考题猜想4-1 二元一次方程组（利用二元一次方程组解决实际问题，11种类型） （原卷版+解析版）

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【考试题型1】行程问题
1．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）小明和小亮分别从相距20千米的甲、乙两地相向而行，经过2小时，两人相遇，相遇后小明立即返回甲地，小亮继续向甲地前进，小明返回到甲地时，小亮离甲地还有2千米，请求出两人的速度分别是多少？
【答案】小明速度为千米／时．小亮速度为千米／时
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设小明速度为千米／时，小亮速度为千米／时．利用“小明和小亮2小时路程和为20千米，相遇后小明立即返回甲地，小亮继续向甲地前进，小明返回到甲地时，小亮离甲地还有2千米”再建立方程组求解即可．
【详解】解：设小明速度为千米／时，小亮速度为千米／时．
，解得：
答：小明速度为千米／时．小亮速度为千米／时．
2．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）A地至B地的航线长，一架飞机从A地顺风飞往B地需，它逆风飞行同样的航线需，求飞机无风时的平均速度与风速．
解：设这架飞机无风时的平均速度为，风速为．
(1)用含x，y的代数式表示：①顺风速度为____；②逆风速度为____；
(2)根据题意，列出方程组解决问题．
【答案】(1)①；②；
(2)这架飞机无风时的平均速度为，风速为
【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的实际应用．
（1）根据顺风速度=飞机速度+风速．逆风速度=飞机速度风速，即可解答；
（2）根据路程=速度×时间，列出方程组求解即可．
【详解】（1）解：设这架飞机无风时的平均速度为，风速为，
则风速度为；逆风速度为．
故答案为：，；
（2）解：根据题意得：，
解得：．
答：这架飞机无风时的平均速度为，风速为．
3．（22-23七年级下·山东德州·阶段练习）A，B 两码头相距，一艘轮船在两码头之间航行，顺水航行用，逆水航行用了，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度．
【答案】这艘轮船在静水中的速度为，水流速度为．
【分析】设这艘轮船在静水中的速度为，水流速度为，根据题意列出方程组求解即可．
【详解】解：设这艘轮船在静水中的速度为，水流速度为．
根据题意，得
解这个方程组，得．
答：这艘轮船在静水中的速度为，水流速度为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【考试题型2】工程问题
4．（22-23七年级下·贵州铜仁·阶段练习）印江河是印江的母亲河，为了确保河道畅通，现需要对一段长为180米的河道进行清淤处理，清淤任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天完成12米，B工程队每天完成8米，共用时20天．
根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下：
甲： 乙：
(1)根据甲同学所列的方程组，请你指出未知数x、y表示的意义．
x表示______，y表示______；请你补全乙同学所列的方程组______
(2)求A、B两工程队分别完成河道清淤多少米？（写出完整的解答过程）
【答案】(1)x表示A工程队工作的天数，y表示B工程队工作的天数，
(2)A工程队完成河道清淤60米，B工程队完成河道清淤120米
【分析】本题主要考查利用基本数量关系：A工程队用的时间+B工程队用的时间天，A工程队整治河道的米数+B工程队整治河道的米数，运用不同设未知数的方法列出不同的方程组解决实际问题是解本题的关键．
（1）此题蕴含两个基本数量关系：A工程队用的时间+B工程队用的时间天，A工程队整治河道的米数+B工程队整治河道的米数，由此进行解答即可；
（2）选择其中一个方程组解答即可．
【详解】（1）解：甲同学：设A工程队用的时间为x天，B工程队用的时间为y天，
由此列出的方程组为；
乙同学：A工程队整治河道的米数为x，B工程队整治河道的米数为y，
由此列出的方程组为 ；
故答案为： A工程队工作的天数，B工程队工作的天数，；
（2）解：选择甲同学的思路：依据题意得：，解得：
答：A工程队完成河道清淤60米，B工程队完成河道清淤120米．
若选择乙同学的思路：依据题意得：，解得
答：A工程队完成河道清淤60米，B工程队完成河道清淤120米．
5．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天．
(1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天；
(2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的；
