北师大版高考第一轮理科数学(适用于老高考旧教材)课时规范练50　双曲线

这是一份北师大版高考第一轮理科数学(适用于老高考旧教材)课时规范练50　双曲线，共8页。试卷主要包含了双曲线C，设F1,F2为双曲线C，已知F是双曲线C等内容，欢迎下载使用。
1.(2021北京丰台一模)已知双曲线x2a2-y2=1(a>0)的离心率是52,则a=( )
A.2B.2C.22D.4
答案:B
解析:由e2=1+b2a2=1+1a2=54,得a=2,故选B.
2.(2021全国甲,理5)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为( )
A.72B.132C.7D.13
答案:A
解析:不妨设|PF2|=1,|PF1|=3,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cs∠F1PF2=7,
所以2c=|F1F2|=7,所以c=72,2a=|PF1|-|PF2|=2,a=1,所以离心率e=72.
3.(2021北京,5)双曲线C:x2a2−y2b2=1过点(2,3),且离心率为2,则该双曲线的标准方程为( )
A.x2-y23=1B.x23-y2=1
C.x2-3y23=1D.3x23-y2=1
答案:A
解析:∵e2=1+b2a2=4,则b2=3a2,则双曲线的方程为x2a2−y23a2=1,由双曲线过点(2,3),得2a2−33a2=1a2=1,解得a2=1,则所求双曲线的方程为x2-y23=1.故选A.
4.(2021山东济南一模)已知双曲线x2m+1−y2m=1(m>0)的渐近线方程为x±3y=0,则m=( )
A.12B.3-1C.3+12D.2
答案:A
解析:由双曲线x2m+1−y2m=1(m>0)的渐近线方程为x±3y=0,得mm+1=13,解得m=12.
5.(2020北京模拟预测)设F1,F2为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,若双曲线C的两个顶点恰好将线段F1F2三等分,则双曲线C的渐近线方程为( )
A.y=±22xB.y=±24x
C.y=±3xD.y=±13x
答案:A
解析:因为双曲线C的两个顶点恰好将线段F1F2三等分,所以2a=13·2c,则c=3a,所以e=ca=3,所以ba=c2a2-1=32-1=22,所以双曲线的渐近线的方程为y=±22x,故选A.
6.(2021北京高三期中)如图是等轴双曲线形拱桥,现拱顶离水面5 m,水面宽AB=30 m.若水面下降5 m,则水面宽是( )(结果精确到0.1 m)(参考数值:2≈1.41,5≈2.24,7≈2.65)
A.43.8 mB.44.8 mC.52.3 mD.53.0 m
答案:B
解析:建立如图所示的坐标系,设双曲线的方程为y2a2−x2a2=1(a>0),则其顶点为(0,-a),由题意得A(-15,-a-5),代入双曲线方程得(a+5)2-152=a2,解得a=20,水面下降5米后,水面为A'B',设A'(x0,-a-10),即A'(x0,-30),代入双曲线方程得(-30)2202−x02202=1,又x0CD,若双曲线E以A,B为焦点,且过C,D两点,则双曲线E的离心率的取值范围为( )
A.1,5+12B.5+12,+∞
C.1,3+12D.3+12,+∞
答案:B
解析:设|AB|=2m(m>0),∠BAD=θ,θ∈0,π2,则|AD|=m,在△ABD中,
由余弦定理知,|BD|2=|AB|2+|AD|2-2|AB||AD|cs∠BAD=5m2-4m2cs θ,
∴|BD|=5m2-4m2csθ,由双曲线的定义知|BD|-|AD|=2a,∴2a=5m2-4m2csθ-m,
∴离心率e=ca=2c2a=2m5m2-4m2csθ-m=25-4csθ-1,
又θ∈0,π2,∴cs θ∈(0,1),∴5-4csθ-1∈(0,5-1),∴e∈5+12,+∞.故选B.
