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专题09 导数（三大类型题）15区新题速递（教师卷）- 2024年高考数学一模试题分类汇编（上海专用）
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这是一份专题09 导数（三大类型题）15区新题速递（教师卷）- 2024年高考数学一模试题分类汇编（上海专用），共43页。试卷主要包含了导数的概念及几何意义，导数在研究函数中的作用，导数的综合应用等内容，欢迎下载使用。
一、导数的概念及几何意义
1．（2024·上海青浦·统考一模）若函数在处的导数等于，则的值为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据导数的定义式化简求值.
【详解】由已知得
，
故选：C.
2．（2024·上海青浦·统考一模）已知有穷等差数列的公差d大于零．
(1)证明：不是等比数列；
(2)是否存在指数函数满足：在处的切线的交轴于，在处的切线的交轴于，…，在处的切线的交轴于？若存在，请写出函数的表达式，并说明理由；若不存在，也请说明理由；
(3)若数列中所有项按照某种顺序排列后可以构成等比数列，求出所有可能的m的取值．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在指数函数满足条件，理由见解析
(3)3
【分析】（1）计算，得到证明；
（2）计算切线方程，令得，即，满足条件.
（3）举例说明时成立，考虑时，确定不可能所有项均为正数或均为负数，的前三项即为中最小的三项，确定，考虑，两种情况，根据等比数列性质得到，整理得到，，，验证不成立，得到答案.
【详解】（1），故不是等比数列.
（2）在处的切线方程为，
令得，因此，欲使满足条件，只需使，
令，则，满足条件， 故存在指数函数满足条件．
（3）取，则成等比数列，故满足条件．
考虑，
首先，不可能所有项均为正数或均为负数，
否则，对应的等比数列的公比为正，等比数列严格增或严格减，
从而即为等比数列，不可能．
其次，因为是等比数列，所以也是等比数列，不妨设严格增，
则的前三项即为中最小的三项，
则一定对应于中的连续三项，
不妨设，则．
①若，则，则成等比数列，不可能；
②若，则，则成等比数列，
，即，得，，，
而除了这三项外，最小值为或，
但和均无法与构成等比数列，因此不符合条件．
综上所述：所有可能的的值是3．
【点睛】关键点睛：本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据特殊例子确定满足条件，再考虑时不成立，是解题的关键.
二、导数在研究函数中的作用
3．（2024·上海闵行·统考一模）已知函数的导函数为，，且在R上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ）
①“”是“”的充要条件；
②“对任意都有”是“在R上为严格增函数”的充要条件．
A．①真命题；②假命题B．①假命题；②真命题
C．①真命题；②真命题D．①假命题；②假命题
【答案】C
【分析】对于①，构造函数，结合题设，判断“”和“”之间的逻辑推理关系，可判断其真假；对于②，结合函数单调性，判断必要性；采用反证思想，结合题设推出矛盾，说明充分性成立，判断②的真假.
【详解】对于①：
设，，则，
因为在R上为严格增函数，故，
即，则在R上单调递增，
由于，故，即。
即；
当成立时，即，
由于在R上单调递增，故，
故“”是“”的充要条件，①为真命题；
对于②，当在R上为严格增函数时，由对任意，则都有成立；
当对任意都有时，假设在R上不为严格增函数，
即不恒大于等于0，即，使得，
由于在R上为严格增函数，故时，，
此时在上单调递减，且其图象为一个严格递减的凹型曲线，
故当趋近于负无穷时，的值将趋近于正无穷大，
这与对任意都有矛盾，
则假设不成立，即“在R上为严格增函数”成立，
即“对任意都有”是“在R上为严格增函数”的充要条件，②为真命题，
故选：C
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断②中命题的充分性成立，解答时采用反证思想，推得矛盾，说明充分性成立.
4．（2024上·上海松江·高三统考期末）函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先判断的符号，由此求得不等式的解集.
【详解】由图象可知，在区间上，
在区间上，
所以不等式的解集为.
故选：C
5．（2024·上海青浦·统考一模）已知三个互不相同的实数、、满足，，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题中实数、、所满足等量关系，将用c表示，求出c范围，利用导数求出其单调性，进而得到范围.
【详解】由题，，
得，
得，
所以，
则，
又，
所以由韦达定理得a和b为关于x的方程的两不等根，
所以，
得，
再由，所以，
构造函数，
则，
得或，
所以在，上，单调递增，
在上，单调递减，
，，
，
所以在上范围为，
所以的取值范围为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题利用，之间关系，将变为一个变量，利用二次函数的性质、韦达定理，利用导数研究函数单调性，属于中档题.
6．（2024·上海金山·统考一模）设函数的定义域为，给定区间，若存在，使得，则称函数为区间上的“均值函数”，为函数的“均值点”．
(1)试判断函数是否为区间上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；如果不是，请说明理由；
(2)已知函数是区间上的“均值函数”，求实数的取值范围；
(3)若函数（常数）是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”．将区间任意划分成（）份，设分点的横坐标从小到大依次为，记，，．再将区间等分成（）份，设等分点的横坐标从小到大依次为，记．求使得的最小整数的值．
【答案】(1)为区间上的“均值函数”，且为其“均值点”
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，得到方程，求得，即可得到答案；
（2）设为该函数的“均值点”，则，根据题意转化为在上有解，分类讨论，结合对勾函数性质，即可求解；
（3）根据题意，得到方程，求得，得出，利用导数求得函数的单调性，得到，求得，结合，进而求得，利用指数幂的运算性质，即可求解.
【详解】（1）解：设函数是区间上的“均值函数”，且均值点为，
可得，解得或(舍).
故为区间上的“均值函数”，且为其“均值点”.
（2）解：设为该函数的“均值点”，则，
且，
即关于的方程在区间上有解，
整理得，
①当时，，方程无解.
②当时，可得.
令，则，且，
可得，
又由对勾函数性质，可得函数在上是严格减函数，
在上是严格减函数，在上严格增函数，
所以当时，可得，当，可得，
所以.
即实数的取值范围是.
（3）解：由函数是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”，
可得，即，
解得，所以，
则，
当时，，即在上单调递减，
所以()，
则，
又因为，
从而，，
所以，可得.，
由，即，可得，
故使得的最小整数的值为.
【点睛】方法指数总结：对于函数的新定义题型的求解策略：
（1）关于函数的新定义问题，关键是理解函数新定义的概念，根据函数的新定义的概念，挖掘其隐含条件，把新定义问题转化为函数关系或不等关系式等是解答的关键；
（2）关于函数的新定义问题，通常关联着函数的基本性质的综合应用，解答中要熟练掌握和应用函数的有关性质和一些重用的结论，同时注意合理应用数形结合、导数、均值不等式等知识点的应用，以及它们之间的逻辑关系，提升逻辑推理能力.
7．（2024·上海徐汇·统考一模）若函数的导函数是以为周期的函数，则称函数具有“性质”．
(1)试判断函数和是否具有“性质”，并说明理由；
(2)已知函数，其中具有“性质”，求函数在上的极小值点；
(3)若函数具有“性质”，且存在实数使得对任意都有成立，求证：为周期函数．
（可用结论：若函数的导函数满足，则（常数）．）
【答案】(1)不具有“性质”，具有“性质”，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据所给定义计算可得；
（2）法一：依题意可得可得对恒成立，再令、求出、的值，再利用导数求出函数的极小值点；法二：依题意可得，所以且，即可求出、的值，再利用导数求出函数的极小值点；
（3）令，则，从而得到（为常数），法一：分、、三种情况讨论；法二：分和两种情况讨论，当时，不妨令，记，推出矛盾即可得解.
