八年级第一学期期末数学试卷 (1)

这是一份八年级第一学期期末数学试卷 (1)，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，将正确答案的序号填入下表相应的空格内，每题3分，共30分）
1. 下列根式中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 化简：的结果是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列命题的逆命题成立的是（ ）
A. 全等三角形的对应角相等B. 如果两个数相等，那么它们的平方相等
C. 两条直线平行，同旁内角互补D. 对顶角相等
4. 如图是一张探宝图，根据图中的尺寸，起点与起点的距离是（ ）

A. B. 8C. 9D. 10
5. 如图：在中，，，是斜边上的一个动点，，，垂足分别为，，则的最小值为（ ）

A. 6B. C. 5D.
6. 若一次函数y=(k-2)x+17，当x=-3时，y=2，则k的值为（ ）
A. -4B. 8C. -3D. 7
7. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴，y轴交于A，B两点，以为底边在y轴的右侧作等腰，将沿y轴折叠，使点C恰好落在直线上，则C点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
8. 如图：直线与直线相交于点，则不等式的解集为（ ）

A. B. C. D.
9. 在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如下表格：
如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）
A 平均数B. 众数C. 方差D. 中位数
10. 甲、乙两人赛跑，两人所跑的路程y（米）与所用的时间x（分）的函数关系如图所示：给出下列说法：①比赛全程1500米．②2分时，甲乙相距300米．③比赛结果是乙比甲领先50秒到达终点．④3分40秒时，乙追上甲．其中正确的个数（ ）个．

A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 已知：，则________．
12. 如图，在ΔABC中，AB=4，BC=2，DB=1，CD=，则AC=_________．
13. 如图正方形ABCD边长为2，E为CD边中点，P为射线BE上一点（P不与B重合），若△PDC为直角三角形，则BP＝_________．
14. 如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为_______．
15. 对于一次函数 y＝kx+b，当 1≤x≤4 时，3≤y≤6，则一次函数的解析式为_____．
16. 已知一组数据x1，x2，…，xn的方差是s2，则新的一组数据ax1＋1，ax2＋1，…，axn＋1(a为常数，a≠0)的方差是____．(用含a，s2的代数式表示)
17. 如图，正方形OABC的对角线OB在直线y=﹣x上，点A在第一象限．若正方形OABC的面积是50，则点A的坐标为_____．
18. 正方形按如图所示的方式放置，点和点分别在直线和轴上，已知点，，则点的坐标是________．

三、解答题（每小题4分，共8分）
19. 计算：
（1）；
（2）已知，求代数式的值．
四、解答题（20题10分，21题10分）
20. 某商店销售十台A型和20台B型电脑利润为4000元，销售20台A型和十台B型的电脑利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中，B型电脑的进货量不超过A型电脑的两倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售利润为y元，
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型，B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
21. 为了解学生参加户外活动的情况，某中学对学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，根据图示，请回答下列问题：
（1）求户外活动时间为1.5小时的学生有多少人？并补全条形统计图
（2）每天户外活动时间的中位数是小时？
（3）该校共有1800名学生，请估计该校每天户外活动超过1小时的学生人数有多少人？
五、解答题（每小题8分）
22. 如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝8，求菱形BMDN的周长和对角线MN的长．
六、解答题（8分）
23. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE ，连接 CG ．
（1）求证： △ABE≌△CDF ；
（2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由.
七、解答题（10分）
24. 如图1：点E是正方形上任意一点，以为边作正方形，连接，点M是线段的中点，射线于交于点H，连接．

（1）请直接写出线段与的关系．
（2）把图1中正方形绕点D顺时针旋转，此时点F恰好落在线段上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．
（3）把图1中的正方形绕点D顺时针旋转，此时点E，G恰好分别落在线段上，连接，如图3其他条件不变，若，直接写出的长．
八、解答题（12分）
25. 如图：在平面直角坐标系中，直线与x，y轴分别交于点A，点B，已知点．

