专题12 概率统计（15区新题速递）（教师卷）- 2024年高考数学一模试题分类汇编（上海专用）

这是一份专题12 概率统计（15区新题速递）（教师卷）- 2024年高考数学一模试题分类汇编（上海专用），共17页。试卷主要包含了统计，概率，随机变量及其分布等内容，欢迎下载使用。

一、统计
1．（2024·上海嘉定·统考一模）两位跳水运动员甲和乙，某次比赛中的得分如下表所示，则正确的选项为（ ）
A．甲和乙的中位数相等，甲的平均分小于乙
B．甲的平均分大于乙，甲的方差大于乙
C．甲的平均分大于乙，甲的方差等于乙
D．甲的平均分大于乙，甲的方差小于乙
【答案】B
【分析】计算出两者的中位数，平均分和方差，比较后得到结论.
【详解】甲的比赛得分从小到大排序为，
选择第三个数作为中位数，
甲的平均分为，
甲的方差为，
乙的比赛得分从小到大排序为，
选择第三个数作为中位数，
乙的平均分为，
乙的方差为，
甲和乙的中位数相等，因为，故甲的平均分大于乙的平均数，
因为，所以甲的方差大于乙的方差.
故选：B
2．（2024·上海普陀·统考一模）已知一组数据3、1、5、3、2，现加入，两数对该组数据进行处理，若经过处理后的这组数据的极差为，则经过处理后的这组数据与之前的那组数据相比，一定会变大的数字特征是（ ）
A．平均数B．方差C．众数D．中位数
【答案】B
【分析】根据平均数、方差、众数和中位数的概念，并通过举反例即可判断.
【详解】对A，将原数据从小到大进行排序得1,2,3,3,5；其平均数为，众数为3，中位数为3，
若加入的数据为，则平均数，众数为3，中位数为3，平均数、众数和中位数均不变，故ACD错误；
对B，因为加入，两数后，极差变为，则数据波动程度变大，则方差一定变大，故B正确.
故选：B.
3．（2024·上海闵行·统考一模）某校读书节期间，共120名同学获奖（分金、银、铜三个等级），从中随机抽取24名同学参加交流会，若按高一、高二、高三分层随机抽样，则高一年级需抽取6人；若按获奖等级分层随机抽样，则金奖获得者需抽取4人．下列说法正确的是（ ）
A．高二和高三年级获奖同学共80人B．获奖同学中金奖所占比例一定最低
C．获奖同学中金奖所占比例可能最高D．获金奖的同学可能都在高一年级
【答案】D
【分析】直接根据分层抽样的比例关系计算得到答案.
【详解】对选项A：高二和高三年级获奖同学共，错误；
对选项B：不能确定银奖和铜奖的人数，错误；
对选项C：金奖人数为，银奖和铜奖的人数和为人，
故获奖同学中金奖所占比例不可能最高，错误；
对选项D：高一年级人数为，金奖人数为，故获金奖的同学可能都在高一年级，
正确；
故选：D
4．（2024·上海宝山·统考一模）下列说法中错误的是（ ）
A．一组数据的平均数、中位数可能相同
B．一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数一样多
C．平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量
D．极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量
【答案】B
【分析】A选项，可举出实例；B选项，可举出反例；CD选项，根据平均数、众数和中位数，极差、方差、标准差的定义进行判断.
【详解】A选项，例如，这组数据的平均数、中位数相同，均为2，A正确；
B选项，例如，中位数为2，这组数据中比中位数大的数只有1个，比中位数小的数有2个，两者不一样多，B错误；
C选项，平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量，C正确；
D选项，极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量，D正确.
故选：B
5．（2024上·上海虹口·高三统考期末）空气质量指数是反映空气质量状况的指数，其对应关系如下表：
为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在工厂附近某处测得10月1日—20日的数据并绘成折线图如下：
下列叙述正确的是（ ）
A．这20天中的中位数略大于150
B．10月4日到10月11日，空气质量越来越好
C．这20天中的空气质量为优的天数占25%
D．10月上旬的极差大于中旬的极差
【答案】C
【分析】利用折线图中数据信息以及变换趋势，对选项一一分析判断即可.
【详解】对于A，由折线图知100以上有10个，100以下有10个，中位数是100两边最近的两个数的均值，观察这两个数，比100大的数离100远点，因此两者均值大于100但小于150，故A错误；
对于B，由折线图知10月4日到10月11日，越来越大，则空气质量越来越差，故B错误；
对于C，由折线图知小于50的有5天，则20天中的空气质量为优的天数占25%，故C正确；
对于D，由折线图知10月上旬的最小值与中旬的最小值差不多，但10月上旬的最大值比中旬的最大值小的多，则10月上旬的极差小于中旬的极差，故D错误；
故选：C.