【详解】（1）不具有“性质”．理由是：，，；
具有“性质”．理由是：，．
（2）法一：，则，
由可得对恒成立．
令，得 ①；令，得 ②．
得，因此，从而恒成立，
即有且．
由得，所以，当时，令可得，列表如下：
函数在的极小值点为．
法二：，
由，可得，
所以，
即，
所以，所以且，所以且且．
由得，所以，当时，令可得，列表如下：
函数在的极小值点为．
（3）令，因为具有“”性质
，
，
（为常数），
法一：
① 若，是以为周期的周期函数；
②若，由，
当时，，这与矛盾，舍去；
③若，由，
当时，，这与矛盾，舍去．
综上，．，所以是周期函数．
法二：
当时，，所以是周期函数．
当时，不妨令，记，其中表示不大于的最大整数．（同理可证），
若存在，这．
这与矛盾．
若存在，这．
这与矛盾．
若不存在，使得或，则，此时，与矛盾，故舍去．
综上，．，所以是周期函数．
【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
8．（2024上·上海浦东新·高三统考期末）设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”．
(1)判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由：
（i），（ii）；
(2)已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围；
(3)设，．设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为．若，且，求的最小值．
【答案】(1)是含谷函数，谷点；不是含谷函数，证明见解析.
(2)
(3)
【分析】（1）利用含谷函数定义判断函数的增减区间，再求谷点，证明函数是否为含谷函数；
（2）由题意可判断函数在区间内有谷点，利用谷点定义求参数取值范围；
（3）分别讨论函数的单调性，判断谷点所在区间，得到的解析式，再利用和消元求最值.
【详解】（1）函数，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是含谷函数，谷点；
函数，求导恒成立，函数单调递增，所以不是含谷函数.
（2）由题意可知函数在区间内先减后增，且存在谷点，
令，所以，
设，
所以，由可知恒成立，
所以在区间上单调递增，
若满足谷点，则有，解得，
故m的取值范围是.
（3）因为，
所以，
若恒成立，
则函数在时严格增，在时严格减，不是谷函数，不满足题意；
因此关于x的方程有两个相异实根，即，
设两根为，且，
因为，所以函数在区间上不为严格增，
但是当时，，为严格增，
所以在区间上的单调性至少改变一次，从而必有一个驻点，即，
同理，因为，所以，
因此，在区间和上严格增，在区间和上严格减，
从而函数的含谷区间必满足，
即，
因为，
，
由得，所以，
由得，所以，
所以，
当时，，
当时，，
因此的最小值为，当时成立.
【点睛】关键点睛：（1）利用谷点定义判断函数是否为含谷函数；
（2）根据谷点性质求参数的取值范围；
（3）将导数分解因式，利用二次函数性质讨论的单调性，进而得到和，求函数最值.
9．（2024上·上海·高三上海市七宝中学校联考阶段练习）已知函数，，其中为自然对数的底数，设函数，
(1)若，求函数的单调区间，并写出函数有三个零点时实数的取值范围；
(2)当时，分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
(3)对于函数，若实数满足，其中F、D为非零实数，则称为函数的“笃志点”.
①已知函数，且函数有且只有3个“笃志点”，求实数a的取值范围；
②定义在R上的函数满足：存在唯一实数m，对任意的实数x，使得恒成立或恒成立.对于有序实数对，讨论函数“笃志点”个数的奇偶性，并说明理由
【答案】(1)函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，
(2)
(3)①；②答案见解析
【分析】（1）求导得到单调区间，计算极值，画出函数图像，根据图像得到答案.
（2）求导得到导函数，确定极值点和单调区间，确定，构造新函数，确定函数的单调区间，计算最值，考虑和两种情况，根据函数的单调性计算最值即可.
（3）①考虑，，三种情况，代入数据，构造新函数，根据二次函数根的分布得到范围；②确定，比较与的大小关系，得到，得到答案.
【详解】（1），
，
当时，，，故，函数单调递增；
当时，，，故，函数单调递减；
当时，，，故，函数单调递增；
综上所述：函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
，，画出函数图像，如图所示：
根据图像知.
（2），，
取，得到或，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
故是极大值点，是极小值点，
恒成立，
，，故，
设，，
，
设，则恒成立，
故在上单调递减，，
当时，，函数单调递减，；
当时，存在，使得，
时，，函数单调递减；时，，函数单调递增；
故，不成立；
综上所述：.
（3）①有三个不等的实数根，
当时，，故，解得，不符合；
当时，，故，即，
令，则在上恒成立，故在上单调递增，故，
故当时，在有1个“笃志点”；
当时，，故，
则，由于至多有两个根，
结合前面分析的取值范围为的子集，
令，其中，
，当时，，
的图象的对称轴为，
故在上有两个不相等的实数根，
综上所述：
函数有且只有3 个“笃志点”，则实数的取值范围为；
② 定义在上的函数满足：
存在唯一实数，对任意的实数，使得恒成立，
故，，
因为，所以，
即，
比较与的大小关系，
若存在，使得，即，
则有成立，
故对于有序实数对，函数“笃志点” 个数为奇数个，
同理，对于定义在上的函数满足：
存在唯一实数，对任意的实数，使得恒成立，
故，，
因为，所以，
即，可得到同样的结论；综上所述：若存在，使得，
则函数“笃志点”个数为奇数个，
否则，函数“笃志点”个数为偶数个.
【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义问题，利用导航求参数范围，函数的最值极值，零点问题和恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论的方法是解题的关键，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.
10．（2024·上海长宁·统考一模）若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数的“约束函数”.已知函数是函数的“约束函数”.
(1)若，判断函数的奇偶性，并说明理由：
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若为严格减函数，，且函数的图像是连续曲线，求证：是上的严格增函数.
【答案】(1)是偶函数；理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意结合偶函数的定义分析证明；
（2）根据题意结合的单调性分析可得，，设，，可知与均为上的严格增函数，利用导数分析求解；
（3）根据题意分析可得任意，都有，利用反证法先证当时，，再明当时，，即可得结果.
【详解】（1）因为，故对任意的都有．
又因为函数是函数的“约束函数”，
则对任意，都有，
取，可得恒成立，
即对任意的成立，故是偶函数；
（2）因为是上的严格增函数，则是上的严格增函数，
设，则，
进而，
可得，，
所以，，
设，，
则与均为上的严格增函数，
因为，恒成立，
对于恒成立，
因为，，当且仅当时，等号成立，
所以，解得得，
当时，恒成立，
所以实数的取值范围为.
（3）设，因为是严格减函数，所以，即，
而，所以，
所以对任意，都有，
①首先证明：当时，，
假设存在，且，
设，则，，
所以存在，使得，
得，与结论对任意，矛盾，
所以不存在，使得，
同理可得：也不存在，使得，
所以当时，.
②再证明：当时，，
假设存在，使得，则，
设，则，，
所以存在，使得，
得，与结论对任意，矛盾，
所以假设不成立，即对任意，都有
所以是上的严格增函数.
