考题猜想5-2 一元一次不等式 （利用一元一次不等式（组）解决实际问题8种类型）（原卷版+解析版）

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【考试题型1】工程问题
1．（2023·江苏盐城·模拟预测）为建设合肥市现代化滨湖大城市，有关部门对该地区一条长为550米的河道进行疏通清理工作．该项目由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天清理河道的能力是乙工程队每天清理能力的1.5倍，并且清理240米河道甲工程队比乙工程队少用4天．
(1)求甲、乙两工程队每天分别可以清理河道多少米？
(2)若甲工程队每天的费用为3万元，乙工程队每天的费用为2.4万元，要使本次清理工作的总费用不高于60万元，至少应安排甲工程队清理多少天？
【答案】(1)乙工程队每天可以清理河道20米，甲工程队每天可以清理河道30米
(2)至少应安排甲工程队清理10天
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解决问题的关键是：找到各数量之间的关系，列出关系式．
（1）设乙工程队每天可以清理河道x米，则甲工程队每天可以清理河道米，根据“清理240米河道甲工程队比乙工程队少用4天”，列出等量关系式，即可求解，
（2）设应安排甲工程队清理m天，则乙工程队清理天，根据“本次清理工作的总费用不高于60万元”，列出关系式，即可求解，
【详解】（1）解：设乙工程队每天可以清理河道x米，则甲工程队每天可以清理河道米，
由题意可得：，
∴，
经检验，是原方程的解，
∴（米），
答：乙工程队每天可以清理河道20米，甲工程队每天可以清理河道30米；
（2）解：设应安排甲工程队清理m天，则乙工程队清理天，
由题意可得：，
∴，
∴至少应安排甲工程队清理10天．
2．（22-23八年级下·陕西西安·阶段练习）某地计划修建一条长48千米的乡村公路，已知甲工程队修路的速度是乙工程队修路速度的倍，乙工程队单独完成本次修路任务比甲工程队单独完成多20天．
(1)求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米?
(2)已知甲工程队修路费用为20万元/千米，乙工程队修路费用为15万元/千米．甲工程队先单独修路若干天后，接到其它任务需要离开，剩下的工程由乙工程队单独完成．若要使修路总时间不超过55天，总费用低于820万元，且甲工程队所修路程需为整数，请问共有几种修路方案?哪种方案最省钱?
【答案】(1)甲工程队每天修路千米，乙工程队每天修路千米
(2)共有8种修路方案，甲工程队修路12千米，乙工程队修路36千米最省钱
【分析】（1）设乙工程队每天修路千米，则甲工程队每天修路千米，利用工作时间工作总量工作效率，结合乙工程队单独完成本次修路任务比甲工程队单独完成多20天，可得出关于的分式方程，解之经检验后可得出乙工程队每天修路的长度，再将其代入中，即可求出甲工程队每天修路的长度；
（2）设甲工程队修路千米，则乙工程队修路千米，根据“要使修路总时间不超过55天，且总费用低于820万元”，可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数，可得出共有8种修路方案，设修路的总费用为万元，利用修路的总费用甲工程队修每千米路的费用甲工程队修路的长度乙工程队修每千米路的费用乙工程队修路的长度，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可找出最省钱的修路方案．
【详解】（1）解：设乙工程队每天修路千米，则甲工程队每天修路千米，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：甲工程队每天修路千米，乙工程队每天修路千米；
（2）设甲工程队修路千米，则乙工程队修路千米，
根据题意得：，
解得：，
为整数，
共有（种）修路方案．
设修路的总费用为万元，则，
即，
，
随的增大而增大，
又，且为整数，
当时，取得最小值，此时．
答：共有8种修路方案，最省钱的修路方案为：甲工程队修路12千米，乙工程队修路36千米．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
3．（23-24八年级下·全国·课后作业）在国道202公路改建工程中，某路段长，由甲、乙两个工程队拟在30天内（含30天）合作完成．已知两个工程队各有10名工人（设甲、乙两个工程队的工人全部参与改建，两工程队内每人每天的工作量相同）．甲工程队1天、乙工程队2天共修路；甲工程队2天、乙工程队3天共修路．
(1)试问甲、乙两个工程队每天分别修路多少米？
(2)已知甲工程队每天的施工费用为万元，乙工程队每天的施工费用为万元，要使该工程的施工费用最低，甲，乙两队需各做多少天？最低费用为多少？
【答案】(1)甲队每天修路，乙队每天修路
(2)甲队做30天，乙队做20天，最低费用为25万元
【分析】此题考查了一次函数、二元一次方程组、一元一次不等式组的应用，根据题意正确列出方程组和一次函数是解题的关键．
（1）设甲队每天修路x m，乙队每天修路y m，根据甲工程队1天、乙工程队2天共修路；甲工程队2天、乙工程队3天共修路列出方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设甲工程队需做a天，乙工程队需做b天，先求出.设总费用为W万元，得到 .再根据一次函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：设甲队每天修路x m，乙队每天修路y m，
解得
答：甲队每天修路，乙队每天修路.
