八年级第一学期期末数学试卷 (31)

这是一份八年级第一学期期末数学试卷 (31)，共25页。
1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。
3．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案写在答题卡上，答在试卷上的答案无效．
一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可．
【详解】解：A，中被开方数含有分母，，故不是最简二次根式，此选项不符合题意；
B，中被开方数是小数，，故不是最简二次根式，此选项不符合题意；
C，中被开方数含能开得尽方的因数，，故不是最简二次根式，此选项不符合题意；
D，是最简二次根式，此选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题关键．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2. 在中a，b，c分别是，，的对边，下列条件中，不能判断 是直角三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别根据勾股定理的逆定理判断A，B，最后根据三角形内角和定理判断C，D即可．
【详解】解：A．设，，，则，，，
可知，
所以这个三角形是直角三角形，故A不符合题意；
B．设，，，则，，，
得，
则这个三角形不是直角三角形，故B符合题意；
C．设，则，，
得，
解得，
可知，，，
则这个三角形是直角三角形，故C不符合题意；
D．根据题意可知，且，
则，
则这个三角形是直角三角形，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的判断，理解勾股定理逆定理是解题的关键．
3. 某校规定八年级学生的体育期末综合成绩由平时成绩和期末测试成绩两部分组成，并按照的比例确定体育期末综合成绩．若小佳的平时成绩为90分，期末测试成绩为85分，则小佳的体育期末综合成绩为（ ）
A. 85 分B. 86分C. 87分D. 90分
【答案】C
【解析】
【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，进行计算即可．
【详解】解：根据题意得：
小佳体育期末综合成绩为：（分），
故选：C．
【点睛】本题考查了求加权平均数，熟练掌握求加权平均数的公式是解题的关键．
4. 一次函数的图象向下平移3个单位长度后，恰好经过点，则b的值为（ ）
A. 4B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】先将原函数图像向下平移3个单位得到关系式，再将点A的坐标代入，即可得出答案．
【详解】一次函数的图像向下平移3个单位长度得到的关系式为．
∵平移后的图像经过点，
∴，
解得．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数的平移，理解图像上点的坐标与关系式的关系是解题的关键．
5. 若，则化简的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的性质，求一个数的立方根，化简即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，求一个数的立方根，熟练掌握以上知识是解题的关键．
6. 如图，在中，，，，以边为直径作一个半圆，则半圆(阴影部分)的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用勾股定理求出，再求出半圆面积即可．
【详解】解：，，，
，
∴阴影部分的面积．
故选：B．
【点睛】本题考查扇形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是利用勾股定理求出的长．
7. 一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数的图象判断k，b，进而判断一次函数的图象的位置即可．
【详解】解：∵一次函数图像经过第一，二，四象限，
∴，，
∴，，
∴一次函数经过第一，三，四象限，
所以C符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数图像的性质，理解一次函数关系式的系数与图像的位置的关系是解题的关键．
8. 如图，在中，对角线相交于点O，，，，则的长为（ ）

A. B. 6C. 7D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出，再根据平行四边形的性质求出，再利用勾股定理求出，则．
【详解】解：，，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
故选A．
【点睛】本题考查勾股定理和平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．
9. 有一块直角三角形空地，政府为了加强生态文明建设，计划把这块空地规划成绿化带，已知，，，，若每平方米绿化带的费用为200元，则整块空地规划成绿化带共需费用（ ）
A. 17 000元B. 17 500元C. 34000元D. 36000元
【答案】A
【解析】
【分析】先求解，，再求解三角形的面积，结合每平方米绿化带的费用为200元，进而求出费用进而作答．
【详解】解：如图，∵，，，

