人教版七年级下册8.1 二元一次方程组课后练习题

这是一份人教版七年级下册8.1 二元一次方程组课后练习题，文件包含专题4-2二元一次方程组中整体思想的应用考题猜想三种应用问题原卷版docx、专题4-2二元一次方程组中整体思想的应用考题猜想三种应用问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。

应用1：整体变形在求值中的应用
【例1】．（2024春•桐乡市月考）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数，满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则 ， ；
（2）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么求的值．
【分析】（1）②①即可求出的值，①②即可求出的值；
（2）由题意列出方程组，即可求解．
【解答】解：（1），
②①，得，
①②，得，
，
故答案为：；6；
（2）由题意得，，
①②，得，
．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，掌握整体思想解决问题是解题的关键．
【变式1】．（2023秋•小店区月考）阅读与思考
“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题，已知实数，满足，求和的值．
小明：利用消元法解方程组，得，的值后，再分别代入和求值．
小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系，通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由①②可得，由①②可得．
李老师对两位同学的方法进行点评，指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．请你参考小逸同学的做法，解决下面的问题．
（1）已知二元一次方程组，则 4 ， ．
（2）已知关于，的二元一次方程组，若方程组的解满足，求的值．
【分析】（1）直接让方程组中的两个方程相加、相减即可求出、的值；
（2）直接让方程组中的两个方程相减即可求出的值，结合已知即可求出的值．
【解答】解：（1），
①②得，，
①②得，，
，
故答案为：4，2；
（2），
①②得，，
，
，
，
．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，理解题意，熟练掌握整体思想解方程组是解题的关键．
【变式2】．（2022秋•历下区期中）【阅读理解】
在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知，求的值．
解：①得：③
②③得：
的值为2．
【类比迁移】（1）已知，求的值；
【实际应用】（2）马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买40本笔记本、20支签字笔、4支记号笔需要488元．通过还价，班委购买了80本笔记本、40支签字笔、8支记号笔，只花了732元，请问比原价购买节省了多少钱？
【分析】（1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为元，元，元，根据题意列出方程，求出按照原价80本笔记本、40支签字笔、8支记号笔花费总数，即可求出节省的钱数．
【解答】解：（1），
①②得：，
则；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为元，元，元，
根据题意得：，
，
（元，
则比原价购买节省了244元钱．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，代数式求值，以及一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
【变式3】．（2022•兴宁区校级开学）【阅读理解】
在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化难为易．
【类比迁移】（1）若，则 23 ．
（2）运用整体代入的方法解方程组．
【实际应用】（3）“战疫情，我们在一起”，某公益组织计划为老年公寓捐赠一批防疫物资，已知打折前购买39瓶消毒液、12支测温枪、3套防护服共需2070元；打折后购买52瓶消毒液、16支测温枪、4套防护服共需2350元，比不打折时少花了多少钱？
【分析】（1）求即可；
（2）将看作一个整体进行分析计算即可；
（3）通过观察发现打折前和打折后的数量关系，通过运算得到所求．
【解答】解：（1），
得：．
故答案为：23；
（2），
由①可得：③，
把③代入②得：，
解得：，
方程组的解为；
（3）设打折前消毒液、测温枪和防护服的单价为元，元，元，
打折后消毒液、测温枪和防护服的单价为元，元，元，
则、、分别为每瓶消毒液、每支额温枪、每套防护服少花的钱，
由题意可得，
，
①，②得：
，
③④得：
，
左右两边乘4得，
，
比不打折时少花了410元．
【点评】本题考查三元一次方程组，注意运用整体代入是关键．
【变式4】．（2021春•临沭县期末）【阅读理解】
在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化难为易．
（1）解方程组：；
（2）已知，求的值
解：（1）把②代入①得：．解得：．
把代入②得：，
所以方程组的解为．
（2）①得：．③
②③得：．
【类比迁移】
（1）若，则 18 ．
