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2020—2021学年浙教版七年数学下册期末复习计算题知识点类型梳理卷（原卷+解析）
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2020—2021学年浙教版七年数学期末复习计算题知识点类型梳理卷
【题型1 巧用幂的逆向运算】
【例1】（2020春•鼓楼区校级期末）求值：
（1）已知42x＝23x﹣1，求x的值．
（2）已知a2n＝3，a3m＝5，求a6n﹣9m的值．
（3）已知3•2x+2x+1＝40，求x的值．
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：（1）∵42x＝23x﹣1，
∴24x＝23x﹣1，
∴4x＝3x﹣1，
∴x＝﹣1；
（2）∵a2n＝3，a3m＝5，
∴a6n﹣9m
＝a6n÷a9m
＝（a2n）3÷（a3m）3
＝33÷53
=27125；
（3）∵3•2x+2x+1＝40，
∴3•2x+2•2x＝40，
∴5•2x＝40，
∴2x＝8，
∴x＝3．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【变式1-1】（2020春•泰兴市期末）（1）已知2x＝3，2y＝5，求：2x﹣2y+1的值；
（2）x﹣2y﹣1＝0，求：2x÷4y×8的值．
【分析】（1）直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形得出答案；
（2）直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形得出答案．
【解答】解：（1）∵2x＝3，2y＝5，
∴2x﹣2y+1＝2x÷（2y）2×2
＝3÷52×2
=625；
（2）∵x﹣2y﹣1＝0，
∴x﹣2y＝1，
∴2x÷4y×8＝2x÷22y×8
＝2x﹣2y×8
＝2×8．
＝16．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算，正确将原式变形是解题关键．
【变式1-2】（2021春•高新区期末）若am＝an（a＞0，a≠1，m、n都是正整数），则m＝n，利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果2x•23＝32，求x的值；
（2）如果2÷8x•16x＝25，求x的值；
（3）若x＝5m﹣2，y＝3﹣25m，用含x的代数式表示y．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．
【解答】解：（1）∵2x•23＝32，
∴2x+3＝25，
∴x+3＝5，
∴x＝2；
（2）∵2÷8x•16x＝25，
∴2÷23x•24x＝25，
∴21﹣3x+4x＝25，
∴1+x＝5，
∴x＝4；
（3）∵x＝5m﹣2，
∴5m＝x+2，
∵y＝3﹣25m，
∴y＝3﹣（5m）2，
∴y＝3﹣（x+2）2＝﹣x2﹣4x﹣1．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的运算性质是正确计算的前提．
【变式1-3】（2020春•朝阳区校级期末）已知n为正整数，且x2n＝4
（1）求xn﹣3•x3（n+1）的值；
（2）求9（x3n）2﹣13（x2）2n的值．
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则将原式化简为（x2n）2，再把x2n＝4代入进行计算即可；
（2）根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则将原式化简为9（x2n）3﹣13（x2n）2，再把x2n＝4代入进行计算即可．
【解答】解：（1）∵x2n＝4，
∴xn﹣3•x3（n+1）＝xn﹣3•x3n+3＝x4n＝（x2n）2＝42＝16；
（2）∵x2n＝4，
∴9（x3n）2﹣13（x2）2n＝9x6n﹣13x4n＝9（x2n）3﹣13（x2n）2＝9×43﹣13×42＝576﹣208＝368．
【点评】本题考查的是幂的乘方与同底数幂的乘法法则，熟知幂的乘方法则是底数不变，指数相乘是解答此题的关键．
【题型2 整式混合运算的化简求值】
【例2】（2020春•招远市期末）（1）先化简，再求值：（2x+y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）﹣（3x﹣y）（x﹣5y），其中x＝﹣3，y=15．
（2）说明代数式[（x﹣y）2﹣（x+y）（x﹣y）]÷（﹣2y）+y的值，与y的值无关．
【分析】（1）根据完全平方公式、平方差公式、多项式乘多项式的运算法则把原式化简，把x、y的值代入计算即可；
（2）根据完全平方公式、平方差公式、多项式除单项式的运算法则把原式化简，证明结论．
【解答】解：（1）（2x+y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）﹣（3x﹣y）（x﹣5y）
＝4x2+4xy+y2﹣（x2﹣4y2）﹣（3x2﹣15xy﹣xy+5y2）
＝4x2+4xy+y2﹣x2+4y2﹣3x2+15xy+xy﹣5y2
＝20xy，
当x＝﹣3，y=15时，原式＝20×（﹣3）×15=-12；
（2）[（x﹣y）2﹣（x+y）（x﹣y）]÷（﹣2y）+y
＝[x2﹣2xy+y2﹣（x2﹣y2）]÷（﹣2y）+y
＝（x2﹣2xy+y2﹣x2+y2）÷（﹣2y）+y
＝（﹣2xy+2y2）÷（﹣2y）+y
＝x﹣y+y
＝x，
因此，代数式[（x﹣y）2﹣（x+y）（x﹣y）]÷（﹣2y）+y的值，与y的值无关．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
【变式2-1】（2020春•济南期末）（1）化简（a+3b）2﹣（a+b）（a﹣b）﹣2b（2a+4b）；
（2）先化简[（2x+y）（2x﹣y）+（x﹣y）2﹣2x（x﹣3y）]÷x，再求值，其中x＝2，y=-12．
【分析】（1）根据整式的运算法则即可求出答案．
（2）根据整式的运算法则进行化简，然后将x与y的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝a2+6ab+9b2﹣a2+b2﹣4ab﹣8b2
＝2b2+2ab．
（2）原式＝（4x2﹣y2+x2﹣2xy+y2﹣2x2+6xy）÷x
＝（3x2+4xy）÷x
＝3x+4y，
当x＝2 y=-12时，
∴原式＝4y+3x＝﹣2+6＝4．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
【变式2-2】（2020春•深圳校级期末）（1）计算：2x（x﹣3y）+（5xy2﹣2x2y）÷y；
（2）计算：（2x﹣3y﹣1）（2x+3y﹣1）；
（3）先化简，再求值：[（x+2y）2﹣（3x+y）（﹣y+3x）﹣5y2]÷（-12x），其中（2x+1）2+|y﹣2|＝0．
【分析】（1）根据单项式乘多项式和多项式除以单项式可以解答本题；
（2）根据平方差公式和完全平方公式可以解答本题；
（3）根据完全平方公式、平方差公式和多项式除以单项式可以化简题目中的式子，然后根据（2x+1）2+|y﹣2|＝0可以得到x、y的值，再将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）2x（x﹣3y）+（5xy2﹣2x2y）÷y
＝2x2﹣6xy+5xy﹣2x2
＝﹣xy；
（2）（2x﹣3y﹣1）（2x+3y﹣1）
＝[（2x﹣1）﹣3y][（2x﹣1）+3y]
＝（2x﹣1）2﹣（3y）2
＝4x2﹣4x+1﹣9y2；
（3）[（x+2y）2﹣（3x+y）（﹣y+3x）﹣5y2]÷（-12x）
＝（x2+4xy+4y2﹣9x2+y2﹣5y2）•（-2x）
＝（﹣8x2+4xy）•（-2x）
＝16x﹣8y，
∵（2x+1）2+|y﹣2|＝0，
∴2x+1＝0，y﹣2＝0，
解得x=-12，y＝2，
当x=-12，y＝2时，原式＝16×（-12）﹣8×2＝﹣8﹣16＝﹣24．
【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
【变式2-3】（2020春•西湖区校级期末）先化简，再求值：
（1）（m﹣2n）2﹣4n（3n﹣m）+（2n﹣3m）（3m+2n），其中2m2+n2＝6．
（2）[（27a4﹣6a5）÷3a2+（﹣3a3）2÷（﹣a﹣1）﹣4]÷（﹣2a）2，其中a＝﹣6．
【分析】（1）根据完全平方公式、单项式乘多项式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后根据2m2+n2＝6，即可求得所求式子的值；
（2）根据多项式除以单项式、积的乘方和同底数幂的乘除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）（m﹣2n）2﹣4n（3n﹣m）+（2n﹣3m）（3m+2n）
＝m2﹣4mn+4n2﹣12n2+4mn+4n2﹣9m2
＝﹣8m2﹣4n2，
当2m2+n2＝6时，原式＝﹣4（2m2+n2）＝﹣4×6＝﹣24；
（2）[（27a4﹣6a5）÷3a2+（﹣3a3）2÷（﹣a﹣1）﹣4]÷（﹣2a）2
＝[9a2﹣2a3+9a6÷（a4）]÷（4a2）
＝（9a2﹣2a3+9a2）÷（4a2）
＝（18a2﹣2a3）÷（4a2）
=92-12a，
当a＝﹣6时，原式=92-12×（﹣6）=92+3=152．
【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
【题型3 因式分解】
【例3】（2020秋•丛台区期末）因式分解
（1）（a﹣b）2+4ab；
（2）x2﹣2x﹣8；
（3）x4﹣6x3+9x2﹣16；
（4）（x2+3x+5）（x2+3x+1）+3．
【分析】（1）先根据完全平方公式展开，再根据完全平方公式分解因式即可；
（2）根据十字相乘法分解因式即可；
（3）先分组，根据完全平方公式进行计算，再根据平方差公式分解因式，最后根据“十字相乘法”分解因式即可；
（4）把x2+3x当作一个整体展开，再根据“十字相乘法”分解因式即可．
【解答】解：（1）（a﹣b）2+4ab
＝a2﹣2ab+b2+4ab
＝a2+2ab+b2
＝（a+b）2；
（2）x2﹣2x﹣8
＝（x﹣4）（x+2）；
（3）x4﹣6x3+9x2﹣16
＝（x4﹣6x3+9x2）﹣16
＝x2（x﹣3）2﹣42
＝[x（x﹣3）+4][x（x﹣3）﹣4]
＝（x2﹣3x+4）（x2﹣3x﹣4）
＝（x2﹣3x+4）（x﹣4）（x+1）；
（4）（x2+3x+5）（x2+3x+1）+3
＝（x2+3x）2+6（x2+3x）+5+3
＝（x2+3x）2+6（x2+3x）+8
＝（x2+3x+2）（x2+3x+4）
＝（x+1）（x+2）（x2+3x+4）．
【点评】本题考查了分解因式，能灵活运用因式分解的方法分解因式是解此题的关键，注意：分解因式的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法等．
【变式3-1】（2020春•肥城市期末）把下列各式进行因式分解：
（1）a4（a﹣b）+16（b﹣a）；
（2）50a﹣20a（x﹣y）+2a（x﹣y）2．
【分析】（1）先提取公因式（a﹣b），再运用平方差公式进行因式分解；
（2）先提取公因式2a，再利用完全平方公式进行因式分解．
【解答】解：（1）原式＝a4（a﹣b）﹣16（a﹣b）
＝（a﹣b）（a4﹣16）
＝（a﹣b）（a2+4）（a2﹣4）
＝（a﹣b）（a2+4）（a+2）（a﹣2）；
（2）原式＝2a[（x﹣y）2﹣10（x﹣y）+25]
＝2a（x﹣y﹣5）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【变式3-2】（2020春•北碚区校级期末）因式分解：
（1）3a2b2﹣6ab3；
（2）﹣27a3b+18a2b2﹣3ab3；
（3）x3+5x2﹣x﹣5；
（4）（x2﹣4）2﹣9x2．
【分析】（1）提公因式3ab2可进行因式分解；
（2）先提公因式﹣3ab，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（3）利用分组分解法进行因式分解，先将前两项为一组，后两项为一组，提公因式后，再利用平方差公式进行即可；
（4）先利用平方差公式，在分别利用十字相乘法进行因式分解即可．
【解答】解：（1）3a2b2﹣6ab3＝3ab2（a﹣2b）；
（2）﹣27a3b+18a2b2﹣3ab3＝﹣3ab（9a2﹣6ab+b2）＝﹣3ab（3a﹣b）2；
（3）x3+5x2﹣x﹣5＝x2（x+5）﹣（x+5）＝（x+5）（x+1）（x﹣1）；
（4）（x2﹣4）2﹣9x2＝（x2﹣4+3x）（x2﹣4﹣3x）＝（x+4）（x﹣1）（x﹣4）（x+1）．
【点评】本题考查因式分解的方法，掌握提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法是正确进行因式分解的关键．
【变式3-3】（2020春•东阿县期末）因式分解
（1）16x4﹣1；