【点睛】关键点睛：“新定义”题型的关键是根据新定义的概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解，（3）中也结合反证法分析求解.
11．（2024·上海普陀·统考一模）设函数的表达式为.
(1)求证：“”是“函数为偶函数”的充要条件；
(2)若，且，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2)或.
【分析】（1）根据给定条件，利用偶函数的定义、结合充要条件的意义推理即得.
（2）利用偶函数性质及在的单调性求解不等式即可.
【详解】（1）函数的定义域为R，不恒为0，
函数为偶函数
，
所以“”是“函数为偶函数”的充要条件.
（2）当时，，求导得，函数在R上单调递增，
当时，，即函数在单调递增，又是偶函数，
因此，
即，解得或，
所以实数的取值范围是或.
12．（2024·上海崇明·统考一模）已知．
(1)若函数是实数集R上的严格增函数，求实数m的取值范围；
(2)已知数列是等差数列（公差），．是否存在数列使得数列是等差数列？若存在，请写出一个满足条件的数列，并证明此时的数列是等差数列；若不存在，请说明理由；
(3)若，是否存在直线满足：①对任意的都有成立，
②存在使得？若存在，请求出满足条件的直线方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在数列，数列满足：，证明见解析
(3)存在直线满足题意，直线方程为
【分析】（1）此题分析题意，根据实数集题意可得对任意的R都成立，故可得出答案.
（2）利用等差数列性质，结合题意，首先得出对一切正整数成立.
再经过化简计算得出结果.
（3）首先分析题意，按三种不同情况进行分析，最后得出直线方程为.
【详解】（1）（1）因为函数是实数集R上的严格增函数，
所以对任意的R都成立
因为函数的最小值为，所以
（2），若是等差数列，则对一切正整数成立，
即，
将代入化简得，
即，
展开化简得对一切正整数成立，所以，
故；
此时
，所以为常数，
故是等差数列
（3）令
则当时，
时，存在使得，
即存在使得，与题意不符
同理，时，存在使得，与题意不符
时，
当时，显然存在使得，即存在使得
当时，对任意的都有，
当时，存在，使得，且对任意的都有，即对任意的都有
综上，存在直线满足题意，直线方程为
13．（2024·上海普陀·统考一模）若存在常数，使得数列满足（，），则称数列为“数列”.
(1)判断数列：1，2，3，8，49是否为“数列”，并说明理由；
(2)若数列是首项为的“数列”，数列是等比数列，且与满足，求的值和数列的通项公式；
(3)若数列是“数列”，为数列的前项和，，，试比较与的大小，并证明.
【答案】(1)不是“”数列
(2)，
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据“数列”的定义进行判断，说明理由；
（2）根据是首项为2的“数列”，求出，由是等比数列，设公比为，由，可得，作差可得，利用前三项数列，可以求解和，进而求解等比数列的通项公式；
（3）根据题意构造函数，求导并判断在上单调递增，由是 “数列”与，反复利用，可得对于任意的，,进而得到，推出，再利用在上单调递增，得到，通过已知条件变形推出.
【详解】（1）根据“数列”的定义，则，故，
因为成立，成立，不成立，
所以不是“数列”.
（2）由是首项为的“数列”，则，，
由是等比数列，设公比为，
由，
则，
两式作差可得，
即
由是 “数列”，则，对于恒成立，
所以，
即对于恒成立，
则，即，
解得，，，
又由，，则，即
故所求的，数列的通项公式
（3）设函数，则，令，
解得，当时，，
则在区间单调递减，
且，
又由是 “数列”，
即 ，对于恒成立，
因为，则，
再结合，
反复利用，
可得对于任意的，,
则，
即，则，
即，，，，
相加可得，
则,
又因为在上单调递增，
所以，
又，所以，
即，
故.
【点睛】关键点睛：本题主要数列的新定义题型，紧扣题意进行求解，同时构造函数，利用导数判断单调是证明不等式的关键.
三、导数的综合应用
14．（2024·上海崇明·统考一模）若存在实数，对任意实数，使得不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】不等式等价于，原命题等价于存在实数，，对任意实数不等式恒成立，等价于存在实数，，不等式成立，分别讨论，，，的情况，先求出，再求出即可解决问题.
【详解】不等式等价于即，
原命题等价于存在实数，，对任意实数不等式恒成立，
等价于存在实数，，不等式成立，
记，则，
（1）当时，对任意，恒成立，即在上单调递减
①当，即时，，
②当，即时，，
从而当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以；
（2）当时，令，解得，
在区间上单调递增，在上单调递减，
，，，
①当时，此时，
当即时，，
当即时，，
从而当时，，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增,
所以；
令，则，，记，
则，
当时，恒成立，
即在区间上单调递减，即，
即；
②当时，此时，
当即时，，
当即时，，
从而当时，，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以；
（3）当时，对任意，恒成立，即在上单调递增，
①当，即时，，
②当，即时，，
从而当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以；
综上所述，，
所以.
故选：A
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
15．（2024·上海普陀·统考一模）设函数，若对任意，皆有成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据导数的几何意义转化为对任意恒成立，再代入，利用分离参数法即可得到答案.
【详解】，即，
即，即对任意恒成立，
，即对任意恒成立，
对任意恒成立，则，
设，则，令，解得，
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
则，则，
故答案为：.
16．（2024·上海杨浦·统考一模）设函数，.
(1)求方程的实数解；
(2)若不等式对于一切都成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）转化为关于的一元二次方程求解即可；
（2）分离参数后，构造函数，利用导数求函数的最小值即可得解.
【详解】（1）由知，方程为，
即，
解得，即.
（2）不等式即，
原不等式可化为对于一切都成立，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
故当时，，
所以.
17．（2024·上海嘉定·统考一模）已知．
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)请严格证明曲线有唯一交点；
(3)对于常数，若直线和曲线共有三个不同交点，其中，求证：成等比数列．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明过程见解析
(3)证明过程见解析
【分析】（1）根据导数的性质，结合极值的定义进行求解即可；
（2）构造新函数利用导数的性质，结合函数零点存在原理进行求解即可；
（3）根据题意得到，结合（1）中结论、等比数列的定义进行运算证明即可.
【详解】（1）由题意可知：的定义域为，的定义域为，
，
当时，得，此时函数单调递增，
当时，得，此时函数单调递减，
因此函数极大值为，
单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，得，此时函数单调递增，
当时，得，此时函数单调递减，
因此函数极大值为，
单调递增区间为，单调递减区间为，
所以函数极大值为，单调递增区间为，单调递减区间为；
函数极大值为，单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）设，
设，
设，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，
设，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，
因此有，当时取等号，
于是有，
因此单调递减，而，
根据函数零点存在原理，当时，函数在内有唯一零点，
因此有唯一实根，因此曲线有唯一交点.
（3）由（1）可知两个函数的最大值均为，
且函数单调递增区间为，单调递减区间为；
函数单调递增区间为，单调递减区间为，
由（2）可知曲线有唯一交点，且交点在内，
因为直线和曲线共有三个不同交点，其中，
因此两条曲线必过两个曲线的交点，
所以有，
因此有，
因为，，在上单调递增，
所以有，
同理，，而函数在单调递减，
所以有，而，所以，
因此成等比数列.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用构造新函数，利用导数的性质、结合放缩法进行运算证明.
