考题猜想3-1 整式的乘法与因式分解 （17种计算题）（原卷版+解析版）

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【考试题型1】整式乘法的混合运算
1．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
2．（23-24八年级上·云南保山·期末）（1）；
（2）．
3．（23-24八年级上·北京大兴·期末）先化简，再求值：，其中，．
4．（22-23七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：，其中x、y满足．
【考试题型2】利用整式乘法解决不含某项问题
5．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项，求的值．
6．（23-24八年级上·湖北黄冈·期末）已知的展开式中不含的二次项， ，求：
(1)的值；
(2)的值．
7．（2023八年级上·全国·专题练习）给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于x的二次多项式的特征系数对，把关于x的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式．
(1)关于x的二次多项式的特征系数对为__________；
(2)求有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积；
(3)有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积不含项，求a的值；
【考试题型3】利用整式乘法解决错解/看错/遮挡问题
8．（22-23八年级上·河南安阳·期末）在计算时，甲把b错看成了6，得到结果是：；乙把a错看成，得到结果是：．
(1)求出a，b的值；
(2)在（1）的条件下，计算的结果．
9．（21-22八年级上·重庆永川·期末）小马虎在做一道化简求值题“，其中”时，把“”错看成了“”，可他的计算结果跟同学一样，请你说明这是怎么回事？
10．（23-24八年级上·福建莆田·阶段练习）小雅同学计算一道整式除法：，由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为
(1)直接写出a、b的值： ， ．
(2)这道除法计算的正确结果是 ；
11．（21-22七年级上·上海奉贤·期中）小红准备完成题目：计算（x2x+2）（x2﹣x）．她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了．
（1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：（x2+3x+2）（x2﹣x）；
（2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？
【考试题型4】整式乘法与图形面积
12．（2024·陕西榆林·二模）矩形的周长为，把该矩形长截去（截去如图①的阴影部分）剩余的面积为；把该矩形宽截去（截去如图②的阴影部分）剩余的面积为．已知比多，求原矩形的面积．
13．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）【典例展示】
若关于x，y的代数式的值与x无关，求a的值；
解：原式
∵代数式的值与x无关，
∴，∴．
【理解应用】
已知，，且的值与x无关，求m的值；
【拓展延伸】
用6张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为，当的长度发生变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系．
14．（23-24七年级下·陕西西安·期中）阅读下面一代文字，结合文字完成问题．
数学家华罗庚说：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”“数”与“形”反映了事物的两方面．数形结合就是把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来，使复杂问题简单化．抽象问题具体化．
(1)观察下面拼图过程，计算图形面积写出相应等式______．

(2)如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，点B，C，D在同一直线上，，翻折，得到如图2，点B，D，C在同一直线上，此时，计算梯形的面积S．（S用含a，b的代数式表示）

(3)如图3，某小区物业公司计划在小区绿化带的外部四个半圆里种植鲜花，内部直角梯形里铺草坪，直角梯形中，，若外部四个半圆中鲜花种植总面积为，中草坪铺设面积为，假设鲜花种植和草坪铺设密度不变，请你帮物业公司计算总共的草坪铺设面积是多少？小明在计算中发现与，间存在某种数量关系，请计算，写出小明“发现”的具体过程和它们之间的数量关系．