（2）解方程组：．
【实际应用】
打折前，买39件商品，21件商品用了1080元．打折后，买52件商品，28件商品用了1152元，比不打折少花了多少钱？
【分析】【类比迁移】（1）利用①②可得出，此问得解；
（2）利用代入法解方程组，即可求出结论；
【实际应用】设打折前商品每件元，商品每件元，由买39件商品21件商品用了1080元，可得出关于、的二元一次方程，变形后可得出，用原价现价即可求出少花钱数．
【解答】解：【类比迁移】（1），
①②，得：．
故答案为：18．
（2），
由①得：③，
将③代入②中得：，解得：，
将代入①中得：．
方程组的解为．
【实际应用】设打折前商品每件元，商品每件元，
根据题意得：，
即，
将两边都乘4得：，
（元．
答：比不打折少花了288元．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用、解二元一次方程组以及解三元一次方程组，解题的关键是：【类比迁移】（1）利用①②求出的值；（2）利用代入法解二元一次方程组；【实际应用】找准等量关系，正确列出二元一次方程．
【变式5】．（2023秋•峄城区期末）【阅读感悟】
已知实数、满足，求和的值．
本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得、的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得，这样的解题思想称为“整体思想”．
【解决问题】
（1）已知二元一次方程组，求和的值；
（2）有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米：甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？
【分析】（1）根据方程组的特点，由①②可得的值，由①②可得的值；
（2）设甲种钢条的长度为米，乙种钢条的长度为米，丙种钢条的长度为米，依题意列出方程组，将①得③，再由③②可得的值．
【解答】解：（1）对于，
①②得：，
①②得：；
（2）设甲种钢条的长度为米，乙种钢条的长度为米，丙种钢条的长度为米．
依题意得：，
①得：③，
③②得：，
答：1根丙种钢条是6米．
【点评】此题主要考查了解一次方程组，熟练掌握加减消元法，理解“整体思想”的应用是解决问题的关键．
【变式6】．（2023春•林州市期末）阅读理解在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简．
（1）解方程组．
解：把②代入①得，，解得．
把代入②得，
所以方程组的解为．
（2）已知，求的值．
解：①②，得，③
③，得．
类比迁移
（1）求方程组的解．
（2）若，求的值．
【分析】（1）利用（1）的解题思路，进行计算即可解答；
（2）利用（2）的解题思路，进行计算即可解答．
【解答】解：（1），
把②代入①得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
原方程组的解为：；
（2），
①②得：，
，
的值为1．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，解一元一次方程，解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程的整体思想是解题的关键．
【变式7】．（2023春•吴忠期末）解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简．
【类比迁移】
（1）直接写出方程组的解．
（2）若，求的值．
【实际应用】
（3）打折前，买36件商品，12件商品用了960元．打折后，买45件商品，15件商品用了1100元，比不打折少花了多少钱？
【分析】（1）把②代入①中即可求出答案；
（2）用①②即可得出答案；
实际应用设打折前商品每件元，商品每件元，由题意可得关于，的二元一次方程，变形可得，用原价减现价即可得少花钱数．
【解答】解：（1），把②代入①中，得：
，解得：，
把代入②中，得，
方程组的解为．
（2），①②得：，
．
实际应用设打折前商品每件元，商品每件元，
根据题意得：，
两边同时乘以，得：，
（元，
答：比不打折少花了100元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法、应用，三元一次方程组，根据题意类比迁移，找准等量关系是重点．
【变式8】．（2021春•西乡塘区期末）阅读理解在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简．
类比迁移
（1）直接写出方程组的解．
（2）若，求的值．
实际应用打折前，买36件商品，12件商品用了960元．打折后，买45件商品，15件商品用了1100元，比不打折少花了多少钱？
【分析】（1）把②代入①中即可求出答案；
（2）用①②即可得出答案；
实际应用设打折前商品每件元，商品每件元，由题意可得关于，的二元一次方程，变形可得，用原价减现价即可得少花钱数．
【解答】解：（1），把②代入①中，得：
，解得：，
把代入②中，得，
方程组的解为．
（2），①②得：，
．
实际应用设打折前商品每件元，商品每件元，
根据题意得：，
两边同时乘以，得：，
（元，
答：比不打折少花了100元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法、应用，三元一次方程组，根据题意类比迁移，找准等量关系是重点．
【变式9】．（2024春•二道区校级期中）【阅读感悟】