（2）x2y﹣2xy2+y3；
（3）（x2+16y2）2﹣64x2y2；
（4）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）．
【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（3）原式利用平方差公式，以及完全平方公式分解即可；
（4）原式变形后，提取公因式即可．
【解答】解：（1）原式＝（4x2+1）（4x2﹣1）
＝（4x2+1）（2x+1）（2x﹣1）；
（2）原式＝y（x2﹣2xy+y2）
＝y（x﹣y）2；
（3）原式＝（x2+16y2+8xy）（x2+16y2﹣8xy）
＝（x+4y）2（x﹣4y）2；
（4）原式＝（a﹣b）（x﹣y）+（a﹣b）（x+y）
＝（a﹣b）（x﹣y+x+y）
＝2x（a﹣b）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【题型4 利用乘法公式求值】
【例4】（2020春•娄星区校级期末）已知a﹣b＝6，ab＝2，求下列各式的值．
（1）a2+b2；
（2）（a+b）2；
（3）a2﹣ab+b2．
【分析】（1）由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，给等式两边同时加2ab，根据已知条件即可得出答案；
（2）由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，给等式两边同时加4ab，右边为a2+2ab+b2，即（a+b）2，根据已知条件即可得出答案；
（3）由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，给等式两边同时加ab，右边为a2﹣ab+b2，根据已知条件即可得出答案．
【解答】解：（1）a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝62+2×2＝40；
（2）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝62+4×2＝44；
（3）a2﹣ab+b2＝（a﹣b）2+ab＝62+2＝38．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的变式应用，熟练应用完全平方公式的变式进行计算是解决本题的关键．
【变式4-1】（2021春•电白区期末）已知a﹣b＝6，ab＝﹣7．求：
（1）a2+b2的值；
（2）（a+b）2+2（a﹣b）2的值．
【分析】（1）由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，给等式两边同时加2ab，根据已知条件即可得出答案；
（2）由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，给等式两边同时加4ab，右边为a2+2ab+b2，即（a+b）2，根据已知条件即可得出答案．
【解答】解：（1）∵a﹣b＝6，ab＝﹣7，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝62+2×（﹣7）＝22；
（2）∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，a﹣b＝6，ab＝﹣7，
∴（a+b）2＝62+4×（﹣7）＝8，
∴（a+b）2+2（a﹣b）2＝8+2×62＝80．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的变式应用，熟练应用完全平方公式的变式进行计算是解决本题的关键．
【变式4-2】（2020春•简阳市 期末）阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．
请你根据上述解题思路回答下列问题：
（1）已知a+b＝5，ab＝7，求a2+b22，a2﹣ab+b2的值．
（2）已知a﹣c﹣b＝﹣10，（a﹣b）c＝﹣12，求（a﹣b）2+c2的值．
【分析】（1）由于（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，故采用整体代入法求解；
（2）根据完全平分公式，即可解答．
【解答】解：（1）∵a+b＝5，ab＝7，
∴a2+b22=(a+b)2-2ab2=52-2×72=112，
a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣2ab﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝52﹣3×7＝4．
（2）（a﹣b）2+c2＝[（a﹣b）﹣c]2+2（a﹣b）c
＝（a﹣c﹣b）2+2（a﹣b）c
＝（﹣10）2+2×（﹣12）
＝76．
【点评】本题考查了完全平方公式，关键是要灵活应用完全平方公式及其变形公式．
【变式4-3】（2020春•秦都区期末）我们知道完全平方公式是：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，由此公式我们可以得出下列结论：
（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab①；
ab=12[（a+b）2﹣（a2+b2）]②．
利用公式①和②解决下列问题：
（1）若m+n＝10，mn＝﹣3，求（m﹣n）2的值；
（2）已知m满足（2019﹣2m）2+（2m﹣2020）2＝7，求（2019﹣2m）（2m﹣2020）的值．
【分析】（1）根据题干结论推出（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，再代入计算即可；
（2）设a＝2019﹣2m，b＝2m﹣2020，再利用题干结论即可简化求解．
【解答】解：（1）∵（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，m+n＝10，mn＝﹣3，
∴（m﹣n）2＝102﹣4×（﹣3）＝112，
（2）设a＝2019﹣2m，b＝2m﹣2020，
∴a2+b2＝7，a+b＝﹣1，
∴（2019﹣2m）（2m﹣2020）＝ab=12[（a+b）2﹣（a2+b2）]=12×(1-7)=-3．
【点评】本题考查完全平方公式，理解题干中的结论和完全平方公式的变形应用是解题关键．
【题型5 利用因式分解求值】
【例5】（2020秋•辉县市期末）已知x、y满足xy＝14，x2y﹣xy2﹣x+y＝65，求下列各式的值：
（1）x2+y2；
（2）x+y．
【分析】（1）把x2y﹣xy2﹣x+y用分组法分解因式得（x﹣y）（xy﹣1），由xy＝14可得x﹣y的值，再把x2+y2化为（x﹣y）2+2xy，代入已知数据计算即可；
（2）把（x+y）2化为（x﹣y）2+4xy，代入已知数据计算即可．
【解答】解：∵xy＝14，x2y﹣xy2﹣x+y＝65，
∴xy（x﹣y）﹣（x﹣y）＝（x﹣y）（xy﹣1）＝65，
∴x﹣y＝5，
∴（1）x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝53；
（2）∵（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy＝81，
∴x+y＝±9．
【点评】本题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2是解本题的关键．
【变式5-1】（2020•吉安县期末）若a＝2021，b＝2020，c＝2019，求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值．
【分析】利用完全平方公式对a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac进行分解，代入求值即可．
【解答】解：∵a＝2021，b＝2020，c＝2019，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
=12（a2﹣2ab+b2）+12（a2﹣2ac+c2）+12（b2﹣2bc+c2）
=12（a﹣b）2+12（a﹣c）2+12（b﹣c）2
=12×（2021﹣2020）2+12×（2021﹣2019）2+12（×2020﹣2019）2
=12+12×4+12
＝3．
【点评】本题以代数式求值为背景考查了用完全平方公式因式分解，关键是能够用完全平方公式分解化简．
【变式5-2】（2020秋•农安县期末）已知m2+m＝2，求代数式m3+3m2+2020的值．
【分析】直接将原式变形，进而把已知代入得出答案．
【解答】解：m3+3m2+2020
＝m3+m2+2m2+2020
＝m（m2+m）+2m2+2020，
又m2+m＝2，
所以：原式＝2m2+2m+2020
＝2（m2+m）+2020
＝4+2020
＝2024．
【点评】此题主要考查了因式分解的应用，正确将原式变形是解题关键．
【变式5-3】（2020春•西湖区校级期末）阅读下列材料：已知a2+a﹣3＝0，求a2（a+4）的值．
解：∵a2＝3﹣a，∴a2（a+4）＝（3﹣a）（a+4）＝3a+12﹣a2﹣4a＝﹣a2﹣a+12
∵a2+a＝3，∴﹣（a2+a）+12＝﹣3+12＝9∴a2（a+4）＝9
根据上述材料的做法，完成下列各小题：
（1）已知a2﹣a﹣10＝0，求2（a+4）（a﹣5）的值；
（2）已知x2﹣x﹣1＝0，求x3﹣2x+1的值；
（3）已知（999﹣a）（998﹣a）＝1999，求（999﹣a）2+（998﹣a）2的值．
（4）已知x2+4x﹣1＝0，求代数值2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值．
【分析】（1）根据阅读材料的解答过程，利用整体代入的方法即可求解；
（2）根据因式分解的提公因式法将式子变形，然后整体代入计算即可求解；
（3）根据换元的思想，利用阅读材料的解答过程即可求解；
（4）根据因式分解和整式的混合运算，整体代入即可求解．
【解答】解：（1）∵a2﹣a﹣10＝0，∴a2﹣a＝10，
∴2（a+4）（a﹣5）＝2（a2﹣a﹣20）＝2（10﹣20）＝﹣20
答：2（a+4）（a﹣5）的值为﹣20；
（2）∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2﹣x＝1，x2＝x+1，
∴x3﹣2x+1＝x（x2﹣2）+1＝x（x+1﹣2）+1＝x（x﹣1）+1＝x2﹣x+1＝1+1＝2；
答：x3﹣2x+1的值为2；
（3）∵（999﹣a）（998﹣a）＝1999，
∴设：998﹣a＝x
∴（x+1）x＝1999，x2+x＝1999，
（999﹣a）2+（998﹣a）2
＝（x+1）2+x2
＝x2+2x+1+x2
＝2（x2+x）+1
＝2×1999+1
＝3999
答：（999﹣a）2+（998﹣a）2的值为3999．
（4）∵x2+4x﹣1＝0，∴x2+4x＝1，x2＝1﹣4x，
∴2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1＝2x2（x2+4x﹣2）﹣8x+1
＝2（1﹣4x）（1﹣2）﹣8x+1
＝﹣2+8x﹣8x+1
＝﹣1．
答：代数值2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值为﹣1．
【点评】本题考查了因式分解的应用和整式的混合运算，解决本题的关键是整体代入思想的运用．
【题型6 解二元一次方程组】
【例6】（2020秋•新都区期末）解下列方程组：
（1）4x-3y=63x-y=7；
（2）x-12-2y=41-y-x3=3．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1）4x-3y=6①3x-y=7②，
②×3﹣①，得5x＝15，解得x＝3，
把x＝3代入②，得9﹣y＝7，解得y＝2，
故方程组的解x=3y=2；
（2）方程组整理得：x-4y=9①x-y=6②，
②﹣①，得3y＝﹣3，解得y＝﹣1，
把y＝﹣1代入②，得x+1＝6，解得x＝5，
故方程组的解x=5y=-1．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式6-1】（2020秋•台儿庄区期末）解方程组：
（1）2x+y=-54x-5y=11；
（2）23x-34y=124(x-y)-3(2x+y)=17．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：2x+y=-5①4x-5y=11②，
①×5+②，14x＝﹣14，
解得x＝﹣1，
把x＝﹣1代入①，﹣2+y＝﹣5，
解得y＝﹣3，
∴原方程组的解是x=-1y=-3；
（2）方程组整理得8x-9y=6①-2x-7y=17②，
①+②×4，﹣37y＝74，
解得y＝﹣2，
把y＝﹣2代入①，8x+18＝6，
解得x=-32，
∴原方程组的解是x=-32y=-2．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式6-2】（2020秋•龙岗区期末）解方程（组）：
（1）x-y=34x+3y=5；