【考试题型5】利用整式乘法解决规律探究问题
15．（22-23九年级下·安徽蚌埠·期中）已知是方程的一个根，该数满足：
，
，
，
，
，
……
(1)依次规律，写出关于x的一次表达式；
(2)若，请用关于x的一次表达式表示（含，），并证明你的结论．
16．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）阅读下列材料，并完成相应的任务：
任务：
(1)通过观察，图中的（▲）中可填入的数字依次为______、______、______；
(2)请直接写出展开式中的系数______；
(3)观察每行数的和，并归纳出第n行数的和为______（用含有n的式子表示）．
(4)若，求的值？
17．（23-24七年级下·江西九江·阶段练习）观察下列各式的计算规律，解答下列问题．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
……
(1)根据上面各式的规律可得：
；
(2)根据（1）中规律计算的值；
(3)求的个位数字．
【考试题型6】与整式乘法有关的化简问题
18．（23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）已知与的积与是同类项．
(1)求的值，
(2)先化简，再求值：．
19．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）先化简，再求值：，其中，．
20．（23-24七年级下·河北保定·期中）先化简再求值：
(1)，其中．
(2)，其中，．
【考试题型7】求完全平方式中的字母系数
21．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）已知多项式．
(1)化简多项式A；
(2)若是一个完全平方式，求A的值．
22．（22-23七年级·上海·假期作业）若是完全平方式，求的值．
【考试题型8】通过对完全平方式变形求值
23．（23-24七年级下·河南平顶山·期中）下面是小明解决一道作业题的全部思考过程
[题目]计算的值．
[分析]20202019，20202018，20202020的平方是三个“天文数字”，难道要全部算出来吗？估计会很复杂；仔细观察式子数字的特征……
[解题过程]注意到20202018，20202019，20202020是三个连续的正整数，若设，则，，所以原式．
[收获]原式看似是一个很复杂的式子，但在用字母n代替数字20202019后，凸显了式子的结构特征，形式上得到了化简，从而运用完全平方公式求得其值．
从小明的解题经历中你又有什么启发呢？带着你的思考尝试解决下列问题：
(1)计算的值；
(2)已知，求的值；．
(3)已知，则______．
24．（23-24七年级下·广西桂林·期中）【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第112页的第7题：已知，，求的值．
【例题讲解】老师讲解了这道题的两种方法：
【方法运用】请你参照上面两种解法中的一种来解答问题．
（1）已知，，求；
（2）若，求；
（3）若，求的值．
【拓展提升】
（4）如图，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形的面积和为，直接写出阴影部分的面积．
25．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）根据完全平方公式，把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做“配方法”．例如把配方如下：．请完成下列问题：
(1)填空：配方多项式的结果为 ；
(2)当等于多少时，代数式的值最小？
(3)用一根长为米的绳子围成一个长方形，请问长方形的边长为多少时，围成的长方形面积最大？最大面积是多少？
【考试题型9】乘法公式与几何图形
26．（23-24六年级下·山东威海·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．


（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式．
图1： ；图2： ；图3： ．
其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．
例如：如图4，已知，求的值．
类比迁移：
（2）若，则 ；
（3）如图，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．

27．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期中）（1）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（ ）

A．；B．
C．；D．
（2）我们可以用几何图形来解决一些代数问题：
①如图（甲）可以写出一个关于a，b代数恒等式表示 ；
②图（乙）是四张完全重合的矩形纸片拼成的图形，图中阴影部分为正方形，它的边长为 ；请利用图中阴影部分面积的不同表示方法，写出一个关于a，b代数恒等式表示 ．

