还剩30页未读，
继续阅读
所属成套资源：2024年上海高三一模分类汇编
成套系列资料，整套一键下载
- 专题02 等式与不等式（15区真题速递）（教师卷）- 2024年高考数学一模试题分类汇编（上海专用） 试卷 3 次下载
- 专题03 函数（三大类型题）15区新题速递（学生卷）- 2024年高考数学一模试题分类汇编（上海专用） 试卷 3 次下载
- 专题04 三角函数与解三角形（三大类型题）精选15区真题（学生卷）- 2024年高考数学一模试题分类汇编（上海专用） 试卷 3 次下载
- 专题04 三角函数与解三角形（三大类型题）精选15区真题（教师卷）- 2024年高考数学一模试题分类汇编（上海专用） 试卷 4 次下载
- 专题05 数列（四大类型题）15区新题速递（学生卷）- 2024年高考数学一模试题分类汇编（上海专用） 试卷 3 次下载
专题03 函数（三大类型题）15区新题速递（教师卷）- 2024年高考数学一模试题分类汇编（上海专用）
展开
这是一份专题03 函数（三大类型题）15区新题速递（教师卷）- 2024年高考数学一模试题分类汇编（上海专用），共33页。试卷主要包含了函数及其性质，17题，指对数函数，8题，函数的应用，6题等内容，欢迎下载使用。
一、函数及其性质，17题
1．（2024·上海杨浦·统考一模）函数满足：对于任意都有，（常数，）.给出以下两个命题：①无论取何值，函数不是上的严格增函数；②当时，存在无穷多个开区间，使得，且集合对任意正整数都成立，则（ ）
A．①②都正确B．①正确②不正确C．①不正确②正确D．①②都不正确
【答案】A
【分析】对于①，由题得，然后反证法推出矛盾即可；对于②令，然后根据分别得出，判断为正确.
【详解】对于①：由题得，若函数是上的严格增函数，因为，，则当时，，当时，，均与矛盾，所以无论取何值，函数不是上的严格增函数，故①正确；
对于②：因为对于任意都有，令，当时，，且，
当时，，且，
当时，，且
，
以此类推，故当时，存在无穷多个开区间，使得，且集合对任意正整数都成立，故②正确，
故选：A.
2．（2024·上海奉贤·统考一模）函数在定义域上是（ ）
A．严格增的奇函数B．严格增的偶函数
C．严格减的奇函数D．严格减的偶函数
【答案】A
【分析】根据题意，分别判断函数奇偶性以及单调性，即可得到结果.
【详解】令，任取，
则，
因为是上的严格增函数，所以，
则，所以，
则函数是上的严格增函数；
又，即函数为奇函数，
所以函数在定义域上是严格增的奇函数.
故选：A
3．（2024·上海崇明·统考一模）若存在实数，对任意实数，使得不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】不等式等价于，原命题等价于存在实数，，对任意实数不等式恒成立，等价于存在实数，，不等式成立，分别讨论，，，的情况，先求出，再求出即可解决问题.
【详解】不等式等价于即，
原命题等价于存在实数，，对任意实数不等式恒成立，
等价于存在实数，，不等式成立，
记，则，
（1）当时，对任意，恒成立，即在上单调递减
①当，即时，，
②当，即时，，
从而当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以；
（2）当时，令，解得，
在区间上单调递增，在上单调递减，
，，，
①当时，此时，
当即时，，
当即时，，
从而当时，，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增,
所以；
令，则，，记，
则，
当时，恒成立，
即在区间上单调递减，即，
即；
②当时，此时，
当即时，，
当即时，，
从而当时，，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以；
（3）当时，对任意，恒成立，即在上单调递增，
①当，即时，，
②当，即时，，
从而当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以；
综上所述，，
所以.
故选：A
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
4．（2024·上海金山·统考一模）若函数 的图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据题意，求得的图形过点，得到的图象过点，结合，，联立方程组，求得的值，得出，再根据题意，得到必为函数的一个零点，结合，求得的值，即可求解.
【详解】由函数，
则函数的图形过点，
因为函数的图象关于对称，则函数的图象过点，
可得，且，可得，
又由，且，可得，
联立方程组，解得，
所以，
因为函数图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点，
则必为函数的一个零点，即，
可得，解得，
所以.
故答案为：.
5．（2024·上海长宁·统考一模）设，记函数在区间上的最大值为，若对任意，都有，则实数的最大值为 .
【答案】
【分析】根据在内单调递增，分析可知或，整理得关于的不等式或的解集为，可得，运算求解即可.
【详解】因为，则在内单调递增，
则在内单调递增，
又因为在区间上的最大值为，
可得或，
由题意可知：或，
则或，
整理得或，
即关于的不等式或的解集为，
可知，
整理得，则，
又因为，解得，所以的最大值为.
故答案为：．
【点睛】方法点睛：恒成立问题解题方法指导：
方法1：分离参数法求最值.
(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
(2)恒成立⇔；
恒成立⇔；
能成立⇔；
能成立⇔.
方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．
6．（2024·上海青浦·统考一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先求解出时的值域，然后根据分类讨论时的值域，由此确定出的取值范围.
【详解】当时，，此时，
当且时，，
此时，且，所以不满足；
当且时，，
由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减，
所以，此时，
若要满足的值域为，只需要，解得；
当且时，因为均在上单调递增，
所以在上单调递增，且时，，时，，
所以此时，此时显然能满足的值域为；
综上可知，的取值范围是，
故答案为：.
7．（2024·上海嘉定·统考一模）己知等差数列，公差为，则下列命题正确的是（ ）
A．函数可能是奇函数
B．若函数是偶函数，则
C．若，则函数是偶函数
D．若，则函数的图象是轴对称图形
【答案】D
【分析】利用可判断A；举反例可判断BC；求出可判断D.
【详解】对于A，若函数是奇函数，则，
可得，所以，此时，，
此时函数是偶函数，故A错误；
对于B，当时，，所以，
，函数是偶函数，
则，故B错误；
对于C，若，则，则，所以，
则，所以函数不是偶函数，故C错误；
对于D，若，则，
，所以，
所以函数的图象关于对称，是轴对称图形，故D正确.
故选：D.
8．（2024·上海徐汇·统考一模）已知函数，其中，存在实数 使得 成立，若正整数的最大值为8，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设，得到，然后分类讨论的范围，解出即可.