（1）求出点A，B的坐标；
（2）点P是直线上的一个动点，且，求点P的坐标；
（3）如图2，过点C作y轴的平行线m，在直线m上是否存在点Q，使得是等腰直角三角形？若存在请直接写出符合条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由．
第二学期期末八年级数学试卷
（考试时间：90分钟，试卷满分：120分）
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，将正确答案的序号填入下表相应的空格内，每题3分，共30分）
1. 下列根式中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可．
【详解】解：A．，故选项不符合题意；
B．，故选项不符合题意；
C．是最简二次根式，故选项符合题意；
D．，故选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了最简二次根式的判断，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2. 化简：的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】变形后逆用积的乘方和平方差公式计算即可．
【详解】解：
故选：D
【点睛】此题主要考查了积的乘方、二次根式的混合运算，逆用积的乘方和平方差公式是解题的关键．
3. 下列命题的逆命题成立的是（ ）
A. 全等三角形的对应角相等B. 如果两个数相等，那么它们的平方相等
C. 两条直线平行，同旁内角互补D. 对顶角相等
【答案】C
【解析】
【分析】先分别写出四个命题的逆命题，根据三角形全等的判定方法对A的逆命题进行判断；根据一对相反数的平方相等对B的逆命题进行判断；根据平行线的判定定理可对C的逆命题进行判断；根据两个角相等，这两个角可为任意相等度数的角对D的逆命题进行判断．
【详解】解：A、“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“三个角分别对应相等的两三角形全等”，此逆命题为假命题，所以A选项错误；
B、“如果两个数相等，那么它们的平方相等”的逆命题为“如果两个数的平方相等，那么它们相等”，此逆命题为假命题，所以B选项错误；
C、“两条直线平行，同旁内角互补”的逆命题为“同旁内角互补，两直线平行”，此逆命题为真命题，所以C选项正确；
D、“对顶角相等”的逆命题为“若两个角相等，那么这两个角是对顶角”，此逆命题为假命题，所以D选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等．
4. 如图是一张探宝图，根据图中的尺寸，起点与起点的距离是（ ）

A. B. 8C. 9D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】过点作，根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作，

则，，
根据勾股定理可得：，
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5. 如图：在中，，，是斜边上的一个动点，，，垂足分别为，，则的最小值为（ ）

A. 6B. C. 5D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的性质和判定，求出，利用垂线段最短，可知时，有最小值，利用勾股定理求出的长度，最后根据面积法即可求出的最小值，即是最小值.
【详解】解：连接，如图所示，

，，，
四边形为矩形，
，
值最小，
值最小，
.
在中，，，
，
，
.
的最小值为.
故选：D.
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短的性质、勾股定理，解题的关键在于熟练掌握矩形的性质和确定时，有最小值.
6. 若一次函数y=(k-2)x+17，当x=-3时，y=2，则k的值为（ ）
A. -4B. 8C. -3D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】把与的值代入一次函数解析式求出的值即可．
【详解】解：把，代入一次函数解析式得：
，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：．
故选：．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
7. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴，y轴交于A，B两点，以为底边在y轴的右侧作等腰，将沿y轴折叠，使点C恰好落在直线上，则C点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求点的坐标，根据“以为底边在y轴的右侧作等腰”可求C点的纵坐标，进而可求C点的对应点坐标为，即可求解．
【详解】解：由题意得：点的坐标为：
∵以为底边在y轴的右侧作等腰
∴C点的纵坐标为
将沿y轴折叠后，C点的对应点纵坐标也为
∵点C恰好落在直线上
∴，
即C点的对应点坐标为
则C点的坐标为
故选：A
【点睛】本题考查一次函数与坐标轴交点、等腰三角形的性质等．掌握相关结论即可．
8. 如图：直线与直线相交于点，则不等式的解集为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，求出交点A的坐标，由图象可知，当时，函数的图象在的下方，即可求解．
【详解】解：∵直线与直线相交于点，
∴，
∴，
∴，
由图象可知，当时，函数图象在的下方，
则不等式的解集为．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是判断不等式，即函数的图象在的下方．
9. 在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如下表格：
如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）
A. 平均数B. 众数C. 方差D. 中位数
【答案】D
【解析】
【详解】去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，
故选D．
10. 甲、乙两人赛跑，两人所跑的路程y（米）与所用的时间x（分）的函数关系如图所示：给出下列说法：①比赛全程1500米．②2分时，甲乙相距300米．③比赛结果是乙比甲领先50秒到达终点．④3分40秒时，乙追上甲．其中正确的个数（ ）个．

