【期末真题】人教版高一下学期期末数学真题检测03（原卷版+解析版）

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【期末真题】人教版高一下学期
期末数学真题检测03（解析版）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数是纯虚数，则实数m＝（ ）
A. ﹣2B. ﹣1C. 0D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
本题先将化简为的代数形式，再根据纯虚数的定义建立方程求参数.
【详解】解：∵ 是纯虚数，
∴ ，解得：，
故选：B.
【点睛】考查复数的代数形式以及纯虚数的定义，是基础题.
2. “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小区居号，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第80百分位数是（ ）
A. 7B. 7.5C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】
把该组数据从小到大排列，计算，从而找出对应的第80百分位数；
【详解】该组数据从小到大排列为：5，5，6，7，8，9，且，
故选：C.
【点睛】本题考查一组数据的百分数问题，属于基础题.
3. 设为平面，，为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( )
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】B
【解析】
【分析】
利用空间线线、线面、面面间的关系对每一个选项逐一分析判断得解．
【详解】若，，则与相交、平行或异面，故错误；
若，，则由直线与平面垂直的判定定理知，故正确；
若，，则或，故错误；
若，，则，或，或与相交，故错误．
故选：．
【点睛】本题考查命题的真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
4. 已知在平行四边形中，点、分别是、的中点，如果，，那么向量（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
作出图形，利用平面向量加法法则可求得结果.
【详解】如下图所示：
点、分别是、的中点，.
故选：B.
【点睛】本题考查平面向量的基底分解，考查计算能力，属于基础题.
5. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设圆锥的底面半径为，高为，母线为，根据其表面积为，得到，再由它的侧面展开图是一个半圆，得到，联立求得半径和高，利用体积公式求解.
【详解】解：设圆锥的底面半径为，高为，母线为，
因为其表面积为，
所以，
即，
又因为它的侧面展开图是一个半圆，
所以，
即，
所以，
所以此圆锥的体积为.
故选：A.
【点睛】本题主要考查圆的面积、周长、圆锥的侧面积及体积等知识点，考查运算求解能力，属于基础题型.
6. 《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事，其中，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马，若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题先将所有的基本事件都列出来共9种，再将田忌的马获胜的事件选出共3种，最后计算概率即可.
【详解】解：设田忌的上等马为，中等马为：，下等马为，齐王的上等马为，中等马为：，下等马为，双方各自随机选1匹马进行1场比赛产生的基本事件为：，，，，，，，，，共9种；其中田忌的马获胜的事件为：，，，共3种，所以田忌的马获胜的概率为：.
故选：C.
【点睛】本题考查古典概型，是基础题.
7. 如图所示，为了测量山高，选择和另一座山的山顶作为测量基点，从点测得点的仰角，点的仰角，，从点测得．已知山高，则山高（单位：）为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
计算出，在中，利用正弦定理求得，然后在中可计算出.
【详解】在中，，为直角，则，
在中，，，则，
由正弦定理，可得，
在中，，，.
故选：A.
【点睛】本题考查测量高度问题，考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.
8. 如图，在平面直角坐标系中，原点为正八边形的中心，轴，若坐标轴上的点（异于点）满足（其中，且、），则满足以上条件的点的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分点在、轴进行分类讨论，可得出点、关于坐标轴对称，由此可得出点的个数.
【详解】分以下两种情况讨论：
①若点在轴上，则、关于轴对称，
由图可知，与、与、与、与关于轴对称，
此时，符合条件的点有个；
②若点在轴上，则、关于轴对称，
由图可知，与、与、与、与关于轴对称，
此时，符合条件的点有个.
综上所述，满足题中条件的点的个数为.
故选：D.
【点睛】本题考查符合条件的点的个数的求解，考查了平面向量加法法则的应用，属于中等题.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 已知复数z满足（1﹣i）z＝2i，则下列关于复数z的结论正确的是（ ）
A.
B. 复数z的共轭复数为＝﹣1﹣i
C. 复平面内表示复数z的点位于第二象限
D. 复数z是方程x2+2x+2＝0的一个根
【答案】ABCD
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确.
【详解】因为（1﹣i）z＝2i，所以，所以，故正确；
所以，故正确；
由知，复数对应的点为，它在第二象限，故正确；
因，所以正确.
故选：ABCD.
【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题.
10. 某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在，，，，五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（ ）

A. 样本中女生人数多于男生人数B. 样本中层人数最多
C. 样本中层次男生人数为6人D. 样本中层次男生人数多于女生人数
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据直方图和饼图依次判断每个选项的正误得到答案.