(3)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正好为21800元，求甲工程队参加工作多少天？
【答案】(1)40，15
(2)6
(3)16
【分析】（1）设乙队单独完成此项工程需要天，甲队单独完成此项工程需要天，依题意得，，解得，，则；
（2）由（1）可知，甲的工作效率为，乙的工作效率为，设还需要再合作天可完成此项工程的，依题意得，，计算求解即可；
（3）设甲单独工作天，甲乙合作工作天，依题意得，，计算求出的值，然后根据，计算求解甲工程队参加工作的天数．
【详解】（1）解：设乙队单独完成此项工程需要天，甲队单独完成此项工程需要天，
依题意得，，
解得，，
∴，
∴甲、乙两队单独完成此项工程各需要40、15天；
（2）解：由（1）可知，甲的工作效率为，乙的工作效率为，
设还需要再合作天可完成此项工程的，
依题意得，，
解得，，
∴还要再合作6天可完成此项工程；
（3）解：设甲单独工作天，甲乙合作工作天，
依题意得，，
解得，，
∵，
∴甲工程队参加工作16天．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程（组）．
6．（2023·安徽滁州·二模）巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为米的河道整治任务由A、两个工程队先后接力完成． 工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天．
(1)求A、两工程队分别整治河道多少天？
(2)若A工程队整改一米的工费为元，工程队整改一米的工费为元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？
【答案】(1)工程队整治河道天，工程队整治河道天
(2)元
【分析】（1）设工程队整治河道天，工程队整治河道天，根据工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天完成认为列出方程组进行求解即可；
（2）分别求出A、B两个工程队的工费，然后求和即可．
【详解】（1）解：设工程队整治河道天，工程队整治河道天，
根据题意得：，
解得：．
答：工程队整治河道天，工程队整治河道天；
（2）解：根据题意得：

元．
答：完成整治河道时，这两工程队的工费共是元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组求解是解题的关键
【考试题型3】配套问题
7．（2023·山西·中考真题）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．

(1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；
(2)卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？
【答案】(1)一个部件的质量为1.2吨，一个部件的质量为0.8吨
(2)6套
【分析】（1）设一个A部件的质量为吨，一个部件的质量为吨．然后根据等量关系“1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨”和“2个A部件和3个B部件的质量相等”列二元一次方程组求解即可；
（2）设该卡车一次可运输套这种设备通过此大桥．根据“载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行”列不等式再结合为整数求解即可．
【详解】（1）解：设一个A部件的质量为吨，一个部件的质量为吨．
根据题意，得，
解得．
答：一个A部件的质量为1.2吨，一个部件的质量为0.8吨．
（2）解：设该卡车一次可运输套这种设备通过此大桥．
根据题意，得．
解得．
因为为整数，取最大值，所以．
答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，正确列出二元一次方程组和不等式是解答本题的关键．
8．（21-22七年级下·安徽合肥·期末）一工厂有60名工人，要完成1200套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套．
(1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件?每天能生产多少套产品?
(2)现工厂要在20天内完成1200套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每人每天只能加工4个A型零件．
①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，求x的值（用含m的代数式表示）
②请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务?