18．（2024·上海宝山·统考一模）已知函数，，其中为自然对数的底数.
(1)求函数的图象在点处的切线方程；
(2)设函数，
①若，求函数的单调区间，并写出函数有三个零点时实数的取值范围；
②当时，分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)①单调区间见解析，，②.
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即得.
（2）①把代入，求出的导数，确定的解集得单调区间，结合极大值、极小值求出的范围；②由导数求出，构造函数并借助导数探讨不等式恒成立即可.
【详解】（1）函数，求导得，得，而，
所以切线方程为，即.
（2）函数的定义域为R，求导得，
①当时，，，由，得或，
当或时，，当时，，
因此函数的单调增区间为和，单调减区间为；
极大值，极小值，
又，
，
所以函数有三个零点时的取值范围为.
②令，得或，解得或，
当或时，，当时，，
即函数在，上单调递增，在上单调递减，
因此当时，取得极大值，当时，取得极小值，即有，
而，，
又不等式对任意恒成立，于是，
设，
显然，，
令，求导得，
则函数在上严格递减，有，
当时，，则有函数在上严格递减， ，符合题意；
当时，存在，使得，当时，，当时，，
因此函数在上严格递增，有，不符合题意，
所以实数的取值范围为.
【点睛】思路点睛：不等式恒成立或存在型问题，可构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
19．（2024·上海闵行·统考一模）已知，．
(1)若为函数的驻点，求实数的值；
(2)若，试问曲线是否存在切线与直线互相垂直？说明理由；
(3)若，是否存在等差数列、、，使得曲线在点处的切线与过两点、的直线互相平行？若存在，求出所有满足条件的等差数列；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，理由见解析
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）由已知可得出，可求得的值；
（2）由变形可得，利用零点存在定理判断出函数在区间上存在零点，即可得出结论；
（3）假设存在满足条件的等差数列、、符合题意，根据导数的几何意义可得出，整理可得即，令，设，利用导数分析函数的单调性，由此分析函数在上函数值的符号，即可得出结论.
【详解】（1）因为，其中，
则，
因为为函数的驻点，则，可得，
所以为函数的驻点时.
（2）当时，，则，
令，整理可得，
令，因为，，
且函数在上连续，由零点存在定理可知，存在，使得，
即方程在时有实根，
故当时，曲线上存在切线与直线互相垂直.
（3）当时，，则，
假设存在等差数列、、，
使得曲线在点处的切线与过两点、的直线互相平行，
则，
过两点、的直线的斜率为
，
令，即，
可得，即，
令，设，则，
所以，函数在上为增函数，则，
故等式不成立，
因此，不存在等差数列、、，
使得曲线在点处的切线与过两点、的直线互相平行.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
20．（2024上·上海虹口·高三统考期末）已知与都是定义在上的函数，若对任意，，当时，都有，则称是的一个“控制函数”．
(1)判断是否为函数的一个控制函数，并说明理由；
(2)设的导数为，，求证：关于的方程在区间上有实数解；
(3)设，函数是否存在控制函数？若存在，请求出的控制函数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)证明见解析
(3)存在，
【分析】（1）根据已知控制函数的定义，即可得出结论；
（2）设，，由其导数得出其在上的最大值为0，则，，变形化简得出，而在区间上的值域为，即可证明；
（3）由上面两问可看出控制函数可能是原函数的导数，证明，根据不等式的运算可以证明，发现控制函数可能是原函数的导数去掉常数项.
【详解】（1）对任意，则，且，
故是函数的一个控制函数；
（2）因为，则，
则，
，，
设，
在上，在上，
则在单调递减，在上单调递增，
最大值，
，，，，，
，，
则，
，即，
同理，，
，即
综上：，
，在区间上的值域为，
则在区间上有实数解.
（3），则，其中
，
，
，
，，
，则，即，
同理，
即，
则是的一个控制函数.
【点睛】关键点睛：对于函数的新定义题要理解好定义的内容，不等式运算时注意不等式的要求，变号时要多注意，一般的大题在前面的问题和后面的问题有联系，后面的问题没有思路时看看前面的问题，
21．（2024上·上海松江·高三统考期末）已知函数，记，．
(1)若，判断函数的单调性；
(2)若，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，则曲线上是否存在三个不同的点，使得曲线在三点处的切线互相重合？若存在，求出所有符合要求的切线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)函数在上是增函数
(2)
(3)存在，满足条件的切线方程为
【分析】（1）利用导数判断出在区间上的单调性.
（2）由分离参数，然后利用构造函数法，结合多次求导来求得的取值范围.
（3）先设出切线方程，然后根据切线重合列方程，由此进行分类讨论来求得切线方程.
【详解】（1）因为，当且仅当在时，，
所以函数在上是增函数．
（2）由题意得，，于是．
令，则，
令，则，
所以在上是严格减函数，于是，
由于，于是在上是严格减函数，
所以，因此，即．
（3）解法一：
设、、，则曲线在三点处的切线分别为直线
，
，
．
因为直线互相重合，所以，
且．
因为，
所以，，．
①若，，．
则，，，
于是，
因为，
所以，与三点互不重合矛盾．
②若，，中至少一个成立，
不妨设成立，则，
若，则，矛盾，舍去，
于是，，
所以满足要求的切线方程为或
解法2：
假设存在三个不同点在曲线上满足条件，
则，且互不相同.
曲线在三点处的切线方程分别为：
，
，
，
依题意，有
由①得，.
情形1：若，代入②得，
.
即，而，故，，
此时满足条件的切线方程为.
情形2：若，代入②得，
.
即，两式相减，
得，由于，故，
此时，与矛盾，舍去.
情形3：若，代入②得，
.
即，故，
则，与矛盾，舍去.
情形4：若，与情形3完全类似，舍去.
综上，满足条件的切线方程为.
解法3：
假设存在三个不同点在曲线上满足条件，
则，且互不相同.
曲线在三点处的切线方程分别为：
，
，
，
依题意，有
由①得，，
由②，令，
则，
即有，
平方，得
，
即
由于互不相同，即，
相减，得，于是，则，
此时满足条件的切线方程为.
【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.
22．（2024·上海嘉定·统考一模）中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示．
材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列，
(1)假设上表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并具体说明；
(2)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如下图所示，请问为何值时，其抗弯截面系数取得最大值，并据此分析李诫的观点是否合理．
【答案】(1)矩形截面的梁的截面形状最好.
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意，得到，，，结合题意，得到，得到结论；
（2）根据题意，得到，得到，求得函数的单调性，求得时，取得最大值，进而得到结论.
【详解】（1）解：假设截面面积均为正常数，
可得，，，
所以，
又因为，所以，所以,
综上，，于是矩形截面的梁的截面形状最好.
（2）解：由，
可得，
可得
所以，当时，取得最大值，
此时，当，于是，
因为的结论与抗弯系数理论的结论不同，但比较接近，是合理的，应肯定李诫从实践总总结的经验的实用价值，
考虑到所处的时代，从历史辩证的角度，其观点代表了我国古代在工程技术方面已经达到了较高的水平.
x
+
0
0
+
极大值
极小值
x
+
0
0
+
极大值
极小值
圆形截面
正方形截面
矩形截面
条件
r为圆半径
a为正方形边长
h为矩形的长，b为矩形的宽，
抗弯截面系数
极大值
一、导数的概念及几何意义
1．（2024·上海青浦·统考一模）若函数在处的导数等于，则的值为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据导数的定义式化简求值.