【详解】设，
又因为，
所以，
则，
当时，，
则，
显然存在任意正整数使得成立；
当时，，
，
要使得正整数的最大值为8，则
，解得，
当时，，
，
显然存在任意整数使得成立；
当时，，
，
要使得正整数的最大值为8，则
，解得，
综上，则实数的取值范围是.
故答案为：.
9．（2024·上海杨浦·统考一模）函数的最小值为 .
【答案】
【分析】将函数写成分段函数形式，再结合分段函数的单调性，可得最小值.
【详解】由已知，
所以当时，函数单调递减，且，
当时，函数单调递增，且，
当时，，
所以函数的最小值为，
故答案为：.
10．（2024上·上海松江·高三统考期末）若函数是定义在上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则 ．
【答案】
【分析】利用赋值法，结合累加法求解.
【详解】函数是定义在上的不恒为零的偶函数，则，
中，令，得，
则，得，
当时，由，得，
即，
∴
，
∴.
故答案为：.
11．（2024上·上海浦东新·高三统考期末）已知函数，其中．
(1)是否存在实数，使函数是奇函数？若存在，请写出证明．
(2)当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
【分析】（1）是奇函数，利用解出并检验即可．
（2）利用基本不等式求的最小值解决恒成立问题.
【详解】（1）函数定义域为R，若是奇函数，则，解得，
此时，，符合题意，
故.
（2）当时，，
由，则，当且仅当，即时等号成立，
所以，又不等式恒成立，得，
则实数的取值范围为.
12．（2024·上海杨浦·统考一模）设函数，（其中常数，），无穷数列满足：首项，.
(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)若数列是严格增数列，求证：当时，数列不是等差数列；
(3)当时，数列是否可能为公比小于0的等比数列？若可能，求出所有公比的值；若不可能，请说明理由.
【答案】(1)奇函数，理由见解析
(2)见解析
(3)存在公比为负数的无穷等比数列，其公比只能是
【分析】（1）利用奇偶性的定义即可判定；
（2）反证法，假设假设数列是等差数列，公差为，然后结合等差数列的性质推出矛盾；
（3）根据递推关系得到与的关系，讨论公比与的大小关系，然后根据等比数列的性质即可得出答案.
【详解】（1）任取，都有，
因此函数是奇函数．
（2）反证法：假设数列是等差数列，公差为，
由数列是严格增数列可知．
因为，所以，即非零常数
因为，
所以（其中是正整数）．
因为，，所以．方程无解，矛盾．
假设不成立，即当时，数列不是等差数列．
（3）若数列是等比数列，则其各项均非零，设其公比为
由 得 ，即．
考虑方程，均为该方程（记为①）的解．
由函数的值域为可知，即，
所以．若，则当充分大时（时），
，这与矛盾，从而不合题意．
若，函数在是严格增函数
由时，可知函数当时，均有，
因此函数的零点（即方程①的解）的绝对值均大于1，即．
但若，由，则当充分大时（时），
将有，这与矛盾，从而不合题意．
综上，只能有．此时方程①为，
记．因为，
所以存在，使是方程①的解．
进而由函数是奇函数，也是方程①的解．因此只需取
其中是正整数即可.
综合上述，存在公比为负数的无穷等比数列，其公比只能是．
13．（2024上·上海松江·高三统考期末）为了鼓励居民节约用气，某市对燃气收费实行阶梯计价，普通居民燃气收费标准如下：
第一档：年用气量在（含）立方米，价格为元/立方米；
第二档：年用气量在（含）立方米，价格为元/立方米；
第三档：年用气量在立方米以上，价格为元/立方米.
(1)请写出普通居民的年度燃气费用（单位：元）关于年度的燃气用量（单位：立方米）的函数解析式（用含的式子表示）；
(2)已知某户居民年部分月份用气量与缴费情况如下表，求的值.
【答案】(1)
(2)，，
【分析】（1）根据燃气收费标准求得解析式.
（2）根据表格提供数据以及函数解析式求得.
【详解】（1）依题意，函数解析式为：
（2）解法一：
由一月份数据可得：，
通过计算前5个月用量：，
前5个月燃气总费用：，
由（1）中函数解析式，计算可得：，
所以，
又9月份，10月份，12月份的燃气费均价分别为：均不同，
所以12月份为第三档，.
解法二：
1月份，5月份，9月份，10月份，12月份的燃气费均价分别为：均不同．
所以1月份为第一档，5月份为第一档和第二档，10月份与12月份不同，
则12月份为第三档，10月份与9月份不同，10月份为第二档与第三档，9月份为第二档．
从而得到，.
14．（2024·上海徐汇·统考一模）若函数的导函数是以为周期的函数，则称函数具有“性质”．
(1)试判断函数和是否具有“性质”，并说明理由；
(2)已知函数，其中具有“性质”，求函数在上的极小值点；
(3)若函数具有“性质”，且存在实数使得对任意都有成立，求证：为周期函数．
（可用结论：若函数的导函数满足，则（常数）．）
【答案】(1)不具有“性质”，具有“性质”，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据所给定义计算可得；
（2）法一：依题意可得可得对恒成立，再令、求出、的值，再利用导数求出函数的极小值点；法二：依题意可得，所以且，即可求出、的值，再利用导数求出函数的极小值点；
（3）令，则，从而得到（为常数），法一：分、、三种情况讨论；法二：分和两种情况讨论，当时，不妨令，记，推出矛盾即可得解.
【详解】（1）不具有“性质”．理由是：，，；
具有“性质”．理由是：，．
（2）法一：，则，
由可得对恒成立．
令，得 ①；令，得 ②．
得，因此，从而恒成立，
即有且．
由得，所以，当时，令可得，列表如下：
函数在的极小值点为．
法二：，
由，可得，
所以，
即，
所以，所以且，所以且且．
由得，所以，当时，令可得，列表如下：
函数在的极小值点为．
（3）令，因为具有“”性质
，
，
（为常数），
法一：
① 若，是以为周期的周期函数；
②若，由，
当时，，这与矛盾，舍去；
③若，由，
当时，，这与矛盾，舍去．
综上，．，所以是周期函数．
法二：
当时，，所以是周期函数．
当时，不妨令，记，其中表示不大于的最大整数．（同理可证），
若存在，这．
这与矛盾．
若存在，这．
这与矛盾．
若不存在，使得或，则，此时，与矛盾，故舍去．
综上，．，所以是周期函数．
【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
15．（2024上·上海虹口·高三统考期末）已知与都是定义在上的函数，若对任意，，当时，都有，则称是的一个“控制函数”．
(1)判断是否为函数的一个控制函数，并说明理由；
(2)设的导数为，，求证：关于的方程在区间上有实数解；
(3)设，函数是否存在控制函数？若存在，请求出的控制函数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)证明见解析
(3)存在，
【分析】（1）根据已知控制函数的定义，即可得出结论；
（2）设，，由其导数得出其在上的最大值为0，则，，变形化简得出，而在区间上的值域为，即可证明；
（3）由上面两问可看出控制函数可能是原函数的导数，证明，根据不等式的运算可以证明，发现控制函数可能是原函数的导数去掉常数项.