8.(2021山东潍坊一模,改编)已知双曲线x2a2−y29=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,一条渐近线方程为y=34x,P为C上一点,则以下说法正确的是( )
A.C的实轴长为4B.C的离心率为53
C.|PF1|-|PF2|=8D.C的焦距为10
答案:D
解析:由题意,ba=34,又b=3,所以a=4,则c=5,所以2a=8,2c=10,选项A,B错,D正确,当点P为双曲线左支上的点时,选项C错,故选D.
9.(2021江苏苏北四市二模)已知F为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,过F作与x轴垂直的直线交双曲线于A,B两点,若以AB为直径的圆过坐标原点,则该双曲线的离心率为 .
答案:1+52
解析:由题意,得c=b2a,所以ac=b2=c2-a2,所以e2-e-1=0,解得e=1+52或e=1-52(舍去).
10.已知F是双曲线C:x24−y25=1的右焦点,若P是C的左支上一点,A(0,66).则△APF周长的最小值为 .
答案:34
解析:设双曲线的左焦点为F',由双曲线C:x24−y25=1,得a=2,b=5,c=3,
∴F(3,0),F'(-3,0),
|AF|=|AF'|=9+216=15,
∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PF|+15,由双曲线的定义知|PF|=4+|PF'|,即△APF的周长为|PA|+|PF'|+19≥|AF'|+19=34,当A,P,F'三点共线时取等号.
综合提升组
11.(2021山东聊城三模)已知A,B,C是双曲线:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上的三点,直线AB经过原点O,AC经过右焦点F,若BF⊥AC,且CF=32FA,则该双曲线的离心率为( )
A.172B.173C.32D.375
答案:D
解析:设双曲线的左焦点为E,连接AE,CE,BE,如图所示,
由题意知|BF|=|AE|,|BE|=|AF|,BF⊥AC,∴四边形AEBF为矩形,
令|BF|=|AE|=m,|BE|=|AF|=n,∵|CE|-|CF|=|AE|-|AF|=2a,CF=32FA,∴|CF|=32n,
|AC|=|CF|+|AF|=52n,
|CE|=2a+|CF|=2a+32n,
∴在Rt△EAC中,m2+52n2=2a+32n2,将2a=m-n代入消去a,可得m=6n,∴n=25a,m=125a,
∴在Rt△EAF中,m2+n2=(2c)2,即125a2+25a2=(2c)2,可得e=ca=375.故选D.
12.(2021全国高三专题练习)设F1,F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为H,若|HF1|=3|HF2|,则双曲线的离心率为( )
A.332B.6C.3D.62
答案:D
解析:由题设知双曲线C的一条渐近线方程为y=bax,即bx-ay=0,
由题意,|HF2|=|bc-0|a2+b2=b,
∴|OH|=a,由S△OHF2=12cyH=12ab,得yH=abc,
∴Ha2c,abc,
∴|HF1|=(a2c+c) 2+(abc) 2=3|HF2|=3b,
两边平方化简并结合c2=a2+b2,得a4-a2b2=2b4,
∴2b2a22+b2a22-1=0,解得b2a2=12,
∴e2=1+b2a2=32,e=62,故选D.
13.(2021山东烟台二模)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A在C的右支上,AF1与C交于点B,若F2A·F2B=0,且|F2A|=|F2B|,则C的离心率为( )
A.2B.3C.6D.7
答案:B
解析:由F2A·F2B=0,且|F2A|=|F2B|,得△ABF2为等腰直角三角形,∠AF2B=π2,∠BAF2=π4,
即|AB|=2|F2A|=2|F2B|,
∵|F1A|-|F2A|=2a,|F2B|-|F1B|=2a,|AB|=|F1A|-|F1B|,
∴|AB|=4a,
故|F2A|=|F2B|=22a,
则|F1A|=2(2+1)a,而在△AF1F2中,|F1F2|2=|F2A|2+|F1A|2-2|F2A||F1A|cs∠BAF2,
∴4c2=8a2+4(3+22)a2-8(2+1)a2,则c2=3a2,故e2=3,e=3.故选B.
14.(2021安徽安庆二模)已知F1,F2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为G.连接F1G,设直线F1G,F2G的斜率分别为k1,k2,若k1k2=-13,则双曲线C的离心率为 .