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数、满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①②可，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
【解决问题】
（1）已知二元一次方程组，求和的值；
（2）初二（3）班组织书法比赛，要购买一些学习用品用于发奖，若买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需33元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需60元，则购买2支铅笔、2块橡皮、2本日记本共需多少元？
（3）对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值．
【分析】（1）分别①②，①②即可求得；
（2）设每只铅笔元，每块橡皮元，每本日记元，根据题意得三元一次方程组，①②求得，即可解决问题．
（3）根据“，”，即可得出关于，，的三元一次方程组，利用①②即可求出结论．
【解答】解：（1），
①②得，
①②得，
，
故答案为：，5；
（2）设每只铅笔元，每块橡皮元，每本日记本元，
根据题意，得：，
①②，得：，
，
答：购买2支铅笔、2块橡皮、2本日记本共需12元．
（3）依题意得：，
由①②可得，
即．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式10】．（2023春•南岗区校级期中）有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的表达式的值，如以下问题：
已知实数、满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的表达式得到答案，常规思路运算量比较大其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得表达式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”，解决问题：
（1）已知二元次方程组，则 4 ， ．
（2）某班级组织活动购买小奖品，买13支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需35元，买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，则购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需多少元？
【分析】（1），①②得，再由①②得，则；
（2）购买1支铅笔需元，1块橡皮需元，1本日记本共需元，由题意：买13支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需35元，买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，列出三元一次方程组，由“整体思想”求出，可得即可得解．
【解答】解：（1），
①②得：，
①②得：，
，
故答案为：4，2；
（2）购买1支铅笔需元，1块橡皮需元，1本日记本共需元，
由题意得：，
①②得：，
答：购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需45元．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
【变式11】．（2023春•西峡县期中）阅读理解题：先阅读下列材料，再解答后面的问题．
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数、满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值，再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．
其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
请运用上述“整体思想”解决下列问题：
迁移应用：
已知关于，的方程组：是常数）．
（1）若，求的值；
（2）若，求的取值范围．
拓展探究：
七年级某班组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？并说明理由．
【分析】迁移应用：（1）根据①②，得：，求出，根据，得出，求出的值即可；
（2）根据①②，得：，得出，从而得出，解的不等式组即可；
拓展探究：设购买1支铅笔需元，1块橡皮需元，1本日记本需元，根据买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：迁移应用：
，
①②，得：，
，
，
，
解得：；
①②，得：，
，
，
，
，
解得：．
拓展探究：
解：购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需6元
理由如下：
设购买1支铅笔需元，1块橡皮需元，1本日记本需元，
由题意得：
①②得：，
所以购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需6元．
【点评】本题主要考查了整体思想解二元一次方程组，解不等式组，解题的关键是熟练掌握整体思想，根据等量关系列出方程组．
【变式12】．（2023秋•莲湖区期末）问题提出