（2）x+22+2y+53=53x-4y=-2．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1）x-y=3①4x+3y=5②，
①×3+②得：7x＝14，
解得：x＝2，
把x＝2代入①点到：y＝﹣1，
则方程组的解为x=2y=-1；
（2）方程组整理得：3x+4y=14①3x-4y=-2②，
①+②得：6x＝12，
解得：x＝2，
①﹣②得：8y＝16，
解得：y＝2，
则方程组的解为x=2y=2．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式6-3】（2020春•开封期末）解下列方程组：
（1）用代入法解方程组：x-y=33x-8y=14；
（2）用加减法消元法解方程组：2x3+3y4=1712x6-y2=13．
【分析】（1）方程组整理后，利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1）x-y=3①3x-8y=14②，
由①得：y＝x﹣3③，
把③代入②得：3x﹣8（x﹣3）＝14，
解得：x＝2，
把x＝2代入③得：y＝﹣1，
则方程组的解为x=2y=-1；
（2）方程组整理得：8x+9y=17①x-3y=-2②，
①+②×3得：11x＝11，
解得：x＝1，
把x＝1代入②得：y＝1，
则方程组的解为x=1y=1．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【题型7 二元一次方程组中的含参问题】
【例7】（2020春•石城县期末）甲、乙两人共同解方程组ax+5y=15①4x-by=-2②，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为x=-3y=-1，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为x=5y=4，试求出a，b的正确值，并计算a2020+（-110b）2021的值．
【分析】由于甲和乙分别看错了a和b，而本题巧妙点在于①②中分别只含有a和b，所以甲的结果不影响②式中的b的求解，乙的结果不影响①中a的求解．将x=-3y=-1代入②，将x=5y=4代入①求解．
【解答】解：将x=-3y=-1代入方程组中的4x﹣by＝﹣2，
得：﹣12+b＝﹣2，即b＝10．
将x=5y=4代入方程组中的ax+5y＝15，
得：5a+20＝15，即a＝﹣1
当a＝﹣1，b＝10时，a2020+(-110b)2021=（﹣1）2020+（﹣1）2021＝0．
【点评】考查二元一次方程的求解．同学们在计算时一定要掌握好运算方法，这类问题的求解对于后面的学习至关重要．本题中，①②中分别只含有a和b，所以甲的结果不影响②式中的b的求解，乙的结果不影响①中a的求解．
【变式7-1】（2020春•公安县期末）两位同学在解方程组ax+by=-2cx-7y=20时，甲同学正确解得x=3y=-2，乙同学因写错c解得x=-2y=2，试求a、b、c的值．
【分析】把甲乙两名同学的结果代入ax+by＝﹣2中求出a与b的值，把甲的结果代入cx﹣7y＝﹣2中求出c的值即可．
【解答】解：把x=3y=-2与x=-2y=2分别代入ax+by＝﹣2得：3a-2b=-2①-2a+2b=-2②，
①+②得：a＝﹣4，
把a＝﹣4代入①得：b＝﹣5，
把x=3y=-2代入cx﹣7y＝20得：3c+14＝20，
解得：c＝2，
则a、b、c的值分别是a＝﹣4，b＝﹣5，c＝2．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式7-2】（2020春•淮阳区期末）已知关于x，y的两个二元一次方程组2x+26=-5ymx=ny-4和3x=5y+36nx+my+8=0的解相同，求（m+2n）188的值．
【分析】先根据两个方程组的解相同得2x+26=-5y3x=5y+36，解之求出x、y的值，继而可得关于m、n的方程组，解之求出m、n的值后代入计算可得．
【解答】解：由两个方程组的解相同，得2x+26=-5y3x=5y+36，
解得x=2y=-6，
所以有：2m=-6n-42n-6m+8=0，
解得m=1n=-1，
所以（m+2n）188＝（1﹣2）188＝1．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是掌握二元一次方程组的解的概念及解二元一次方程组的能力．
【变式7-3】（2020春•新罗区期末）已知关于x，y的方程组x-y=2m+1x+y=4m+3的解也是二元一次方程2x﹣3y＝7的一个解，求m的值．
【分析】本题重点还是在于x-y=2m+1x+y=4m+3的求解，掌握其计算方法，将计算的x，y的值代入2x﹣3y＝7进行求解．
【解答】解：x-y=2m+1①x+y=4m+3②
①+②得：
x＝3m+2．
②﹣①得：
y＝m+1．
将以上所求的x，y代入2x﹣3y＝7，得
3m﹣2﹣3（m+1）＝7
解得：m＝2．
【点评】本题考查二元一次方程的求解问题．同学们掌握其计算方法即可．
【题型8 二元一次方程组中的整体代入思想】
【例8】（2020春•大同期末）先阅读材料，然后解方程组．
材料：善于思考的小军在解方程组2x+5y=3①4x+11y=5②时，采用了如下方法：
解：将②变形，得4x+10y+y＝5
即2（2x+5y）+y＝5③
把①代入③，得2×3+y＝5，解得y＝﹣1．
把y＝﹣1代入①，得2x+5×（﹣1）＝3，解得x＝4．
∴原方程组的解为x=4y=-1．
这种方法称为“整体代入法”．请用这种方法解方程组：3x-2y=5①9x-5y=12②．
【分析】仿照小军的方法将方程②变形，把方程①代入求出y的值，即可确定出x的值．
【解答】解：3x-2y=5①9x-5y=12②，
将②变形，得9x﹣6y+y＝12，
即3（3x﹣2y）+y＝12③，
把①代入③，得3×5+y＝12，解得y＝﹣3．
把y＝﹣3代入①，得3x﹣2×（﹣3）＝5，解得x=-13．
∴原方程组的解为x=-13y=-3．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式8-1】（2020秋•成华区期末）阅读理解：已知实数x，y满足3x﹣y＝5…①，2x+3y＝7…②，求x﹣4y和7x+5y的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组2x+y=7x+2y=8，则x﹣y＝ ，x+y＝ ；
（2）买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算．已知3*5＝15，4*7＝28，求1*1的值．
【分析】（1）由方程组的两式相减与相加即可得出结果；
（2）设的消毒液单价为m元，测温枪的单价为n元，防护服的单价为p元，由题意列出方程组，即可得出结果；
（3）由定义新运算列出方程组，求出a﹣b+c＝﹣11，即可得出结果．
【解答】解：（1）2x+y=7①x+2y=8②，
由①﹣②得：x﹣y＝﹣1，
①+②得：3x+3y＝15，
∴x+y＝5，
故答案为：﹣1，5；
（2）设铅笔单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，
由题意得：20m+3n+2p=32①39m+5n+3p=58②，
由①×2﹣②得：m+n+p＝6，
∴5m+5n+5p＝5×6＝30，
答：购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需30元；
（3）由题意得：3a+5b+c=15①4a+7b+c=28②，
由①×3﹣②×2可得：a+b+c＝﹣11，
∴1*1＝a+b+c＝﹣11．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用、定义新运算、“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思想”，找出等量关系列出方程组是解题的关键．
【变式8-2】（2020春•赣州期末）阅读材料：善于思考的小强同学在解方程组2x+5y=3①4x+11y=5②时，采用了一种“整体代换”解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5…③，把方程①代入③得：2×3+y＝5即y＝﹣1，把y＝﹣1代入方程①，得x＝4，所以方程组的解为x=4y=-1．
请你解决以下问题
（1）模仿小强同学的“整体代换”法解方程组3x+4y=166x+9y=25；
（2）已知x，y满足方程组x2+xy+3y2=113x2-5xy+9y2=49；
（i）求xy的值；
（ii）求出这个方程组的所有整数解．
【分析】（1）根据例题的解法代入计算即可；
（2）把①变形为x2+3y2＝11﹣xy③，然后再代入②即可；根据x与y是整数xy＝﹣2计算即可．
【解答】解：（1）3x+4y=16①6x+9y=25②，
将方程②变形：6x+8y+y＝25，
即2（3x+4y）+y＝25③，
把方程①代入③得：2×16+y＝25，
解得y＝﹣7，
把y＝﹣7代入方程①，得x=443，
所以方程组的解为x=443y=-7；
（2）（i）原方程组化为x2+3y2+xy=11①3(x2+3y2)-5xy=49②，
由①得：x2+3y2＝11﹣xy③，
将③代入方程②得：﹣8xy＝16，
∴xy＝﹣2；
（ii）由（i）得xy＝﹣2，
∵x与y是整数，
∴x=-1y=2或x=1y=-2或x=-2y=1或x=2y=-1，
由（i）可求得x2+3y2＝13，
∴x=-1y=2和x=1y=-2符合题意，
故原方程组的所有整数解是x=-1y=2或x=1y=-2．
【点评】此题主要考查了解一元二次方程的解法，关键是掌握代入消元法．
【变式8-3】（2020春•河口区期末）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想．
（1）解方程组3x-2y=-13x+2y=7，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 ；
（2）如何解方程组3(m+5)-2(n+3)=-13(m+5)+2(n+3)=7呢？我们可以把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为 ；
由此请你解决下列问题：
若关于m，n的方程组am+bn=72m-bn=-2的值与3m+n=5am-bn=-1有相同的解，求a、b的值．
【分析】（1）利用加减消元法，可以求得；
（2）利用换元法，把设m+5＝x，n+3＝y，则方程组化为（1）中的方程组，可求得x，y的值进一步可求出原方程组的解；对要解决的问题把am和bn当成一个整体利用已知条件可求出am和bn，再把bn代入2m﹣bn＝﹣2与3m+n＝5可求出m和n的值，继而可求出a、b的值．
【解答】解：（1）方程组的解为：x=1y=2；故应填：x=1y=2；
（2）设m+5＝x，n+3＝y，则原方程组可化为组3x-2y=-13x+2y=7，由（1）可得：x=1y=2，所以可解得m=-4n=-1，故应填：m=-4n=-1；
由方程组am+bn=72m-bn=-2的值与3m+n=5am-bn=-1有相同的解可得方程组am+bn=7am-bn=-1，解得am=3bn=4，
把bn＝4代入方程2m﹣bn＝﹣2得2m＝2，解得m＝1，
再把m＝1代入3m+n＝5得3+n＝5，解得n＝2，
把m＝1代入am＝3得：a＝3，
把n＝2代入bn＝4得：b＝2，
所以a＝3，b＝2．
【点评】本题主要考查整体思想及换元法的应用，解题的关键是理解好整体思想．
【题型9 分式的化简求值】
【例9】（2020秋•石景山区期末）已知a2+a＝1，求代数式a+1a+2-a2-3a2+4a+4÷a-1a+2的值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a2+a＝1代入计算即可．
【解答】解：原式=a+1a+2-a2-3(a+2)2•a+2a-1
=a+1a+2-a2-3(a-1)(a+2)
=a2-1(a-1)(a+2)-a2-3(a-1)(a+2)
=2(a-1)(a+2)
=2a2+a-2，
当a2+a＝1时，
原式=21-2=-2．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
【变式9-1】（2020秋•鹿邑县期末）先化简，再求值：（3x+1-x+1）÷x2-4x+4x+1，从﹣1，2，﹣3中选一个值，代入求值．
【分析】先算括号内的加减，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可．
【解答】解：（3x+1-x+1）÷x2-4x+4x+1
=3-(x+1)(x-1)x+1•x+1(x-2)2
=4-x2x+1•x+1(x-2)2
=-(x+2)(x-2)x+1•x+1(x-2)2
=-x+2x-2，
∵x+1≠0，x﹣2≠0，
∴x≠﹣1，x≠2，
取x＝﹣3，
当x＝﹣3时，原式=--3+2-3-2=-15．
【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