∴，
∴，
∴，
∵每平方米绿化带的费用为200元，
∴整块空地规划成绿化带共需费用：（元），
故选：A．
【点睛】本题考查含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，熟记勾股定理的含义是解本题的关键．
10. 如图1，在菱形中，，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿的路径，以的速度匀速运动至点停止．在此过程中，的面积随运动时间变化的函数图象如图2所示，则当时，的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设菱形的边长为，过点作于，根据图象可求出，再根据菱形的性质求出，当时，点到达边的中点，然后根据分割法求的值．
【详解】解：设菱形的边长为，过点作于，如图，
，
则，
，
，
，，
由图可知，当点在点时，的面积最大，
此时，
解得：或（舍去），
，，
当点到达点时，，
，
，
点的速度为，
当时，点到达边的中点，如图所示：
，
则，
在菱形中，，
，，
是等边三角形，
，，
故选：B．
【点睛】本题考查的是动点函数图象问题、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点，弄清楚不同时段，图象和图形的对应关系，是解题的关键．
二、填空题(每小题3分，共15分)
11. 若有意义，则的取值范围为_______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件进行计算即可．
【详解】解：根据题意得：且，
解得：，
的取值范围为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为零，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零，是解题的关键．
12. 请写出一个过点和点且函数值满足的一次函数解析式：__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可知所求的一次函数中，函数值随自变量的增大而减小，即所得函数中，自变量的系数为负，据此作答即可．
【详解】一次函数过点和点，
∵，且，
∴一次函数的函数值随自变量的增大而减小，
∴一次函数中，自变量的系数为负，
故答案：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，判断出一次函数的函数值随自变量的增大而减小，是解答本题的关键．
13. 某学校开展“齐诵满江红，传承报国志”诵读比赛，八年级准备从小乐和小涵两位同学中选拔一位同学参加决赛，如图是小乐和小涵两位同学参加5次选拔赛的测试成绩(满分为100分)折线统计图，若选择一位成绩优异且稳定的同学参赛，推选参加决赛的同学是_______（填“小乐”或“小涵”）．
【答案】小涵
【解析】
【分析】分别计算出小乐和小涵成绩的平均成绩和方差，再根据平均成绩和方差确定成绩优异且稳定的同学参赛即可．
【详解】解：根据题意得：
，
，
，
，
，
小涵的成绩优异且稳定，
推选参加决赛的同学是小涵，
故答案为：小涵．
【点睛】本题考查了算术平均数和方差，熟练掌握算术平均数和方差的计算公式和意义是解题的关键．
14. 如图，正方形的边长为，对角线，交于点，正方形从初始位置边与重合时，绕点顺时针旋转，边，分别与正方形的边，交于点，点，不与正方形的顶点重合．有下列三个结论：①；② 与的面积和是；③四边形 周长的最小值为．以上结论正确的为________(填序号)．