已知实数，满足，求的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①②可得．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．
利用上面的知识解答下面问题：
（1）已知方程组，则的值为 ．
问题探究
（2）请说明在关于，的方程组中，无论取何值，的值始终不变．
问题解决
（3）某步行街分别摆放有甲．乙、丙三种造型的盆景，，盆，甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成；乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景共用了2900朵红花，3750朵紫花，求黄花一共用了多少朵．
【分析】（1）由①②，即可求解；
（2）由①②，可得，即可求解；
（3）黄花一共用了朵．则，根据题意，列出方程组，即可求解．
【解答】解：（1）①②得，
故答案为：．
（2），
由①②，得，
，
无论取何值，的值始终不变．
（3）设黄花一共用了朵．则，
由题意，得，
由①③，得④，
由，得，即．
答：黄花一共用了1330朵．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，三元一次方程组的应用，关键是找到等量关系式．
应用2：整体代换在解方程组中的应用
【例题2】（23-24七年级下·河南鹤壁·阶段练习）善于思考的乐乐在解方程组时，采用了一种“整体代换”的方法．
解：将②变形，得，即，③
把①代入③，得，
解得，
把代入①，得，
解得，所以方程组的解为
根据上述材料，用“整体代换”的方法解方程组
【答案】
【分析】本题考查了代入法求二元一次方程的方法，适当变形后整体代入求解是关键．把变形为，再把整体代入．
【详解】解：
将②变形，得，③
把①代入③，得，
解得，
把代入①，得，
解得，所以方程组的解为
【变式1】（22-23七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形，得，
即． ③
把①代入③，得，解得y=-1．
把代入①，得，
解得．
所以方程组的解为：
请你模仿小军的“整体代换”法解方程组
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，将方程②变形为，再将整体代入即可求方程组．熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组，体会整体思想解方程组的便捷是解题的关键．
【详解】解：中，
将②变形，得：即，
将①代入③得，，
∴，
将代入①得，，
∴方程组的解为
【变式2】（22-23七年级下·重庆南川·期末）典例1：阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形为，即，③
把方程①代入③得，，
把代入①得，
方程组的解为．
请你解决以下问题：
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组．
(2)已知，满足方程组，求整式的立方根．
【答案】(1)
(2)立方根为2
【分析】（1）根据题目解题步骤进行求解即可；
（2）应用二元一次方程组中的加减消元法思路进行求解即可；
【详解】（1）解：（1）
将方程②变形为，即③，
把方程①代入③得，，
把代入①得，
∴方程组的解为
（2）
将方程①②得：，得③
代③入①得，
整式，
∴整式的立方根为2．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，明确题目所给过程步骤是解题的关键
【变式3】．（2022春•德宏州期末）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数、满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
请根据上述思想解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组，求和的值；
（2）对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值．
【分析】（1）将两方程相加可求的值，将两方程相减可求的值；
（2）由题意列出方程组，即可求解．
【解答】解：（1），
①②可得：，
①②可得：；
（2）由题意可得：，
①②可得：．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键．
【变式4】．（2023春•南安市期末）感悟思想：有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值．
思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得，的值再代入要求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值．如①②可得；①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
体会思想：
（1）已知二元一次方程组，则 ；
（2）三元一次方程组的解是 ．
【分析】（1）利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答；
（2）利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答．
【解答】解：（1），
①②得：，
解得：，
故答案为：5；
（2），
①②③得：，
解得：④，
①④得：，
②④得：，
③④得：，
原方程组的解为：，