（2）设甲工程队需做a天，乙工程队需做b天，
，
，
∵，
∴，
解得.
又∵，
∴.
设总费用为W万元，依题意，得
.
∵，
∴当时， (万元)，
∴ (天).
∴甲队做30天，乙队做20天，最低费用为25万元
【考试题型2】销售利润问题
4．（23-24八年级下·河南郑州·期中）某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失，假设不计超市其它费用
(1)如果超市在进价的基础上提高作为售价，那么请你通过计算说明超市是否亏本；
(2)如果超市至少要获得的利润，请通过计算说明这种水果的售价最低应提高百分之几？
【答案】(1)超市亏本
(2)这种水果的售价最低应提高
【分析】考查了一元一次不等式的应用， 解题的关键是：
（1）假设超市购进这批水果的总量为千克，每千克进价为元，表示出超市最终的销售额，然后总进价比较即可；
（2）设这种水果的售价最低应提高，根据关系式：总售价-总进价进价进行计算即可．
【详解】（1）解：假设超市购进这批水果的总量为千克，每千克进价为元，
超市最终的销售额为（元）．
，
这一次销售中，超市亏本．
（2）解：假设超市购进这批水果的总量为千克，每千克进价为元，
设这种水果的售价最低应提高，
依题意，得：，
解得：．
答：这种水果的售价最低应提高．
5．（23-24七年级下·福建泉州·期中）某电器经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的微波炉，若购进1台甲型微波炉和2台乙型微波炉，共需要资金2600元；若购进2台甲型微波炉和3台乙型微波炉，共需要资金4400元．
(1)求甲、乙型号的微波炉每台进价为多少元？
(2)该店计划购进甲、乙两种型号的微波炉销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.76万元的资金购进这两种型号的微波炉共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案；
(3)甲型微波炉的售价为1400元，售出一台乙型微波炉的利润率为．为了促销，公司决定甲型微波炉九折出售，而每售出一台乙型微波炉，返还顾客现金元，要使（2）中所有方案获利相同，则的值应为多少？
【答案】(1)甲型号微波炉每台进价为1000元，乙型号微波炉每台进价为800元
(2)有3种进货方案，分别为：甲型号8台则乙型号12台；甲型号9台则乙型号11台；甲型号10台则乙型号10台
(3)要使（2）中所有方案获利相同，则的值应为100元
【分析】（1）设甲型号微波炉每台进价为元，乙型号微波炉每台进价为元，然后由题意可列方程组进行求解；
（2）设购进甲型号微波炉为台，则乙型号微波炉为台，然后根据题意可列不等式组进行求解的范围，然后根据为正整数可求解；
（3）设总利润为，则由（2）可得，进而根据题意可求解，
本题主要考查二元一次方程组及不等式组的应用，熟练掌握二元一次方程组及不等式组的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：（1）设甲型号微波炉每台进价为元，乙型号微波炉每台进价为元，
根据题意得：，解得：，
答：甲型号微波炉每台进价为1000元，乙型号微波炉每台进价为800元．
（2）解：设购进甲型号微波炉为台，则乙型号微波炉为台，由（1）及题意得：
，
解得：，
∵为正整数，
∴的值为8、9、10，
∴有3种进货方案，分别为：甲型号8台则乙型号12台；甲型号9台则乙型号11台；甲型号10台则乙型号10台．
（3）解：设总利润为，则由（2）可得：
，
∵（2）中方案利润要相同，
∴，解得：，
答：要使（2）中所有方案获利相同，则的值应为100．
6．（23-24七年级下·四川内江·期中）已知某服装厂现有A种布料69米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M、N两种型号的服装80套．已知做一套M型号的服装需要用A种布料0.6米，B种布料0.9米，做一套N型号的服装需要用A种布料1.1米，B种布料0.4米．
(1)有哪几种符合题意的生产方案？
(2)若做一套M型号的服装可获利45元，做一套N型号的服装可获利50元，问：哪种设计方案可使该厂获利最大，最大利润是多少？