6．（2024上·上海松江·高三统考期末）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）．则下列说法正确的是 （ ）
A．甲队数据的中位数大于乙队数据的中位数；
B．甲队数据的平均值小于乙队数据的平均值；
C．甲队数据的标准差大于乙队数据的标准差；
D．乙队数据的第75百分位数为27．
【答案】D
【分析】根据中位数、平均数、方程、百分位数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，甲队的中位数是，乙队的中位数是，
两者相等，所以A选项错误.
B选项，甲队的平均数为，
乙队的平均数为，
两者相等，所以B选项错误.
C选项，甲队的标准差为：
，
乙队的标准差为：
，
所以甲队数据的标准差小于乙队数据的标准差，所以C选项错误.
D选项，乙队的数据为，，
所以乙队数据的第75百分位数为，D选项正确.
故选：D
7．（2024上·上海黄浦·高三统考期中）某校共有400名学生参加了趣味知识竞赛（满分：150分），且每位学生的竞赛成绩均不低于90分．将这400名学生的竞赛成绩分组如下：，得到的频率分布直方图如图所示，则这400名学生中竞赛成绩不低于120分的人数为 ．
【答案】
【分析】由频率分布直方图的面积和为求出，再计算出结果即可.
【详解】由频率分布直方图可知，解得，
这400名学生中竞赛成绩不低于120分的人数为，
故答案为：
8．（2024·上海崇明·统考一模）如图是小王同学在篮球赛中得分记录的茎叶图，则他平均每场得 分．

【答案】
【分析】根据平均数的求法求得平均数.
【详解】平均数为.
故答案为：
9．（2024上·上海黄浦·高三统考期中）某城市30天的空气质量指数如下：29，26，28，29，38，29，26，26，40，31，35，44，33，28，80，86，65，53，70，34，36，，31，38，63，60，56，34，74，34．则这组数据的第75百分位数为 ．
【答案】56
【分析】把给定数据按由小到大的顺序排列，再根据第p百分位数的定义求解即得.
【详解】显然，30个数据由小到大排列为：
26，26，26，28，28，29，29，29，31，31，33，34，34，34，35，36，38，38，40，
44，，53，56，60，63，65，70，74，80，86，
或者26，26，26，28，28，29，29，29，31，31，33，34，34，34，35，36，38，38，
40，，44，53，56，60，63，65，70，74，80，86，
由，得这组数据的第75百分位数为上述排列后的从小到大的第23个数56.
故答案为：56
10．（2024·上海青浦·统考一模）某家大型超市统计了八次节假日的客流量（单位：百人）分别为29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的第百分位数为 ．
【答案】
【分析】根据第75百分位数的定义计算可得答案.
【详解】将这8个数据按从小到大排列为：25，29，30，32，37，38，40，42，
因为，所以第75百分位数为.
故答案为：39.
11．（2024·上海徐汇·统考一模）某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为，若该校的学生总人数为1000，则成绩低于60分的学生人数为 ．
【答案】
【分析】先利用频率分布直方图求得成绩低于60分的频率，进而求得该校成绩低于60分的学生人数.
【详解】图中成绩低于60分的频率为，
则该校成绩低于60分的学生人数为（人）
故答案为：
12．（2024·上海奉贤·统考一模）某连锁便利店从年到年销售商品品种为种，从年开始，该便利店进行了全面升级，销售商品品种为种.下表中列出了从年到年的利润额.
(1)若某年的利润额超过万元，则该便利店当年会被评选为示范店；若利润额不超过万元，则该便利店当年不会被评选为示范店.试完成列联表，并判断商品品种数量与便利店是否为示范店有关？（显著性水平，）
(2)请根据年至年（剔除年的数据）的数据建立与的线性回归模型①；根据年至年的数据建立与的线性回归模型②.分别用这两个模型，预测年该便利店的利润额并说明这样的预测值是否可靠？（回归系数精确到，利润精确到万元）
回归系数与的公式如下：
【答案】(1)列联表见解析，商品品种的提升与该便利店是否是示范店有关.
(2)答案见解析
【分析】（1）列出列联表后计算出后，与比较大小即可得；
（2）分别计算出线性回归模型后，结合所得数据进行判断即可得.
【详解】（1）列联表为
，
可以判断商品品种的提升与该便利店是否是示范店有关.
（2）线性回归模型①：
，
，
则，
则，
故，
当时，预测值为；
线性回归模型②：
，
，
则，
，
故，
当时，预测值为.