【详解】由已知得
，
故选：C.
2．（2024·上海青浦·统考一模）已知有穷等差数列的公差d大于零．
(1)证明：不是等比数列；
(2)是否存在指数函数满足：在处的切线的交轴于，在处的切线的交轴于，…，在处的切线的交轴于？若存在，请写出函数的表达式，并说明理由；若不存在，也请说明理由；
(3)若数列中所有项按照某种顺序排列后可以构成等比数列，求出所有可能的m的取值．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在指数函数满足条件，理由见解析
(3)3
【分析】（1）计算，得到证明；
（2）计算切线方程，令得，即，满足条件.
（3）举例说明时成立，考虑时，确定不可能所有项均为正数或均为负数，的前三项即为中最小的三项，确定，考虑，两种情况，根据等比数列性质得到，整理得到，，，验证不成立，得到答案.
【详解】（1），故不是等比数列.
（2）在处的切线方程为，
令得，因此，欲使满足条件，只需使，
令，则，满足条件， 故存在指数函数满足条件．
（3）取，则成等比数列，故满足条件．
考虑，
首先，不可能所有项均为正数或均为负数，
否则，对应的等比数列的公比为正，等比数列严格增或严格减，
从而即为等比数列，不可能．
其次，因为是等比数列，所以也是等比数列，不妨设严格增，
则的前三项即为中最小的三项，
则一定对应于中的连续三项，
不妨设，则．
①若，则，则成等比数列，不可能；
②若，则，则成等比数列，
，即，得，，，
而除了这三项外，最小值为或，
但和均无法与构成等比数列，因此不符合条件．
综上所述：所有可能的的值是3．
【点睛】关键点睛：本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据特殊例子确定满足条件，再考虑时不成立，是解题的关键.
二、导数在研究函数中的作用
3．（2024·上海闵行·统考一模）已知函数的导函数为，，且在R上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ）
①“”是“”的充要条件；
②“对任意都有”是“在R上为严格增函数”的充要条件．
A．①真命题；②假命题B．①假命题；②真命题
C．①真命题；②真命题D．①假命题；②假命题
【答案】C
【分析】对于①，构造函数，结合题设，判断“”和“”之间的逻辑推理关系，可判断其真假；对于②，结合函数单调性，判断必要性；采用反证思想，结合题设推出矛盾，说明充分性成立，判断②的真假.
【详解】对于①：
设，，则，
因为在R上为严格增函数，故，
即，则在R上单调递增，
由于，故，即。
即；
当成立时，即，
由于在R上单调递增，故，
故“”是“”的充要条件，①为真命题；
对于②，当在R上为严格增函数时，由对任意，则都有成立；
当对任意都有时，假设在R上不为严格增函数，
即不恒大于等于0，即，使得，
由于在R上为严格增函数，故时，，
此时在上单调递减，且其图象为一个严格递减的凹型曲线，
故当趋近于负无穷时，的值将趋近于正无穷大，
这与对任意都有矛盾，
则假设不成立，即“在R上为严格增函数”成立，
即“对任意都有”是“在R上为严格增函数”的充要条件，②为真命题，
故选：C
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断②中命题的充分性成立，解答时采用反证思想，推得矛盾，说明充分性成立.
4．（2024上·上海松江·高三统考期末）函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先判断的符号，由此求得不等式的解集.
【详解】由图象可知，在区间上，
在区间上，
所以不等式的解集为.
故选：C
5．（2024·上海青浦·统考一模）已知三个互不相同的实数、、满足，，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题中实数、、所满足等量关系，将用c表示，求出c范围，利用导数求出其单调性，进而得到范围.
【详解】由题，，
得，
得，
所以，
则，
又，
所以由韦达定理得a和b为关于x的方程的两不等根，
所以，
得，
再由，所以，
构造函数，
则，
得或，
所以在，上，单调递增，
在上，单调递减，
，，
，
所以在上范围为，
所以的取值范围为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题利用，之间关系，将变为一个变量，利用二次函数的性质、韦达定理，利用导数研究函数单调性，属于中档题.
6．（2024·上海金山·统考一模）设函数的定义域为，给定区间，若存在，使得，则称函数为区间上的“均值函数”，为函数的“均值点”．
(1)试判断函数是否为区间上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；如果不是，请说明理由；
(2)已知函数是区间上的“均值函数”，求实数的取值范围；
(3)若函数（常数）是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”．将区间任意划分成（）份，设分点的横坐标从小到大依次为，记，，．再将区间等分成（）份，设等分点的横坐标从小到大依次为，记．求使得的最小整数的值．
【答案】(1)为区间上的“均值函数”，且为其“均值点”
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，得到方程，求得，即可得到答案；
（2）设为该函数的“均值点”，则，根据题意转化为在上有解，分类讨论，结合对勾函数性质，即可求解；
（3）根据题意，得到方程，求得，得出，利用导数求得函数的单调性，得到，求得，结合，进而求得，利用指数幂的运算性质，即可求解.
【详解】（1）解：设函数是区间上的“均值函数”，且均值点为，
可得，解得或(舍).
故为区间上的“均值函数”，且为其“均值点”.
（2）解：设为该函数的“均值点”，则，
且，
即关于的方程在区间上有解，
整理得，
①当时，，方程无解.
②当时，可得.
令，则，且，
可得，
又由对勾函数性质，可得函数在上是严格减函数，
在上是严格减函数，在上严格增函数，
所以当时，可得，当，可得，
所以.
即实数的取值范围是.
（3）解：由函数是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”，
可得，即，
解得，所以，
则，
当时，，即在上单调递减，
所以()，
则，
又因为，
从而，，
所以，可得.，
由，即，可得，
故使得的最小整数的值为.
【点睛】方法指数总结：对于函数的新定义题型的求解策略：
（1）关于函数的新定义问题，关键是理解函数新定义的概念，根据函数的新定义的概念，挖掘其隐含条件，把新定义问题转化为函数关系或不等关系式等是解答的关键；
（2）关于函数的新定义问题，通常关联着函数的基本性质的综合应用，解答中要熟练掌握和应用函数的有关性质和一些重用的结论，同时注意合理应用数形结合、导数、均值不等式等知识点的应用，以及它们之间的逻辑关系，提升逻辑推理能力.
7．（2024·上海徐汇·统考一模）若函数的导函数是以为周期的函数，则称函数具有“性质”．
(1)试判断函数和是否具有“性质”，并说明理由；
(2)已知函数，其中具有“性质”，求函数在上的极小值点；
(3)若函数具有“性质”，且存在实数使得对任意都有成立，求证：为周期函数．
（可用结论：若函数的导函数满足，则（常数）．）
【答案】(1)不具有“性质”，具有“性质”，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据所给定义计算可得；
（2）法一：依题意可得可得对恒成立，再令、求出、的值，再利用导数求出函数的极小值点；法二：依题意可得，所以且，即可求出、的值，再利用导数求出函数的极小值点；
（3）令，则，从而得到（为常数），法一：分、、三种情况讨论；法二：分和两种情况讨论，当时，不妨令，记，推出矛盾即可得解.
