清单04 二元一次方程组 全章复习（3个考点梳理+10种题型+6类型）（原卷版+解析版）

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考点一 二元一次方程（组）
【考试题型1】二元一次方程（组）定义
1．（23-24七年级下·山东淄博·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组可以是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24七年级下·广东广州·期中）已知是关于x，y的二元一次方程，则 ．
4．（23-24七年级下·吉林长春·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解为，则代数式的值是 ．
【考试题型2】二元一次方程组的解
1．（23-24七年级下·安徽淮南·期中）二元一次方程的自然数解有 组．
2．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知是方程的一组解．则的值等于 ．
3．（23-24七年级下·四川眉山·期中）在等式（k，b为常数）中，当时，；时，．
(1)求k、b的值；
(2)求当时，x的值．
考点二 解二元一次方程（组）
【考试题型3】选用合适的方法解二元一次方程组
解二元一次方程组的方法选择：
1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法；
2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法；
3)当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法；
4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法．
1．（23-24八年级下·山东青岛·期中）解方程组
(1)(2)
2．（23-24七年级下·北京·期中）解方程组
(1)(2)
【考试题型4】二元一次方程组的特殊解法
【类型一】引入参数法
1.用代入法解方程组：
x5+y6=0①3x-y-43y+x=85②
2.用代入法解方程组：
x3+y4=0①2x+y-32y-x=62②
【类型二】特殊消元法-方程组中两未知数系数之差的绝对值相等
1．（21-22七年级下·河南洛阳·期中）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，小曼发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，她采用下面的解法则比较简单：
②-①得：，即 ③
③×17得： ④
①-④得：，代入③得
所以这个方程组的解是
请你运用小曼的方法解方程组．
2．（21-22七年级下·河南濮阳·期末）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组
解：由①-②得即③，
③得④，
②-④得，
解得：
把代入③得：
解得：
∴方程组的解是
(1)请你仿照上面的解法解方程组
(2)猜测关于x，y的方程组的解是什么，并通过解这个方程组加以验证．
【类型三】特殊消元法-方程组中两未知数系数之和的绝对值相等
1．（22-23七年级下·河南南阳·期中）阅读理解题：先阅读下列材料，再解答后面的问题．
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足，，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值，再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．
其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，由可得，由可得． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
请运用上述“整体思想”解决下列问题：
迁移应用：
已知关于x，y的方程组： (m是常数)．
（1）若，求m的值；
（2）若，求m的取值范围．
拓展探究：
七年级某班组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买 39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需 58元，则购买1支铅笔、 1块橡皮、1本日记本共需多少元?并说明理由．
2．（2024七年级下·全国·专题练习）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数、满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
请根据上述思想解决下列问题：
(1)已知二元一次方程组，求和的值；
(2)对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值．
【类型四】换元法