【变式9-2】（2020秋•盐池县期末）先化简，再求值：a2-3aa2-6a+9+23-a÷a-2a2-9，并在2，3，﹣3，4这四个数中取一个合适的数作为a的值代入求值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由分式有意义的条件确定a的值，继而代入计算即可．
【解答】解：原式=a(a-3)(a-3)2-2a-3•(a+3)(a-3)a-2
=aa-3-2(a+3)a-2，
∵a≠±3且a≠2，
∴a＝4，
则原式=44-3-2×(4+3)4-2
＝4﹣7
＝﹣3．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
【变式9-3】（2020秋•沂南县期末）先化简，再求值：（x+1-15x-1）÷x2-8x+161-x，其中x＝（13）﹣1﹣（3﹣π）0．
【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式=-x+4x-4，接着根据零指数幂和负整数指数幂的意义计算出x＝2，然后把x＝2代入-x+4x-4中运算即可．
【解答】解：原式=(x+1)(x-1)-15x-1•-(x-1)(x-4)2
=(x+4)(x-4)x-1•-(x-1)(x-4)2
=-x+4x-4，
当x＝3﹣1＝2时，原式=-2+42-4=3．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【题型10 分式化简的情景题】
【例10】（2020秋•高邑县期末）老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图：
（1）求被手遮住部分的代数式，并将其化简；
（2）原代数式的值能等于﹣1吗？请说明理由．
【分析】（1）直接利用分式的乘除运算法则计算得出答案；
（2）当原式＝﹣1，求出x的值，进而分析得出答案．
【解答】解：（1）设被手遮住部分的代数式为A．
则[A-(x+1)(x-1)(x-1)2]×x+1x=x+1x-1，
（A-x+1x-1）×x+1x=x+1x-1，
A-x+1x-1=xx-1，
则A=xx-1+x+1x-1=2x+1x-1．
（2）不能，
理由：若能使原代数式的值能等于﹣1，
2x+1x-1=-1，即x＝0，
但是，当x＝0时，原代数式中的除数xx+1=0，原代数式无意义．
所以原代数式的值不能等于﹣1．
【点评】此题主要考查了分式的乘除运算，正确掌握分式的基本性质是解题关键．
【变式10-1】（2020秋•永年区期末）上课时老师在黑板上书写了一个分式的正确化简结果，随后用手掌盖住了一部分，形式如下：
•y2x2-xy-y2-x2x2-2xy+y2=xx-y
（1）聪明的你请求出盖住部分化简后的结果；
（2）当x＝2时，y等于何值时，原分式的值为5．
【分析】（1）根据被减数、减数、差及因数与积的关系，化简分式求出盖住的部分即可；
（2）根据x＝2时分式的值是5，得关于y的方程，求解即可．
【解答】解：（1）∵（xx-y+y2-x2x2-2xy+y2）÷y2x2-xy
＝[xx-y+(y+x)(y-x)(x-y)2]×x(x-y)y2
=-yx-y×x(x-y)y2
=-xy
∴盖住部分化简后的结果为-xy；
（2）∵x＝2时，原分式的值为5，
即22-y=5，
∴10﹣5y＝2
解得y=85
经检验，y=85是原方程的解．
所以当x＝2，y=85时，原分式的值为5．
【点评】本题考查了整式的混合运算及分式方程的解法．掌握：被减数＝差+减数，一个因数＝积÷另一个因数，是解决本题（1）的关键．
【变式10-2】（2020秋•卢龙县期末）老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：2x+1+x+5x2-1，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：
甲同学：2x+1+x+5x2-1=2(x+1)(x-1)+x+6(x+1)(x-1)第一步=2+x+5(x+1)(x-1)第二步=x+7(x+1)(x-1)第三步
乙同学：2x+1+x+5x2-1=2(x-1)(x+1)(x-1)+x+5(x+1)(x-1)第一步＝2x﹣2+x+5第二步＝3x+3第三步
老师发现这两位同学的解答都有错误：
（1）甲同学的解答从第 步开始出现错误；乙同学的解答从第 步开始出现错误；
（2）请重新写出完成此题的正确解答过程.2x+1+x+5x2-1
【分析】（1）甲第一步通分错误；乙第二步分母丢掉，所以错误；
（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则化简可得．
【解答】解：（1）甲同学的解答从第一步开始出现错误；乙同学的解答从第二步开始出现错误
故答案为：一、二；
（2）原式=2(x-1)(x+1)(x-1)+x+5(x+1)(x-1)
=2x-2+x+5(x+1)(x-1)
=3x+3(x+1)(x-1)
=3x-1．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
【变式10-3】（2020秋•海安市期末）老师在黑板上写了一个代数式的正确计算结果，随后用“黑板擦”遮住原代数式的一部分，如图：-232-x）÷xx+2=x+2x-2．
（1）求被“黑板擦”遮住部分的代数式，并将其化简；
（2）原代数式的值能等于﹣1吗？请说明理由．
【分析】（1）根据加减和乘除的关系可得x+2x-2⋅xx+2+232-x，然后先算乘法，后算加法即可；
（2）假设能等于﹣1可得方程x+2x-2=-1，解出x的值，发现分式xx+2=0，除数为零无意义，则原代数式的值不能等于﹣1．
【解答】解：（1）由题意得：
x+2x-2⋅xx+2+232-x，
=xx-2-23x-2，
=x-23x-2；
（2）不能，
假设能，则x+2x-2=-1，
x+2＝﹣（x﹣2），
x+2＝﹣x+2，
x＝0，
当x＝0时，分式xx+2=0，除数为零无意义，则原代数式的值不能等于﹣1．
【点评】此题主要考查了分式的乘除法，关键是掌握计算法则，注意除法中除数不能为零．
【题型11 解分式方程】
【例11】（2020秋•禹城市期末）解方程：
（1）x-3x-2+1=32-x；
（2）xx-1-1=3(x+2)(x-1)．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：x﹣3+x﹣2＝﹣3，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣2＝﹣1≠0，
∴x＝1是分式方程的解；
（2）去分母得：x（x+2）﹣（x+2）（x﹣1）＝3，
整理得：x2+2x﹣x2﹣x+2＝3，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x+2）（x﹣1）＝0，
∴x＝1是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
【变式11-1】（2020秋•云南期末）解下列分式方程：
（1）xx-1=3x2-1+1；
（2）1-xx-2=12-x-2．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：x（x+1）＝3+x2﹣1，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，（x+1）（x﹣1）≠0，
∴x＝2是分式方程的解；
（2）去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2x+4，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣2＝0，
∴x＝2是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
【变式11-2】（2020秋•鱼台县期末）解分式方程：
（1）1x+11.5x=772；
（2）x-2x-3+13-x=5．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：72+108＝7x，
解得：x=1207，
经检验x=1207是分式方程的解；
（2）去分母得：（x﹣2）﹣1＝5（x﹣3），
解得：x＝3，
经检验x＝3是增根，
则分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
【变式11-3】（2020秋•平邑县期末）解方程：
（1）5x2+x-1x2-x=0；
（2）xx-2-1=8x2-4．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：5x﹣5﹣x﹣1＝0，
解得：x=32，
经检验x=32是分式方程的解；
（2）去分母得：x2+2x﹣x2+4＝8，
解得：x＝2，
经检验x＝2是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程利用了转化的思想，注意要检验．
【题型12 分式方程的解及增根】
【例12】（2020春•百色期末）增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根．对于分式方程：2x-3+mxx2-9=3x+3．
（1）若该分式方程有增根，则增根为 ．
（2）在（1）的条件下，求出m的值，
【分析】（1）分式方程会产生增根，即最简公分母等于0，则x2﹣9＝0，故方程产生的增根有两种可能：x1＝3，x2＝﹣3；
（2）由增根的定义可知，x1＝3，x2＝﹣3是原方程去分母后化成的整式方程的根，把其代入整式方程即可求出m的值．
【解答】解：（1）2x-3+mxx2-9=3x+3，
方程两边都乘（x+3）（x﹣3）得2（x+3）+mx＝3（x﹣3）
∵原方程有增根，
∴x2﹣9＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣3．
故答案为：x1＝3，x2＝﹣3；
（2）当x＝3时，m＝﹣4，
当x＝﹣3时，m＝6．
故m的值为﹣4或6．
【点评】考查了分式方程的增根，（1）增根的求法：令最简公分母为0；（2）求有增根的方程中参数的值，应先求出可能的增根，再将其代入化简后的整式方程即可．
【变式12-1】（2020•大城县期末）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：？x-2+3=12-x．
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
【分析】（1）把？＝5代入方程，进而利用解分式方程的方法解答即可；
（2）设？为m，利用分式方程的增根解答即可．
【解答】解：（1）方程两边同时乘以（x﹣2）得5+3（x﹣2）＝﹣1
解得x＝0
经检验，x＝0是原分式方程的解．
（2）设？为m，
方程两边同时乘以（x﹣2）得m+3（x﹣2）＝﹣1
由于x＝2是原分式方程的增根，
所以把x＝2代入上面的等式得m+3（2﹣2）＝﹣1，m＝﹣1
所以，原分式方程中“？”代表的数是﹣1．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
【变式12-2】（2020秋•娄底期中）已知关于x的分式方程x-ax-1-3x=1+ax2-x，回答下列问题：
（1）原方程去分母后，整理成关于x的整式方程得： ；
（2）若原分式方程无解，求a的值．
【分析】（1）根据等式的性质即可求出答案；
（2）根据分式方程的解法即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x-ax-1-3x=1+ax2-x，
∴x（x﹣a）﹣3（x﹣1）＝x2﹣x+a
∴（a+2）x＝3﹣a
（2）当a+2＝0时，
此时a＝﹣2，该方程无解；
当a+2≠0时，
此时将x=3-aa+2代入x（x﹣1）＝0，
∴3-aa+2（3-aa+2-1）＝0，
∴3-aa+2=0或3-aa+2=1，
∴a＝3或a=12；
综上所述，a＝﹣2或3或12
故答案为：（a+2）x＝3﹣a
【点评】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．
【变式12-3】（2020春•长泰县期末）已知关于x的分式方程2x-1+mx(x-1)(x+2)=1x+2
（1）若方程的增根为x＝1，求m的值
（2）若方程有增根，求m的值
（3）若方程无解，求m的值．
【分析】方程去分母转化为整式方程，
（1）根据分式方程的增根为x＝1，求出m的值即可；
（2）根据分式方程有增根，确定出x的值，进而求出m的值；
（3）分m+1＝0与m+1≠0两种情况，根据分式方程无解，求出m的值即可．
【解答】解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），
去分母并整理得：2（x+2）+mx＝x﹣1，
移项合并得：（m+1）x＝﹣5，
（1）∵x＝1是分式方程的增根，
∴1+m＝﹣5，
解得：m＝﹣6；
（2）∵原分式方程有增根，
∴（x+2）（x﹣1）＝0，
解得：x＝﹣2或x＝1，
当x＝﹣2时，m＝1.5；当x＝1时，m＝﹣6；
（3）当m+1＝0时，该方程无解，此时m＝﹣1；
当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m＝﹣6或m=32，