【详解】样本中女生人数为：，男生数为，正确；
样本中层人数为：；样本中层人数为：；
样本中层人数为：；样本中层人数为：；
样本中层人数为：；故正确；
样本中层次男生人数为：，正确；
样本中层次男生人数：，女生人数为，错误.
故选：.
【点睛】本题考查了统计图表，意在考查学生的计算能力和应用能力.
11. 已知事件，，且，，则下列结论正确的是（ ）
A. 如果，那么，
B. 如果与互斥，那么，
C. 如果与相互独立，那么，
D. 如果与相互独立，那么，
【答案】BD
【解析】
【分析】
A选项在前提下，计算出，，即可判断；B选项在与互斥前提下，计算出，，即可判断；C、D选项在与相互独立前提下，计算出，， ，，即可判断.
【详解】解：A选项：如果，那么，，故A选项错误；
B选项：如果与互斥，那么，，故B选项正确；
C选项：如果与相互独立，那么，，故C选项错误；
D选项：如果与相互独立，那么，，故D选项正确.
故选：BD.
【点睛】本题考查在包含关系，互斥关系，相互独立的前提下的和事件与积事件的概率，是基础题.
12. 如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）
A. 若点，分别是线段，的中点，则
B. 点到平面的距离为
C. 直线与平面所成的角等于
D. 三棱柱的外接球的表面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】
A选项：通过平行的传递性得到结论；
B选项：根据点到平面的距离为，进一步得到答案;
C选项：根据直线与平面所成的角为∠，进一步得出结论；
D选项：根据三棱柱的外接球的半径为正方体体对角线的一半，进一步得到答案.
【详解】A选项：若点，分别是线段，的中点，则又∵
所以，故A正确；
B选项：连接交于点，由题易知点到平面的距离为，∵正方体的棱长为1，∴，故B错误；
C选项：易知直线与平面所成的角为∠，
∴∠，故C正确；
D选项：易知三棱柱的外接球的半径为正方体体对角线的一半，
∴
∴表面积为，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】本题考查命题真假的判断，通过线线平行、点到面的距离、线面角，以及外接球的知识点来考查，解题时要注意空间思维能力的培养，是中档题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得的值进而求得．
【详解】，
，
，
，
由于为三角形内角，可得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦．
14. 已知数据，，，…，的平均数为10，方差为2，则数据，，，…，的平均数为________，方差为________.
【答案】 (1). 19 (2). 8
【解析】
【分析】
由题意结合平均数公式和方差公式计算即可得解.
【详解】由已知条件可得，
，
所以数据、、、、的平均数为
，
方差为
故答案为：；.
【点睛】本题考查了平均数与方差的计算，考查了运算求解能力，属于基础题.
15. 已知，，，则与的夹角为________.
【答案】
【解析】
【分析】
本题先求，，，再根据化简整理得，最后求与的夹角为.
【详解】解：∵ ，，
∴ ，，，
∵ ，
∴
整理得：，
∴与的夹角为：.
故答案为：
【点睛】本题考查运用数量积的定义与运算求向量的夹角，是基础题.
16. 如图，在三棱锥中，，，，且，，则二面角的余弦值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
取的中点，连接、，证明出，，可得出面角的平面角为，计算出、，利用余弦定理求得，由此可得出二面角的余弦值.
【详解】取的中点，连接、，如下图所示：
，为的中点，则，且，，，
同理可得，且，所以，二面角的平面角为，
由余弦定理得，
因此，二面角的余弦值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查二面角余弦值的计算，考查二面角的定义，考查计算能力，属于中等题.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知向量.
（1）若向量，且，求的坐标；
（2）若向量与互相垂直，求实数的值.
【答案】（1）或（2）
【解析】
【分析】
（1） 因为，所以可以设求出坐标，根据模长，可以得到参数的方程.
（2） 由于已知条件 可以计算出与坐标（含有参数）而两向量垂直，可以得到关于的方程，完成本题.
【详解】（1）法一:设，
则，
所以
解得
所以或
法二:设，
因为，，所以，
因为，所以
解得或，
所以或
（2）因为向量与互相垂直
所以，即
而，，所以，
因此，
解得
【点睛】考查了向量的线性表示，引入参数，只要我们能建立起引入参数的方程，则就能计算出所求参数值，从而完成本题.
18. 已知、、分别为三个内角、、的对边，且，，．
（1）求及的面积；
（2）若为边上一点，且，______，求的正弦值．
从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答．
【答案】（1），；（2）选①，；选②，.