【详解】（1）对任意，则，且，
故是函数的一个控制函数；
（2）因为，则，
则，
，，
设，
在上，在上，
则在单调递减，在上单调递增，
最大值，
，，，，，
，，
则，
，即，
同理，，
，即
综上：，
，在区间上的值域为，
则在区间上有实数解.
（3），则，其中
，
，
，
，，
，则，即，
同理，
即，
则是的一个控制函数.
【点睛】关键点睛：对于函数的新定义题要理解好定义的内容，不等式运算时注意不等式的要求，变号时要多注意，一般的大题在前面的问题和后面的问题有联系，后面的问题没有思路时看看前面的问题，
16．（2024·上海长宁·统考一模）若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数的“约束函数”.已知函数是函数的“约束函数”.
(1)若，判断函数的奇偶性，并说明理由：
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若为严格减函数，，且函数的图像是连续曲线，求证：是上的严格增函数.
【答案】(1)是偶函数；理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意结合偶函数的定义分析证明；
（2）根据题意结合的单调性分析可得，，设，，可知与均为上的严格增函数，利用导数分析求解；
（3）根据题意分析可得任意，都有，利用反证法先证当时，，再明当时，，即可得结果.
【详解】（1）因为，故对任意的都有．
又因为函数是函数的“约束函数”，
则对任意，都有，
取，可得恒成立，
即对任意的成立，故是偶函数；
（2）因为是上的严格增函数，则是上的严格增函数，
设，则，
进而，
可得，，
所以，，
设，，
则与均为上的严格增函数，
因为，恒成立，
对于恒成立，
因为，，当且仅当时，等号成立，
所以，解得得，
当时，恒成立，
所以实数的取值范围为.
（3）设，因为是严格减函数，所以，即，
而，所以，
所以对任意，都有，
①首先证明：当时，，
假设存在，且，
设，则，，
所以存在，使得，
得，与结论对任意，矛盾，
所以不存在，使得，
同理可得：也不存在，使得，
所以当时，.
②再证明：当时，，
假设存在，使得，则，
设，则，，
所以存在，使得，
得，与结论对任意，矛盾，
所以假设不成立，即对任意，都有
所以是上的严格增函数.
【点睛】关键点睛：“新定义”题型的关键是根据新定义的概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解，（3）中也结合反证法分析求解.
17．（2024·上海金山·统考一模）设函数的定义域为，给定区间，若存在，使得，则称函数为区间上的“均值函数”，为函数的“均值点”．
(1)试判断函数是否为区间上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；如果不是，请说明理由；
(2)已知函数是区间上的“均值函数”，求实数的取值范围；
(3)若函数（常数）是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”．将区间任意划分成（）份，设分点的横坐标从小到大依次为，记，，．再将区间等分成（）份，设等分点的横坐标从小到大依次为，记．求使得的最小整数的值．
【答案】(1)为区间上的“均值函数”，且为其“均值点”
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，得到方程，求得，即可得到答案；
（2）设为该函数的“均值点”，则，根据题意转化为在上有解，分类讨论，结合对勾函数性质，即可求解；
（3）根据题意，得到方程，求得，得出，利用导数求得函数的单调性，得到，求得，结合，进而求得，利用指数幂的运算性质，即可求解.
【详解】（1）解：设函数是区间上的“均值函数”，且均值点为，
可得，解得或(舍).
故为区间上的“均值函数”，且为其“均值点”.
（2）解：设为该函数的“均值点”，则，
且，
即关于的方程在区间上有解，
整理得，
①当时，，方程无解.
②当时，可得.
令，则，且，
可得，
又由对勾函数性质，可得函数在上是严格减函数，
在上是严格减函数，在上严格增函数，
所以当时，可得，当，可得，
所以.
即实数的取值范围是.
（3）解：由函数是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”，
可得，即，
解得，所以，
则，
当时，，即在上单调递减，
所以()，
则，
又因为，
从而，，
所以，可得.，
由，即，可得，
故使得的最小整数的值为.
【点睛】方法指数总结：对于函数的新定义题型的求解策略：
（1）关于函数的新定义问题，关键是理解函数新定义的概念，根据函数的新定义的概念，挖掘其隐含条件，把新定义问题转化为函数关系或不等关系式等是解答的关键；
（2）关于函数的新定义问题，通常关联着函数的基本性质的综合应用，解答中要熟练掌握和应用函数的有关性质和一些重用的结论，同时注意合理应用数形结合、导数、均值不等式等知识点的应用，以及它们之间的逻辑关系，提升逻辑推理能力.
二、指对数函数，8题
18．（2024·上海杨浦·统考一模）等比数列的首项，公比为，数列满足（是正整数），若当且仅当时，的前项和取得最大值，则取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出的通项公式，分析出其为等差数列，然后由条件得出，代入通项公式即可求解.
【详解】
所以是以为首项，为公差的等差数列，
若当且仅当时，的前项和取得最大值，
所以
即，，
故选：C.
19．（2024·上海崇明·统考一模）若，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】ABD举反例即可判断，C结合反比例函数即可判断.
【详解】对A，若，则，但，A错误；
对B，若，则，但，B错误
对D，若，则，，D错误；
对C，结合反比例函数知其在单调递减，则，有，C正确.
故选：C
20．（2024·上海青浦·统考一模）已知，，则“”是“”的（ ）.
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】C
【分析】直接根据充分性和必要性的定义判断即可.
【详解】因为函数在上单调递增，
所以，
即“”是“”的充要条件.
故选：C.
21．（2024·上海闵行·统考一模）已知a，，，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式性质可判断A，B；举反例可判断C；根据指数函数的单调性判断D.
【详解】对于A，B，a，，，则,一定成立；
对于C，取，满足，则，
当时，，故C中不等式不一定成立；
对于D，由，由于在R上单调递增，则成立，
故选：C
22．（2024上·上海松江·高三统考期末）已知，则的最小值为
【答案】
【分析】根据对数运算求得的关系，利用基本不等式求得正确答案.