综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
2020—2021学年浙教版七年数学期末复习计算题知识点类型梳理卷
【题型1 巧用幂的逆向运算】
【例1】（2020春•鼓楼区校级期末）求值：
（1）已知42x＝23x﹣1，求x的值．
（2）已知a2n＝3，a3m＝5，求a6n﹣9m的值．
（3）已知3•2x+2x+1＝40，求x的值．
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：（1）∵42x＝23x﹣1，
∴24x＝23x﹣1，
∴4x＝3x﹣1，
∴x＝﹣1；
（2）∵a2n＝3，a3m＝5，
∴a6n﹣9m
＝a6n÷a9m
＝（a2n）3÷（a3m）3
＝33÷53
=27125；
（3）∵3•2x+2x+1＝40，
∴3•2x+2•2x＝40，
∴5•2x＝40，
∴2x＝8，
∴x＝3．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【变式1-1】（2020春•泰兴市期末）（1）已知2x＝3，2y＝5，求：2x﹣2y+1的值；
（2）x﹣2y﹣1＝0，求：2x÷4y×8的值．
【分析】（1）直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形得出答案；
（2）直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形得出答案．
【解答】解：（1）∵2x＝3，2y＝5，
∴2x﹣2y+1＝2x÷（2y）2×2
＝3÷52×2
=625；
（2）∵x﹣2y﹣1＝0，
∴x﹣2y＝1，
∴2x÷4y×8＝2x÷22y×8
＝2x﹣2y×8
＝2×8．
＝16．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算，正确将原式变形是解题关键．
【变式1-2】（2021春•高新区期末）若am＝an（a＞0，a≠1，m、n都是正整数），则m＝n，利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果2x•23＝32，求x的值；
（2）如果2÷8x•16x＝25，求x的值；
（3）若x＝5m﹣2，y＝3﹣25m，用含x的代数式表示y．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．
【解答】解：（1）∵2x•23＝32，
∴2x+3＝25，
∴x+3＝5，
∴x＝2；
（2）∵2÷8x•16x＝25，
∴2÷23x•24x＝25，
∴21﹣3x+4x＝25，
∴1+x＝5，
∴x＝4；
（3）∵x＝5m﹣2，
∴5m＝x+2，
∵y＝3﹣25m，
∴y＝3﹣（5m）2，
∴y＝3﹣（x+2）2＝﹣x2﹣4x﹣1．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的运算性质是正确计算的前提．
【变式1-3】（2020春•朝阳区校级期末）已知n为正整数，且x2n＝4
（1）求xn﹣3•x3（n+1）的值；
（2）求9（x3n）2﹣13（x2）2n的值．
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则将原式化简为（x2n）2，再把x2n＝4代入进行计算即可；
（2）根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则将原式化简为9（x2n）3﹣13（x2n）2，再把x2n＝4代入进行计算即可．
【解答】解：（1）∵x2n＝4，
∴xn﹣3•x3（n+1）＝xn﹣3•x3n+3＝x4n＝（x2n）2＝42＝16；
（2）∵x2n＝4，
∴9（x3n）2﹣13（x2）2n＝9x6n﹣13x4n＝9（x2n）3﹣13（x2n）2＝9×43﹣13×42＝576﹣208＝368．
【点评】本题考查的是幂的乘方与同底数幂的乘法法则，熟知幂的乘方法则是底数不变，指数相乘是解答此题的关键．
【题型2 整式混合运算的化简求值】
【例2】（2020春•招远市期末）（1）先化简，再求值：（2x+y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）﹣（3x﹣y）（x﹣5y），其中x＝﹣3，y=15．
（2）说明代数式[（x﹣y）2﹣（x+y）（x﹣y）]÷（﹣2y）+y的值，与y的值无关．
【分析】（1）根据完全平方公式、平方差公式、多项式乘多项式的运算法则把原式化简，把x、y的值代入计算即可；
（2）根据完全平方公式、平方差公式、多项式除单项式的运算法则把原式化简，证明结论．
【解答】解：（1）（2x+y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）﹣（3x﹣y）（x﹣5y）
＝4x2+4xy+y2﹣（x2﹣4y2）﹣（3x2﹣15xy﹣xy+5y2）
＝4x2+4xy+y2﹣x2+4y2﹣3x2+15xy+xy﹣5y2
＝20xy，
当x＝﹣3，y=15时，原式＝20×（﹣3）×15=-12；
（2）[（x﹣y）2﹣（x+y）（x﹣y）]÷（﹣2y）+y
＝[x2﹣2xy+y2﹣（x2﹣y2）]÷（﹣2y）+y
＝（x2﹣2xy+y2﹣x2+y2）÷（﹣2y）+y
＝（﹣2xy+2y2）÷（﹣2y）+y
＝x﹣y+y
＝x，
因此，代数式[（x﹣y）2﹣（x+y）（x﹣y）]÷（﹣2y）+y的值，与y的值无关．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
【变式2-1】（2020春•济南期末）（1）化简（a+3b）2﹣（a+b）（a﹣b）﹣2b（2a+4b）；
（2）先化简[（2x+y）（2x﹣y）+（x﹣y）2﹣2x（x﹣3y）]÷x，再求值，其中x＝2，y=-12．
【分析】（1）根据整式的运算法则即可求出答案．
（2）根据整式的运算法则进行化简，然后将x与y的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝a2+6ab+9b2﹣a2+b2﹣4ab﹣8b2
＝2b2+2ab．
（2）原式＝（4x2﹣y2+x2﹣2xy+y2﹣2x2+6xy）÷x
＝（3x2+4xy）÷x
＝3x+4y，
当x＝2 y=-12时，
∴原式＝4y+3x＝﹣2+6＝4．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
【变式2-2】（2020春•深圳校级期末）（1）计算：2x（x﹣3y）+（5xy2﹣2x2y）÷y；
（2）计算：（2x﹣3y﹣1）（2x+3y﹣1）；
（3）先化简，再求值：[（x+2y）2﹣（3x+y）（﹣y+3x）﹣5y2]÷（-12x），其中（2x+1）2+|y﹣2|＝0．
【分析】（1）根据单项式乘多项式和多项式除以单项式可以解答本题；
（2）根据平方差公式和完全平方公式可以解答本题；
（3）根据完全平方公式、平方差公式和多项式除以单项式可以化简题目中的式子，然后根据（2x+1）2+|y﹣2|＝0可以得到x、y的值，再将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）2x（x﹣3y）+（5xy2﹣2x2y）÷y
＝2x2﹣6xy+5xy﹣2x2
＝﹣xy；
（2）（2x﹣3y﹣1）（2x+3y﹣1）
＝[（2x﹣1）﹣3y][（2x﹣1）+3y]
＝（2x﹣1）2﹣（3y）2
＝4x2﹣4x+1﹣9y2；
（3）[（x+2y）2﹣（3x+y）（﹣y+3x）﹣5y2]÷（-12x）
＝（x2+4xy+4y2﹣9x2+y2﹣5y2）•（-2x）
＝（﹣8x2+4xy）•（-2x）
＝16x﹣8y，
∵（2x+1）2+|y﹣2|＝0，
∴2x+1＝0，y﹣2＝0，
解得x=-12，y＝2，
当x=-12，y＝2时，原式＝16×（-12）﹣8×2＝﹣8﹣16＝﹣24．
【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
【变式2-3】（2020春•西湖区校级期末）先化简，再求值：
（1）（m﹣2n）2﹣4n（3n﹣m）+（2n﹣3m）（3m+2n），其中2m2+n2＝6．
（2）[（27a4﹣6a5）÷3a2+（﹣3a3）2÷（﹣a﹣1）﹣4]÷（﹣2a）2，其中a＝﹣6．
【分析】（1）根据完全平方公式、单项式乘多项式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后根据2m2+n2＝6，即可求得所求式子的值；
（2）根据多项式除以单项式、积的乘方和同底数幂的乘除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）（m﹣2n）2﹣4n（3n﹣m）+（2n﹣3m）（3m+2n）
＝m2﹣4mn+4n2﹣12n2+4mn+4n2﹣9m2
＝﹣8m2﹣4n2，
当2m2+n2＝6时，原式＝﹣4（2m2+n2）＝﹣4×6＝﹣24；
（2）[（27a4﹣6a5）÷3a2+（﹣3a3）2÷（﹣a﹣1）﹣4]÷（﹣2a）2
＝[9a2﹣2a3+9a6÷（a4）]÷（4a2）
＝（9a2﹣2a3+9a2）÷（4a2）
＝（18a2﹣2a3）÷（4a2）
=92-12a，
当a＝﹣6时，原式=92-12×（﹣6）=92+3=152．
【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
【题型3 因式分解】
【例3】（2020秋•丛台区期末）因式分解
（1）（a﹣b）2+4ab；
（2）x2﹣2x﹣8；
（3）x4﹣6x3+9x2﹣16；
（4）（x2+3x+5）（x2+3x+1）+3．
【分析】（1）先根据完全平方公式展开，再根据完全平方公式分解因式即可；
（2）根据十字相乘法分解因式即可；
（3）先分组，根据完全平方公式进行计算，再根据平方差公式分解因式，最后根据“十字相乘法”分解因式即可；
（4）把x2+3x当作一个整体展开，再根据“十字相乘法”分解因式即可．
【解答】解：（1）（a﹣b）2+4ab
＝a2﹣2ab+b2+4ab
＝a2+2ab+b2
＝（a+b）2；
（2）x2﹣2x﹣8
＝（x﹣4）（x+2）；
（3）x4﹣6x3+9x2﹣16
＝（x4﹣6x3+9x2）﹣16
＝x2（x﹣3）2﹣42
＝[x（x﹣3）+4][x（x﹣3）﹣4]
＝（x2﹣3x+4）（x2﹣3x﹣4）
＝（x2﹣3x+4）（x﹣4）（x+1）；
（4）（x2+3x+5）（x2+3x+1）+3
＝（x2+3x）2+6（x2+3x）+5+3
＝（x2+3x）2+6（x2+3x）+8
＝（x2+3x+2）（x2+3x+4）
＝（x+1）（x+2）（x2+3x+4）．
【点评】本题考查了分解因式，能灵活运用因式分解的方法分解因式是解此题的关键，注意：分解因式的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法等．
【变式3-1】（2020春•肥城市期末）把下列各式进行因式分解：
（1）a4（a﹣b）+16（b﹣a）；
（2）50a﹣20a（x﹣y）+2a（x﹣y）2．
【分析】（1）先提取公因式（a﹣b），再运用平方差公式进行因式分解；
（2）先提取公因式2a，再利用完全平方公式进行因式分解．
【解答】解：（1）原式＝a4（a﹣b）﹣16（a﹣b）
＝（a﹣b）（a4﹣16）
＝（a﹣b）（a2+4）（a2﹣4）
＝（a﹣b）（a2+4）（a+2）（a﹣2）；
（2）原式＝2a[（x﹣y）2﹣10（x﹣y）+25]
＝2a（x﹣y﹣5）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【变式3-2】（2020春•北碚区校级期末）因式分解：
（1）3a2b2﹣6ab3；
（2）﹣27a3b+18a2b2﹣3ab3；
（3）x3+5x2﹣x﹣5；
（4）（x2﹣4）2﹣9x2．
【分析】（1）提公因式3ab2可进行因式分解；
（2）先提公因式﹣3ab，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（3）利用分组分解法进行因式分解，先将前两项为一组，后两项为一组，提公因式后，再利用平方差公式进行即可；
（4）先利用平方差公式，在分别利用十字相乘法进行因式分解即可．
【解答】解：（1）3a2b2﹣6ab3＝3ab2（a﹣2b）；
（2）﹣27a3b+18a2b2﹣3ab3＝﹣3ab（9a2﹣6ab+b2）＝﹣3ab（3a﹣b）2；
（3）x3+5x2﹣x﹣5＝x2（x+5）﹣（x+5）＝（x+5）（x+1）（x﹣1）；
（4）（x2﹣4）2﹣9x2＝（x2﹣4+3x）（x2﹣4﹣3x）＝（x+4）（x﹣1）（x﹣4）（x+1）．
【点评】本题考查因式分解的方法，掌握提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法是正确进行因式分解的关键．
【变式3-3】（2020春•东阿县期末）因式分解
（1）16x4﹣1；
（2）x2y﹣2xy2+y3；
（3）（x2+16y2）2﹣64x2y2；
（4）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）．