【答案】(1)工厂每天应安排24名工人生产A型零件，每天能生产36套产品
(2)①；②至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务
【分析】（1）设工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件，根据“每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成”列方程求解即可；
（2）①根据“x名熟练工人和m名新工人生产的A型零件等于1200套产品的A型零件总数”可列方程，进行整理即可；
②设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件，根据题意，可得关于m、n的方程组，求解即可．
【详解】（1）解：设工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件，
由题意得：，
解得，
（套）
所以，工厂每天应安排24名工人生产A型零件，每天能生产36套产品．
（2）①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件，
由题意得，，
整理得；
②设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件，
由题意得，
解得，
所以，至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
9．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞，该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行，现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输，已知1个A部作和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等，1个A部件和1个B部件的质量各是多少吨？
【答案】一个A部件的质量为1.2吨，一个B部件的质量为0.8吨
【分析】
本题考查二元一次方程组的应用．
设一个A部件的质量为x吨，一个B部件的质量为y吨，根据等量关系“1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨”和“2个A部件和3个B部件的质量相等”列二元一次方程组求解即可；
【详解】设一个A部件的质量为x吨，一个B部件的质量为y吨，根据题意，得
，
解得：，
答：一个A部件的质量为1.2吨，一个B部件的质量为0.8吨．
【考试题型4】方案问题
10．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知: 2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
(2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，有几种租车方案？请写出所有租车方案．
【答案】(1)1辆小货车一次可以满载运输300件物资，1辆大货车一次可以满载运输400件物资
(2)共有3种租车方案，方案6：租用9辆小货车，1辆大货车；方案3：租用5辆小货车，4辆大货车；方案3：租用1辆小货车，7辆大货车
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，根据题意正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解答本题的关键．
（1）设1辆小货车一次可以满载运输件物资，1辆大货车一次可以满载运输件物资，根据“2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件”列关于，的二元一次方程组求解即可；
（2）设租用小货车辆，大货车辆，根据租用的两种货车一次可以满载运输3100件物质，列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各租车方案．
【详解】（1）解：设1辆小货车一次可以满载运输件物资，1辆大货车一次可以满载运输件物资
由题意可得：，
解得：，
答：1辆小货车一次可以满载运输300件物资，1辆大货车一次可以满载运输400件物资．
（2）解：设租用小货车辆，大货车辆，
依题意得：，
．
又，均为正整数，
或或，
共有3种租车方案，
方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；
方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；
方案3：租用1辆小货车，7辆大货车．
11．（20-21七年级下·山东烟台·期中）小丽购买学习用品的收据如表所示，因收据污损导致部分数据无法识别．根据下表，解决问题：
(1)小丽买了自动铅笔、记号笔各几支？
(2)若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，软皮笔记本和自动铅笔都至少购买一件，共花费15元，则有哪几种不同的购买方案？
【答案】(1)小丽购买了自动铅笔、记号笔分别为1只和2只
(2)有3种不同的购买方案：①自动笔7只，软皮笔记本1本；②自动笔4只，软皮笔记本2本；③自动笔1只，软皮笔记本3本
【分析】此题主要考查了二元一次方程组以及二元一次方程的应用，根据题意结合表格中数据得出正确等量关系是解题关键．
（1）设自动铅笔买了x支，记号笔y支，利用总的购买数量为8，进而得出等式，再利用总金额为28元得出等式组成方程组求出答案；
（2）根据题意设小丽再次购买了自动铅笔a只和软皮笔记本b本，根据共花费15元得出等式 ，进而得出二元一次方程的解．
【详解】（1）（1）设小丽自动铅笔买了x支，记号笔y支，
因为由表格知：购买圆规花费金额为：（元），购买软皮笔记本花费的金额为：9元，
所以买自动笔和记号笔共花费的金额为：（元），可以列方程如下：

解得：
答：小丽购买了自动铅笔、记号笔分别为1只和2只；
（2）解：设小丽再次购买了自动铅笔a只和软皮笔记本b本．
软皮本每本单价：（元），
∴
化简：
则；；
答：有3种不同的购买方案：①自动笔7只，软皮笔记本1本；②自动笔4只，软皮笔记本2本；③自动笔1只，软皮笔记本3本．