【详解】依题意，，
所以且，
所以，
当时等号成立.
故答案为：
23．（2024上·上海虹口·高三统考期末）函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据对数的真数大于0和根号下大于等于0以及分母不等于0得到不等式组，解出即可.
【详解】由题意得，解得，所以定义域为，
故答案为：.
24．（2024·上海宝山·统考一模）已知函数，正项等比数列满足，则
【答案】
【分析】利用倒序相加法，结合函数的对称性以及等比数列的性质即可求得正确答案.
【详解】函数，可看成向左平移1个单位，向上平移1个单位得到,
因为的对称中心为，所以的对称中心为，
所以，
因为正项等比数列满足，所以，
所以，
所以，
①，
②，
则①②相加得：
即，
所以.
故答案为：.
25．（2024·上海杨浦·统考一模）设函数，.
(1)求方程的实数解；
(2)若不等式对于一切都成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）转化为关于的一元二次方程求解即可；
（2）分离参数后，构造函数，利用导数求函数的最小值即可得解.
【详解】（1）由知，方程为，
即，
解得，即.
（2）不等式即，
原不等式可化为对于一切都成立，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
故当时，，
所以.
三、函数的应用，6题
26．（2024·上海青浦·统考一模）若函数是奇函数，则该函数的所有零点是 ．
【答案】；
【分析】根据函数为奇函数进行求解即可.
【详解】因为函数是奇函数，
所以，即，
则，
得，
则，其中，
所以该函数的所有零点是.
故答案为：
27．（2024上·上海虹口·高三统考期末）设，若关于x的方程有3个不同的实数解，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题意分类讨论，转化为二次函数问题直接求解即可.
【详解】当时，方程可化为，即，
则或（舍）；
当时，方程可化为；
要使原方程有三个根，则时有一根，时有两根，
则且，解得且，
所以实数a的取值范围为
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
28．（2024·上海长宁·统考一模）在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值（单位：）定义为.其中为声场中某点的声强度，其单位为为基准值.若，则其相应的声强级为 .
【答案】130
【分析】将题中数据直接代入公式，结合对数运算求解.
【详解】因为，，
所以其相应的声强级为.
故答案为：130.
29．（2024·上海徐汇·统考一模）函数的零点是 ．
【答案】/0.5
【分析】利用对数运算及零点含义可得答案.
【详解】由题意可得函数的定义域为.
，令可得，解得或（舍），
故答案为：.
30．（2024·上海青浦·统考一模）上海各中学都定期进行紧急疏散演习：当警报响起，建筑物内师生马上有组织、尽快地疏散撤离．对于一个特定的建筑物，管理人员关心房间内所有人疏散完毕（房间最后一个人到达安全出口处）所用时间．数学建模小组准备对某教学楼第一层楼两间相同的教室展开研究．为此，他们提出如下模型假设：
1.疏散时所有人员有秩序地撤离建筑物；
2.所有人员排成单列行进撤离；
3.队列中人员的间隔是均匀的；
4.队列匀速地撤离建筑物．
(1)上述模型假设是否合理，请任选两个模型假设说明理由；
(2)如图，设第一间教室（图中右）的人数为，第二间教室（图中左）的人数为，每间教室的长度为，其中，都是正整数，，忽略教室门的宽度及忽略教室内人群到教室门口的时间．请再引入适当的变量，建立两个教室内的人员完全撤离所用时间的数学模型．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据各假设的目的分别判断；
（2）设队列人与人之间的距离为，队列行进的速度为，分两种情况讨论，情况一：当第二间教室的第一个人到达第一间教室门口的时候，第一间教室已经撤空，；情况二：当第二间教室的第一个人到达第一间教室门口的时候，第一间教室还没有撤空，，可得分段函数模型.
【详解】（1）四个模型假设都合理．理由如下（供参考）：
假设1是为了保证撤离人员的安全，基本符合实际情况；
假设2 是为了方便模型的建立，与假设1相呼应；
假设3 是为了方便建立模型，属于模型简化的处理方法；
假设4 是为了方便建立模型，属于模型简化的处理方法．
（2）设队列人与人之间的距离为，队列行进的速度为，
先考虑第一间教室人员的疏散，该教室最后一个人达到出口即为疏散完毕，所用时间 ；第二间教室最后一个人达到出口所用时间为．
在所有人员排成单列行进撤离的假设下，建立模型（供参考）
情况一：
当第二间教室的第一个人到达第一间教室门口的时候，第一间教室已经撤空（即第一间教室的最后一个人不影响第二间教室人员的撤离），这种情形出现的条件是，这时两个教室内的人员完全撤离所用时间为；
情况二：
当第二间教室的第一个人到达第一间教室门口的时候，第一间教室还没有撤空，此时需要等第一间教室撤空后第二间教室的队伍再继续行进，这种情形出现的条件是，这时两个教室内的人员完全撤离所用时间为，
.
31．（2024·上海宝山·统考一模）已知函数，，其中为自然对数的底数.
(1)求函数的图象在点处的切线方程；
(2)设函数，
①若，求函数的单调区间，并写出函数有三个零点时实数的取值范围；
②当时，分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)①单调区间见解析，，②.
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即得.
（2）①把代入，求出的导数，确定的解集得单调区间，结合极大值、极小值求出的范围；②由导数求出，构造函数并借助导数探讨不等式恒成立即可.
【详解】（1）函数，求导得，得，而，
所以切线方程为，即.
（2）函数的定义域为R，求导得，
①当时，，，由，得或，
当或时，，当时，，
因此函数的单调增区间为和，单调减区间为；
极大值，极小值，
又，
，
所以函数有三个零点时的取值范围为.
②令，得或，解得或，
当或时，，当时，，
即函数在，上单调递增，在上单调递减，
因此当时，取得极大值，当时，取得极小值，即有，
而，，
又不等式对任意恒成立，于是，
设，
显然，，
令，求导得，
则函数在上严格递减，有，
当时，，则有函数在上严格递减， ，符合题意；
当时，存在，使得，当时，，当时，，
因此函数在上严格递增，有，不符合题意，
所以实数的取值范围为.