答案:2
解析:已知焦点F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0),其中c=a2+b2.
根据对称性,不妨设点G在渐近线y=bax上,则直线F2G的方程为y=-ab(x-c),与y=bax联立,得Ga2c,abc,所以k1=abca2c+c=aba2+c2,由k1k2=-13,得aba2+c2·-ab=-13,化简得c2=2a2,故e=2.
15.(2020全国Ⅰ,理15)已知F为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为 .
答案:2
解析:由题意可得A(a,0),F(c,0),其中c=a2+b2.
由BF垂直于x轴可得点B的横坐标为c,代入双曲线方程可得点B的坐标为Bc,±b2a.
∵AB的斜率为3,∴Bc,b2a.
∵kAB=b2ac-a=b2a(c-a)=c2-a2a(c-a)=c+aa=e+1=3,∴e=2.
创新应用组
16.(2021浙江,9)已知a,b∈R,ab>0,函数f(x)=ax2+b(x∈R).若f(s-t),f(s),f(s+t)成等比数列,则平面上点(s,t)的轨迹是( )
A.直线和圆B.直线和椭圆
C.直线和双曲线D.直线和抛物线
答案:C
解析:由题意得f(s-t)f(s+t)=[f(s)]2,即[a(s-t)2+b]·[a(s+t)2+b]=(as2+b)2,整理得-2a2s2t2+a2t4+2abt2=0,所以-2as2+at2+2b=0或t=0,其中s2ba−t22ba=1为双曲线,t=0为直线.故选C.
17.(2021山东潍坊二模,改编)已知双曲线C:x2-y23=1,其左、右焦点分别为F1,F2,过点F2作一直线与双曲线C的右支交于点P,Q,且PF1·PQ=0,则下列结论错误的是( )
A.△PF1Q的周长为4
B.△PF1F2的面积为3
C.|PF1|=7+1
D.△PF1Q的内切圆半径为7-1
答案:A
解析:如图,由双曲线x2-y23=1,得a2=1,b2=3,所以c=a2+b2=2,则|F1F2|=4,
由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=|QF1|-|QF2|=2,
∵PF1·PQ=0,
∴∠F1PQ=90°,
则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=16,
∴|PF1|+|PF2|=2(|PF1|2+|PF2|2)-(|PF1|-|PF2|)2=2×16-4=27.
从而Rt△F1PQ的内切圆半径:
r=12(|PF1|+|PQ|-|F1Q|)=12(|PF1|+|PF2|)-12(|QF1|-|QF2|)=12×27−12×2=7-1.
故△PF1Q的内切圆半径为7-1,故D正确;
联立|PF1|-|PF2|=2,|PF1|+|PF2|=27,
解得|PF1|=7+1,|PF2|=7-1,故C正确;
S△PF1F2=12|PF1|·|PF2|=12(7+1)·(7-1)=3,故B正确;
由|PF1|-|PF2|=|QF1|-|QF2|=2,|PF1|2+|PQ|2=|QF1|2,且|PF1|=7+1,|PF2|=7-1,解得|QF2|=9+37,|QF1|=11+37.
∴△PF1Q的周长为20+87,故A错误.
18.(2021山东德州二模)已知F1,F2是双曲线y2-x24=1的两个焦点,P是双曲线上任意一点,过F2作∠F1PF2平分线的垂线,垂足为N,则点N到直线x+y-22=0的距离的取值范围是 .
答案:[1,3]
解析:设P为双曲线的下支上一点,延长F2N与PF1交于M,连接ON,
由MF2⊥PN,且N为中点,由等腰三角形的三线合一性质,得|PM|=|PF2|,
所以|MF1|=|PF1|-|PM|=|PF1|-|PF2|=2a=2,
所以|ON|=12|MF1|=1,则N的轨迹方程为圆x2+y2=1,
由O到直线x+y-22=0的距离d=222=2,可得N到直线x+y-22=0的距离的取值范围是[2-1,2+1],即[1,3].