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】①由函数图象可以得； ②根据图象列式计算即可得出结论； ③由函数图象可以得答案； ④求出两分钟后，甲、乙图象表示的函数，再联立即可求解．
【详解】解：①由函数图象可得比赛全程1500米，故①正确；
②甲的速度米/分， ∴2分时甲、乙相距为米，故②正确；
③由函数图象可以得；乙比甲领先秒到达终点，故③错误；
④设两分钟后，，将，代入，
∴， 解得：，
∴，
设甲的函数解析式，，将，代入，
得， 解得，
∴，
联立， 解得，
即乙追上甲用分钟=3分钟40秒，故④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，认真观察函数图象从中获得有效信息是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 已知：，则________．
【答案】
【解析】
【分析】先约分，再计算分式的减法得到化简的结果，再把代入进行计算即可．
【详解】解：
，
当时，
原式．
故答案为：
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，二次根式的除法运算，掌握运算法则与运算顺序是解本题的关键．
12. 如图，在ΔABC中，AB=4，BC=2，DB=1，CD=，则AC=_________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断∠CDB=90°，再求出AD的长，然后在Rt△ACD中根据勾股定理解答即可．
【详解】解：在△BCD中，∵，，
∴，
∴∠CDB=90°，即∠CDA=90°，
∵AD=AB－BD=4－1=3，
∴在Rt△ACD中，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，属于常考题型，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题关键．
13. 如图正方形ABCD边长为2，E为CD边中点，P为射线BE上一点（P不与B重合），若△PDC为直角三角形，则BP＝_________．
【答案】或或
【解析】
【分析】分三种情况：①如图1，当∠DPC=90°时，P在正方形的内部，先根据直角三角形斜边中线的性质得EP的长，利用勾股定理得BE的长，从而可解答；②如图2，当∠DPC=90°时，P在正方形的外部，同理可解答；③如图3，当∠CDP=90°时，证明△BCE≌△PDE（ASA），可得PE=BE=，从而可解答．
【详解】解：分三种情况：
①如图1，当∠DPC=90°时，
∵E是CD的中点，且CD=2，
∴PE=CD=1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=2，∠BCD=90°，
∴BE==，
∴BP=-1；
②如图2，当∠DPC=90°时，
同理可得BP=+1；
③如图3，当∠CDP=90°时，
∵∠BCE=∠EDP=90°，DE=CE，∠BEC=∠DEP，
∴△BCE≌△PDE（ASA），
∴PE=BE=，
∴BP=2，
综上，BP的长是-1或+1或2；
故答案：-1或+1或2．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是运用分类讨论的思想解决问题．
14. 如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为_______．
【答案】12
【解析】
【分析】延长BN交AC于D，证明△ANB≌△AND，根据全等三角形的性质、三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：延长BN交AC于D，
∵在△ANB和△AND中，
∴△ANB≌△AND，
∴AD=AB=8，BN=ND，
∵M是△ABC的边BC的中点，
∴DC=2MN=4，
∴AC=AD+CD=12．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查的是三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，垂线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
15. 对于一次函数 y＝kx+b，当 1≤x≤4 时，3≤y≤6，则一次函数的解析式为_____．
【答案】y=x+2或y=-x+7
【解析】
【分析】由一次函数的单调性即可得知点（1，3）、（4，6）在一次函数y=kx+b的图象上或点（1，6）、（4，3）在一次函数y=kx+b的图象上，根据点的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式，此题得解．
【详解】解：∵对于一次函数y=kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，
∴点（1，3）、（4，6）在一次函数y=kx+b的图象上或点（1，6）、（4，3）在一次函数y=kx+b的图象上．
当点（1，3）、（4，6）在一次函数y=kx+b的图象上时，
，解得：，
∴此时一次函数的解析式为y=x+2；
当（1，6）、（4，3）在一次函数y=kx+b的图象上时，
，解得：，
∴此时一次函数的解析式为y=-x+7．
故答案为：y=x+2或y=-x+7．
【点睛】本题考查了一次函数的性质以及待定系数法求一次函数解析式，根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
16. 已知一组数据x1，x2，…，xn的方差是s2，则新的一组数据ax1＋1，ax2＋1，…，axn＋1(a为常数，a≠0)的方差是____．(用含a，s2的代数式表示)
【答案】a2s2
【解析】
【分析】由于一组数据x1、x2、x3…的方差是s2，而一组新数据ax1+1，ax2+1、ax3+1…axn+1中和原来的数据比较可以得到它们之间的联系，由此可以确定一组新数据ax1+1，ax2+1、ax3+1…axn+1的方差．
【详解】解：∵一组数据x1、x2、x3…xn的方差是s2，
∴一组新数据ax1+1，ax2+1、ax3+1…axn+1的方差是a2•s2．
故答案为a2s2．
【点睛】此题主要考查了方差的性质，其中主要利用了：一组数据如果同时乘以同一个数a，那么方差是原来数据方差的a2倍．牢记这一规律是解决此题的关键．
17. 如图，正方形OABC的对角线OB在直线y=﹣x上，点A在第一象限．若正方形OABC的面积是50，则点A的坐标为_____．
【答案】（1，7）
【解析】
【详解】如图作OF⊥OB，交BA的延长线于F，作BM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OBA=45°，
∵∠BOF=90°，
∴△BOF是等腰直角三角形，
∴OB=OF，
易证△BOM≌△OFN，可得BM=ON，OM=FN，
∵正方形OABC的面积是50，
∴OB=10，
∵点B在直线y=﹣x上，
∴B（﹣6，8），F（8，6），
∵BA=AF，
∴A点坐标为（1，7）.
故答案为（1，7）.
18. 正方形按如图所示的方式放置，点和点分别在直线和轴上，已知点，，则点的坐标是________．

