高考总复习优化设计一轮用书文科数学配北师版课时规范练31　数列求和

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(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足:bn=1an+2lg2an-1,求数列{bn}的前n项和Sn.
解:(1)设等比数列{an}的公比为q,
∵a1,a2,a3-2成等差数列,
∴2a2=a1+(a3-2)=2+(a3-2)=a3,∴q=a3a2=2,
∴an=a1qn-1=2n.
(2)由(1)及bn=1an+2lg2an-1,可知bn=12n+2lg22n-1=12n+2n-1,
∴Sn=12+1+122+3+123+5+…+12n+(2n-1)=12+122+123+…+12n+[1+3+5+…+(2n-1)]=121-12n1-12+n·[1+(2n-1)]2=n2-12n+1.
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足2Sn+an-n=0.
(1)求证:数列an-12为等比数列;
(2)求数列{an-n}的前n项和Tn.
(1)证明:当n=1时,2S1+a1-1=0,解得a1=13.
因为2Sn+an-n=0(n∈N*),①
当n≥2时,2Sn-1+an-1-(n-1)=0,②
①-②,得3an=an-1+1,即an=13an-1+13,当n≥2时,an-12an-1-12=13an-1+13-12an-1-12=13,
又a1-12=-16,所以an-12是以-16为首项,以13为公比的等比数列.
(2)解:由(1)可得an=-12×13n+12,
所以an-n=-12×13n-n+12,
所以数列{an-n}的前n项和
Tn=-12×13[1-13n]1-13−(n+1)n2+n2,
化简得Tn=1413n-1-n22.
3.(2021四川成都石室中学高三月考)在数列{an}中,a1=3,且对任意n∈N+,都有an+an+22=an+1.
(1)设bn=an+1-an,判断数列{bn}是否为等差数列或等比数列;
(2)若a2=5,cn=an,n为奇数,2an-1,n为偶数,求数列{cn}的前2n项的和S2n.
解:(1)由an+an+22=an+1,得an+an+2=2an+1,an+2-an+1=an+1-an,
所以数列{an}是等差数列.
当{an}的公差为零时,bn+1=bn=0,数列{bn}是等差数列,不是等比数列;
当{an}的公差不为零时,bn+1=bn≠0,数列{bn}既是等差数列也是等比数列.
(2)若a2=5,由(1)知an+1-an=a2-a1=2,
所以数列{an}是等差数列,且首项为3,公差为2,
所以an=3+2(n-1)=2n+1.
则cn=2n+1,n为奇数,4n,n为偶数.
S2n=S奇+S偶=[3+7+11+…+(4n-1)]+(42+44+…+42n)=(3+4n-1)n2+16(1-16n)1-16=2n2+n+16(16n-1)15.
4.(2021云南昆明“三诊一模”检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3n=3an-2,且S5-S3=4a2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列1Sn的前n项和为Tn,证明:Tn0,所以Tn0,所以解得a2=2,
故数列{an}的公差为a2-a1=1,所以an=1+n-1=n.
(2)由(1)可得bn=(-1)n·4n(2an-1)(2an+1)=(-1)n·4n(2n-1)(2n+1)=(-1)n12n-1+12n+1,
所以T2n=-1+13+13+15-15+17+…+14n-1+14n+1=-1+14n+1=-4n4n+1.
7.(2020新高考Ⅰ,18)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20,a3=8.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记bm为{an}在区间(0,m](m∈N+)中的项的个数,求数列{bm}的前100项和S100.
解:(1)设{an}的公比为q.
由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8.
解得q=12(舍去),q=2.
因为a1q2=8,所以a1=2.
所以{an}的通项公式为an=2n.
(2)由题设及(1)知b1=0,且当2n≤m