【点睛】思路点睛：不等式恒成立或存在型问题，可构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
月份
1
2
3
4
5
9
10
12
当月燃气用量（立方米）
56
80
66
58
60
53
55
63
当月燃气费（元）
168
240
198
174
183
174.9
186
264.6
x
+
0
0
+
极大值
极小值
x
+
0
0
+
极大值
极小值
一、函数及其性质，17题
1．（2024·上海杨浦·统考一模）函数满足：对于任意都有，（常数，）.给出以下两个命题：①无论取何值，函数不是上的严格增函数；②当时，存在无穷多个开区间，使得，且集合对任意正整数都成立，则（ ）
A．①②都正确B．①正确②不正确C．①不正确②正确D．①②都不正确
【答案】A
【分析】对于①，由题得，然后反证法推出矛盾即可；对于②令，然后根据分别得出，判断为正确.
【详解】对于①：由题得，若函数是上的严格增函数，因为，，则当时，，当时，，均与矛盾，所以无论取何值，函数不是上的严格增函数，故①正确；
对于②：因为对于任意都有，令，当时，，且，
当时，，且，
当时，，且
，
以此类推，故当时，存在无穷多个开区间，使得，且集合对任意正整数都成立，故②正确，
故选：A.
2．（2024·上海奉贤·统考一模）函数在定义域上是（ ）
A．严格增的奇函数B．严格增的偶函数
C．严格减的奇函数D．严格减的偶函数
【答案】A
【分析】根据题意，分别判断函数奇偶性以及单调性，即可得到结果.
【详解】令，任取，
则，
因为是上的严格增函数，所以，
则，所以，
则函数是上的严格增函数；
又，即函数为奇函数，
所以函数在定义域上是严格增的奇函数.
故选：A
3．（2024·上海崇明·统考一模）若存在实数，对任意实数，使得不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】不等式等价于，原命题等价于存在实数，，对任意实数不等式恒成立，等价于存在实数，，不等式成立，分别讨论，，，的情况，先求出，再求出即可解决问题.
【详解】不等式等价于即，
原命题等价于存在实数，，对任意实数不等式恒成立，
等价于存在实数，，不等式成立，
记，则，
（1）当时，对任意，恒成立，即在上单调递减
①当，即时，，
②当，即时，，
从而当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以；
（2）当时，令，解得，
在区间上单调递增，在上单调递减，
，，，
①当时，此时，
当即时，，
当即时，，
从而当时，，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增,
所以；
令，则，，记，
则，
当时，恒成立，
即在区间上单调递减，即，
即；
②当时，此时，
当即时，，
当即时，，
从而当时，，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以；
（3）当时，对任意，恒成立，即在上单调递增，
①当，即时，，
②当，即时，，
从而当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以；
综上所述，，
所以.
故选：A
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
4．（2024·上海金山·统考一模）若函数 的图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据题意，求得的图形过点，得到的图象过点，结合，，联立方程组，求得的值，得出，再根据题意，得到必为函数的一个零点，结合，求得的值，即可求解.
【详解】由函数，
则函数的图形过点，
因为函数的图象关于对称，则函数的图象过点，
可得，且，可得，
又由，且，可得，
联立方程组，解得，
所以，
因为函数图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点，
则必为函数的一个零点，即，
可得，解得，
所以.
故答案为：.
5．（2024·上海长宁·统考一模）设，记函数在区间上的最大值为，若对任意，都有，则实数的最大值为 .
【答案】
【分析】根据在内单调递增，分析可知或，整理得关于的不等式或的解集为，可得，运算求解即可.
【详解】因为，则在内单调递增，
则在内单调递增，
又因为在区间上的最大值为，
可得或，
由题意可知：或，
则或，
整理得或，
即关于的不等式或的解集为，
可知，
整理得，则，
又因为，解得，所以的最大值为.
故答案为：．
【点睛】方法点睛：恒成立问题解题方法指导：
方法1：分离参数法求最值.
(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
(2)恒成立⇔；
恒成立⇔；
能成立⇔；
能成立⇔.
方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．
6．（2024·上海青浦·统考一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先求解出时的值域，然后根据分类讨论时的值域，由此确定出的取值范围.
【详解】当时，，此时，
当且时，，
此时，且，所以不满足；
当且时，，
由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减，
所以，此时，
若要满足的值域为，只需要，解得；
当且时，因为均在上单调递增，
所以在上单调递增，且时，，时，，
所以此时，此时显然能满足的值域为；
综上可知，的取值范围是，
故答案为：.
7．（2024·上海嘉定·统考一模）己知等差数列，公差为，则下列命题正确的是（ ）
A．函数可能是奇函数
B．若函数是偶函数，则
C．若，则函数是偶函数
D．若，则函数的图象是轴对称图形
【答案】D
【分析】利用可判断A；举反例可判断BC；求出可判断D.
【详解】对于A，若函数是奇函数，则，
可得，所以，此时，，
此时函数是偶函数，故A错误；
对于B，当时，，所以，
，函数是偶函数，
则，故B错误；
对于C，若，则，则，所以，
则，所以函数不是偶函数，故C错误；
对于D，若，则，
，所以，
所以函数的图象关于对称，是轴对称图形，故D正确.
故选：D.
8．（2024·上海徐汇·统考一模）已知函数，其中，存在实数 使得 成立，若正整数的最大值为8，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设，得到，然后分类讨论的范围，解出即可.
【详解】设，
又因为，
所以，
则，
当时，，
则，
显然存在任意正整数使得成立；
当时，，
，
要使得正整数的最大值为8，则
，解得，
当时，，
，
显然存在任意整数使得成立；
当时，，
，
要使得正整数的最大值为8，则
，解得，
综上，则实数的取值范围是.
故答案为：.
9．（2024·上海杨浦·统考一模）函数的最小值为 .
【答案】
【分析】将函数写成分段函数形式，再结合分段函数的单调性，可得最小值.
【详解】由已知，
所以当时，函数单调递减，且，
当时，函数单调递增，且，
当时，，
所以函数的最小值为，
故答案为：.
10．（2024上·上海松江·高三统考期末）若函数是定义在上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则 ．
【答案】
【分析】利用赋值法，结合累加法求解.
【详解】函数是定义在上的不恒为零的偶函数，则，
中，令，得，
则，得，
当时，由，得，
即，
∴
，
∴.
故答案为：.
11．（2024上·上海浦东新·高三统考期末）已知函数，其中．
(1)是否存在实数，使函数是奇函数？若存在，请写出证明．
(2)当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
【分析】（1）是奇函数，利用解出并检验即可．
（2）利用基本不等式求的最小值解决恒成立问题.
【详解】（1）函数定义域为R，若是奇函数，则，解得，
此时，，符合题意，
故.