【答案】①②③
【解析】
【分析】由正方形性质可证得)，得出，，故①正确；再根据全等三角形性质可得，即可判断②正确；由四边形周长可得当且仅当，旋转角时，的值最小，即四边形周长最小，即可判断③正确．
【详解】解：四边形、四边形是正方形，
，，，
，
，
)，
，，故①正确；
，
，故②正确；
四边形周长，
当且仅当，旋转角时，的值最小，即四边形周长最小，
此时，，
四边形周长的最小值，故③正确；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离垂线段最短等，熟练掌握以上知识是解题的关键，
15. 如图，在中，以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别与边交于点分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若点为射线上一动点，连接，直线交边于点，取线段的中点，连接，若，，，则边的长为________．
【答案】13或7
【解析】
【分析】分两种情况：当点在线段上时，延长交的延长线于点，由作图可得：平分，由角平分线的定义和平行线的性质可得，从而得到，由直角三角形的性质可得，由平分，，可得，从而得到，设，则，，，得到方程，解方程即可得到答案；当点在的延长线上时，延长交的延长线于点，同理进行计算即可得到答案．
【详解】解：当点在线段上时，如图，延长交的延长线于点，
，
由作图可得：平分，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，，
，
，
，点为的中点，，
，
平分，，
，
，
，
，
设，则，，，
，
解得：，
，
当点在的延长线上时，如图，延长交的延长线于点，
，
同理可得：，，，，
设，则，，，
，
解得：，
，
综上所述：则边的长为：13或7，
故答案为：13或7．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的性质、角平分线的定义、尺规作图—作角平分线，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】（1）利用二次根数的性质和混合运算法则，即可计算求值；
（2）利用二次根数的性质和混合运算法则，再结合完全平方公式和平方差公式，即可计算求值．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的额混合运算，完全平方公式和平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
17. 2023年4月15日是第8个全民国家安全教育日，为普及国家安全知识，某校开展了“树立防范意识，维护国家安全”的国安知识学习活动，并从七、八年级中各随机抽取20名学生进行测试(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析下面给出了部分信息：
a．八年级20名学生测试成绩的频数分布表：
b．八年级测试成绩在这一组的数据如下(单位：分)：
81 82 85 86 88 88 89 90
c．七、八年级测试成绩的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的_ _， _ ；
（2）若小红同学的成绩为84分，在她所属的年级排前10名，根据表中数据判断小红同学是__ 年级的学生（填“七”或“八”）；
（3）请对该校七、八年级学生掌握国家安全知识的情况进行合理的评价．
【答案】（1）5， 85.5
（2）七 （3）见解析
【解析】
【分析】（1）由频数分布表进行计算即可得出的值，八年级测试成绩中第10个、第11个数为85和86，由此进行计算可得出的值；
（2）根据七年级成绩的中位数是83，八年级成绩的中位数是85.5，结合小红同学的成绩为84分，在她所属的年级排前10名，即可得到答案；
（3）根据中位数对该校七、八年级学生掌握国家安全知识的情况进行合理的评价即可．
【小问1详解】
解：根据题意得：，
八年级测试成绩中第10个、第11个数为85和86，
中位数，
故答案为：5， 85.5
【小问2详解】
解：七年级成绩的中位数是83，八年级成绩的中位数是85.5，
若小红同学的成绩为84分，在她所属的年级排前10名，则小红同学是七年级的学生，
故答案为：七；
【小问3详解】
解：由题意得：
因为八年级的中位数高于七年级的中位数，所以八年级学生掌握国家安全知识的情况比七年级学生要好．
【点睛】本题主要考查了中位数、频数分布表，熟练掌握中位数的定义及意义是解题的关键，考查了学生处理及应用数据的能力．
18. 如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点O，点在直线上，若 ，则．在①；②；③这三个条件中，请选择一个合适的条件补充在上面横线上(选择一个即可)，使结论成立并给出证明过程．
【答案】选①或选③
【解析】
【分析】若选①，根据平行四边形性质可得，从而判定四边形是平行四边形得到结论；若选③，同样可证判定四边形是平行四边形得到结论．
【详解】解：若选①，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
，
又，
∴四边形是平行四边形，
；
若选③，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
，
，
∴四边形是平行四边形，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
19. 已知一次函数分别与轴、轴交于点，点在直线上，其纵坐标为5．

（1）填空：点的坐标为______，点的坐标为______；
（2）在轴上找一点，连接，使的值最小，并求出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求出的面积．
【答案】（1），
（2）图见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）在一次函数中，令，得即可求得点坐标，令，求得，即可得出点的坐标；
（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，由轴对称的性质可得：，则，即当在一条直线上时最小，用待定系数法求出直线的解析式即可得到答案；
（3）由进行计算即可得到答案．
【小问1详解】
解：一次函数与轴交于点，
当时，，
，
点在直线上，其纵坐标为5，
当时，，
解得：，
，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
，
由轴对称的性质可得：，
，即当一条直线上时最小，
，
，
设直线的解析式为，
将，代入直线的解析式得：，
解得：，
直线的解析式为：，
令，此时，
解得：，
【小问3详解】
解：，，，，
，
．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数的应用—几何问题、轴对称的性质、最短路径问题、三角形面积的计算，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解题的关键．
20. 在矩形中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点．