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理可得出关于的二次方程，可解出的值，进而可求得的面积；
（2）选①，在中，利用正弦定理可求得的值，再由可得出，进而可求得的正弦值；
选②，利用正弦定理求得的值，由同角三角函数的基本关系可求得，再利用两角和的正弦公式可求得的值.
【详解】（1）由余弦定理得，整理得，
，解得，；
（2）选①，如下图所示：
在中，由正弦定理得，可得，
在中，，则，所以，；
选②，在中，由正弦定理得，可得，
由于为锐角，则，
，
因此，.
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形以及三角形面积的计算，同时也考查了三角形内角正弦值的计算，考查计算能力，属于中等题.
19. 在四面体中，点，，分别是，，的中点，且，.
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成的角.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由点，分别是，的中点，得到，结合线面平行的判定定理，即可求解；
（2）由（1）知和，得到即为异面直线与所成的角，在中，即可求解.
【详解】（1）由题意，点，分别是，的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）由（1）知，
因为点，分别是，的中点，可得，
所以即为异面直线与所成的角（或其补角）.
在中，，所以为等边三角形，
所以，
即异面直线与所成的角为.
【点睛】本题主要考查了线面平行的判定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中熟记线面平行的判定定理和异面直线所成角的概念，转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
20. 溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响．
（1）分别求甲队总得分为3分与1分的概率；
（2）求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）记“甲队总得分为3分”为事件，记“甲队总得分为1分”为事件，甲队得3分，即三人都回答正确，甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队总得分为3分与1分的概率．
（2）记“甲队得分为2分”为事件，记“乙队得分为1分”为事件，事件即甲队三人中有2人答对，其余1人答错，事件即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，由题意得事件与事件相互独立，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．
【详解】解：（1）记“甲队总得分为3分”为事件，记“甲队总得分为1分”为事件，
甲队得3分，即三人都回答正确，其概率为，
甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错，
其概率为．
甲队总得分为3分与1分的概率分别为，．
（2）记“甲队得分为2分”为事件，记“乙队得分为1分”为事件，
事件即甲队三人中有2人答对，其余1人答错，
则，
事件即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，
则，
由题意得事件与事件相互独立，
甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率：
．
【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
21. 如图，在三棱锥中，底面，，，点为线段的中点，点为线段上一点.
（1）求证：平面平面.
（2）当平面时，求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先证明，再证明，从而证明平面，最后证明平面平面；
（2）先判断点为的中点，再判断三棱锥的体积等于三棱锥的体积，最后求体积即可.
【详解】（1）证明：因底面，且底面，
所以.
因为，且点为线段的中点，
所以.
又，
所以平面.
又平面，
所以平面平面.
（2）解：因为平面，平面，平面平面，
所以.
因为点为的中点，所以点为的中点.
法一：
由题意知点到平面的距离与点到平面的距离相等，
所以
.
所以三棱锥的体积为.
法二：
因为平面，
由题意知点到平面的距离与点到平面的距离相等.
所以，
又，，，，
由（1）知，，又，且，所以平面，
所以
.
所以三棱锥体积为.
法三：
又，，，，
由（1）知：平面，
且.
所以
.
所以三棱锥的体积为.
【点睛】本题考查面面垂直的证明，三棱锥的体积，是中档题.
22. 2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，画出频率分布直方图如图所示．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）由频率分布直方图；
（i）求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；
（ii）估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在[220，240）和[260，280）的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．
【答案】（1）；（2）（i）（ii）（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据7组频率和为1列方程可解得结果；
（2）（i）根据前三组频率和为，前四组频率和为可知中位数在第四组，设中位数为，根据即可解得结果；
（ii）利用各组的频率乘以各组的中点值，再相加即可得解；
（3）根据分层抽样可得从成绩在[220，240）的组中应抽取人，从成绩在[260，280）的组中应抽取人，再用列举法以及古典概型的概率公式可得解.
【详解】（1）由，得；
（2）（i）因为，，
所以中位数在，设中位数为，所以，解得，
所以物理、化学、生物三科总分成绩的中位数为；
（ii）这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数为
（3）物理、化学、生物三科总分成绩在[220，240）和[260，280）的两组中的人数分别为：人，人，根据分层随机抽样可知，从成绩在[220，240）的组中应抽取人，记为，从成绩在[260，280）的组中应抽取人，记为，
从这7名学生中随机抽取2名学生的所有基本事件为：，，共有种，其中这2名学生来自不同组的共有种，
根据古典概型的概率公式可得所求概率为.
【点睛】本题考查了利用直方图求中位数、平均数，考查了利用直方图求参数，考查了分层抽样，考查了古典概型的概率公式，属于中档题.