【详解】（1）不具有“性质”．理由是：，，；
具有“性质”．理由是：，．
（2）法一：，则，
由可得对恒成立．
令，得 ①；令，得 ②．
得，因此，从而恒成立，
即有且．
由得，所以，当时，令可得，列表如下：
函数在的极小值点为．
法二：，
由，可得，
所以，
即，
所以，所以且，所以且且．
由得，所以，当时，令可得，列表如下：
函数在的极小值点为．
（3）令，因为具有“”性质
，
，
（为常数），
法一：
① 若，是以为周期的周期函数；
②若，由，
当时，，这与矛盾，舍去；
③若，由，
当时，，这与矛盾，舍去．
综上，．，所以是周期函数．
法二：
当时，，所以是周期函数．
当时，不妨令，记，其中表示不大于的最大整数．（同理可证），
若存在，这．
这与矛盾．
若存在，这．
这与矛盾．
若不存在，使得或，则，此时，与矛盾，故舍去．
综上，．，所以是周期函数．
【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
8．（2024上·上海浦东新·高三统考期末）设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”．
(1)判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由：
（i），（ii）；
(2)已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围；
(3)设，．设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为．若，且，求的最小值．
【答案】(1)是含谷函数，谷点；不是含谷函数，证明见解析.
(2)
(3)
【分析】（1）利用含谷函数定义判断函数的增减区间，再求谷点，证明函数是否为含谷函数；
（2）由题意可判断函数在区间内有谷点，利用谷点定义求参数取值范围；
（3）分别讨论函数的单调性，判断谷点所在区间，得到的解析式，再利用和消元求最值.
【详解】（1）函数，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是含谷函数，谷点；
函数，求导恒成立，函数单调递增，所以不是含谷函数.
（2）由题意可知函数在区间内先减后增，且存在谷点，
令，所以，
设，
所以，由可知恒成立，
所以在区间上单调递增，
若满足谷点，则有，解得，
故m的取值范围是.
（3）因为，
所以，
若恒成立，
则函数在时严格增，在时严格减，不是谷函数，不满足题意；
因此关于x的方程有两个相异实根，即，
设两根为，且，
因为，所以函数在区间上不为严格增，
但是当时，，为严格增，
所以在区间上的单调性至少改变一次，从而必有一个驻点，即，
同理，因为，所以，
因此，在区间和上严格增，在区间和上严格减，
从而函数的含谷区间必满足，
即，
因为，
，
由得，所以，
由得，所以，
所以，
当时，，
当时，，
因此的最小值为，当时成立.
【点睛】关键点睛：（1）利用谷点定义判断函数是否为含谷函数；
（2）根据谷点性质求参数的取值范围；
（3）将导数分解因式，利用二次函数性质讨论的单调性，进而得到和，求函数最值.
9．（2024上·上海·高三上海市七宝中学校联考阶段练习）已知函数，，其中为自然对数的底数，设函数，
(1)若，求函数的单调区间，并写出函数有三个零点时实数的取值范围；
(2)当时，分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
(3)对于函数，若实数满足，其中F、D为非零实数，则称为函数的“笃志点”.
①已知函数，且函数有且只有3个“笃志点”，求实数a的取值范围；
②定义在R上的函数满足：存在唯一实数m，对任意的实数x，使得恒成立或恒成立.对于有序实数对，讨论函数“笃志点”个数的奇偶性，并说明理由
【答案】(1)函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，
(2)
(3)①；②答案见解析
【分析】（1）求导得到单调区间，计算极值，画出函数图像，根据图像得到答案.
（2）求导得到导函数，确定极值点和单调区间，确定，构造新函数，确定函数的单调区间，计算最值，考虑和两种情况，根据函数的单调性计算最值即可.
（3）①考虑，，三种情况，代入数据，构造新函数，根据二次函数根的分布得到范围；②确定，比较与的大小关系，得到，得到答案.
【详解】（1），
，
当时，，，故，函数单调递增；
当时，，，故，函数单调递减；
当时，，，故，函数单调递增；
综上所述：函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
，，画出函数图像，如图所示：
根据图像知.
（2），，
取，得到或，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
故是极大值点，是极小值点，
恒成立，
，，故，
设，，
，
设，则恒成立，
故在上单调递减，，
当时，，函数单调递减，；
当时，存在，使得，
时，，函数单调递减；时，，函数单调递增；
故，不成立；
综上所述：.
（3）①有三个不等的实数根，
当时，，故，解得，不符合；
当时，，故，即，
令，则在上恒成立，故在上单调递增，故，
故当时，在有1个“笃志点”；
当时，，故，
则，由于至多有两个根，
结合前面分析的取值范围为的子集，
令，其中，
，当时，，
的图象的对称轴为，
故在上有两个不相等的实数根，
综上所述：
函数有且只有3 个“笃志点”，则实数的取值范围为；
② 定义在上的函数满足：
存在唯一实数，对任意的实数，使得恒成立，
故，，
因为，所以，
即，
比较与的大小关系，
若存在，使得，即，
则有成立，
故对于有序实数对，函数“笃志点” 个数为奇数个，
同理，对于定义在上的函数满足：
存在唯一实数，对任意的实数，使得恒成立，
故，，
因为，所以，
即，可得到同样的结论；综上所述：若存在，使得，
则函数“笃志点”个数为奇数个，
否则，函数“笃志点”个数为偶数个.
【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义问题，利用导航求参数范围，函数的最值极值，零点问题和恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论的方法是解题的关键，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.
10．（2024·上海长宁·统考一模）若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数的“约束函数”.已知函数是函数的“约束函数”.
(1)若，判断函数的奇偶性，并说明理由：
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若为严格减函数，，且函数的图像是连续曲线，求证：是上的严格增函数.
【答案】(1)是偶函数；理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意结合偶函数的定义分析证明；
（2）根据题意结合的单调性分析可得，，设，，可知与均为上的严格增函数，利用导数分析求解；
（3）根据题意分析可得任意，都有，利用反证法先证当时，，再明当时，，即可得结果.
【详解】（1）因为，故对任意的都有．
又因为函数是函数的“约束函数”，
则对任意，都有，
取，可得恒成立，
即对任意的成立，故是偶函数；
（2）因为是上的严格增函数，则是上的严格增函数，
设，则，
进而，
可得，，
所以，，
设，，
则与均为上的严格增函数，
因为，恒成立，
对于恒成立，
因为，，当且仅当时，等号成立，
所以，解得得，
当时，恒成立，
所以实数的取值范围为.
（3）设，因为是严格减函数，所以，即，
而，所以，
所以对任意，都有，
①首先证明：当时，，
假设存在，且，
设，则，，
所以存在，使得，
得，与结论对任意，矛盾，
所以不存在，使得，
同理可得：也不存在，使得，
所以当时，.
②再证明：当时，，
假设存在，使得，则，
设，则，，
所以存在，使得，
得，与结论对任意，矛盾，
所以假设不成立，即对任意，都有
所以是上的严格增函数.
【点睛】关键点睛：“新定义”题型的关键是根据新定义的概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解，（3）中也结合反证法分析求解.