【答案】(1)故有三种符合题意得生产方案，具体如下：方案一：生产M型号的服装38套，生产N型号的服装42套；方案二：生产M型号的服装39套，生产N型号的服装41套；方案三：生产M型号的服装40套，生产N型号的服装40套；
(2)生产M型号的服装38套，生产N型号的服装42套获利最大，最大为3810元
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用和一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
（1）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得的取值范围，然后即可得到相应的生产方案；
（2）根据题意，由（1）分别计算出三种方案的利润，再进行比较即可．
【详解】（1）设生产M型号的服装x套，生产N型号的服装（）套，则
解得：
∵x为整数
∴、39、40
故有三种符合题意得生产方案，具体如下：
方案一：生产M型号的服装38套，生产N型号的服装42套；
方案二：生产M型号的服装39套，生产N型号的服装41套；
方案三：生产M型号的服装40套，生产N型号的服装40套；
（2）方案一获利获利最大，理由如下：
方案一：生产M型号的服装38套，生产N型号的服装42套；
获利为：（元）
方案二：生产M型号的服装39套，生产N型号的服装41套；
获利为：（元）
方案三：生产M型号的服装40套，生产N型号的服装40套；
获利为：（元）
故生产M型号的服装38套，生产N型号的服装42套获利最大，最大为3810元．
【考试题型3】行程问题
7．（21-22八年级上·广东广州·期末）列方程解应用题：小明的爸爸出差回家后，小明发现爸爸的通信大数据行程卡上显示1天内爸爸去过深圳、广州、湛江．已知广州到深圳的路程为140公里，比广州到湛江的路程少280公里，小明爸爸驾车从广州到深圳的平均车速和广州到湛江的平均车速比为7：6，从广州到湛江的时间比从广州到深圳的时间多5小时．
(1)求广州到深圳的平均车速；
(2)从广州到湛江时，若小明的爸爸至少要提前2小时到达，则平均车速应满足什么条件？
【答案】(1)70km/h
(2)平均车速应不小于
【分析】（1）设广州到深圳的平均车速为 km/h，则广州到湛江的平均车速为 km/h，根据题意得，列分式方程，解方程求解即可；
（2）设小明的爸爸从广州到湛江，速度为，根据题意列一元一次不等式，解不等式求解即可．
【详解】（1）设广州到深圳的平均车速为 km/h，则广州到湛江的平均车速为 km/h，根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解
则广州到深圳的平均车速为．
答：广州到深圳的平均车速为．
（2）广州到湛江路程为：，
原来需要的时间为，
设小明的爸爸至少要提前2小时到达，速度为，
则，
解得，
即平均车速应不小于．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找到等量关系和不等关系是解题的关键．
8．（23-24八年级上·重庆渝中·期末）“元旦节”假期最后一天，李老师驾车从老家沿高速路回主城，途中依次经过四地，其中和路程均为为高速出口，且在出口旁有加油站，的路程为．李老师用2小时通过路段，其中通过路段的平均速度是通讨路段的1.2倍．
(1)求李老师通过路段的平均速度．
(2)李老师所驾驶汽车的“最佳油耗时速”为（以此速度行驶时油耗最低），以“最佳油耗时速”行驶，每100公里耗油为，速度每增加，每100公里耗油增加．当他经过地时的时间为上午9：30，发现此时油箱里还剩余燃油．若李老师要在中午12：00前通过地，同时通讨地时燃油未耗尽，求他在路段的平均时速的取值范围．
【答案】(1)李老师通过路段的平均速度为
(2)李老师通过路段的速度应大于小于
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用．
