新人教B版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何习题课空间向量在立体几何中的应用学案
展开习题课 空间向量在立体几何中的应用
向量法研究空间位置关系及空间角 |
[例1] (2020·全国卷Ⅲ)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1.
(1)证明：点C1在平面AEF内；
(2)若AB＝2，AD＝1，AA1＝3，求二面角AEFA1的正弦值．
[解] 设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，如图，以C1为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系C1xyz.
(1)证明：连接C1F，则C1(0，0，0)，
A(a，b，c)，E，
F，＝，
＝，得＝，
因此EA∥C1F，即A，E，F，C1四点共面，
所以点C1在平面AEF内．
(2)由已知得A(2，1，3)，E(2，0，2)，F(0，1，1)，A1(2，1，0)，＝(0，－1，－1)，＝(－2，0，－2)，
＝(0，－1，2)，＝(－2，0，1).
设n1＝(x，y，z)为平面AEF的法向量，则即
可取n1＝(－1，－1，1).
设n2为平面A1EF的法向量，则同理可取n2＝.
因为cos 〈n1，n2〉＝＝－，所以二面角AEFA1的正弦值为.
1．解决立体几何问题一般有三种方法：综合法、向量法、坐标法．综合法以逻辑推理作为工具解决问题；向量法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标法利用数及其运算来解决问题．一般情况下，我们遵循的原则是以综合法为基础，以向量法为主导，以坐标法为中心．
2．向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化．主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算.
[跟踪训练]
(2020·浙江高考)如图，在三棱台ABCDEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，DC＝2BC.
(1)证明：EF⊥DB；
(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．
解：(1)证明：如图，过点D作DO⊥AC，交直线AC于点O，连接OB.
由∠ACD＝45°，DO⊥AC得CD＝CO.
由平面ACFD⊥平面ABC，
得DO⊥平面ABC，所以DO⊥BC.
由∠ACB＝45°，BC＝CD＝CO得BO⊥BC.
所以BC⊥平面BDO，故BC⊥DB.
由三棱台ABCDEF得BC∥EF，所以EF⊥DB.
(2)法一：如图，过点O作OH⊥BD，交直线BD于点H，连接CH.
由三棱台ABCDEF得DF∥CO，所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角．
由BC⊥平面BDO得OH⊥BC，故OH⊥平面BCD，所以∠OCH为直线CO与平面DBC所成角．
设CD＝2.
由DO＝OC＝2，BO＝BC＝，得BD＝，OH＝，所以sin ∠OCH＝＝，
因此，直线DF与平面DBC所成角的正弦值为.
法二：由三棱台ABCDEF得DF∥CO，所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角，记为θ.
如图，以O为原点，分别以射线OC，OD为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.
设CD＝2.
由题意知各点坐标如下：
O(0，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，D(0，0，2).
因此＝(0，2，0)，＝(－1，1，0)，＝(0，－2，2).
设平面BCD的法向量n＝(x，y，z).
由即可取n＝(1，1，1).
所以sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝.
因此，直线DF与平面DBC所成角的正弦值为.
立体几何中的探索性问题 |
[例2] 如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，问：在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求出AP的长；若不存在，说明理由．
[解] 以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示).设AB＝a，则A(0，0，0)，
D(0，1，0)，D1(0，1，1)，E，
B1(a，0，1).
假设在棱AA1上存在一点P(0，0，z0)，使得DP∥平面B1AE，此时＝(0，－1，z0).设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z).∵n⊥平面B1AE，∴n⊥，n⊥，得取x＝1，得平面B1AE的一个法向量为n＝.要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，解得z0＝.又DP⊄平面B1AE，∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝.
立体几何中的探索性问题，在命题中多以解答题的一步出现，试题有一定的难度．
这类题型常以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性．
[跟踪训练]
在正三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱的长度都是2，M是BC的中点，问：在侧棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？
解：不存在．以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
由已知得，A(0，0，0)，C(0，2，0)，B(，1，0)，B1(，1，2)，M，则＝(，1，2)，||＝2，
假设满足条件的点N存在，由点N在侧棱CC1上，可设N(0，2，m)(0≤m≤2)，则＝，
于是||＝，·＝2m－1.
因为异面直线AB1和MN所成的角等于45°，
所以和的夹角是45°或135°，
而cos 〈，〉＝＝，
所以＝±.
解得m＝－，这与0≤m≤2矛盾．
所以在侧棱CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°.
1．如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是线段AB上一点，当二面角PECD的大小为时，AE＝( )
A．1 B．
C．2－ D．2－
解析：选D 如图，过点D作DF⊥CE于F，连接PF，DE，
∵PD⊥平面ABCD，∴DF是PF在平面ABCD内的射影，
∵DF⊥CE，
∴PF⊥CE，可得∠PFD为二面角PECD的平面角，即∠PFD＝，
在Rt△PDF中，PD＝DF＝1，
∵矩形ABCD中，△EBC∽△CFD，
∴＝，得EC＝＝2，
在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BE＝＝.
∴AE＝AB－BE＝2－.
2.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点．
(1)求证：DA1⊥ED1；
(2)若直线DA1与平面CED1所成角为45°，求的值．
解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，设E(1，m，0)(0≤m≤1).
(1)证明：＝(1，0，1)，＝(－1，－m，1)，
·＝1×(－1)＋0×(－m)＋1×1＝0.所以DA1⊥ED1.
(2)设平面CED1的法向量为v＝(x，y，z)，则
而＝(0，－1，1)，＝(1，m－1，0)，
所以取z＝1，得y＝1，x＝1－m，
得v＝(1－m，1，1)，
因为直线DA1与平面CED1所成角为45°.
所以sin 45°＝|cos 〈，v〉|，
所以＝.
所以＝，
解得m＝，所以E点为，所以的值为.