（2）当时，，
由，则，当且仅当，即时等号成立，
所以，又不等式恒成立，得，
则实数的取值范围为.
12．（2024·上海杨浦·统考一模）设函数，（其中常数，），无穷数列满足：首项，.
(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)若数列是严格增数列，求证：当时，数列不是等差数列；
(3)当时，数列是否可能为公比小于0的等比数列？若可能，求出所有公比的值；若不可能，请说明理由.
【答案】(1)奇函数，理由见解析
(2)见解析
(3)存在公比为负数的无穷等比数列，其公比只能是
【分析】（1）利用奇偶性的定义即可判定；
（2）反证法，假设假设数列是等差数列，公差为，然后结合等差数列的性质推出矛盾；
（3）根据递推关系得到与的关系，讨论公比与的大小关系，然后根据等比数列的性质即可得出答案.
【详解】（1）任取，都有，
因此函数是奇函数．
（2）反证法：假设数列是等差数列，公差为，
由数列是严格增数列可知．
因为，所以，即非零常数
因为，
所以（其中是正整数）．
因为，，所以．方程无解，矛盾．
假设不成立，即当时，数列不是等差数列．
（3）若数列是等比数列，则其各项均非零，设其公比为
由 得 ，即．
考虑方程，均为该方程（记为①）的解．
由函数的值域为可知，即，
所以．若，则当充分大时（时），
，这与矛盾，从而不合题意．
若，函数在是严格增函数
由时，可知函数当时，均有，
因此函数的零点（即方程①的解）的绝对值均大于1，即．
但若，由，则当充分大时（时），
将有，这与矛盾，从而不合题意．
综上，只能有．此时方程①为，
记．因为，
所以存在，使是方程①的解．
进而由函数是奇函数，也是方程①的解．因此只需取
其中是正整数即可.
综合上述，存在公比为负数的无穷等比数列，其公比只能是．
13．（2024上·上海松江·高三统考期末）为了鼓励居民节约用气，某市对燃气收费实行阶梯计价，普通居民燃气收费标准如下：
第一档：年用气量在（含）立方米，价格为元/立方米；
第二档：年用气量在（含）立方米，价格为元/立方米；
第三档：年用气量在立方米以上，价格为元/立方米.
(1)请写出普通居民的年度燃气费用（单位：元）关于年度的燃气用量（单位：立方米）的函数解析式（用含的式子表示）；
(2)已知某户居民年部分月份用气量与缴费情况如下表，求的值.
【答案】(1)
(2)，，
【分析】（1）根据燃气收费标准求得解析式.
（2）根据表格提供数据以及函数解析式求得.
【详解】（1）依题意，函数解析式为：
（2）解法一：
由一月份数据可得：，
通过计算前5个月用量：，
前5个月燃气总费用：，
由（1）中函数解析式，计算可得：，
所以，
又9月份，10月份，12月份的燃气费均价分别为：均不同，
所以12月份为第三档，.
解法二：
1月份，5月份，9月份，10月份，12月份的燃气费均价分别为：均不同．
所以1月份为第一档，5月份为第一档和第二档，10月份与12月份不同，
则12月份为第三档，10月份与9月份不同，10月份为第二档与第三档，9月份为第二档．
从而得到，.
14．（2024·上海徐汇·统考一模）若函数的导函数是以为周期的函数，则称函数具有“性质”．
(1)试判断函数和是否具有“性质”，并说明理由；
(2)已知函数，其中具有“性质”，求函数在上的极小值点；
(3)若函数具有“性质”，且存在实数使得对任意都有成立，求证：为周期函数．
（可用结论：若函数的导函数满足，则（常数）．）
【答案】(1)不具有“性质”，具有“性质”，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据所给定义计算可得；
（2）法一：依题意可得可得对恒成立，再令、求出、的值，再利用导数求出函数的极小值点；法二：依题意可得，所以且，即可求出、的值，再利用导数求出函数的极小值点；
（3）令，则，从而得到（为常数），法一：分、、三种情况讨论；法二：分和两种情况讨论，当时，不妨令，记，推出矛盾即可得解.
【详解】（1）不具有“性质”．理由是：，，；
具有“性质”．理由是：，．
（2）法一：，则，
由可得对恒成立．
令，得 ①；令，得 ②．
得，因此，从而恒成立，
即有且．
由得，所以，当时，令可得，列表如下：
函数在的极小值点为．
法二：，
由，可得，
所以，
即，
所以，所以且，所以且且．
由得，所以，当时，令可得，列表如下：
函数在的极小值点为．
（3）令，因为具有“”性质
，
，
（为常数），
法一：
① 若，是以为周期的周期函数；
②若，由，
当时，，这与矛盾，舍去；
③若，由，
当时，，这与矛盾，舍去．
综上，．，所以是周期函数．
法二：
当时，，所以是周期函数．
当时，不妨令，记，其中表示不大于的最大整数．（同理可证），
若存在，这．
这与矛盾．
若存在，这．
这与矛盾．
若不存在，使得或，则，此时，与矛盾，故舍去．
综上，．，所以是周期函数．
【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
15．（2024上·上海虹口·高三统考期末）已知与都是定义在上的函数，若对任意，，当时，都有，则称是的一个“控制函数”．
(1)判断是否为函数的一个控制函数，并说明理由；
(2)设的导数为，，求证：关于的方程在区间上有实数解；
(3)设，函数是否存在控制函数？若存在，请求出的控制函数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)证明见解析
(3)存在，
【分析】（1）根据已知控制函数的定义，即可得出结论；
（2）设，，由其导数得出其在上的最大值为0，则，，变形化简得出，而在区间上的值域为，即可证明；
（3）由上面两问可看出控制函数可能是原函数的导数，证明，根据不等式的运算可以证明，发现控制函数可能是原函数的导数去掉常数项.
【详解】（1）对任意，则，且，
故是函数的一个控制函数；
（2）因为，则，
则，
，，
设，
在上，在上，
则在单调递减，在上单调递增，
最大值，
，，，，，
，，
则，
，即，
同理，，
，即
综上：，
，在区间上的值域为，
则在区间上有实数解.
（3），则，其中
，
，
，
，，
，则，即，
同理，
即，
则是的一个控制函数.
【点睛】关键点睛：对于函数的新定义题要理解好定义的内容，不等式运算时注意不等式的要求，变号时要多注意，一般的大题在前面的问题和后面的问题有联系，后面的问题没有思路时看看前面的问题，
16．（2024·上海长宁·统考一模）若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数的“约束函数”.已知函数是函数的“约束函数”.
