b，c构成空间的一个基底，则A.b＋c，b－c，a不共面B.b＋c，b－c,2b不共面C.b＋c，a，a＋b＋c不共面D.a＋c，a－2c,3c不共面√123456789101112131415∵2b＝(b＋c)＋(b－c)，∴b＋c，b－c,2b共面，排除B；a＋b＋c＝(b＋c)＋a，∴b＋c，a，a＋b＋c共面，排除C；∵a＋c＝(a－2c)＋3c，∴a＋c，a－2c,3c共面，排除D.123456789101112131415由题意得，u∥v，2.设直线l的方向向量为u＝(－2,2，t)，平面α的法向量为v＝(6，－6,12)，若直线l⊥平面α，则实数t等于A.4 B.－4 C.2 D.－2√123456789101112131415√123456789101112131415设点O为坐标原点，123456789101112131415√1234567891011121314151234567891011121314155.若点A(2,3,2)关于zOx平面的对称点为A′，点B(－2,1,4)关于y轴的对称点为B′，点M为线段A′B′的中点，则|MA|等于√123456789101112131415∵点A(2,3,2)关于zOx平面的对称点为A′，∴A′(2，－3,2)，∵点B(－2,1,4)关于y轴的对称点为B′，∴B′(2,1，－4)，∵点M为线段A′B′的中点，∴M(2，－1，－1)，6.在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是123456789101112131415√123456789101112131415建立如图所示的空间直角坐标系，123456789101112131415令x＝1，则y＝－1，z＝－2，可得n＝(1，－1，－2).∴点A1到平面MBD的距离123456789101112131415二、多项选择题7.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1和C1D1的中点，则下列结论正确的是A.A1C1∥平面CEFB.B1D⊥平面CEFC.D.点D与点B1到平面CEF的距离相等√√123456789101112131415对A，因为E，F分别是A1D1和C1D1的中点，故EF∥A1C1，故A1C1∥平面CEF成立.对B，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCD－A1B1C1D1的边长为2，又CF⊂平面CEF.123456789101112131415故B1D⊥平面CEF不成立.对D，点D与点B1到平面CEF的距离相等，则点D与点B1的中点O在平面CEF上.连接AC，AE易得平面CEF即平面CAEF.又点D与点B1的中点O在A1ACC1上，故点O不在平面CEF上.故D不成立.1234567891011121314158.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为CC1，BC，CD，BB1的中点，则下列结论正确的是A.B1G⊥BCB.平面AEF∩平面AA1D1D＝AD1C.A1H∥平面AEFD.平面EAF与平面AFC的夹角为√√123456789101112131415由题意可知，B1G在底面上的射影为BG，而BC不垂直BG，则B1G不垂直于BC，则选项A不正确；连接AD1和BC1，由E，F，G，H分别为CC1，BC，CD，BB1的中点，可知EF∥BC1∥AD1，则平面AEF∩平面AA1D1D＝AD1，所以选项B正确；由题知，可设正方体的棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，123456789101112131415设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，令y＝1，得x＝2，z＝2，得平面AEF的一个法向量为n＝(2,1,2)，123456789101112131415123456789101112131415三、填空题9.棱长为1的正方体ABCD－EFGH如图所示，P，Q分别为直线AF，BG上的动点，则线段PQ长度的最小值为____.123456789101112131415建立如图所示的空间直角坐标系，设P(1，y0,1－y0)，Q(x0，1，x0)，当PQ为两异面直线的公垂线段时，PQ长度最短，12345678910111213141512345678910111213141510.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G，H分别是棱AB，AD，B1C1，D1C1的中点，则平面EFD1B1和平面GHDB的距离是____.123456789101112131415因为平面EFD1B1∥平面GHDB，EF∥平面GHDB，所以平面EFD1B1和平面GHDB的距离，就是EF到平面GHDB的距离，也就是点F到平面GHDB的距离.建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设平面GHDB的法向量为n＝(x，y，z)，123456789101112131415不妨取y＝－2，则n＝(2，－2,1)，所以点F到平面GHDB的距离11.在直三棱柱ABC－A′B′C′中，所有的棱长都相等，M为B′C′的中点，N为A′B′的中点，则AM与BN所成角的余弦值为_____.123456789101112131415123456789101112131415以A为原点，在平面ABC中，过A作AC的垂线为x轴，AC所在直线为y轴，AA′所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设直三棱柱ABC－A′B′C′中，123456789101112131415设AM与BN所成角为θ，12345678910111213141512.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C，C1D与底面所成的角分别为60°和45°，AC＝2，点P为线段B1C上一点，则 的最小值为____.123456789101112131415如图.因为CC1⊥平面A1B1C1D1，所以∠CB1C1＝60°，∠DC1D1＝45°，因为AC＝2，所以A1C1＝2，123456789101112131415当C1P⊥B1C时，C1P取最小值，123456789101112131415四、解答题123456789101112131415由已知四边形ABCD是平行四边形，12345678910111213141512345678910111213141514.如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点，求证：(1)MN∥平面PAD；123456789101112131415如图，以A为坐标原点，以 的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.设PA＝AD＝a，AB＝b，则有A(0,0,0)，P(0,0，a)，D(0，a,0)，C(b，a,0)，B(b,0,0).方法一　∵M，N分别为AB，PC的中点，123456789101112131415又∵MN⊄平面PAD，∴MN∥平面PAD.∴MN∥平面PAD.123456789101112131415(2)平面PMC⊥平面PDC.123456789101112131415设平面PMC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，123456789101112131415则n1＝(2a，－b，b).设平面PDC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，∵n1·n2＝0－b＋b＝0，∴n1⊥n2，故平面PMC⊥平面PDC.15.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD.△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO＝ DO.(1)证明：PA⊥平面PBC；123456789101112131415123456789101112131415由题设，知△DAE为等边三角形，设AE＝1，123456789101112131415所以PA⊥PB，同理PA⊥PC，又PC∩PB＝P，所以PA⊥平面PBC.(2)求二面角B－PC－E的余弦值.123456789101112131415123456789101112131415过O作ON∥BC交AB于点N，因为PO⊥平面ABC，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，ON所在直线为y轴，OD所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，123456789101112131415设平面PCB的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)，设平面PCE的一个法向量为m＝(x2，y2，z2)，123456789101112131415