1．（23-24八年级下·上海宝山·期中）用换元法解方程组，若设，，则原方程组可化为方程组 ．
2．（23-24八年级下·上海松江·期中）解方程组：
3．（23-24七年级下·重庆·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m，n的二元一次方程组的解是 ．
【类型五】同解交换法
1．（22-23八年级上·广东惠州·开学考试）若方程组和方程组的解相同，试求的值．
2．（20-21七年级上·安徽六安·期末）关于x、y的方程组．与关于x、y的方程组的解相同，求
【类型六】主元法
1．（2023九年级·全国·专题练习）已知（x，y，z均不为0），求的值．
2．已知x，y，z都不为零，且满足，．求的值．
【考试题型5】错看或错解二元一次方程组问题
1．（21-22七年级下·全国·单元测试）甲、乙两人同求方程的整数解，甲求出一组解为，而乙把中的7错看成1，求得一组解为，试求、的值．
2．（2023七年级下·江苏·专题练习）阅读小林同学数学作业本上的截图内容并完成任务．
任务：
(1)这种解方程组的方法称为_________．
(2)小林的解法正确吗？_________（填“正确”或“不正确”），如果不正确，那么错在第_________步，并选择恰当的方法解该方程组．
3．（21-22七年级下·广西贵港·期末）如果方程组的解为，则被“○”和“■”遮挡的两个数分别是（ ）
A．7，9B．9，7C．1，－1D．－1，1
4．（21-22七年级下·河北沧州·期末）小明和小文同解一个二元一次方程组小明正确解得，小文因抄错了，解得，已知小文除抄错外没有发生其他错误，求的值．
【考试题型6】构造二元一次方程组求解
1．（23-24七年级下·云南昭通·期中）已知单项式与是同类项，则的值为（ ）
A．7B．5C．3D．1
2．（23-24七年级下·云南昭通·期中）已知实数、满足，则的值是 ．
3．（23-24八年级下·福建莆田·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，求的值．
【考试题型7】已知二元一次方程组的解的情况求参数
1．（23-24七年级下·广东广州·期中）（1）已知关于，的二元一次方程组与方程有相同的解，求的值．
（2）关于，的二元一次方程组的解为正整数，求整数的值．
2．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）已知关于，的方程组的解满足和的值都是正数，求的取值范围．
3．（23-24七年级下·湖南永州·期中）关于x，y的方程组的解满足，，
(1)求的值．
(2)化简
4．（23-24七年级下·河南鹤壁·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值．
5．（23-24七年级下·福建福州·期中）定义：当两个实数x，y，满足，则称这两实数x与y具有“友好关系”．
(1)判断方程组的解x与y是否具有“友好关系”？说明你的理由．
(2)若方程组中方程组的解x与y具有“友好关系”，请求出方程组的解及a，b的正整数值．
【考试题型8】解三元一次方程组
1．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）在等式中，当时，当时；当时，则的值为 ．
2．（23-24七年级下·四川眉山·阶段练习）已知三元一次方程组，则 ．
3．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知三个实数x、y、z中，x与y的平均数是127，y与z的和的是78，x与z的和的是52，则这三个数x、y、z的平均数是 ．
4．（23-24七年级下·全国·课后作业）若是三元一次方程组的解，则的值是 ．
考点三 实际问题与二元一次方程组
用方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
【考试题型9】列二元一次方程组
1（23-24九年级下·湖南常德·期中）“践行垃圾分类・助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了节废电池，琪琪收集了节废电池，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江苏宿迁·模拟预测）程大位《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只，二家之数相当．两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目翻译成现代文的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，两个人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”两人都在用心计算着对方的羊数，在地上列算式算了半天才知道对方的羊数．若设甲有x只羊，乙有y只羊，则可列二元一次方程组为 ．