模型①的预测不可靠，根据（1）可以知道商品品种与便利店的品质有关，影响了利润额，
因此按照经济发展规律，应该用比较新的数据即品种为3000种的数据进行预测；
模型②的预测不可靠，2022年可能因为受疫情影响或者其它不可因素，
其利润额60.5为异常数据，应该剔除.
二、概率
13．（2024上·上海浦东新·高三统考期末）在100件产品中有90件一等品、10件二等品，从中随机抽取3件产品，则恰好含1件二等品的概率为 （结果精确到0.01）．
【答案】0.25
【分析】由题意先求出事件总数，再求出恰好有一件二等品的事件，结合古典概型的概率公式计算即可求解.
【详解】从这批产品中抽取3件，则事件总数为，
其中恰好有一件二等品的事件有，
所以恰好有一件二等品的概率为.
故答案为：0.25
14．（2024·上海金山·统考一模）从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数，则所抽到的两个数的和大于6的概率为 （结果用数值表示）．
【答案】/0.4
【分析】求出所有的基本事件个数以及符合题意的基本事件个数，利用古典概型求概率即可.
【详解】根据题意，从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数共有，
所抽到两个数的和大于6共有，，，共4种，
所以所抽到的两个数的和大于6的概率为.
故答案为：
15．（2024·上海青浦·统考一模）2023年10月25日至11月12日，青浦曲水园推出以“曲水流觞·花趣水乡”为主题的菊花展．花展结束后，园方挑选数百盆菊花免费赠送给市民．其中有红色、黄色、橙色菊花各盆，分别赠送给甲、乙、丙三人，每人盆，则甲没有拿到橙色菊花的概率是 ．
【答案】
【分析】根据题意甲、乙、丙三人拿到橙色菊花概率相等，都为，进而求出甲没有拿到橙色菊花的概率.
【详解】设事件甲拿到橙色菊花，
根据题意有红色、黄色、橙色菊花各盆，分别赠送给甲、乙、丙三人，每人盆，
甲、乙、丙三人拿到橙色菊花概率相等，都为，
所以，则甲没有拿到橙色菊花的概率.
故答案为：
16．（2024·上海崇明·统考一模）已知事件与事件相互独立，如果，，则 ．
【答案】/
【分析】根据独立事件和对立事件的概率公式计算可得答案
【详解】由事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立，
又，，
则
故答案为：．
17．（2024·上海杨浦·统考一模）甲和乙两射手射击同一目标，命中的概率分别为0.7和0.8，两人各射击一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中目标的概率为 .
【答案】/
【分析】利用独立事件的乘法公式分别求出“仅有一人命中目标”的概率和“两人同时命中目标”的概率，即可得出结果.
【详解】根据题意可知“至少一人命中目标”包括“仅有一人命中目标”和“两人同时命中目标”两个基本事件；
可得“仅有一人命中目标”的概率为；
“两人同时命中目标”的概率为；
所以至少一人命中目标的概率为.
故答案为：
18．（2024上·上海浦东新·高三统考期末）已知事件与事件互斥，且，，则 ．
【答案】/
【分析】根据互斥事件的概率加法公式，即可求解.
【详解】因为随机事件与互斥，且，，
所以.
故答案：.
19．（2024上·上海松江·高三统考期末）有名同学报名参加暑期区科技馆志愿者活动，共服务两天，每天需要两人参加活动，则恰有人连续参加两天志愿者活动的概率为 ．
【答案】
【分析】由分布乘法计数原理的知识结合古典概型的概率公式可解.
【详解】每天从5名同学中抽取2名参加志愿者活动，一共有种方式，
恰有一人连续参加两天志愿者活动有种方式，
由古典概型的概率公式可得恰有1人连续参加两天志愿者活动的概率为，
故答案为：.
20．（2024·上海嘉定·统考一模）已知11个大小相同的球，其中3个是红球，3个是黑球，5个是白球，从中随机取出4个形成一组，其中三种颜色都有的概率为 ．
【答案】
【分析】4个球有三个颜色，肯定有两个球同色，按同色的球的颜色分情况讨论，再结合古典概型概率的计算公式可求答案.
【详解】从11个球中随机取出4个球的取法有：.
又4个球有三种颜色，所以必定有且只有两个球同色.
若同色的两个球为红色，满足条件的取法有：；
若同色的两个球为黑色，满足条件的取法有：；
若同色的两个球为白色，满足条件的取法有：.