【答案】（23，8）
【解析】
【分析】由题意可知A1纵坐标为1，A2的纵坐标为2，A3的纵坐标为4，A4的纵坐标为8，…，即可得到C1，C2，C3，C4，C5的纵坐标，根据图象得出C1（2，1），C2（5，2），C3（11，4），即可得到C1，C2，C3，C4，C5…在一条直线上，直线的解析式为y=x+，把C4的纵坐标代入即可求得横坐标．
【详解】解：由题意可知：A1纵坐标为1，A2的纵坐标为2，A3的纵坐标为4，A4的纵坐标为8，…，
∵A1和C1，A2和C2，A3和C3，A4和C4的纵坐标相同，
∴C1，C2，C3，C4，C5的纵坐标分别为1，2，4，8，16，…，
∴根据图象得出C1（2，1），C2（5，2），
设C1C2的解析式为：y=kx+b，
则，解得：，
∴直线C1C2的解析式为y=x+，
∵Cn的纵坐标为2n-1，
把y=2n-1代入y=x+，解得x=3×2n-1-1，
∴Cn的坐标是（3×2n-1-1，2n-1）
∴C4的坐标是（23，8），
故答案为：（23，8）．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式、等腰直角三角形和正方形的性质．此题难度适中，属于规律型题目，注意掌握数形结合思想的应用．
三、解答题（每小题4分，共8分）
19. 计算：
（1）；
（2）已知，求代数式的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先计算二次根式的乘法运算，再合并即可；
（2）先求解，再整体代入求值即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
∵，即，
∴，
∴；
【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，求解代数式的值，熟练的掌握二次根式的混合运算的运算顺序是解本题的关键．
四、解答题（20题10分，21题10分）
20. 某商店销售十台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和十台B型的电脑利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中，B型电脑的进货量不超过A型电脑的两倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售利润为y元，
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型，B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）每台型电脑销售利润为100元，每台型电脑的销售利润为150元
（2）①；②购进34台型电脑和66台型电脑的销售利润最大，最大利润是13300元
【解析】
【分析】（1）设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元；然后根据销售10台型和20台型电脑的利润为4000元，销售20台型和10台型电脑的利润为3500元列出方程组，然后求解即可；
（2）①根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；②根据型电脑的进货量不超过型电脑的2倍列不等式求出的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可．
【小问1详解】
解：设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元；
根据题意得，解得．
答：每台型电脑销售利润为100元，每台型电脑的销售利润为150元；
【小问2详解】
①根据题意得，，
即；
②根据题意得，，
解得，
，
随的增大而减小，
为正整数，
当时，取最大值，则，
此时最大利润是．
即商店购进34台型电脑和66台型电脑的销售利润最大，最大利润是13300元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，准确找出等量关系列出方程组是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方法，需熟练掌握．
21. 为了解学生参加户外活动的情况，某中学对学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，根据图示，请回答下列问题：
（1）求户外活动时间为1.5小时的学生有多少人？并补全条形统计图
（2）每天户外活动时间的中位数是小时？
（3）该校共有1800名学生，请估计该校每天户外活动超过1小时的学生人数有多少人？
【答案】（1）户外活动时间为1.5小时的人数有120人，补全的条形统计图如下图所示，见解析；（2）中位数是1小时；（3）该校每天户外活动时间超过1小时的学生有720人．
【解析】
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图可以求得被调查学生总数和1.5小时的学生数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据条形统计图可以得到这组数据的中位数；
（3）根据条形统计图可以求得校共有1800名学生，该校每天户外活动时间超过1小时的学生有多少人．
【详解】（1）∵0.5小时的有100人占被调查总人数的20%，
∴被调查的人数有：100÷20%＝500，
1.5小时的人数有：500﹣100﹣200﹣80＝120，
补全的条形统计图如下图所示，
故答案为500；
（2）由（1）可知被调查学生500人，由条形统计图可得，中位数是1小时，
故答案为1；
（3）由题意可得，
该校每天户外活动时间超过1小时的学生数为：×1800＝720人，
即该校每天户外活动时间超过1小时的学生有720人．
【点睛】本题考查中位数、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
五、解答题（每小题8分）
22. 如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝8，求菱形BMDN的周长和对角线MN的长．
【答案】（1）见解析；（2）周长20，
【解析】
【分析】（1）根据矩形性质求出AD∥BC，推出∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，证△DMO≌△BNO，推出OM＝ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN；
（2）根据菱形性质求出DM＝BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2＝AM2+AB2，求出MD＝5，由勾股定理求出BD的长，得出OB的长，再由勾股定理求出OM，即可得出MN的长．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，OB＝OD，
∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO．
∵MN是BD的垂直平分线
∴OD＝OB，
在△DMO和△BNO中，
，
∴△DMO≌△BNO（AAS），
∴OM＝ON．
∵OB＝OD，
∴四边形BMDN是平行四边形．
∵MN⊥BD，
∴四边形BMDN是菱形．
（2）解：设MD＝MB＝x，则AM＝8﹣x．
在Rt△AMB中，由勾股定理得：x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5．即MB＝5，
∴菱形BMDN的周长为5×4＝20．
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD＝＝＝4，
∴．
在Rt△BOM中，由勾股定理得：OM＝＝＝，
由（1）得：OM＝ON，
∴．
【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．
六、解答题（8分）
23. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE ，连接 CG ．
（1）求证： △ABE≌△CDF ；
（2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）时,四边形EGCF是矩形，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，证出BE=DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；
（2）证出AB=OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG=90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，由三角形中位线定理得出OE∥CG，EF∥CG，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，
∴∠ABE=∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE=OB，DF=OD，
∴BE=DF，
在△ABE和△CDF中，
（2）当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC=2OA，AC=2AB，
∴AB=OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG=90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
∵EG=AE，OA=OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，
∴EF∥CG，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG=90°，
∴四边形EGCF是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
七、解答题（10分）
24. 如图1：点E是正方形上任意一点，以为边作正方形，连接，点M是线段的中点，射线于交于点H，连接．