(1)若，判断函数的奇偶性，并说明理由：
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若为严格减函数，，且函数的图像是连续曲线，求证：是上的严格增函数.
【答案】(1)是偶函数；理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意结合偶函数的定义分析证明；
（2）根据题意结合的单调性分析可得，，设，，可知与均为上的严格增函数，利用导数分析求解；
（3）根据题意分析可得任意，都有，利用反证法先证当时，，再明当时，，即可得结果.
【详解】（1）因为，故对任意的都有．
又因为函数是函数的“约束函数”，
则对任意，都有，
取，可得恒成立，
即对任意的成立，故是偶函数；
（2）因为是上的严格增函数，则是上的严格增函数，
设，则，
进而，
可得，，
所以，，
设，，
则与均为上的严格增函数，
因为，恒成立，
对于恒成立，
因为，，当且仅当时，等号成立，
所以，解得得，
当时，恒成立，
所以实数的取值范围为.
（3）设，因为是严格减函数，所以，即，
而，所以，
所以对任意，都有，
①首先证明：当时，，
假设存在，且，
设，则，，
所以存在，使得，
得，与结论对任意，矛盾，
所以不存在，使得，
同理可得：也不存在，使得，
所以当时，.
②再证明：当时，，
假设存在，使得，则，
设，则，，
所以存在，使得，
得，与结论对任意，矛盾，
所以假设不成立，即对任意，都有
所以是上的严格增函数.
【点睛】关键点睛：“新定义”题型的关键是根据新定义的概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解，（3）中也结合反证法分析求解.
17．（2024·上海金山·统考一模）设函数的定义域为，给定区间，若存在，使得，则称函数为区间上的“均值函数”，为函数的“均值点”．
(1)试判断函数是否为区间上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；如果不是，请说明理由；
(2)已知函数是区间上的“均值函数”，求实数的取值范围；
(3)若函数（常数）是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”．将区间任意划分成（）份，设分点的横坐标从小到大依次为，记，，．再将区间等分成（）份，设等分点的横坐标从小到大依次为，记．求使得的最小整数的值．
【答案】(1)为区间上的“均值函数”，且为其“均值点”
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，得到方程，求得，即可得到答案；
（2）设为该函数的“均值点”，则，根据题意转化为在上有解，分类讨论，结合对勾函数性质，即可求解；
（3）根据题意，得到方程，求得，得出，利用导数求得函数的单调性，得到，求得，结合，进而求得，利用指数幂的运算性质，即可求解.
【详解】（1）解：设函数是区间上的“均值函数”，且均值点为，
可得，解得或(舍).
故为区间上的“均值函数”，且为其“均值点”.
（2）解：设为该函数的“均值点”，则，
且，
即关于的方程在区间上有解，
整理得，
①当时，，方程无解.
②当时，可得.
令，则，且，
可得，
又由对勾函数性质，可得函数在上是严格减函数，
在上是严格减函数，在上严格增函数，
所以当时，可得，当，可得，
所以.
即实数的取值范围是.
（3）解：由函数是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”，
可得，即，
解得，所以，
则，
当时，，即在上单调递减，
所以()，
则，
又因为，
从而，，
所以，可得.，
由，即，可得，
故使得的最小整数的值为.
【点睛】方法指数总结：对于函数的新定义题型的求解策略：
（1）关于函数的新定义问题，关键是理解函数新定义的概念，根据函数的新定义的概念，挖掘其隐含条件，把新定义问题转化为函数关系或不等关系式等是解答的关键；
（2）关于函数的新定义问题，通常关联着函数的基本性质的综合应用，解答中要熟练掌握和应用函数的有关性质和一些重用的结论，同时注意合理应用数形结合、导数、均值不等式等知识点的应用，以及它们之间的逻辑关系，提升逻辑推理能力.
二、指对数函数，8题
18．（2024·上海杨浦·统考一模）等比数列的首项，公比为，数列满足（是正整数），若当且仅当时，的前项和取得最大值，则取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出的通项公式，分析出其为等差数列，然后由条件得出，代入通项公式即可求解.
【详解】
所以是以为首项，为公差的等差数列，
若当且仅当时，的前项和取得最大值，
所以
即，，
故选：C.
19．（2024·上海崇明·统考一模）若，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】ABD举反例即可判断，C结合反比例函数即可判断.
【详解】对A，若，则，但，A错误；
对B，若，则，但，B错误
对D，若，则，，D错误；
对C，结合反比例函数知其在单调递减，则，有，C正确.
故选：C
20．（2024·上海青浦·统考一模）已知，，则“”是“”的（ ）.
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】C
【分析】直接根据充分性和必要性的定义判断即可.
【详解】因为函数在上单调递增，
所以，
即“”是“”的充要条件.
故选：C.
21．（2024·上海闵行·统考一模）已知a，，，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式性质可判断A，B；举反例可判断C；根据指数函数的单调性判断D.
【详解】对于A，B，a，，，则,一定成立；
对于C，取，满足，则，
当时，，故C中不等式不一定成立；
对于D，由，由于在R上单调递增，则成立，
故选：C
22．（2024上·上海松江·高三统考期末）已知，则的最小值为
【答案】
【分析】根据对数运算求得的关系，利用基本不等式求得正确答案.
【详解】依题意，，
所以且，
所以，
当时等号成立.
故答案为：
23．（2024上·上海虹口·高三统考期末）函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据对数的真数大于0和根号下大于等于0以及分母不等于0得到不等式组，解出即可.
【详解】由题意得，解得，所以定义域为，
故答案为：.
24．（2024·上海宝山·统考一模）已知函数，正项等比数列满足，则
【答案】
【分析】利用倒序相加法，结合函数的对称性以及等比数列的性质即可求得正确答案.
【详解】函数，可看成向左平移1个单位，向上平移1个单位得到,
因为的对称中心为，所以的对称中心为，
所以，
因为正项等比数列满足，所以，
所以，
所以，
①，
②，
则①②相加得：
即，
所以.
故答案为：.
25．（2024·上海杨浦·统考一模）设函数，.
(1)求方程的实数解；
(2)若不等式对于一切都成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）转化为关于的一元二次方程求解即可；
（2）分离参数后，构造函数，利用导数求函数的最小值即可得解.
【详解】（1）由知，方程为，
即，
解得，即.