11．（2024·上海普陀·统考一模）设函数的表达式为.
(1)求证：“”是“函数为偶函数”的充要条件；
(2)若，且，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2)或.
【分析】（1）根据给定条件，利用偶函数的定义、结合充要条件的意义推理即得.
（2）利用偶函数性质及在的单调性求解不等式即可.
【详解】（1）函数的定义域为R，不恒为0，
函数为偶函数
，
所以“”是“函数为偶函数”的充要条件.
（2）当时，，求导得，函数在R上单调递增，
当时，，即函数在单调递增，又是偶函数，
因此，
即，解得或，
所以实数的取值范围是或.
12．（2024·上海崇明·统考一模）已知．
(1)若函数是实数集R上的严格增函数，求实数m的取值范围；
(2)已知数列是等差数列（公差），．是否存在数列使得数列是等差数列？若存在，请写出一个满足条件的数列，并证明此时的数列是等差数列；若不存在，请说明理由；
(3)若，是否存在直线满足：①对任意的都有成立，
②存在使得？若存在，请求出满足条件的直线方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在数列，数列满足：，证明见解析
(3)存在直线满足题意，直线方程为
【分析】（1）此题分析题意，根据实数集题意可得对任意的R都成立，故可得出答案.
（2）利用等差数列性质，结合题意，首先得出对一切正整数成立.
再经过化简计算得出结果.
（3）首先分析题意，按三种不同情况进行分析，最后得出直线方程为.
【详解】（1）（1）因为函数是实数集R上的严格增函数，
所以对任意的R都成立
因为函数的最小值为，所以
（2），若是等差数列，则对一切正整数成立，
即，
将代入化简得，
即，
展开化简得对一切正整数成立，所以，
故；
此时
，所以为常数，
故是等差数列
（3）令
则当时，
时，存在使得，
即存在使得，与题意不符
同理，时，存在使得，与题意不符
时，
当时，显然存在使得，即存在使得
当时，对任意的都有，
当时，存在，使得，且对任意的都有，即对任意的都有
综上，存在直线满足题意，直线方程为
13．（2024·上海普陀·统考一模）若存在常数，使得数列满足（，），则称数列为“数列”.
(1)判断数列：1，2，3，8，49是否为“数列”，并说明理由；
(2)若数列是首项为的“数列”，数列是等比数列，且与满足，求的值和数列的通项公式；
(3)若数列是“数列”，为数列的前项和，，，试比较与的大小，并证明.
【答案】(1)不是“”数列
(2)，
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据“数列”的定义进行判断，说明理由；
（2）根据是首项为2的“数列”，求出，由是等比数列，设公比为，由，可得，作差可得，利用前三项数列，可以求解和，进而求解等比数列的通项公式；
（3）根据题意构造函数，求导并判断在上单调递增，由是 “数列”与，反复利用，可得对于任意的，,进而得到，推出，再利用在上单调递增，得到，通过已知条件变形推出.
【详解】（1）根据“数列”的定义，则，故，
因为成立，成立，不成立，
所以不是“数列”.
（2）由是首项为的“数列”，则，，
由是等比数列，设公比为，
由，
则，
两式作差可得，
即
由是 “数列”，则，对于恒成立，
所以，
即对于恒成立，
则，即，
解得，，，
又由，，则，即
故所求的，数列的通项公式
（3）设函数，则，令，
解得，当时，，
则在区间单调递减，
且，
又由是 “数列”，
即 ，对于恒成立，
因为，则，
再结合，
反复利用，
可得对于任意的，,
则，
即，则，
即，，，，
相加可得，
则,
又因为在上单调递增，
所以，
又，所以，
即，
故.
【点睛】关键点睛：本题主要数列的新定义题型，紧扣题意进行求解，同时构造函数，利用导数判断单调是证明不等式的关键.
三、导数的综合应用
14．（2024·上海崇明·统考一模）若存在实数，对任意实数，使得不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】不等式等价于，原命题等价于存在实数，，对任意实数不等式恒成立，等价于存在实数，，不等式成立，分别讨论，，，的情况，先求出，再求出即可解决问题.
【详解】不等式等价于即，
原命题等价于存在实数，，对任意实数不等式恒成立，
等价于存在实数，，不等式成立，
记，则，
（1）当时，对任意，恒成立，即在上单调递减
①当，即时，，
②当，即时，，
从而当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以；
（2）当时，令，解得，
在区间上单调递增，在上单调递减，
，，，
①当时，此时，
当即时，，
当即时，，
从而当时，，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增,
所以；
令，则，，记，
则，
当时，恒成立，
即在区间上单调递减，即，
即；
②当时，此时，
当即时，，
当即时，，
从而当时，，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以；
（3）当时，对任意，恒成立，即在上单调递增，
①当，即时，，
②当，即时，，
从而当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以；
综上所述，，
所以.
故选：A
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
15．（2024·上海普陀·统考一模）设函数，若对任意，皆有成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据导数的几何意义转化为对任意恒成立，再代入，利用分离参数法即可得到答案.
【详解】，即，
即，即对任意恒成立，
，即对任意恒成立，
对任意恒成立，则，
设，则，令，解得，
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
则，则，
故答案为：.
16．（2024·上海杨浦·统考一模）设函数，.
(1)求方程的实数解；
(2)若不等式对于一切都成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）转化为关于的一元二次方程求解即可；
（2）分离参数后，构造函数，利用导数求函数的最小值即可得解.
【详解】（1）由知，方程为，
即，
解得，即.
（2）不等式即，
原不等式可化为对于一切都成立，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
故当时，，
所以.
17．（2024·上海嘉定·统考一模）已知．
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)请严格证明曲线有唯一交点；
(3)对于常数，若直线和曲线共有三个不同交点，其中，求证：成等比数列．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明过程见解析
(3)证明过程见解析
【分析】（1）根据导数的性质，结合极值的定义进行求解即可；
（2）构造新函数利用导数的性质，结合函数零点存在原理进行求解即可；
（3）根据题意得到，结合（1）中结论、等比数列的定义进行运算证明即可.
【详解】（1）由题意可知：的定义域为，的定义域为，
，
当时，得，此时函数单调递增，
当时，得，此时函数单调递减，
因此函数极大值为，
单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，得，此时函数单调递增，
当时，得，此时函数单调递减，
因此函数极大值为，
单调递增区间为，单调递减区间为，
所以函数极大值为，单调递增区间为，单调递减区间为；
函数极大值为，单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）设，
设，
设，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，
设，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，
因此有，当时取等号，
于是有，
因此单调递减，而，
根据函数零点存在原理，当时，函数在内有唯一零点，
因此有唯一实根，因此曲线有唯一交点.
（3）由（1）可知两个函数的最大值均为，
且函数单调递增区间为，单调递减区间为；
函数单调递增区间为，单调递减区间为，
由（2）可知曲线有唯一交点，且交点在内，
因为直线和曲线共有三个不同交点，其中，
因此两条曲线必过两个曲线的交点，
所以有，
因此有，
因为，，在上单调递增，
所以有，
同理，，而函数在单调递减，
所以有，而，所以，
因此成等比数列.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用构造新函数，利用导数的性质、结合放缩法进行运算证明.
18．（2024·上海宝山·统考一模）已知函数，，其中为自然对数的底数.