（1）设李老师通过路段的平均速度为，则李老师通过路段的平均速度为，利用时间路程度数，结合李老师用2小时通过路段，可列出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设李老师在路段的平均时速为，则每100公里耗油，根据“李老师要在中午前通过地，同时通过地时燃油未耗尽”，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设李老师通过路段的平均速度为，则李老师通过路段的平均速度为，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：李老师通过路段的平均速度为；
（2）解：共，．
设李老师在路段的平均时速为，则每100公里耗油，
根据题意得：，
解得：．
答：李老师在路段的平均时速大于小于．
9．（22-23七年级下·重庆永川·期末）甲、乙两人共同设计了一条从A地到B地，B地到C地，C地到D地的路线．某一天上午10点，甲骑自行车从A地出发，沿该路线匀速行驶40千米后恰好到达B地，到达B地的时间是当天中午12点，在B地原地休息30分钟后，以原来的速度沿该路线匀速行驶40千米后恰好到达C地，到达C 地后立即以原来的速度按原行驶路线匀速行驶返回A地．在甲出发小时后，乙开小汽车从A地出发，沿该路线匀速行驶直接到达C地，到达C地后立即沿该路线匀速行驶5千米恰好到达D地，在D地休息小时后，立即以原来的速度按原行驶路线匀速行驶返回A地．已知在行驶的过程中，乙的速度是甲的3倍．
(1)求甲、乙两人行驶的速度；
(2)在甲从B地到C地的行驶过程中，若乙与甲第一次相遇，且相遇地点不与B地和C地重合，求的取值范围；
(3)当时，甲、乙两人能否在B地与C地之间（不包括B地与C地）相遇2次？如果能，请求出的取值范围，如果不能，请说明理由．
【答案】(1)甲行驶的速度是20千米/时，乙行驶的速度是60千米/时
(2)
(3)当时，甲、乙两人能在B地与C地之间（不包括B地与C地）相遇2次，所求的取值范围是
【分析】（1）根据甲的路程和时间求出速度，从而得到乙的速度；
（2）根据题意列出不等式组，解之可得x的范围；
（3）分若乙与甲第二次相遇时还在甲从B地到C地的行驶过程中，若乙与甲第二次相遇时是在甲从C地返回B地的行驶过程中，两种情况，列出不等式组，根据解集即可得解．
【详解】（1）解：由题意，知甲从A地到B地用了2小时，行程是40千米，
∴甲行驶的速度是（千米/时）．
∵乙的速度是甲的3倍，
∴乙行驶的速度是（千米/时）．
答：甲行驶的速度是20千米/时，乙行驶的速度是60千米/时．
（2）由题意，得，
解之，得．
答：所求的取值范围是．
（3）∵，
∴由（2）可知，当时，在甲从B地到C地的行驶过程中，乙与甲第一次相遇．
若乙与甲第二次相遇时还在甲从B地到C地的行驶过程中，
则，即，此不等式组无解．
若乙与甲第二次相遇时是在甲从C地返回B地的行驶过程中，
则有，
解之，得．
答：当时，甲、乙两人能在B地与C地之间（不包括B地与C地）相遇2次，所求的取值范围是．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，题中条件较多，要仔细理解题干，抽象出不等式组．
【考试题型4】比赛积分问题
10．（2024·广东深圳·二模）投壶是中国古代的一种弓箭投掷游戏，弓箭投入壶内、壶耳会得到不同的分数，落在地上不得分．小龙与小华每人拿10支箭进行游戏，游戏结果如下：
(1)求一支弓箭投入壶内、壶耳各得几分？
(2)小丽也加入游戏，投完10支箭后，有2支弓箭落到了地上，若小丽赢得了比赛，则她至少投入壶内几支箭？
【答案】(1)一支弓箭投入壶内得5分，投入壶耳得3分
(2)她至少投入壶内2支箭
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确列出方程组和不等式是解答本题的关键．
（1）设一支弓箭投入壶内得x分，投入壶耳得y分，根据小龙得了27分，小华得了24分列方程组求解即可；
（2）根据小丽赢得了比赛列不等式求解即可．
【详解】（1）设一支弓箭投入壶内得x分，投入壶耳得y分，根据题意得
解得
答：一支弓箭投入壶内得5分，投入壶耳得3分；
（2）设投入壶内m支箭，根据题意可得
解得：
∵m需取整数
答：她至少投入壶内2支箭．
11．（23-24八年级下·山西太原·期中）4月26日我校将迎来一年一度的科技节，科技节是我校为学生搭建科技创新平台，展现实中师生科技创新形象及科学素养的重大节日．数学组将组织开展“数学知识”竞赛，各班选派一名同学参加，其中某一环节共有25道题，答对一题得4分，答错或不答每题扣2分，得分不低于80分将有奖品赠送．如果皓皓想在本环节中获得奖品，则他至少需要答对多少道题？