12．（22-23七年级下·山东聊城·期中）聊城大外环在平区某施工路段需要运送大量土石，现有A，B两种运输车参与运送土石，如表是施工方三次运送土石的情况：
(1)求出两种运输车每辆一次可以运送多少方土石？
(2)施工方第三次同时利用a辆A种运输车和b辆B种运输车共运送200方土石，请直接写出a和b的所有可能的值．
【答案】(1)A种运输车每辆一次可以运送15方土石，B种运输车每辆一次可以运送20方土石
(2)a和b的所有可能的值为或或或
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
（1）设A种运输车每辆一次可以运送x方土石，B种运输车每辆一次可以运送y方土石，根据第一、二次使用车辆数及共运送土石方数，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据施工方第三次共运送200方土石，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为自然数，即可得出结论．
【详解】（1）设A种运输车每辆一次可以运送x方土石，B种运输车每辆一次可以运送y方土石，
根据题意得：，
解得：．
答：A种运输车每辆一次可以运送15方土石，B种运输车每辆一次可以运送20方土石；
（2）根据题意得：，
∴．
又∵a，b均为自然数，
∴或或或．
【考试题型5】数字问题
13．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大．求这个两位数．
【答案】这个两位数为
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y.可列方程组求解．
【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y．
依题意，得：
解得：
答：这个两位数为．
14．（22-23七年级下·山东东营·阶段练习）有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18． 求原来的两位数．
【答案】原两位数是35．
【分析】根据题意的等量关系即可得出方程组，解出方程组即可得出原来的两位数．
【详解】（1）解：原来的两位数为，新的两位数为，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
故原两位数是35．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是会表示两位数的值：两位数的值=十位数字个位数字．
15．（22-23七年级下·河北唐山·期中）某两位数，两个数位上的数之和为．这个两位数加上，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，求原两位数．
(1)列一元一次方程求解．
(2)如果设原两位数的十位数字为，个位数字为，列二元一次方程组．
(3)检验（1）中求得的结果是否满足（2）中的方程组．
【答案】(1)原两位数为38
(2)
(3)（1）中求得的结果满足（2）中的方程组
【分析】（1）设原两位数的个位数字为，则十位数字为，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解；
（2）设原两位数的十位数字为，个位数字为，根据题意，列出方程组即可求解；
（3）结合（1），可知：，，进而即可求解．
【详解】（1）解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为，
依题意，得：，
解得：，
∴．
答：原两位数为38；
（2）设原两位数的十位数字为，个位数字为，
依题意，得：；
（3）结合（1）可知，，，
∴，，
∴（1）中求得的结果满足（2）中的方程组．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，根据题意列出方程（组）是解题的关键．
【考试题型6】年龄问题
16．（21-22七年级下·云南·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．
(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）
(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？
【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁
(2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子
【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可．
（2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案．
【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁．
．
解得：
答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁；
（2）（年）
（年）
小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键．
17．（21-22八年级上·甘肃酒泉·期末）5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？
【答案】母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁
【分析】设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，然后根据5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁，列出方程组求解即可．
【详解】解：设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，则
解得
答：母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键在于正确理解题意列出方程求解．
18．（19-20七年级下·吉林延边·期末）7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话：
妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁．
哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？
【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁．
【分析】设现在哥哥x岁，妹妹y岁，根据两孩子的对话，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁，
根据题意得
解得
答：现在哥哥10岁，妹妹6岁．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是利用题目信息，将实际问题转化为数学方程解决．
【考试题型7】销售利润问题
19．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）王阿姨去买水果，3kg芒果和2kg香蕉应付40元，可她把两种水果的单价弄反了，以为要付35元，请问王阿姨买的芒果和香蕉的单价应各是多少．
【答案】芒果单价为10元，香蕉单价为5元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设王阿姨买的芒果的单价为x元/kg，香蕉的单价为y元/kg，根据“3kg芒果和2kg香蕉应付40元，2kg芒果和3kg香蕉应付35元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设芒果单价为元，香蕉单价为元．
根据题意，得
解得
答：芒果单价为10元，香蕉单价为5元．
20．（2023·贵州遵义·模拟预测）空气净化器越来越被人们认可，某商场购进、两种型号的空气净化器，如果购进台型和台型空气净化器的需要元，购进台型和台型空气净化器的需要元．当型空气净化器每个售价为元时，可销售个，若售价每提高元，则销售量减少个．
(1)求每台型空气净化器和型空气净化器的进价各为多少元？
(2)商场要想在型空气净化器售价不超过元的销售中获得元利润，型净化器每个售价应定为多少元？
(3)在（）的条件下，若型净化器的销量（个）与售价（元）之间的关系式为，则当型空气净化器的售价为多少元时，、两种空气净化器的销售总利润最大？
【答案】(1)每台型空气净化器销售单价为元，型空气净化器的销售单价为元；
(2)型净化器每个售价应定为元；
(3)当型空气净化器的售价为元时，、两种空气净化器的销售总利润最大
【分析】本题考查了二元一次方程组、一元二次方程和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）设每台型空气净化器销售单价为元，型空气净化器的销售单价为元，根据题意得列出二元一次方程组并求解即可；
（2）设型净化器每个售价应为元，型利润为元，则销售量为：，根据题意建立方程，求出，再根据售价不超过130元，进行取舍即可；
（3）设销售总利润是元，根据利润型利润型利润可列出解析式，根据二次函数的性质求出售价即可．
【详解】（1）解：设每台型空气净化器销售单价为元，型空气净化器的销售单价为元，
由题意可得，，
解得：，
答：每台型空气净化器销售单价为元，型空气净化器的销售单价为元；
（2）设型净化器每个售价应为元，型利润为元，则销售量为：，
根据题意可得，，
解得或（舍，
型净化器每个售价应定为元；
（3）设，的总利润为元，根据题意可知，
．
，
当时，的最大值为；
当型空气净化器的售价为元时，、两种空气净化器的销售总利润最大．
21．（2023·新疆省直辖县级单位·模拟预测）“端午节”期间，某超市销售甲、乙两款粽子，甲、乙两款粽子的进价分别是每袋35元，45元，这个超市用4300元购进甲、乙两款粽子共100袋
(1)购进甲、乙两款粽子各是多少袋？
(2)市场调查发现：乙款粽子每天的销售量m(袋)与销售单价n(元)满足如下关系：，设乙款粽子每天的销售利润是w元，当乙款粽子的销售单价是多少元时，乙款粽子的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)购进甲、乙两款粽子各是20袋，80袋
(2)当乙款粽子的销售单价是75元时，乙款粽子的销售利润最大；最大利润是900元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，解题的关键是：
（1）设购进甲、乙两款粽子各是袋，袋，根据题意列出方程组求解即可；
（2）根据销售利润等于单件利润乘以销售量列出函数关系式，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设购进甲、乙两款粽子各是袋，袋，
根据题意得：
解得：
答：购进甲、乙两款粽子各是20袋，80袋．
（2）解：
，
∴对称轴为，
∵抛物线开口向下，
∴当元时，最大（元）
答：当乙款粽子的销售单价是75元时，乙款粽子的销售利润最大；最大利润是900元．
【考试题型8】和差倍分问题
22．（2023·海南·模拟预测）为做好复工复产，某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人搬运1小时比B型机器人搬运2小时少40kg，且A型机器人搬运3小时和B型机器人搬运2小时共1000kg，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料？
【答案】A、B两种型号机器人每小时分别搬运，．
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设A、B两种型号机器人每小时分别搬运，，根据A型机器人搬运1小时比B型机器人搬运2小时少，且A型机器人搬运3小时和B型机器人搬运2小时共，列出方程组进行计算即可．
【详解】解：设A、B两种型号机器人每小时分别搬运，，由题意，得：
，
解得：．
答：A、B两种型号机器人每小时分别搬运，．
23．（2023·广西桂林·三模）广西的“三月三“是壮族的传统节目，为庆祝“三月三”，某学校准备举办“壮乡三月三歌舞节”，学校计划购买杜鹃花和满天星两种花卉共46盆，且柱鹃花盆数不少于满天星盆数的2倍．已知杜鹃花每盆9元，满天星每盆6元．
(1)采购组计划将预算经费390元全部用于购买杜鹃花和满天星，问可购买杜鹃花和满天星各多少盆？
(2)规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种花卉总费用的最小值．
【答案】(1)购买杜鹃花38盆，购买满天星8盆
(2)购买两种花卉总费用的最小值为369元
【分析】