∴取出的4个球中三种颜色都有的概率为：
故答案为：
21．（2024·上海闵行·统考一模）2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，杭州亚运会的志愿者被称为“小青荷”．某运动场馆内共有小青荷36名，其中男生12名，女生24名，这些小青荷中会说日语和会说韩语的人数统计如下：
其中m、n均为正整数，．
(1)从这36名小青荷中随机抽取两名作为某活动主持人，求抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的概率；
(2)从这些小青荷中随机抽取一名去接待外宾，用A表示事件“抽到的小青荷是男生”，用B表示事件“抽到的小青荷会说韩语”．试给出一组m、n的值，使得事件A与B相互独立，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，或，或，，均符合题意.理由见解析
【分析】（1）求出从这36名小青荷中随机抽取两名作为某活动主持人，共有几种抽法，再求出抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的抽法，根据古典概型的概率公式即可求得答案；
（2）分别求出事件的概率的值或表达式，根据独立事件的乘法公式列式计算，即可求得答案.
【详解】（1）从这36名小青荷中随机抽取两名作为某活动主持人，共有种抽法，
抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的抽法有种，
故抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的概率为；
（2）由题意得，，，
要使得事件A与B相互独立，则需满足,
即，即，
由于，故时，；时，；
时，，均符合题意，取其中一组即可.
22．（2024·上海宝山·统考一模）一个盒子中装有张卡片，卡片上分别写有数字、、、．现从盒子中随机抽取卡片．
(1)若一次抽取张卡片，事件表示“张卡片上数字之和大于”，求；
(2)若第一次抽取张卡片，放回后再抽取张卡片，事件表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求；
(3)若一次抽取张卡片，事件表示“张卡片上数字之和是的倍数”，事件表示“张卡片上数字之积是的倍数”.验证、是独立的．
【答案】(1)
(2)
(3)事件与事件是独立
【分析】（1）利用古典概型的概率求解；
（2）利用古典概型的概率求解；
（3）利用古典概型的概率分别求得，，判断.
【详解】（1）解：若一次抽取张卡片，共包含、、、共个基本事件.
其中事件包含个基本事件
所以；
（2）若第一次抽取张卡片，放回后再抽取张卡片，共包含个基本事件，
其中事件包含3个基本事件
所以
（3）一次抽取张卡片,共包含个基本事件，
事件，
所以
事件，所以
当同时发生，即张卡片上数字之和是的倍数同时积是的倍数，只有一种取法，
所以
因为，
所以事件与事件是独立的．
23．（2024·上海长宁·统考一模）已知等差数列的前项和为，公差.
(1)若，求的通项公式；
(2)从集合中任取3个元素，记这3个元素能成等差数列为事件，求事件发生的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用等差数列的求和公式，列出方程，求得，进而求得数列的通项公式；
（2）根据题意，得到所有的不同取法有20种，再利用列举法求得事件中所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.
【详解】（1）解：由等差数列的前项和为，公差，
因为，可得，解得，
所以，即数列的通项公式为.
（2）解：由题意，从集合中任取3个元素，共有种不同的取法，
其中这3个元素能成等差数列有
，有6种不同的取法，
所以事件的概率为.
三、随机变量及其分布
24．（2024·上海长宁·统考一模）“”是“事件A与事件互相独立”（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据事件互斥，对立，独立的关系得出即可.
【详解】因为对于任意两个事件，如果，则事件与事件相互独立，若事件与事件相互独立，则事件A与事件也互相独立，所以充分性成立；
若事件A与事件互相独立，则事件与事件也相互独立，则成立，所以必要性成立；
故选：C
25．（2024·上海嘉定·统考一模）已知事件A和B独立，，则 ．
【答案】
【分析】根据独立事件的概率计算公式直接求解出结果.
【详解】因为事件互相独立，
所以，
故答案为：.
26．（2024·上海奉贤·统考一模）某公司生产的糖果每包标识质量是，但公司承认实际质量存在误差．已知糖果的实际质量服从的正态分布．若随意买一包糖果，假设质量误差超过克的可能性为，则的值为 ． （用含的代数式表达）
【答案】
【分析】根据正态分布的性质直接求解即可.
【详解】由题知，，
则
.
故答案为：
第一跳
第二跳
第三跳
第四跳
第五跳
甲
85.5
96
86.4
75.9
94.4
乙
79.5
80
95.7
94.05
86.4
指数值
0~50
51~100
101~150
151~200
201~300
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
年份
利润额
/万元
品种为种
品种为种
总计
被评为示范店次数
未被评为示范店次数
总计
品种为种
品种为种
总计
被评为示范店次数
未被评为示范店次数
总计
男生小青荷
女生小青荷
会说日语
8
12
会说韩语
m
n