【答案】皓皓至少答对22道题
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，先设皓皓答对x道题，再根据“某一环节共有25道题，答对一题得4分，答错或不答每题扣2分，得分不低于80分将有奖品赠送”，列式，再解不等式，即可作答．
【详解】解：设皓皓答对x道题，
根据题意得：，
解这个不等式得，
为正整数，
的最小整数解为22．
答：皓皓至少答对22道题
12．（23-24八年级下·河南郑州·期中）“天空课堂”开课以来，受到广大青少年的喜爱．某校利用课后服务时间开展“追寻‘天宫’”知识竞赛，共有15个班级参加．
(1)比赛规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积5分，负一场积3分，某班级在14场比赛中获得总积分54分，该班级胜、负场数分别是多少？
(2)比赛中设置了20道多选题，全部选对可得3分，选对但选不全可得2分，其余情况均不得分．某班在一场比赛中，共答对了18道题（选对但选不全的也算在内），其中选对但选不全的题目至少比全部选对的多2道，且多选题所得的总分不少于41分，该班级在这场比赛中多选题最多能得多少分？
【答案】(1)该班级胜了6场，负了8场
(2)该班级在这场比赛中多选题最多能得44分
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用等知识点，审请题意、正确列出方程组和不等式组成为解题的关键．
（1）设该班级胜了x场，负了y场．然后根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设该班级在这场比赛中全部选对的有道，则选对但选不全的有道．然后根据题意列不等式组求解，然后根据实际意义即可解答．
【详解】（1）解：设该班级胜了x场，负了y场．
根据题意，得解得．
答：该班级胜了6场，负了8场．
（2）解：设该班级在这场比赛中全部选对的有道，则选对但选不全的有道．
根据题意可列出不等式组解得：．
根据题意知全部选对的题越多，得分越多．
当时，多选题得分最多，为（分）．
答：该班级在这场比赛中多选题最多能得44分．
【考试题型5】方案选择问题
13．（2024·江苏宿迁·二模）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失．
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度．

阅读并结合以上信息解决下列问题：
(1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水秒，则再接温水的时间为________秒．
(2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的时间是秒，求乙同学分别接温水和开水所用的时间．
(3)丙同学要接一杯的温水和开水混合的水，现有两种方案可供选择，方案一：先接秒的温水，再接开水；方案二：先接秒的开水，再接温水；请你帮助丙同学分析一下哪种接水方案杯中水的温度会更高．
【答案】(1)
(2)乙同学接温水的时间为秒，接开水所用的时间为秒，
(3)当时，方案一温度高，当时，两个方案一样高，当时，方案二温度高
【分析】本题考查了一元一次方程、二元一次方程组，一元一次不等式的应用；
（1）设再接温水的时间为秒，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解；
（2）设乙同学接温水的时间为秒，开水所用的时间为秒，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解；
（3）分别表示出方案一、方案二中开水和温水的体积，根据公式开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度．得出，，进而列出不等式，解不等式，即可求解．
【详解】（1）解：设再接温水的时间为秒，依题意得，
解得：
答：再接温水的时间为秒
（2）解：依题意，设乙同学接温水的时间为秒，开水所用的时间为秒，根据题意得，
解得：
答：乙同学接温水的时间为秒，接开水所用的时间为秒，