本题考查的是二元一次不定方程的整数解、一次函数的应用，正确列出二元一次方程组、掌握一次函数的性质是解题的关键．
（1）根据题意列出二元一次方程组，解方程组得到答案；
（2）设购买杜鹃花m盆，购买满天星盆，购买两种花卉总费用为w，根据题意求出m的范围，列出w关于m的一次函数解析式，根据一次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设购买杜鹃花x盆，购买满天星y盆，
由题意得：，
解得：，
答：购买杜鹃花38盆，购买满天星8盆；
（2）解：设购买杜鹃花m盆，购买满天星盆，购买两种花卉总费用为w，
由题意得：，
解得：，
由题意的：，
∵，
∴w随m的最大而增大，
∵，
∴当时，w取最小值，此时，
答：购买两种花卉总费用的最小值为369元．
24．（2023·广西南宁·二模）某校七、八年级师生开展“一日游”活动，已知七年级师生共300人，八年级师生共220人．
(1)已知七年级教师比八年级教师多6人，七年级学生比八年级学生多，求七年级教师与学生各有多少人；
(2)参观某景点时、需要乘船游玩，现有A、B两种型号的游船，A型船的座位数是B型船的倍，若七年级师生全部乘坐A型船若干艘，刚好坐满，八年级全部乘坐B型船，要比七年级乘坐的A型船多一艘且空20个座位，问：
①A、B两种游船每艘分别有多少个座位；
②若两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，请写出所有的租船方案．
【答案】(1)七年级教师有26人，学生有274人
(2)①A型船每艘有60个座位，B型船每艘有40个座位；②见解析
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①找准等量关系，正确列出分式方程；②找准等量关系，正确列出二元一次方程．
（1）设八年级教师有x人，学生有y人，根据七、八年级的师生数，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①设B型船每艘有m个座位，则A型船每艘有个座位，根据八年级乘坐B型船要比七年级乘坐的A型船多一艘且空20个座位，即可得出关于m的分式方程，解之经检验后即可得出结论；②设需租用A型船a艘，租用B型船b艘，根据每艘游船恰好全部坐满，即可得出关于a，b的二元一次方程，变形后可得出，再结合a，b均为非负整数，即可得出各租船方案．
【详解】（1）解：设八年级教师有x人，学生有y人，
依题意，得：，
解得：，
∴．
答：七年级教师有26人，学生有274人；
（2）解：①设B型船每艘有m个座位，则A型船每艘有个座位，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴．
答：A型船每艘有60个座位，B型船每艘有40个座位；
②设需租用A型船a艘，租用B型船b艘，
依题意，得：，
∴．
又∵a，b均为非负整数，
∴，，，，，
∴共有5种租船方案，方案1：租用13艘B型船；方案2：租用2艘A型船，10艘B型船；方案3：租用4艘A型船，7艘B型船；方案4：租用6艘A型船，4艘B型船；方案5：租用8艘A型船，1艘B型船．
【考试题型9】图表信息问题
25．（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示：
(1)已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值．
(2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，求小明家7月份的用电量．
【答案】(1)a的值为，b的值为
(2)度
【分析】（1）根据“小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设小明家7月份用电量为x度，根据7月份小明家缴纳电费元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：依题意得：，
解得：．
答：a的值为，b的值为．
（2）解：若一个月用电量为度，电费为（元），
∵，
∴小明家7月份用电量超过度．
设小明家7月份用电量为x度，
依题意得：，
解得：．
答：小明家7月份的用电量为度．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
26．（22-23七年级下·全国·课后作业）下表是某赛季某足球联赛第一阶段小组赛（该小组共四个队，每个队分别与其他三个队进行主客场比赛各一场，即每个队要进行6场比赛）积分表的一部分．
(1)表格中C队的主场进球数x的值为 ；
(2)求本次小组赛中胜一场、平一场、负一场各积多少分？
(3)该足球联赛奖金分配方案为：参加第一阶段小组赛6场比赛的每个球队都可以获得参赛奖金1200万元．另外，小组赛中每获胜一场可以获得150万元，平一场可以获得50万元．请根据表格提供的信息，求在第一阶段小组赛结束后，A队一共能获得多少万元的奖金？
【答案】(1)4
(2)胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分
(3)1850万元
【详解】设胜一场积m分，平一场积n分，根据题意，得
解得
即胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．
（3）设A队胜a场，则平（6－a－1）场，根据题意，得
3a＋（6－a－1）＝13，解得a＝4
∴A队一共能获奖金：1200＋150×4＋50×1＝1850（万元）．
答：在第一阶段小组赛结束后，A队一共能获得1850万元的奖金
27．（22-23七年级下·山东菏泽·期中）某山区有23名中、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，一名小学生的学习费用需要b元，某校学生积极捐款，七、八、九三个年级学生捐款数额与受其捐助贫困中学生和小学生人数的情况如下表：
(1)求a、b的值；
(2)九年级学生的捐款解决了其余贫困中、小学生学习的费用，请求出九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数各是多少？
【答案】(1)，
(2)初三年级学生可捐助名贫困中学生，捐助名贫困小学生
【分析】根据题意可知，本题中的相等关系是捐款额，列方程组求解即可.
利用九年级的捐款额7200列方程求人数.
【详解】（1）由题意得:
解得：
（2）设初三年级学生捐助名贫困中学生，捐助名贫困小学生.