【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（3）原式利用平方差公式，以及完全平方公式分解即可；
（4）原式变形后，提取公因式即可．
【解答】解：（1）原式＝（4x2+1）（4x2﹣1）
＝（4x2+1）（2x+1）（2x﹣1）；
（2）原式＝y（x2﹣2xy+y2）
＝y（x﹣y）2；
（3）原式＝（x2+16y2+8xy）（x2+16y2﹣8xy）
＝（x+4y）2（x﹣4y）2；
（4）原式＝（a﹣b）（x﹣y）+（a﹣b）（x+y）
＝（a﹣b）（x﹣y+x+y）
＝2x（a﹣b）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【题型4 利用乘法公式求值】
【例4】（2020春•娄星区校级期末）已知a﹣b＝6，ab＝2，求下列各式的值．
（1）a2+b2；
（2）（a+b）2；
（3）a2﹣ab+b2．
【分析】（1）由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，给等式两边同时加2ab，根据已知条件即可得出答案；
（2）由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，给等式两边同时加4ab，右边为a2+2ab+b2，即（a+b）2，根据已知条件即可得出答案；
（3）由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，给等式两边同时加ab，右边为a2﹣ab+b2，根据已知条件即可得出答案．
【解答】解：（1）a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝62+2×2＝40；
（2）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝62+4×2＝44；
（3）a2﹣ab+b2＝（a﹣b）2+ab＝62+2＝38．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的变式应用，熟练应用完全平方公式的变式进行计算是解决本题的关键．
【变式4-1】（2021春•电白区期末）已知a﹣b＝6，ab＝﹣7．求：
（1）a2+b2的值；
（2）（a+b）2+2（a﹣b）2的值．
【分析】（1）由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，给等式两边同时加2ab，根据已知条件即可得出答案；
（2）由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，给等式两边同时加4ab，右边为a2+2ab+b2，即（a+b）2，根据已知条件即可得出答案．
【解答】解：（1）∵a﹣b＝6，ab＝﹣7，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝62+2×（﹣7）＝22；
（2）∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，a﹣b＝6，ab＝﹣7，
∴（a+b）2＝62+4×（﹣7）＝8，
∴（a+b）2+2（a﹣b）2＝8+2×62＝80．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的变式应用，熟练应用完全平方公式的变式进行计算是解决本题的关键．
【变式4-2】（2020春•简阳市 期末）阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．
请你根据上述解题思路回答下列问题：
（1）已知a+b＝5，ab＝7，求a2+b22，a2﹣ab+b2的值．
（2）已知a﹣c﹣b＝﹣10，（a﹣b）c＝﹣12，求（a﹣b）2+c2的值．
【分析】（1）由于（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，故采用整体代入法求解；
（2）根据完全平分公式，即可解答．
【解答】解：（1）∵a+b＝5，ab＝7，
∴a2+b22=(a+b)2-2ab2=52-2×72=112，
a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣2ab﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝52﹣3×7＝4．
（2）（a﹣b）2+c2＝[（a﹣b）﹣c]2+2（a﹣b）c
＝（a﹣c﹣b）2+2（a﹣b）c
＝（﹣10）2+2×（﹣12）
＝76．
【点评】本题考查了完全平方公式，关键是要灵活应用完全平方公式及其变形公式．
【变式4-3】（2020春•秦都区期末）我们知道完全平方公式是：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，由此公式我们可以得出下列结论：
（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab①；
ab=12[（a+b）2﹣（a2+b2）]②．
利用公式①和②解决下列问题：
（1）若m+n＝10，mn＝﹣3，求（m﹣n）2的值；
（2）已知m满足（2019﹣2m）2+（2m﹣2020）2＝7，求（2019﹣2m）（2m﹣2020）的值．
【分析】（1）根据题干结论推出（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，再代入计算即可；
（2）设a＝2019﹣2m，b＝2m﹣2020，再利用题干结论即可简化求解．
【解答】解：（1）∵（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，m+n＝10，mn＝﹣3，
∴（m﹣n）2＝102﹣4×（﹣3）＝112，
（2）设a＝2019﹣2m，b＝2m﹣2020，
∴a2+b2＝7，a+b＝﹣1，
∴（2019﹣2m）（2m﹣2020）＝ab=12[（a+b）2﹣（a2+b2）]=12×(1-7)=-3．
【点评】本题考查完全平方公式，理解题干中的结论和完全平方公式的变形应用是解题关键．
【题型5 利用因式分解求值】
【例5】（2020秋•辉县市期末）已知x、y满足xy＝14，x2y﹣xy2﹣x+y＝65，求下列各式的值：
（1）x2+y2；
（2）x+y．
【分析】（1）把x2y﹣xy2﹣x+y用分组法分解因式得（x﹣y）（xy﹣1），由xy＝14可得x﹣y的值，再把x2+y2化为（x﹣y）2+2xy，代入已知数据计算即可；
（2）把（x+y）2化为（x﹣y）2+4xy，代入已知数据计算即可．
【解答】解：∵xy＝14，x2y﹣xy2﹣x+y＝65，
∴xy（x﹣y）﹣（x﹣y）＝（x﹣y）（xy﹣1）＝65，
∴x﹣y＝5，
∴（1）x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝53；
（2）∵（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy＝81，
∴x+y＝±9．
【点评】本题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2是解本题的关键．
【变式5-1】（2020•吉安县期末）若a＝2021，b＝2020，c＝2019，求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值．
【分析】利用完全平方公式对a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac进行分解，代入求值即可．
【解答】解：∵a＝2021，b＝2020，c＝2019，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
=12（a2﹣2ab+b2）+12（a2﹣2ac+c2）+12（b2﹣2bc+c2）
=12（a﹣b）2+12（a﹣c）2+12（b﹣c）2
=12×（2021﹣2020）2+12×（2021﹣2019）2+12（×2020﹣2019）2
=12+12×4+12
＝3．
【点评】本题以代数式求值为背景考查了用完全平方公式因式分解，关键是能够用完全平方公式分解化简．
【变式5-2】（2020秋•农安县期末）已知m2+m＝2，求代数式m3+3m2+2020的值．
【分析】直接将原式变形，进而把已知代入得出答案．
【解答】解：m3+3m2+2020
＝m3+m2+2m2+2020
＝m（m2+m）+2m2+2020，
又m2+m＝2，
所以：原式＝2m2+2m+2020
＝2（m2+m）+2020
＝4+2020
＝2024．
【点评】此题主要考查了因式分解的应用，正确将原式变形是解题关键．
【变式5-3】（2020春•西湖区校级期末）阅读下列材料：已知a2+a﹣3＝0，求a2（a+4）的值．
解：∵a2＝3﹣a，∴a2（a+4）＝（3﹣a）（a+4）＝3a+12﹣a2﹣4a＝﹣a2﹣a+12
∵a2+a＝3，∴﹣（a2+a）+12＝﹣3+12＝9∴a2（a+4）＝9
根据上述材料的做法，完成下列各小题：
（1）已知a2﹣a﹣10＝0，求2（a+4）（a﹣5）的值；
（2）已知x2﹣x﹣1＝0，求x3﹣2x+1的值；
（3）已知（999﹣a）（998﹣a）＝1999，求（999﹣a）2+（998﹣a）2的值．
（4）已知x2+4x﹣1＝0，求代数值2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值．
【分析】（1）根据阅读材料的解答过程，利用整体代入的方法即可求解；
（2）根据因式分解的提公因式法将式子变形，然后整体代入计算即可求解；
（3）根据换元的思想，利用阅读材料的解答过程即可求解；
（4）根据因式分解和整式的混合运算，整体代入即可求解．
【解答】解：（1）∵a2﹣a﹣10＝0，∴a2﹣a＝10，
∴2（a+4）（a﹣5）＝2（a2﹣a﹣20）＝2（10﹣20）＝﹣20
答：2（a+4）（a﹣5）的值为﹣20；
（2）∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2﹣x＝1，x2＝x+1，
∴x3﹣2x+1＝x（x2﹣2）+1＝x（x+1﹣2）+1＝x（x﹣1）+1＝x2﹣x+1＝1+1＝2；
答：x3﹣2x+1的值为2；
（3）∵（999﹣a）（998﹣a）＝1999，
∴设：998﹣a＝x
∴（x+1）x＝1999，x2+x＝1999，
（999﹣a）2+（998﹣a）2
＝（x+1）2+x2
＝x2+2x+1+x2
＝2（x2+x）+1
＝2×1999+1
＝3999
答：（999﹣a）2+（998﹣a）2的值为3999．
（4）∵x2+4x﹣1＝0，∴x2+4x＝1，x2＝1﹣4x，
∴2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1＝2x2（x2+4x﹣2）﹣8x+1
＝2（1﹣4x）（1﹣2）﹣8x+1
＝﹣2+8x﹣8x+1
＝﹣1．
答：代数值2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值为﹣1．
【点评】本题考查了因式分解的应用和整式的混合运算，解决本题的关键是整体代入思想的运用．
【题型6 解二元一次方程组】
【例6】（2020秋•新都区期末）解下列方程组：
（1）4x-3y=63x-y=7；
（2）x-12-2y=41-y-x3=3．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1）4x-3y=6①3x-y=7②，
②×3﹣①，得5x＝15，解得x＝3，
把x＝3代入②，得9﹣y＝7，解得y＝2，
故方程组的解x=3y=2；
（2）方程组整理得：x-4y=9①x-y=6②，
②﹣①，得3y＝﹣3，解得y＝﹣1，
把y＝﹣1代入②，得x+1＝6，解得x＝5，
故方程组的解x=5y=-1．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式6-1】（2020秋•台儿庄区期末）解方程组：
（1）2x+y=-54x-5y=11；
（2）23x-34y=124(x-y)-3(2x+y)=17．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：2x+y=-5①4x-5y=11②，
①×5+②，14x＝﹣14，
解得x＝﹣1，
把x＝﹣1代入①，﹣2+y＝﹣5，
解得y＝﹣3，
∴原方程组的解是x=-1y=-3；
（2）方程组整理得8x-9y=6①-2x-7y=17②，
①+②×4，﹣37y＝74，
解得y＝﹣2，
把y＝﹣2代入①，8x+18＝6，
解得x=-32，
∴原方程组的解是x=-32y=-2．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式6-2】（2020秋•龙岗区期末）解方程（组）：
（1）x-y=34x+3y=5；
（2）x+22+2y+53=53x-4y=-2．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1）x-y=3①4x+3y=5②，