故答案为：．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．
【变式5】．（2022春•蓝山县期中）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：
②①得：，即③
③得：④
①④得：，把代入③得
所以这个方程组的解是．
（1）请你运用小明的方法解方程组；
（2）规律探究：猜想关于、的方程组，不相等）的解．（不用写过程，直接写出它的解）．
【分析】（1）先计算得，再运用题目中的方法求解此方程组的解；
（2）先计算得，再运用题目中的方法求解此方程组的解．
【解答】解：，
②①得：，即③
③得：，
得，，
把代入③得
所以这个方程组的解是；
（2）这个方程组的解是．
【点评】此题考查了运用整体思想解二元一次方程组的能力，关键是能根据方程组的特点进行准确变形、计算．
【变式6】．（2021春•福州期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：即③，
把方程①代入③得：，
，
把代入①得，
方程组的解为．
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组；
（2）已知，满足方程组，求与的值；
（3）在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解．
【分析】（1）把第2个方程变形为，则利用整体代换消去，求出的值，然后利用代入法求出得到方程组的解；
（2）对方程组进行变形，则利用整体代换求出的值，把的值代入第一个方程，得；
（3）确定符合的所有整数解，然后对进行验证，从而求解．
【解答】解：（1），
将方程②变形，，即③，
把方程①代入③，得：，解得：，
把代入①，得：，解得：，
方程组的解为；
（2），
将方程组变形，得：，
将④③，得：，解得：，
将代入④，得：，
；
的值为17，的值为2；
（3）由（2）可得，
当，均为整数时，或或或，
当，时，，
当，时，，
当，时，，（故舍去），
当，时，，（故舍去），
在（2）的条件下，这个方程组的所有整数解为或．
【点评】本题考查了解二元一次方程组以及解一元一次方程，掌握解方程组的方法和步骤是关键，注意整体思想的运用．
【变式7】．（2022春•袁州区校级月考）“整体代换”是一种常用的数学思想，在解二元一次方程组时也可以运用“整体代换”的思想例如：求解二元一次方程组
将②式变形，得③．
将①式代入③式，得，解得．
将代入①式，得，解得，
该二元一次方程组的解为
（1）类比“整体代换”法解方程组
（2）已知，满足方程组求的值．
【分析】（1）把变形为，再用整体代换的方法解题；
（2）把①变形为这样的形式，再利用整体代换的方法解决．
【解答】解：（1）解方程组，
把②变形为③，
把①代入③得，，
解得，
把代入①得，
即方程组的解为；
（2）原方程组变形为
把①变形为③，
把②代入③可得，，
解得，
．
答：的值是4．
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，采用了阅读材料的形式，用“整体代换”的解法使复杂的二元一次方程组变得简单，这种方法考生们应该牢记，在一些整式的乘法和因式分解以及其他类型的数学题目中都会有所涉及．
【变式8】．（2021春•济源期末）题目：满足方程组的与的值的和是2，求的值．
按照常规方法，顺着题目思路解关于、的二元一次方程组，分别求出、的值（含有字母，再由，构造关于的方程求解，从而得出值．
（1）某数学兴趣小组对本题的解法又进行了探究，利用整体思想，对于方程组中每个方程变形得到“”这个整体，或者对方程组的两个方程进行加减变形，得到“”整体值，从而求出值．
请你运用这种整体思想的方法，完成题目的解答过程．
（2）小勇同学的解答是：观察方程①，令，．
解得：，又，
．
．
把，代入方程②，得．
所以的值为或．
请诊断分析并评价“小勇同学的解答”．
【分析】（1）由两种方法分别得出，求解即可；
（2）从二元一次方程的解和二元一次方程组的解的概念进行诊断分析，再从创新的角度进行评价即可．
【解答】解：（1）方法一：②得：③，
由③①得：，
，
，
解得：；
方法二：由①②得：③，
由②③得：，
，
，
解得：（方法不唯一）；
（2）“小勇同学的解答”错误，理由如下：
令，，求出的、的值只是方程①的一个解，而方程①有无数个解，根据方程组的解的概念，仅有方程①或方程②的某一个解中的、求出的值不一定适合方程组中的另一个方程；只有当方程①、②取公共解时，和、之间对应的数量关系才能成立，这时，求得的才是正确答案；
另一方面，小勇的解答虽然错误，但他的思维给我们有创新的感觉，也让我们巩固加深了对方程组解的概念的连接，同时启发我们平时在学习中，要善于多角度去探索问题，寻求新颖的解题方法．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的解、一元一次方程的解法以及整体思想的应用等知识；熟练掌握二元一次方程组的解法，由整体思想得出是解题的关键．
【变式9】．（2022春•内乡县期中）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数、满足①，②，求和的值．（1）解方程组
解：（1）把②代入①得：．解得：．
把代入②得：．
所以方程组的解为
（2）已知，求的值．
解：（2）①得：③
②③得；
例题讲解（1）解方程组
解：（1）把②代入①得：
把代入②得：
所以方程组的解为
（2）已知，求的值．
解：（2）①②得：③
所以
（1）解方程组
解：（1）把②代入①得：
把代入②得：
所以方程组的解为
（2）已知，求的值．
解：（2）①②得：③
③得