（1）求的长；
（2）在上求作一点，使平分 (不写作法，保留作图痕迹)，并求的长．
【答案】（1）2 （2）图见解析；
【解析】
【分析】（1）由矩形的性质可得，，由以点为圆心，长为半径画弧，交于点，可得，由勾股定理可得，即可得到答案；
（2）以点为圆心，任意长为半径画弧交于两点，再以这两点为圆心，相同的长度为半径画弧，相交于一点，连接点与这一点，交于，即为所作，通过证明得到，设，则，在中，由勾股定理可得：，即，进行计算即可．
【小问1详解】
解：四边形是矩形，，
，，
以点为圆心，长为半径画弧，交于点，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图，即为所作，
，
连接，
平分，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
四边形是矩形，，
，，
在中，由勾股定理可得：，即，
解得：，
．
【点睛】本题考查了作图—作角平分线、矩形的性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
21. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E是的中点，连接，过点B作交的延长线于点F，连接．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由得到．由E是的中点得到．又由，即可证明，则，得到四边形是平行四边形．由菱形的性质得到，即可证明四边形为矩形；
（2）由四边形是矩形得到，则，设，则，由四边形是菱形得到，，，在中，由勾股定理求出，得到，，即可得到答案．
【小问1详解】
∵，
∴．
∵E是的中点，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
∵四边形菱形，
∴．
∴．
∴四边形是矩形．
【小问2详解】
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
设，则，
∵四边形是菱形，
∴．，，
在中，，
则，
解得，
∴，，
∴菱形的面积为．
【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的判定和性质、菱形的性质是解题的关键．
22. 河南信阳毛尖是中国十大名茶之一，因其成品紧密如尖故名毛尖．某公司采购员到信阳茶叶市场购买某品牌毛尖茶，商家推出了两种购买方式：
设该公司此次购买茶叶xkg，按方式一购买茶叶的总费用为元，按方式二购买茶叶的总费用为元．
（1）请直接写出关于x的函数解析式；
（2）若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该公司此次购买茶叶的质量；
（3）若该公司此次购买茶叶的总预算为6500元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶叶？
【答案】（1），
（2）千克
（3）按照第一种方式购买可以获得更多的茶叶
【解析】
【分析】（1）由总费用等于会员卡费用加上茶叶费用可得答案；
（2）由，再建立方程即可；
（3）把代入，，再求解，再比较即可．
【小问1详解】
解：由题意可得：，
；
【小问2详解】
由题意可得：，
解得：，
答：该公司此次购买茶叶的质量为千克．
【小问3详解】
按照第一种方式购买茶叶：，解得；
按照第二种方式购买茶叶：，解得．
∵，
∴按照第一种方式购买可以获得更多的茶叶．
【点睛】本题考查的是列函数关系式，一元一次方程的应用，理解题意，确定函数关系式与相等关系建立方程是解本题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边，分别在x轴、y轴上，点C的坐标为，在平面内移动一个以点G为直角顶点的三角板(两直角边足够长)，设三角板两直角边，分别与轴、y轴交于点P，Q．

（1）观察猜想
如图1，当点G与点C重合时，与的数量关系是_ ，与的关系是_ ；
（2）思考探究
如图2，当点G在对角线上移动时，(1)中的与的数量关系是否仍然成立？若成立，请结合图2给予证明；若不成立，请写出正确结论；
（3）拓展应用
如图3，若三角板的直角顶点G在直线上移动，且直角边始终经过点A，当时，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1），
（2）成立，理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）证明，得，，即可得出结论；
（2）过点G作于点M，于点N，证明，即可得出结论．
（3）分两种情况：①当点Q在y轴的负半轴上时，当点Q在y轴的正半轴上时，分别求解即可．
【小问1详解】
解：∵正方形，
∴，，
∵，点G与点C重合，
∴，
∴，
∴
∴，
即；
∵，
∴，
即．
【小问2详解】
解：成立．过点G作于点M，于点N，如图，

∵是正方形的对角线，
∴平分，
∵于点M，于点N，
∴，
∵，
∴，
又∵，
，
；
【小问3详解】
解：∵正方形，点C的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
分两种情况：①当点Q在y轴的负半轴上时，过点G作于点M，于点N，如图，

∴，
由（2）同理可得，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
由（2）同理可得，
∴，
∴，
∵点Q在y轴的负半轴
∴；
②当点Q在y轴的正半轴上时，过点G作于点M，于点N，如图，

∴，
同理，
∴，
同理，
∴，
∵点Q在y轴的正半轴上，
∴，
综上，当时，点Q的坐标为或．
【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，点的坐标，熟练掌握正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质是解题的关键．成绩（分）
频数
2
5
8
平均数
中位数
众数
七年级
85
83
82
八年级
83
80
会员卡费用(元/张)
茶叶价格(元/kg)
方式一：金卡会员
500
1600
方式二：银卡会员
200
1800