①×3+②得：7x＝14，
解得：x＝2，
把x＝2代入①点到：y＝﹣1，
则方程组的解为x=2y=-1；
（2）方程组整理得：3x+4y=14①3x-4y=-2②，
①+②得：6x＝12，
解得：x＝2，
①﹣②得：8y＝16，
解得：y＝2，
则方程组的解为x=2y=2．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式6-3】（2020春•开封期末）解下列方程组：
（1）用代入法解方程组：x-y=33x-8y=14；
（2）用加减法消元法解方程组：2x3+3y4=1712x6-y2=13．
【分析】（1）方程组整理后，利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1）x-y=3①3x-8y=14②，
由①得：y＝x﹣3③，
把③代入②得：3x﹣8（x﹣3）＝14，
解得：x＝2，
把x＝2代入③得：y＝﹣1，
则方程组的解为x=2y=-1；
（2）方程组整理得：8x+9y=17①x-3y=-2②，
①+②×3得：11x＝11，
解得：x＝1，
把x＝1代入②得：y＝1，
则方程组的解为x=1y=1．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【题型7 二元一次方程组中的含参问题】
【例7】（2020春•石城县期末）甲、乙两人共同解方程组ax+5y=15①4x-by=-2②，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为x=-3y=-1，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为x=5y=4，试求出a，b的正确值，并计算a2020+（-110b）2021的值．
【分析】由于甲和乙分别看错了a和b，而本题巧妙点在于①②中分别只含有a和b，所以甲的结果不影响②式中的b的求解，乙的结果不影响①中a的求解．将x=-3y=-1代入②，将x=5y=4代入①求解．
【解答】解：将x=-3y=-1代入方程组中的4x﹣by＝﹣2，
得：﹣12+b＝﹣2，即b＝10．
将x=5y=4代入方程组中的ax+5y＝15，
得：5a+20＝15，即a＝﹣1
当a＝﹣1，b＝10时，a2020+(-110b)2021=（﹣1）2020+（﹣1）2021＝0．
【点评】考查二元一次方程的求解．同学们在计算时一定要掌握好运算方法，这类问题的求解对于后面的学习至关重要．本题中，①②中分别只含有a和b，所以甲的结果不影响②式中的b的求解，乙的结果不影响①中a的求解．
【变式7-1】（2020春•公安县期末）两位同学在解方程组ax+by=-2cx-7y=20时，甲同学正确解得x=3y=-2，乙同学因写错c解得x=-2y=2，试求a、b、c的值．
【分析】把甲乙两名同学的结果代入ax+by＝﹣2中求出a与b的值，把甲的结果代入cx﹣7y＝﹣2中求出c的值即可．
【解答】解：把x=3y=-2与x=-2y=2分别代入ax+by＝﹣2得：3a-2b=-2①-2a+2b=-2②，
①+②得：a＝﹣4，
把a＝﹣4代入①得：b＝﹣5，
把x=3y=-2代入cx﹣7y＝20得：3c+14＝20，
解得：c＝2，
则a、b、c的值分别是a＝﹣4，b＝﹣5，c＝2．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式7-2】（2020春•淮阳区期末）已知关于x，y的两个二元一次方程组2x+26=-5ymx=ny-4和3x=5y+36nx+my+8=0的解相同，求（m+2n）188的值．
【分析】先根据两个方程组的解相同得2x+26=-5y3x=5y+36，解之求出x、y的值，继而可得关于m、n的方程组，解之求出m、n的值后代入计算可得．
【解答】解：由两个方程组的解相同，得2x+26=-5y3x=5y+36，
解得x=2y=-6，
所以有：2m=-6n-42n-6m+8=0，
解得m=1n=-1，
所以（m+2n）188＝（1﹣2）188＝1．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是掌握二元一次方程组的解的概念及解二元一次方程组的能力．
【变式7-3】（2020春•新罗区期末）已知关于x，y的方程组x-y=2m+1x+y=4m+3的解也是二元一次方程2x﹣3y＝7的一个解，求m的值．
【分析】本题重点还是在于x-y=2m+1x+y=4m+3的求解，掌握其计算方法，将计算的x，y的值代入2x﹣3y＝7进行求解．
【解答】解：x-y=2m+1①x+y=4m+3②
①+②得：
x＝3m+2．
②﹣①得：
y＝m+1．
将以上所求的x，y代入2x﹣3y＝7，得
3m﹣2﹣3（m+1）＝7
解得：m＝2．
【点评】本题考查二元一次方程的求解问题．同学们掌握其计算方法即可．
【题型8 二元一次方程组中的整体代入思想】
【例8】（2020春•大同期末）先阅读材料，然后解方程组．
材料：善于思考的小军在解方程组2x+5y=3①4x+11y=5②时，采用了如下方法：
解：将②变形，得4x+10y+y＝5
即2（2x+5y）+y＝5③
把①代入③，得2×3+y＝5，解得y＝﹣1．
把y＝﹣1代入①，得2x+5×（﹣1）＝3，解得x＝4．
∴原方程组的解为x=4y=-1．
这种方法称为“整体代入法”．请用这种方法解方程组：3x-2y=5①9x-5y=12②．
【分析】仿照小军的方法将方程②变形，把方程①代入求出y的值，即可确定出x的值．
【解答】解：3x-2y=5①9x-5y=12②，
将②变形，得9x﹣6y+y＝12，
即3（3x﹣2y）+y＝12③，
把①代入③，得3×5+y＝12，解得y＝﹣3．
把y＝﹣3代入①，得3x﹣2×（﹣3）＝5，解得x=-13．
∴原方程组的解为x=-13y=-3．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式8-1】（2020秋•成华区期末）阅读理解：已知实数x，y满足3x﹣y＝5…①，2x+3y＝7…②，求x﹣4y和7x+5y的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组2x+y=7x+2y=8，则x﹣y＝ ，x+y＝ ；
（2）买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算．已知3*5＝15，4*7＝28，求1*1的值．
【分析】（1）由方程组的两式相减与相加即可得出结果；
（2）设的消毒液单价为m元，测温枪的单价为n元，防护服的单价为p元，由题意列出方程组，即可得出结果；
（3）由定义新运算列出方程组，求出a﹣b+c＝﹣11，即可得出结果．
【解答】解：（1）2x+y=7①x+2y=8②，
由①﹣②得：x﹣y＝﹣1，
①+②得：3x+3y＝15，
∴x+y＝5，
故答案为：﹣1，5；
（2）设铅笔单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，
由题意得：20m+3n+2p=32①39m+5n+3p=58②，
由①×2﹣②得：m+n+p＝6，
∴5m+5n+5p＝5×6＝30，
答：购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需30元；
（3）由题意得：3a+5b+c=15①4a+7b+c=28②，
由①×3﹣②×2可得：a+b+c＝﹣11，
∴1*1＝a+b+c＝﹣11．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用、定义新运算、“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思想”，找出等量关系列出方程组是解题的关键．
【变式8-2】（2020春•赣州期末）阅读材料：善于思考的小强同学在解方程组2x+5y=3①4x+11y=5②时，采用了一种“整体代换”解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5…③，把方程①代入③得：2×3+y＝5即y＝﹣1，把y＝﹣1代入方程①，得x＝4，所以方程组的解为x=4y=-1．
请你解决以下问题
（1）模仿小强同学的“整体代换”法解方程组3x+4y=166x+9y=25；
（2）已知x，y满足方程组x2+xy+3y2=113x2-5xy+9y2=49；
（i）求xy的值；
（ii）求出这个方程组的所有整数解．
【分析】（1）根据例题的解法代入计算即可；
（2）把①变形为x2+3y2＝11﹣xy③，然后再代入②即可；根据x与y是整数xy＝﹣2计算即可．
【解答】解：（1）3x+4y=16①6x+9y=25②，
将方程②变形：6x+8y+y＝25，
即2（3x+4y）+y＝25③，
把方程①代入③得：2×16+y＝25，
解得y＝﹣7，
把y＝﹣7代入方程①，得x=443，
所以方程组的解为x=443y=-7；
（2）（i）原方程组化为x2+3y2+xy=11①3(x2+3y2)-5xy=49②，
由①得：x2+3y2＝11﹣xy③，
将③代入方程②得：﹣8xy＝16，
∴xy＝﹣2；
（ii）由（i）得xy＝﹣2，
∵x与y是整数，
∴x=-1y=2或x=1y=-2或x=-2y=1或x=2y=-1，
由（i）可求得x2+3y2＝13，
∴x=-1y=2和x=1y=-2符合题意，
故原方程组的所有整数解是x=-1y=2或x=1y=-2．
【点评】此题主要考查了解一元二次方程的解法，关键是掌握代入消元法．
【变式8-3】（2020春•河口区期末）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想．
（1）解方程组3x-2y=-13x+2y=7，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 ；
（2）如何解方程组3(m+5)-2(n+3)=-13(m+5)+2(n+3)=7呢？我们可以把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为 ；
由此请你解决下列问题：
若关于m，n的方程组am+bn=72m-bn=-2的值与3m+n=5am-bn=-1有相同的解，求a、b的值．
【分析】（1）利用加减消元法，可以求得；
（2）利用换元法，把设m+5＝x，n+3＝y，则方程组化为（1）中的方程组，可求得x，y的值进一步可求出原方程组的解；对要解决的问题把am和bn当成一个整体利用已知条件可求出am和bn，再把bn代入2m﹣bn＝﹣2与3m+n＝5可求出m和n的值，继而可求出a、b的值．
【解答】解：（1）方程组的解为：x=1y=2；故应填：x=1y=2；
（2）设m+5＝x，n+3＝y，则原方程组可化为组3x-2y=-13x+2y=7，由（1）可得：x=1y=2，所以可解得m=-4n=-1，故应填：m=-4n=-1；
由方程组am+bn=72m-bn=-2的值与3m+n=5am-bn=-1有相同的解可得方程组am+bn=7am-bn=-1，解得am=3bn=4，
把bn＝4代入方程2m﹣bn＝﹣2得2m＝2，解得m＝1，
再把m＝1代入3m+n＝5得3+n＝5，解得n＝2，
把m＝1代入am＝3得：a＝3，
把n＝2代入bn＝4得：b＝2，
所以a＝3，b＝2．
【点评】本题主要考查整体思想及换元法的应用，解题的关键是理解好整体思想．
【题型9 分式的化简求值】
【例9】（2020秋•石景山区期末）已知a2+a＝1，求代数式a+1a+2-a2-3a2+4a+4÷a-1a+2的值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a2+a＝1代入计算即可．
【解答】解：原式=a+1a+2-a2-3(a+2)2•a+2a-1
=a+1a+2-a2-3(a-1)(a+2)
=a2-1(a-1)(a+2)-a2-3(a-1)(a+2)
=2(a-1)(a+2)
=2a2+a-2，
当a2+a＝1时，
原式=21-2=-2．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
【变式9-1】（2020秋•鹿邑县期末）先化简，再求值：（3x+1-x+1）÷x2-4x+4x+1，从﹣1，2，﹣3中选一个值，代入求值．
【分析】先算括号内的加减，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可．
【解答】解：（3x+1-x+1）÷x2-4x+4x+1
=3-(x+1)(x-1)x+1•x+1(x-2)2
=4-x2x+1•x+1(x-2)2
=-(x+2)(x-2)x+1•x+1(x-2)2
=-x+2x-2，
∵x+1≠0，x﹣2≠0，
∴x≠﹣1，x≠2，
取x＝﹣3，
当x＝﹣3时，原式=--3+2-3-2=-15．
【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
【变式9-2】（2020秋•盐池县期末）先化简，再求值：a2-3aa2-6a+9+23-a÷a-2a2-9，并在2，3，﹣3，4这四个数中取一个合适的数作为a的值代入求值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由分式有意义的条件确定a的值，继而代入计算即可．