（3）解：方案一：温水，则开水为，
设转化后的温度为，
依题意，
∴
方案二：开水为，温水为，
设转化后的温度为，
依题意，
∴
当时，
解得：
当时，，解得：
当时，，解得：
∴当时，方案一温度高，
当时，两个方案一样高，
当时，方案二温度高
14．（2024·陕西榆林·二模）家门口的“诗与远方”让露营经济悄然兴起．现有甲、乙两个户外品牌店，两个店商品的价格与品质都相同，各自推出不同的购物优惠方案：
甲品牌：所有商品打八折；
乙品牌：购物金额每满100元减30元．
李先生要购买原价为元的折叠椅，设在甲、乙两个品牌店购买该折叠椅的实付金额分别为（元）、（元）．
(1)分别写出、与之间的函数表达式；
(2)请通过计算说明选择哪个品牌的折叠椅更省钱？
【答案】(1)；
(2)当时，购买所支付的费用相同，当时，到乙品牌店所支付的费用较少，当时，到甲品牌店所支付的费用较少
【分析】本题考查了一次函数的运用，方案设计的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键，分类讨论是难点．
（1）根据优惠方式即可用x式表示购买甲品牌所付的费用和购买乙品牌所付的费用．
（2）根据（1）的结论分别讨论当，，和三种情况就可以求出结论．
【详解】（1）解：由题意得：；
；
（2）由，即，解得，
由，即，解得，
由，即，解得，
∵，
∴当时，购买所支付的费用相同，
当时，到乙品牌店所支付的费用较少，
当时，到甲品牌店所支付的费用较少．
15．（23-24七年级下·广东江门·期中）某物流公司现有114吨货物，计划租用A，B两种车，经理发现一个运货货单上的一个信息是：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)若物流公司打算一次运完，且恰好每辆车都装满货物．请你帮该物流公司设计租车方案：
(3)若A型车每辆需租金800元/次，B型车每辆需租金1000元/次．公司预算支出12000元．经理让会计小李和小王核算一下具体运费．请你帮他们算算，最少租车费是元，此时租车方案是(直接写出答案)
【答案】(1)1辆型车和1辆型车一次分别可以运货6吨，10吨
(2)租用型车4辆，型车9辆；租用型车9辆，型车6辆；租用型车14辆，型车3辆
(3)最少租车费为12200元；租用型车4辆，型车9辆
【分析】此题考查了一次不等式组的应用，二元一次方程的应用，以及二元一次方程组的应用，弄清题意，找出等量关系是解本题的关键．
（1）设1辆型车和1辆型车一次分别可以运货吨，吨，根据题意列出方程组，求出方程组的解得到与的值，即可确定出所求；
（2）根据某物流公司现有114吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，列出方程，确定出的范围，根据为整数，确定出的值即可确定出具体租车方案．
（3）根据（2）中求出的几个租车方案得出租车费即可．
【详解】（1）解：设1辆型车和1辆型车一次分别可以运货吨，吨，
根据题意得：，
解得：，
则1辆型车和1辆型车一次分别可以运货6吨，10吨；
（2）∵某物流公司现有114吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，
，
则有，
解得：，
∵为正整数，
．
∵为正整数，
∴，
∴．
∴满足条件的租车方案一共有3种，
即租用型车4辆，型车9辆，
租用型车9辆，型车6辆，
租用型车14辆，型车3辆．
（3）∵型车每辆需租金800元/次，型车每辆需租金1000元/次，
当，租车费用为：元；
当，租车费用为：元；
当，租车费用为：元．
，
∴最少租车费为12200元；租用型车4辆，型车9辆．
16．（2024·山东济宁·三模）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜个，乙种书柜个，共需资金元；若购买甲种书柜个，乙种书柜个，共需资金元．
(1)求甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元；
(2)若该校计划购进这两种规格的书柜共个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金元，请问有几种购买方案供这个学校选择，哪种方案花费最少?