3．（23-24七年级下·北京东城·期中）被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．书中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何”？原文大意为：“现在有5只雀、6只燕，分别集中放在天平上称重，聚在一起的雀重燕轻．将一只雀一只燕交换位置而放，重量相等，5只雀和6只燕共重1斤，问雀和燕各重多少？”设雀每只x斤，燕每只y斤，则可列出方程组为 ．
4．（23-24七年级下·河南南阳·期中）如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，则每块墙砖的长是 ．
5．（22-23七年级下·河南南阳·期中）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形，小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形，“咳，怎么中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形！”设这些小长方形的长和宽分别为和，则依题意可列二元一次方程组为 ．

【考试题型10】利用二元一次方程组解决实际问题
1．（23-24八年级下·山东青岛·期中）汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲、乙两种货车的运货情况（每辆车都满载）如下表：
(1)甲、乙两种货车每辆满戟分别可装多少吨货物？
(2)若货主需要租用该公司的甲种货车8辆，乙种货车6辆，刚好运完这批货物（每辆车都满载），若按每吨付运费元，则货主应付运费多少元？
(3)若货主共有吨货，计划租用该公司的货车（每辆车都满载）正好把这批货运完，则该汽车公司共有哪几种运货方案？
2．（2023·吉林长春·模拟预测）《九章算术》是我国古代科技著作乃至世界古代数学著作中一颗璀璨的明珠，其中“损益术”记载：今有上禾五秉，损实一斗一升，损实二斗五升，当下禾五秉．问：上、下禾实一秉各几何？译文为：5捆上等禾所得谷粒减去1斗1升（1斗＝10升）后，相当于7捆下等禾所得谷粒；7捆上等禾所得谷粒减去2斗5升后，相当于5捆下等禾所得谷粒．则1捆上等禾和1捆下等禾各得谷粒多少升？请解决此问题．
3．（2023·贵州·模拟预测）若一个四位数满足各个数位上的数字之和能被13整除，则称这个四位数为 “笃学数”， 例如：5242各个数位上的数字之和为13， 能被13整除，故5242为“笃学数”．
(1)判断：3878_____“笃学数”；2169_________“笃学数” (填“是”或“不是”)．
(2)若一个“笃学数”M个位数字是5，千位数字是百位数字的2倍，求满足条件的所有“笃学数”M．
4．（23-24八年级下·吉林长春·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”，我校为提高学生的阅读品味，现决定购买《艾青诗选》和《呐喊》两种读物．已知购买2本《艾青诗选》和1本《呐喊》需35元；购买3本《艾青诗选》与购买2本《呐喊》需60元．
(1)求购买1本《艾青诗选》和1本《呐喊》各需多少元；
(2)若某班计划购买《艾青诗选》和《呐喊》共45本，其中《呐喊》的数量不少于《艾青诗选》数量的2倍，设购买《艾青诗选》m本，购买两种读物所需费用共w元，则m为何值时总费用w最小，并求出w的最小值．
5．（2024·宁夏吴忠·一模）某学校带领九年级学生开展了一系列情境教育活动，其中一项是主题为“走进西夏古国，徒步贺兰山阙”的研学活动．西夏王朝一直以来都以神秘著称，素有“东方金字塔”之称的西夏王陵、独创的西夏文字、英姿飒爽的西夏女兵……无不吸引着我们的注意．在纪念品馆，同学们看到了“西夏公主”“西夏武士”两种深受欢迎的特色卡通形象公仔．已知购买5个“西夏武士”和3个“西夏公主”公仔共需255元，购买2个“西夏武士”和4个“西夏公主”公仔共需200元．
(1)求每个“西夏武士”和“西夏公主”公仔的价格．
(2)若学校准备购买“西夏武士”和“西夏公主”公仔总共100个，且总费用不超过3200元，则最多能购买多少个“西夏公主”公仔？
解题技巧：当方程组中出现x/a=y/b的形式时，常考虑先用参数分别表示出x，y的值，然后将x，y的值代入另一个方程求出参数的值，最后将参数的值回代就能求出方程组的解.
解题技巧：观察方程组1和2的系数特点，数值都比较大.如果用常规的代入法或加减法来解，不仅计算量大，而且容易出现计算错误.根据方程组中的两个未知数的对应系数之差的绝对值相等，先化简，再用代入法或加减法求解，更为简便.
解题技巧：当两式相加时，x和y的系数相等，化简即可得到x+y=a;当两式相减时，x和y的系数互为相反数，化简即可得到-x+y=b.由此达到化简方程组的目的.
解题技巧：先将两个方程组中不含字母a、b的两个方程联立,求得方程组的解,然后由“方程组的解适合每一个方程”得到关于a、b 的二元一次方程组,进而确定a、b的值.
解题技巧：本题不能直接求出x，y，z的值，这时可以把其中一个未知数当成一个常数，然后用含这个未知数的式子去表示另外两个未知数.
解方程组
解：由①得，③第一步
把③代入①，得，第二步
整理得．第三步
因为x可以取任意实数，所以原方程组有无数个解．第四步
第一次
第二次
甲种货车/辆
2
5
乙种货车/辆
3
6
累计运货/吨