28．（2023八年级上·全国·专题练习）图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积．
方法1： ；方法2： ；
(2)观察图②请你写出下列三个代数式；之间的等量关系；
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，求：的值；
②已知：，求：的值．
【考试题型10】与乘法公式有关的新定义问题
29．（21-22八年级上·北京东城·期中）配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．
我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和美数”．例如，是“和美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“和美数”．
解决问题：
（1）请你再写一个小于的“和美数”______；并判断是否为“和美数”______；
（2）若二次三项式（x是整数）是“和美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为______；
探究问题：
（1）已知“和美数”（x，y是整数）的值为0，则的值为______；
（2）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“和美数”，试求出符合条件的k值．
拓展结论：已知实数x，y满足，求的最小值是______．
30．（23-24八年级下·福建漳州·期中）【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”
例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”
(1)已知53是“完美数”，请将它写成（a，b为整数）的形式______；
(2)若可配方成的形式（m、n均为常数），求的值；
(3)已知（x，y是整数，k是常数），若S为“完美数”，求k的值．
31．（2024七年级下·浙江·专题练习）定义：若一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，我们把这个正整数叫做“平方差数”．例如20是“平方差数”，理由：，所以20是“平方差数”．
解决问题：
(1)请写出一个小于10的“平方差数”，这个“平方差数”为 ；
(2)判断36 （填“是”或“不是” ） “平方差数”；
探究问题：
(3)已知（是正整数，为大于0是常数），是否存在使得为“平方差数”，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
(4)如果数，都是“平方差数”，请说明也是“平方差数”．
【考试题型11】因式分解在有理数简算中的应用
32．（2024七年级下·江苏·专题练习）利用因式分解计算下列各式：
(1)；
(2)
33．（23-24八年级下·全国·课后作业）用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【考试题型12】利用因式分解解决整除问题
34．（21-22七年级下·全国·单元测试）（1）能被整除吗？能被整除吗？说明你的理由．
（2）说明：当为正整数时，的值必为的倍数．
35．（2024·河南信阳·一模）如果一个正整数能够表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．例如：因为，，，故4，12，20都是神秘数．
(1)写出一个除4，12，20之外的“神秘数”：______；
(2)小明说：“2024是神秘数．”小亮为了验证，设较小偶数是m，则较大偶数是，列出方程，请用小亮所列方程分析小明的说法是否正确；
(3)设两个连续偶数为和（k为非负整数），则由这两个连续偶数构造的“神秘数”能够被4整除吗？说明理由．
36．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）【观察】，，，……
【猜想】比任意一个偶数大3的数与这个偶数的平方差能被3整除．
【验证】
（1）若这个偶数是10，通过计算说明13和10的平方差能否被3整除；
（2）若设这个偶数为，试说明比大3的数与的平方差能否被3整除；
【延伸】
（3）试说明比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能否被9整除．
【考试题型13】利用添（拆）项法分解因式
37．（23-24八年级下·四川达州·期中）要把二次三项式分解因式，我们可以在中先加上一项4，使它与成为一个完全平方式，然后再减去4，整个式子的值不变，于是有：．像这种先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，这种方法不只是用于分解因式，还用于其他如求值、方程转化等；请利用“配方法”解决下列问题：
(1)分解因式：．
(2)当a，b为何值时，有最小值？最小值是多少？
(3)若a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由．
38．（21-22七年级下·湖南怀化·期中）【阅读理解】
对于二次三项式，能直接用公式法进行因式分解，得到，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了．
我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是：
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
(1)【问题解决】请用上述方法将二次三项式分解因式．
(2)【拓展应用】二次三项式有最小值或最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由．
(3)运用材料中的添（拆）项法分解因式：．
【考试题型14】利用因式分解求未知数的值
39．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）完成下面各题
(1)若二次三项式可分解为，则______；
(2)若二次三项式可分解为，则______；______；
(3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
40．（23-24八年级上·四川内江·期中）【例题讲解】仔细阅读下面的例题，解答问题：
例：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，得
则
解得，
∴另一个因式为，的值为．
【方法归纳】
设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．
【学以致用】
(1)若，则 ；
(2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值；
(3)若多项式（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是，则代数式的值
【考试题型15】利用因式分解确定三角形的形状
41．（21-22八年级下·四川成都·阶段练习）我们知道，分解因式与整式乘法是互逆的运算．在分解因式的练习中我们也会遇到下面的问题，请你根据情况解答：
(1)已知，，是的三边且满足，判断的形状；
(2)两位同学将一个二次三项式分解因式时，其中一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请你求出原来的多项式并将原式分解因式．
42．（23-24八年级上·山西临汾·期末）阅读材料并解决问题：分解因式，细心观察这个式子就会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：
这种分解因式的方法叫做分组分解法．利用这种方法解决问题：
(1)分解因式：
(2)已知的三边长a，b，c满足，试判断的形状．
43．（23-24八年级上·全国·课堂例题）（1）若，，是三角形的三边长，且满足关系式，试判断这个三角形的形状．
（2）若，，是的三边长，且满足，则是什么形状？
【考试题型16】利用因式分解确定最值
44．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）先阅读下面的例题，再按要求解答问题：
求代数式的最小值．
解：，
，
的最小值是1
请利用以上方法，解答下列问题：
(1)求代数式的最小值．
(2)判断代数式有最大值还是有最小值，并求出该最值．
(3)已知，为任意值，试比较与的大小关系，并说明理由．
45．（23-24八年级上·河南商丘·期末）利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子：
例1．分解因式：
例2．求代数式的最小值：
又∵
∴当时，代数式有最小值，最小值是．
(1)分解因式：；
(2)代数式有最 值（大、小），当 时，最值是 ；
(3)当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值．
【考试题型17】利用因式分解解决新定义问题
46．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成（，为整数）的形式，则称这个数为“完美数”
例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”
(1)解决问题：已知29是“完美数”，请将它写成（，为整数）的形式；
(2)解决问题：若可配方成（、为常数），求的值；
(3)解决问题：已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出的值，并说明理由．
47．（23-24八年级上·福建厦门·期末）定义：关于的多项式和，当时，的值记为，当时，的值记为，若存在整数，对于任意的实数，都有，称多项式是多项式的衍生多项式，称为衍生系数．
例如：是的衍生多项式，衍生系数为，
是的衍生多项式，衍生系数为1，
是的衍生多项式，衍生系数为，
是的衍生多项式，衍生系数为2
已知多项式是的衍生多项式．
(1)直接写出的值： ；
(2)是否存在整数，使得，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由．
48．（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（，为实数）的数叫做复数，其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减运算与整式的加、减运算类似，复数的乘方运算与有理数的乘方运算类似，例如：
①
②
③
根据以上信息，完成下列问题：
(1)填空：______，______，______；
(2)化简：；
(3)请你参照这一知识，将分解成两个复数的乘积．
杨辉三角
我国著名数学家华罗庚曾在给青少年撰写的“数学是我国人民所擅长的学科”一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，他说：“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比睿智的成就．”其中“杨辉三角”就是一例．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，给出了二项式的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）及其系数规律．
如图所示
方法一
方法二
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
．
∵，，
∴．