【答案】(1)甲种书柜单价为元，乙种书柜的单价为元
(2)学校的购买方案有三种；甲种书柜个，乙种书柜个花费最少，理由见解析
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用；
（1）设甲种书柜单价为元，乙种书柜的单价为元，根据“购买甲种书柜个、乙种书柜个，共需资金元；若购买甲种书柜个，乙种书柜个，其需资金元”列出方程组，即可求解；
（2）设甲种书柜购买个，则乙种书柜购买个，根据“乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金元”列出不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：设甲种书柜单价为元，乙种书柜的单价为元，
由题意得：，解得：，
答：甲种书柜单价为元，乙种书柜的单价为元．
（2）解：设甲种书柜购买个，则乙种书柜购买个，
由题意得：，
解得：，
因为取整数，所以可以取的值为：，，，
即：学校的购买方案有以下三种：
方案一：甲种书柜个，乙种书柜个，花费元．
方案二：甲种书柜个，乙种书柜个，花费元．
方案三：甲种书柜个，乙种书柜个，花费元．．
∴方案三花费最少．
【考试题型6】数字问题
17．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为1．将十位上的数字与个位上的数字交换，得到一个新两位数．若原两位数与新两位数的差恰好为小旭年龄的4倍，已知小旭年龄超过12岁，求小旭的年龄．
【答案】18
【分析】根据题意可以写出原两位数与新两位数，根据原两位数与新两位数的差恰好为小旭年龄的4倍，分析求得，根据小旭年龄超过12岁，判断符合题意，从而可以计算求解．
【详解】解：根据题意可得原两位数为，
将十位上的数字与个位上的数字交换，得到一个新两位数为，
故小旭年龄为，
∵年龄为整数，
故为4的倍数，
即或或或，
即或或或，
又∵十位上的数字为，
∴，
∴，
∵小旭年龄超过12岁，
即，
解得：，
与不矛盾，
当时，小旭年龄为（岁），
故小旭年龄为岁．
【点睛】本题考查了列代数式，解一元一次不等式等，解答此类问题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
18．（21-22七年级下·河南南阳·期中）一个两位数，其十位上数字与个位上数字之和等于9，且十位上数字与个位上数字都不为0． 若将其十位上数字与个位上数字调换，所得新数小于原来数的． 求这个两位数．
【答案】72或81
【分析】设这个数十位上数字是，则其个位上数字是，这个数可表示为：；将十位上数字与个位上数字对调后所得新数可表示为：．依题意，得
[]解不等式即可．
【详解】解：设这个数十位上数字是，则其个位上数字是，这个数可表示为：；将十位上数字与个位上数字对调后所得新数可表示为：．依题意，得
[]
解这个不等式，得
，
∵十位上数字与个位上数字都不为0，
∴
∴整的整数值为5、6、7、8
当时，，这个数为54，对调后所得数为45，，不符合题意；
当时，，这个数是63，对调后所得数字为36，，不符合题意；
当时，9-，这个数为72，十位上数字与个位上数字对调后所得数为27，27＜，符合题意；
当时，，这个数为81，十位上数字与个位上数字对调后所得数为18，18＜，符合题意．
∴这个两位数是72或81．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
19．（22-23七年级下·河南周口·期中）有一个两位数，它十位上的数字比个位数字小，如果这个两位数大于，且小于，求这个两位数．
【答案】或
【分析】设个位数字为，则十位数字为，根据题意表示这个两位数，列出不等式求解即可．
【详解】解：设个位数字为，则十位数字为，
依题意得：，
解得：，
因为为正整数，则，或，
当时，则这个两位数为；
当时，这个两位数为．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题关键是找出题目中的已知量和未知量之间的关系，并用含有未知量的式子表示出来列出不等式．
【考试题型7】古代问题
20．（2021·湖北黄石·模拟预测）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十二两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了12两（袋子重量忽略不计）．
问：（1）黄金、白银每枚各重多少两？
（2）现有一袋黄金和白银共重759两，总数不超过25枚．请你算算黄金、白银各有多少枚？
【答案】（1）每枚黄金重33两，每枚白银重27两；（2）黄金有14枚，白银有11枚
【分析】（1）设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意，找到等量关系列方程、解方程即可．
（2）设黄金有m枚，白银有n枚，然后根据题意列出方程和不等式求解即可.