由题意得：
解得：
答：初三年级学生可捐助名贫困中学生，捐助名贫困小学生.
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解.
【考试题型10】古代问题
28．（2023·吉林长春·二模）《九章算术》中记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”意思是：今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱，问合伙人数、金价各是多少？
【答案】合伙人数是33人，金价是9800钱
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识．设共人合伙买金，金价为钱，根据“每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设共人合伙买金，金价为钱，
依题意得：，
解得：．
答：共33人合伙买金，金价为9800钱．
29．（2023·吉林四平·模拟预测）我国古代数学著作《张丘建算经》中著名的“百鸡问题”叙述如下：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，则翁、母、雏各几何？”意思是公鸡五钱一只，母鸡三钱一只，小鸡一钱三只，要用一百钱买一百只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？若现已知母鸡买18只，求公鸡、小鸡各买几只．
【答案】公鸡买4只，小鸡买78只
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
设公鸡买x只，小鸡买y只，由题意列出方程组，即可求解．
【详解】解：设公鸡买x只，小鸡买y只，
依题意，得，
解得：，
答：公鸡买4只，小鸡买78只．
30．（22-23七年级下·江苏南通·期末）我国传统数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)某商人准备用两银子买牛和羊要求既有羊又有牛，且银两须全部用完，且羊的数量不少于牛数量的倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
【答案】(1)每头牛值两银子，每只羊值两银子
(2)购买头牛，只羊；购买头牛，只羊．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准数量关系，正确列出二元一次方程．
（1）设每头牛值两银子，每只羊值两银子，根据“头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买头牛，只羊，根据某商人准备用两银子买牛和羊，列出二元一次方程，再根据羊的数量不少于牛数量的倍，得，然后求出满足条件的正整数解即可．
【详解】（1）解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子，
依题意得：，
解得：，
答：每头牛值两银子，每只羊值两银子；
（2）设购买头牛，只羊，
依题意得：，
整理得：，
、均为正整数，
为的倍数，
羊的数量不少于牛数量的倍，
，
或，
商人有种购买方法：
购买头牛，只羊；
购买头牛，只羊．
【考试题型11】几何问题
31．（22-23七年级下·湖南衡阳·期中）如图，在长方形中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，若设小长方形的长为厘米、宽为厘米，请你求出图中阴影部分面积．
【答案】44平方厘米
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．观察图形得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用阴影部分总面积=长方形的面积倍的小长方形的面积，即可求出结论．
【详解】解：依题意，得：，
解得：，
∴阴影部分的面积为：（平方厘米）．
32．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）问题情景：某综合实践小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动．
(1)下面不可能是长方体展开图的是___________．（填序号）

(2)综合实践小组利用边长为厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子．其中．

①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为__________平方厘米；
②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，如图所示，已知，求该长方体纸盒的体积；
(3)小明按照图1的方式用边长为厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况）
【答案】(1)①③④
(2)①；②立方厘米
(3)厘米或厘米或厘米
【分析】（1）根据无盖长方体纸盒的面数和构成求解；
（2）①根据长方形面积公式即可得解；
②如图，设，，根据题意可得，，继而得到，根据长方体的体积公式即可得解；商品名
单价（元）
数量
金额（元）
签字笔
3
2
6
自动铅笔
1.5
记号笔
4
软皮笔记本
2
9
圆规
3.5
1
合计
8
28
A种运输车（辆）
B种运输车（辆）
共运送土石（方）
第一次运送土石（方）
3
4
125
第二次运送土石（方）
2
6
150
第三次运送土石（方）
a
b
200
阶梯
电量（单位：度）
电费价格
一档
元度
二档
元度
三档
元度
排名
球队
胜场数
平场数
负场数
进球数
主场进球数
客场进球数
积分
1
A
？
？
1
13
8
5
13分
2
B
3
2
1
8
3
5
11分
3
C
3
1
2
9
x
5
10分
4
D
0
0
6
1
1
0
0分
备注
积分＝胜场积分＋平场积分＋负场积分
年级
捐款数额（元）
捐助贫困中学生人数（名）
捐助贫困小学生人数（名）
七年级
4000
2
4
八年级
4200
3
3
九年级
7200