【解答】解：原式=a(a-3)(a-3)2-2a-3•(a+3)(a-3)a-2
=aa-3-2(a+3)a-2，
∵a≠±3且a≠2，
∴a＝4，
则原式=44-3-2×(4+3)4-2
＝4﹣7
＝﹣3．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
【变式9-3】（2020秋•沂南县期末）先化简，再求值：（x+1-15x-1）÷x2-8x+161-x，其中x＝（13）﹣1﹣（3﹣π）0．
【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式=-x+4x-4，接着根据零指数幂和负整数指数幂的意义计算出x＝2，然后把x＝2代入-x+4x-4中运算即可．
【解答】解：原式=(x+1)(x-1)-15x-1•-(x-1)(x-4)2
=(x+4)(x-4)x-1•-(x-1)(x-4)2
=-x+4x-4，
当x＝3﹣1＝2时，原式=-2+42-4=3．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【题型10 分式化简的情景题】
【例10】（2020秋•高邑县期末）老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图：
（1）求被手遮住部分的代数式，并将其化简；
（2）原代数式的值能等于﹣1吗？请说明理由．
【分析】（1）直接利用分式的乘除运算法则计算得出答案；
（2）当原式＝﹣1，求出x的值，进而分析得出答案．
【解答】解：（1）设被手遮住部分的代数式为A．
则[A-(x+1)(x-1)(x-1)2]×x+1x=x+1x-1，
（A-x+1x-1）×x+1x=x+1x-1，
A-x+1x-1=xx-1，
则A=xx-1+x+1x-1=2x+1x-1．
（2）不能，
理由：若能使原代数式的值能等于﹣1，
2x+1x-1=-1，即x＝0，
但是，当x＝0时，原代数式中的除数xx+1=0，原代数式无意义．
所以原代数式的值不能等于﹣1．
【点评】此题主要考查了分式的乘除运算，正确掌握分式的基本性质是解题关键．
【变式10-1】（2020秋•永年区期末）上课时老师在黑板上书写了一个分式的正确化简结果，随后用手掌盖住了一部分，形式如下：
•y2x2-xy-y2-x2x2-2xy+y2=xx-y
（1）聪明的你请求出盖住部分化简后的结果；
（2）当x＝2时，y等于何值时，原分式的值为5．
【分析】（1）根据被减数、减数、差及因数与积的关系，化简分式求出盖住的部分即可；
（2）根据x＝2时分式的值是5，得关于y的方程，求解即可．
【解答】解：（1）∵（xx-y+y2-x2x2-2xy+y2）÷y2x2-xy
＝[xx-y+(y+x)(y-x)(x-y)2]×x(x-y)y2
=-yx-y×x(x-y)y2
=-xy
∴盖住部分化简后的结果为-xy；
（2）∵x＝2时，原分式的值为5，
即22-y=5，
∴10﹣5y＝2
解得y=85
经检验，y=85是原方程的解．
所以当x＝2，y=85时，原分式的值为5．
【点评】本题考查了整式的混合运算及分式方程的解法．掌握：被减数＝差+减数，一个因数＝积÷另一个因数，是解决本题（1）的关键．
【变式10-2】（2020秋•卢龙县期末）老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：2x+1+x+5x2-1，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：
甲同学：2x+1+x+5x2-1=2(x+1)(x-1)+x+6(x+1)(x-1)第一步=2+x+5(x+1)(x-1)第二步=x+7(x+1)(x-1)第三步
乙同学：2x+1+x+5x2-1=2(x-1)(x+1)(x-1)+x+5(x+1)(x-1)第一步＝2x﹣2+x+5第二步＝3x+3第三步
老师发现这两位同学的解答都有错误：
（1）甲同学的解答从第 步开始出现错误；乙同学的解答从第 步开始出现错误；
（2）请重新写出完成此题的正确解答过程.2x+1+x+5x2-1
【分析】（1）甲第一步通分错误；乙第二步分母丢掉，所以错误；
（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则化简可得．
【解答】解：（1）甲同学的解答从第一步开始出现错误；乙同学的解答从第二步开始出现错误
故答案为：一、二；
（2）原式=2(x-1)(x+1)(x-1)+x+5(x+1)(x-1)
=2x-2+x+5(x+1)(x-1)
=3x+3(x+1)(x-1)
=3x-1．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
【变式10-3】（2020秋•海安市期末）老师在黑板上写了一个代数式的正确计算结果，随后用“黑板擦”遮住原代数式的一部分，如图：-232-x）÷xx+2=x+2x-2．
（1）求被“黑板擦”遮住部分的代数式，并将其化简；
（2）原代数式的值能等于﹣1吗？请说明理由．
【分析】（1）根据加减和乘除的关系可得x+2x-2⋅xx+2+232-x，然后先算乘法，后算加法即可；
（2）假设能等于﹣1可得方程x+2x-2=-1，解出x的值，发现分式xx+2=0，除数为零无意义，则原代数式的值不能等于﹣1．
【解答】解：（1）由题意得：
x+2x-2⋅xx+2+232-x，
=xx-2-23x-2，
=x-23x-2；
（2）不能，
假设能，则x+2x-2=-1，
x+2＝﹣（x﹣2），
x+2＝﹣x+2，
x＝0，
当x＝0时，分式xx+2=0，除数为零无意义，则原代数式的值不能等于﹣1．
【点评】此题主要考查了分式的乘除法，关键是掌握计算法则，注意除法中除数不能为零．
【题型11 解分式方程】
【例11】（2020秋•禹城市期末）解方程：
（1）x-3x-2+1=32-x；
（2）xx-1-1=3(x+2)(x-1)．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：x﹣3+x﹣2＝﹣3，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣2＝﹣1≠0，
∴x＝1是分式方程的解；
（2）去分母得：x（x+2）﹣（x+2）（x﹣1）＝3，
整理得：x2+2x﹣x2﹣x+2＝3，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x+2）（x﹣1）＝0，
∴x＝1是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
【变式11-1】（2020秋•云南期末）解下列分式方程：
（1）xx-1=3x2-1+1；
（2）1-xx-2=12-x-2．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：x（x+1）＝3+x2﹣1，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，（x+1）（x﹣1）≠0，
∴x＝2是分式方程的解；
（2）去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2x+4，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣2＝0，
∴x＝2是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
【变式11-2】（2020秋•鱼台县期末）解分式方程：
（1）1x+11.5x=772；
（2）x-2x-3+13-x=5．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：72+108＝7x，
解得：x=1207，
经检验x=1207是分式方程的解；
（2）去分母得：（x﹣2）﹣1＝5（x﹣3），
解得：x＝3，
经检验x＝3是增根，
则分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
【变式11-3】（2020秋•平邑县期末）解方程：
（1）5x2+x-1x2-x=0；
（2）xx-2-1=8x2-4．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：5x﹣5﹣x﹣1＝0，
解得：x=32，
经检验x=32是分式方程的解；
（2）去分母得：x2+2x﹣x2+4＝8，
解得：x＝2，
经检验x＝2是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程利用了转化的思想，注意要检验．
【题型12 分式方程的解及增根】
【例12】（2020春•百色期末）增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根．对于分式方程：2x-3+mxx2-9=3x+3．
（1）若该分式方程有增根，则增根为 ．
（2）在（1）的条件下，求出m的值，
【分析】（1）分式方程会产生增根，即最简公分母等于0，则x2﹣9＝0，故方程产生的增根有两种可能：x1＝3，x2＝﹣3；
（2）由增根的定义可知，x1＝3，x2＝﹣3是原方程去分母后化成的整式方程的根，把其代入整式方程即可求出m的值．
【解答】解：（1）2x-3+mxx2-9=3x+3，
方程两边都乘（x+3）（x﹣3）得2（x+3）+mx＝3（x﹣3）
∵原方程有增根，
∴x2﹣9＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣3．
故答案为：x1＝3，x2＝﹣3；
（2）当x＝3时，m＝﹣4，
当x＝﹣3时，m＝6．
故m的值为﹣4或6．
【点评】考查了分式方程的增根，（1）增根的求法：令最简公分母为0；（2）求有增根的方程中参数的值，应先求出可能的增根，再将其代入化简后的整式方程即可．
【变式12-1】（2020•大城县期末）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：？x-2+3=12-x．
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
【分析】（1）把？＝5代入方程，进而利用解分式方程的方法解答即可；
（2）设？为m，利用分式方程的增根解答即可．
【解答】解：（1）方程两边同时乘以（x﹣2）得5+3（x﹣2）＝﹣1
解得x＝0
经检验，x＝0是原分式方程的解．
（2）设？为m，
方程两边同时乘以（x﹣2）得m+3（x﹣2）＝﹣1
由于x＝2是原分式方程的增根，
所以把x＝2代入上面的等式得m+3（2﹣2）＝﹣1，m＝﹣1
所以，原分式方程中“？”代表的数是﹣1．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
【变式12-2】（2020秋•娄底期中）已知关于x的分式方程x-ax-1-3x=1+ax2-x，回答下列问题：
（1）原方程去分母后，整理成关于x的整式方程得： ；
（2）若原分式方程无解，求a的值．
【分析】（1）根据等式的性质即可求出答案；
（2）根据分式方程的解法即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x-ax-1-3x=1+ax2-x，
∴x（x﹣a）﹣3（x﹣1）＝x2﹣x+a
∴（a+2）x＝3﹣a
（2）当a+2＝0时，
此时a＝﹣2，该方程无解；
当a+2≠0时，
此时将x=3-aa+2代入x（x﹣1）＝0，
∴3-aa+2（3-aa+2-1）＝0，
∴3-aa+2=0或3-aa+2=1，
∴a＝3或a=12；
综上所述，a＝﹣2或3或12
故答案为：（a+2）x＝3﹣a
【点评】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．
【变式12-3】（2020春•长泰县期末）已知关于x的分式方程2x-1+mx(x-1)(x+2)=1x+2
（1）若方程的增根为x＝1，求m的值
（2）若方程有增根，求m的值
（3）若方程无解，求m的值．
【分析】方程去分母转化为整式方程，
（1）根据分式方程的增根为x＝1，求出m的值即可；
（2）根据分式方程有增根，确定出x的值，进而求出m的值；
（3）分m+1＝0与m+1≠0两种情况，根据分式方程无解，求出m的值即可．
【解答】解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），
去分母并整理得：2（x+2）+mx＝x﹣1，
移项合并得：（m+1）x＝﹣5，
（1）∵x＝1是分式方程的增根，
∴1+m＝﹣5，
解得：m＝﹣6；
（2）∵原分式方程有增根，
∴（x+2）（x﹣1）＝0，
解得：x＝﹣2或x＝1，
当x＝﹣2时，m＝1.5；当x＝1时，m＝﹣6；
（3）当m+1＝0时，该方程无解，此时m＝﹣1；
当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m＝﹣6或m=32，
综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
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