【详解】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，
由题意得：，
解得．
答：每枚黄金重33两，每枚白银重27两；
（2）设黄金有m枚，白银有n枚，
由题意得：
整理得，
∵m、n都是整数，
∴必须为整数，
∴n=11或n=22，
当n=22时，m=5不合题意，
∴当n=11时，m=14，
∴黄金有14枚，白银有11枚，
答：黄金有14枚，白银有11枚.
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次方程和一元一次不等式的结合应用，掌握相关知识是解题关键．
21．（2024·江苏常州·二模）《九章算术》中记载了这样一个问题：“假设头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、羊各值多少两银子？
(2)若某商人准备用两银子买牛和羊共只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两有剩余，请问商人有几种购买方法？列出所有可能的购买方案．
【答案】(1)每头牛值两银子，每只羊值两银子；
(2)有商人种购买方案，①购买头牛，只羊；②购买头牛，只羊；③购买头牛，只羊．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，
（1）设每头牛值两银子，每只羊值两银子，根据头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买头牛，则购买 只羊，根据某商人准备用两银子买牛和羊共只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两有剩余，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题．
【详解】（1）解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子，
由题意得：，
解得：，
答：每头牛值两银子，每只羊值两银子；
（2）设购买头牛，则购买 只羊，
依题意得：，
解得：，
为整数，
，，，
有商人种购买方案：
①购买头牛，只羊；
②购买头牛，只羊；
③购买头牛，只羊．
【考试题型8】几何问题
22．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是．
(1)______（用含m的代数式表示）；
(2)求当与的差不小时，m的最小整数值．
【答案】(1)
(2)7
【分析】（1）用右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数即可求解．
（2）利用，建立方程求得，求解即可．
【详解】（1）．
（2）∵与的差不小于，
∴，
∵，，
∴，
∴，m的最小整数值为7．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，解一元一次不等式等知识，准确计算是解决问题的关键．
23．（22-23八年级上·山西朔州·期末）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
平面内有一锐角，现用等长的小棒依次向右摆放在两射线AB，AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上，其中为第1根小棒，且．
(1)用含的式子填空：放入第1根小棒后，得到外角______，放入第2根小棒后，得到外角______；放入第3根小棒后，得到外角______．
(2)若放入9根小棒后发现第10根无法放入，求的取值范围．
【答案】(1)，，；
(2)．
【分析】（1）根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质，即可推出，从而求解；
（2）本题需先根据已知条件，列出不等式组，解出的取值范围，即可得出正确答案．
【详解】（1）解：由题意可知，，
∴，
∴，同理，，
故答案为：，，；
（2）由（1）可知，摆第根时：（），
能摆第9根，则，不能摆第10根，则，
即：，解得：．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组、等腰三角形的性质等知识点，解题的关键在于找到等量关系，求相关角的度数等．
24．（23-24八年级上·福建泉州·期中）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长22米，设苗圃的一边长为x米．

(1)苗圃的另一边长为______米（用含x的代数式表示）；
(2)当x为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少平方米？
【答案】(1)投入壶内
投入壶耳
落在地上
总分
小龙
3支
4支
3支
27分
小华
3支
3支
4支
24分
A型车（满载）
B型车（满载）
运货总量
3辆
2辆
38吨
1辆
3辆
36吨