(1)求函数的图象在点处的切线方程；
(2)设函数，
①若，求函数的单调区间，并写出函数有三个零点时实数的取值范围；
②当时，分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)①单调区间见解析，，②.
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即得.
（2）①把代入，求出的导数，确定的解集得单调区间，结合极大值、极小值求出的范围；②由导数求出，构造函数并借助导数探讨不等式恒成立即可.
【详解】（1）函数，求导得，得，而，
所以切线方程为，即.
（2）函数的定义域为R，求导得，
①当时，，，由，得或，
当或时，，当时，，
因此函数的单调增区间为和，单调减区间为；
极大值，极小值，
又，
，
所以函数有三个零点时的取值范围为.
②令，得或，解得或，
当或时，，当时，，
即函数在，上单调递增，在上单调递减，
因此当时，取得极大值，当时，取得极小值，即有，
而，，
又不等式对任意恒成立，于是，
设，
显然，，
令，求导得，
则函数在上严格递减，有，
当时，，则有函数在上严格递减， ，符合题意；
当时，存在，使得，当时，，当时，，
因此函数在上严格递增，有，不符合题意，
所以实数的取值范围为.
【点睛】思路点睛：不等式恒成立或存在型问题，可构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
19．（2024·上海闵行·统考一模）已知，．
(1)若为函数的驻点，求实数的值；
(2)若，试问曲线是否存在切线与直线互相垂直？说明理由；
(3)若，是否存在等差数列、、，使得曲线在点处的切线与过两点、的直线互相平行？若存在，求出所有满足条件的等差数列；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，理由见解析
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）由已知可得出，可求得的值；
（2）由变形可得，利用零点存在定理判断出函数在区间上存在零点，即可得出结论；
（3）假设存在满足条件的等差数列、、符合题意，根据导数的几何意义可得出，整理可得即，令，设，利用导数分析函数的单调性，由此分析函数在上函数值的符号，即可得出结论.
【详解】（1）因为，其中，
则，
因为为函数的驻点，则，可得，
所以为函数的驻点时.
（2）当时，，则，
令，整理可得，
令，因为，，
且函数在上连续，由零点存在定理可知，存在，使得，
即方程在时有实根，
故当时，曲线上存在切线与直线互相垂直.
（3）当时，，则，
假设存在等差数列、、，
使得曲线在点处的切线与过两点、的直线互相平行，
则，
过两点、的直线的斜率为
，
令，即，
可得，即，
令，设，则，
所以，函数在上为增函数，则，
故等式不成立，
因此，不存在等差数列、、，
使得曲线在点处的切线与过两点、的直线互相平行.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
20．（2024上·上海虹口·高三统考期末）已知与都是定义在上的函数，若对任意，，当时，都有，则称是的一个“控制函数”．
(1)判断是否为函数的一个控制函数，并说明理由；
(2)设的导数为，，求证：关于的方程在区间上有实数解；
(3)设，函数是否存在控制函数？若存在，请求出的控制函数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)证明见解析
(3)存在，
【分析】（1）根据已知控制函数的定义，即可得出结论；
（2）设，，由其导数得出其在上的最大值为0，则，，变形化简得出，而在区间上的值域为，即可证明；
（3）由上面两问可看出控制函数可能是原函数的导数，证明，根据不等式的运算可以证明，发现控制函数可能是原函数的导数去掉常数项.
【详解】（1）对任意，则，且，
故是函数的一个控制函数；
（2）因为，则，
则，
，，
设，
在上，在上，
则在单调递减，在上单调递增，
最大值，
，，，，，
，，
则，
，即，
同理，，
，即
综上：，
，在区间上的值域为，
则在区间上有实数解.
（3），则，其中
，
，
，
，，
，则，即，
同理，
即，
则是的一个控制函数.
【点睛】关键点睛：对于函数的新定义题要理解好定义的内容，不等式运算时注意不等式的要求，变号时要多注意，一般的大题在前面的问题和后面的问题有联系，后面的问题没有思路时看看前面的问题，
21．（2024上·上海松江·高三统考期末）已知函数，记，．
(1)若，判断函数的单调性；
(2)若，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，则曲线上是否存在三个不同的点，使得曲线在三点处的切线互相重合？若存在，求出所有符合要求的切线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)函数在上是增函数
(2)
(3)存在，满足条件的切线方程为
【分析】（1）利用导数判断出在区间上的单调性.
（2）由分离参数，然后利用构造函数法，结合多次求导来求得的取值范围.
（3）先设出切线方程，然后根据切线重合列方程，由此进行分类讨论来求得切线方程.
【详解】（1）因为，当且仅当在时，，
所以函数在上是增函数．
（2）由题意得，，于是．
令，则，
令，则，
所以在上是严格减函数，于是，
由于，于是在上是严格减函数，
所以，因此，即．
（3）解法一：
设、、，则曲线在三点处的切线分别为直线
，
，
．
因为直线互相重合，所以，
且．
因为，
所以，，．
①若，，．
则，，，
于是，
因为，
所以，与三点互不重合矛盾．
②若，，中至少一个成立，
不妨设成立，则，
若，则，矛盾，舍去，
于是，，
所以满足要求的切线方程为或
解法2：
假设存在三个不同点在曲线上满足条件，
则，且互不相同.
曲线在三点处的切线方程分别为：
，
，
，
依题意，有
由①得，.
情形1：若，代入②得，
.
即，而，故，，
此时满足条件的切线方程为.
情形2：若，代入②得，
.
即，两式相减，
得，由于，故，
此时，与矛盾，舍去.
情形3：若，代入②得，
.
即，故，
则，与矛盾，舍去.
情形4：若，与情形3完全类似，舍去.
综上，满足条件的切线方程为.
解法3：
假设存在三个不同点在曲线上满足条件，
则，且互不相同.
曲线在三点处的切线方程分别为：
，
，
，
依题意，有
由①得，，
由②，令，
则，
即有，
平方，得
，
即
由于互不相同，即，
相减，得，于是，则，
此时满足条件的切线方程为.
【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.
22．（2024·上海嘉定·统考一模）中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示．
材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列，
(1)假设上表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并具体说明；
(2)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如下图所示，请问为何值时，其抗弯截面系数取得最大值，并据此分析李诫的观点是否合理．
【答案】(1)矩形截面的梁的截面形状最好.
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意，得到，，，结合题意，得到，得到结论；
（2）根据题意，得到，得到，求得函数的单调性，求得时，取得最大值，进而得到结论.
【详解】（1）解：假设截面面积均为正常数，
可得，，，
所以，
又因为，所以，所以,
综上，，于是矩形截面的梁的截面形状最好.
（2）解：由，
可得，
可得
所以，当时，取得最大值，
此时，当，于是，
因为的结论与抗弯系数理论的结论不同，但比较接近，是合理的，应肯定李诫从实践总总结的经验的实用价值，
考虑到所处的时代，从历史辩证的角度，其观点代表了我国古代在工程技术方面已经达到了较高的水平.
x
+
0
0
+
极大值
极小值
x
+
0
0
+
极大值
极小值
圆形截面
正方形截面
矩形截面
条件
r为圆半径
a为正方形边长
h为矩形的长，b为矩形的宽，
抗弯截面系数
极大值
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