（1）请直接写出线段与的关系．
（2）把图1中的正方形绕点D顺时针旋转，此时点F恰好落在线段上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．
（3）把图1中的正方形绕点D顺时针旋转，此时点E，G恰好分别落在线段上，连接，如图3其他条件不变，若，直接写出的长．
【答案】（1）
（2）成立，理由见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）证，得，根据等腰直角三角形的性质即可求解；
（2）根据正方形的性质可得点在同一条直线上，根据“斜中半定理”即可求证；
（3）连接，结合（1）（2）可知是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
解：．理由如下：
由题意得：
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
【小问2详解】
解：成立．理由如下：
如图２，连接

∵四边形是正方形
∴
∴点在同一条直线上
∵，点M是线段的中点
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
【小问3详解】
解：连接，作如图；

∵
∴
∴
∵为的中点，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴是等腰直角三角形
∵
∴
【点睛】本题综合考查了正方形与旋转问题，涉及了正方形的性质、全等三角形的判定与性等知识点．熟记相关结论进行几何推理是解题关键．
八、解答题（12分）
25. 如图：在平面直角坐标系中，直线与x，y轴分别交于点A，点B，已知点．

（1）求出点A，B的坐标；
（2）点P是直线上的一个动点，且，求点P的坐标；
（3）如图2，过点C作y轴的平行线m，在直线m上是否存在点Q，使得是等腰直角三角形？若存在请直接写出符合条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）或；
（3）Q点坐标为：或．
【解析】
【分析】（1）由直线的解析式列方程即可得到结论；
（2）设，分三种情况，根据面积公式列方程即可得到结论；
（3）设， 可得，，， 分三种不同情况列出方程即可得到结论．
【小问1详解】
解：令，解得，
∴，
令，，
∴；
小问2详解】
①如图，当P点在线段上，设，

∵，，，
∴，，
∵，
∴ ， 即，
解得，
∴；
②当P在线段的延长线上时，，不合题意．
③如图2，当点P在线段的延长线上时，

设，
∵，
∴，即 ，
解得，
∴，
综上，或；
【小问3详解】
存在，Q点坐标为：或． 理由如下：
∵过点作平行于y轴的直线，点Q在直线m上，
∴设，
∵，，
∴，
，
，
故当，即， 解得：或，
当时，，，，不是直角三角形，
当时，，，，是直角三角形，
∴，
故当，即， 解得：，
当时，，，，不是直角三角形，
当时，，，，是直角三角形，
∴，
当，即， 解得：，
∵在直线上，故舍去．
∴Q点坐标为：或．
【点睛】此题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式，等腰直角三角形的性质，熟练掌握方程的思想方法及分类讨论思想是解本题的关键
平均数
中位数
众数
方差
8.5
83
81
0.15
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中位数
众数
方差
8.5
8.3
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