（2）不等式即，
原不等式可化为对于一切都成立，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
故当时，，
所以.
三、函数的应用，6题
26．（2024·上海青浦·统考一模）若函数是奇函数，则该函数的所有零点是 ．
【答案】；
【分析】根据函数为奇函数进行求解即可.
【详解】因为函数是奇函数，
所以，即，
则，
得，
则，其中，
所以该函数的所有零点是.
故答案为：
27．（2024上·上海虹口·高三统考期末）设，若关于x的方程有3个不同的实数解，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题意分类讨论，转化为二次函数问题直接求解即可.
【详解】当时，方程可化为，即，
则或（舍）；
当时，方程可化为；
要使原方程有三个根，则时有一根，时有两根，
则且，解得且，
所以实数a的取值范围为
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
28．（2024·上海长宁·统考一模）在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值（单位：）定义为.其中为声场中某点的声强度，其单位为为基准值.若，则其相应的声强级为 .
【答案】130
【分析】将题中数据直接代入公式，结合对数运算求解.
【详解】因为，，
所以其相应的声强级为.
故答案为：130.
29．（2024·上海徐汇·统考一模）函数的零点是 ．
【答案】/0.5
【分析】利用对数运算及零点含义可得答案.
【详解】由题意可得函数的定义域为.
，令可得，解得或（舍），
故答案为：.
30．（2024·上海青浦·统考一模）上海各中学都定期进行紧急疏散演习：当警报响起，建筑物内师生马上有组织、尽快地疏散撤离．对于一个特定的建筑物，管理人员关心房间内所有人疏散完毕（房间最后一个人到达安全出口处）所用时间．数学建模小组准备对某教学楼第一层楼两间相同的教室展开研究．为此，他们提出如下模型假设：
1.疏散时所有人员有秩序地撤离建筑物；
2.所有人员排成单列行进撤离；
3.队列中人员的间隔是均匀的；
4.队列匀速地撤离建筑物．
(1)上述模型假设是否合理，请任选两个模型假设说明理由；
(2)如图，设第一间教室（图中右）的人数为，第二间教室（图中左）的人数为，每间教室的长度为，其中，都是正整数，，忽略教室门的宽度及忽略教室内人群到教室门口的时间．请再引入适当的变量，建立两个教室内的人员完全撤离所用时间的数学模型．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据各假设的目的分别判断；
（2）设队列人与人之间的距离为，队列行进的速度为，分两种情况讨论，情况一：当第二间教室的第一个人到达第一间教室门口的时候，第一间教室已经撤空，；情况二：当第二间教室的第一个人到达第一间教室门口的时候，第一间教室还没有撤空，，可得分段函数模型.
【详解】（1）四个模型假设都合理．理由如下（供参考）：
假设1是为了保证撤离人员的安全，基本符合实际情况；
假设2 是为了方便模型的建立，与假设1相呼应；
假设3 是为了方便建立模型，属于模型简化的处理方法；
假设4 是为了方便建立模型，属于模型简化的处理方法．
（2）设队列人与人之间的距离为，队列行进的速度为，
先考虑第一间教室人员的疏散，该教室最后一个人达到出口即为疏散完毕，所用时间 ；第二间教室最后一个人达到出口所用时间为．
在所有人员排成单列行进撤离的假设下，建立模型（供参考）
情况一：
当第二间教室的第一个人到达第一间教室门口的时候，第一间教室已经撤空（即第一间教室的最后一个人不影响第二间教室人员的撤离），这种情形出现的条件是，这时两个教室内的人员完全撤离所用时间为；
情况二：
当第二间教室的第一个人到达第一间教室门口的时候，第一间教室还没有撤空，此时需要等第一间教室撤空后第二间教室的队伍再继续行进，这种情形出现的条件是，这时两个教室内的人员完全撤离所用时间为，
.
31．（2024·上海宝山·统考一模）已知函数，，其中为自然对数的底数.
(1)求函数的图象在点处的切线方程；
(2)设函数，
①若，求函数的单调区间，并写出函数有三个零点时实数的取值范围；
②当时，分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)①单调区间见解析，，②.
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即得.
（2）①把代入，求出的导数，确定的解集得单调区间，结合极大值、极小值求出的范围；②由导数求出，构造函数并借助导数探讨不等式恒成立即可.
【详解】（1）函数，求导得，得，而，
所以切线方程为，即.
（2）函数的定义域为R，求导得，
①当时，，，由，得或，
当或时，，当时，，
因此函数的单调增区间为和，单调减区间为；
极大值，极小值，
又，
，
所以函数有三个零点时的取值范围为.
②令，得或，解得或，
当或时，，当时，，
即函数在，上单调递增，在上单调递减，
因此当时，取得极大值，当时，取得极小值，即有，
而，，
又不等式对任意恒成立，于是，
设，
显然，，
令，求导得，
则函数在上严格递减，有，
当时，，则有函数在上严格递减， ，符合题意；
当时，存在，使得，当时，，当时，，
因此函数在上严格递增，有，不符合题意，
所以实数的取值范围为.
【点睛】思路点睛：不等式恒成立或存在型问题，可构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
月份
1
2
3
4
5
9
10
12
当月燃气用量（立方米）
56
80
66
58
60
53
55
63
当月燃气费（元）
168
240
198
174
183
174.9
186
264.6
x
+
0
0
+
极大值
极小值
x
+
0
0
+
极大值
极小值
相关试卷
专题04 三角函数与解三角形（三大类型题）精选15区真题（学生卷）- 2024年高考数学一模试题分类汇编（上海专用）： 这是一份专题04 三角函数与解三角形（三大类型题）精选15区真题（学生卷）- 2024年高考数学一模试题分类汇编（上海专用），共5页。试卷主要包含了三角函数，三角恒等变换，解三角形等内容，欢迎下载使用。
专题03 函数（三大类型题）15区新题速递（学生卷）- 2024年高考数学一模试题分类汇编（上海专用）： 这是一份专题03 函数（三大类型题）15区新题速递（学生卷）- 2024年高考数学一模试题分类汇编（上海专用），共7页。试卷主要包含了函数及其性质，17题，指对数函数，8题，函数的应用，6题等内容，欢迎下载使用。
专题02 等式与不等式（15区真题速递）（教师卷）- 2024年高考数学一模试题分类汇编（上海专用）： 这是一份专题02 等式与不等式（15区真题速递）（教师卷）- 2024年高考数学一模试题分类汇编（上海专用），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，问答题等内容，欢迎下载使用。
