人教版数学七年级下册期末知识梳理+题型解题方法+专题过关专题04 二元一次方程组（2份打包，原卷版+含解析）

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考点一：二元一次方程
二元一次方程的定义：
方程中含有2个未知数，且含有未知数的项次数为1的整式方程是二元一次方程。
注意：①方程中含有两个未知数。
②含有未知数的项次数为1，不是未知数的次数为1。
③必须是整式方程。
二元一次方程的解：
使二元一次方程左右两边成立的两个未知数的值叫二元一次方程的一组解。
注意：当以二元一次方程其中一个未知数的值发生改变，总能找到另一个未知数的值使方程左右两边成立，所以二元一次方程有无数组解。
解二元一次方程：由于二元一次方程有无数组解，求二元一次方程的解时，多采用给出其中一个未知数的值求另一个未知数的值。
【考试题型1】判断方程为二元一次方程
【解题方法】根据定义判断是否含有两个未知数，且含有未知数的项的次数是否为1。（未知数之间只能进行加减运算，不能进行乘除运算）
例题讲解：1．（2022秋•宁明县期末）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．2x+3y＝5B．x y＝1
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【分析】根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程可得答案．
【解答】解：A、此方程符合二元一次方程的条件，故此选项符合题意；
B、此方程是二元二次方程的条件，故此选项不符合题意；
C、此方程是一元一次方程的条件，故此选项不符合题意；
D、此方程不符合二元一次方程的条件，故此选项不符合题意．
故选：A．
【考试题型2】根据二元一次方程的定义求值
【解题方法】利用未知数的系数不为0，含有未知数的项的系数等于1建立方程然后求解。
例题讲解：2．（2022秋•凤翔县期末）已知3x|m|+（m+1）y＝6是关于x、y的二元一次方程，则m的值为（ ）
A．m＝1B．m＝﹣1C．m＝±1D．m＝2
【分析】根据二元一次方程的定义列式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得|m|＝1且m+1≠0，
所以m＝1或m＝﹣1且m≠﹣1，
所以m＝1．
故选：A．
【考试题型3】判断二元一次方程的解
【解题方法】将已告诉的未知数的值带入二元一次方程中，计算方程的左右两边是否相等，相等则是方程的解，不等则不是。
例题讲解：3．（2022秋•高州市期末）下列二元一次方程，以 SKIPIF 1 < 0 为解的是（ ）
A．x＝3y﹣1B．2x+y＝5C．x﹣3y＝5D．y﹣2x＝5
【分析】把代入各方程，判断方程是否成立即可．
【解答】解：A．把代入x＝3y﹣1得2≠﹣4，故A选项不符合题意；
B．把代入2x+y＝5得3≠5，故B选项不符合题意；
C．把代入x﹣3y＝5得5＝5，故C选项符合题意；
D．把代入y﹣2x＝5得﹣5≠5，故D选项不符合题意；
故选：C．
【考试题型4】根据二元一次方程的解求字母的值
【解题方法】将告诉的已知解带入二元一次方程中得到一个关于字母的新方程，然后解方程即可 。
例题讲解：4．（2022秋•金牛区期末）如果 SKIPIF 1 < 0 是关于x和y的二元一次方程2x﹣ay＝6的解，那么a的值是（ ）
A．﹣2B．2C．﹣4D．4
【分析】把代入方程2x﹣ay＝6得出10﹣2a＝6，再求出a即可．
【解答】解：把代入方程2x﹣ay＝6得：
10﹣2a＝6，
解得：a＝2，
故选：B．
考点二：二元一次方程组
二元一次方程组的定义：
由两个一次方程组成方程组。方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1。
注意：方程组满足的三个条件：
①方程组中的方程都是整式方程。
②方程组中一共含有两个未知数。
③方程组的方程都是一次方程。
常见的二元一次方程组就是由两个二元一次方程构成的方程组。
【考试题型1】判断二元一次方程组
【解题方法】根据定义满足方程组中两个未知数，含有未知数的项的次数为1进行判断。
例题讲解：5．（2022春•岳麓区校级期末）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【分析】根据二元一次方程组的定义对每个选项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：∵方程组中含有分式方程，
∴选项A不符合题意；
∵方程组中含有3个未知数，
∴选项B不符合题意；
∵方程组中共有2个未知数，未知项的次数为1，两个方程都是整式方程，
∴选项C符合题意；
∵方程组中含有二次项，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
【考试题型2】根据二元一次方程组的定义求值
【解题方法】利用含有未知数的项的次数为1，含有未知数的项的系数不为0建立方程求解。
例题讲解：6．（2022秋•市北区校级期末）已知方程组 SKIPIF 1 < 0 是二元一次方程组，则m＝（ ）
A．1或﹣1B．2或﹣2C．﹣2D．2
【分析】根据组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程解答．
【解答】解：由题意得，，
解得m＝﹣2．
故选：C．
考点三：二元一次方程组的解与解二元一次方程组
二元一次方程组的解：
二元一次方程组两个方程的公共解即为二元一次方程组的解。在解决与二元一次方程组的解有关的题目时，把告诉的已知解带入方程组中建立新的方程求解。
解二元一次方程组：
方法①：带入消元法：把方程组其中一个方程的其中一个未知数用另一个未知数表示出来带入另一个方程的进行消元处理，得到一元一次方程来解二元一次方程组的方法。
一般使用于方程组中有一个未知数的系数为1或﹣1时。把系数为1或﹣1的的未知数用两一个未知数表示。
方法②：加减消元法：把方程组某一个未知数的系数化为相同或互为相反数，然后对两个方程进行加减从而达到消元处理，得到一元一次方程来求解二元一次方程组的方法。
一般使用于方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数或成倍数时。
【考试题型1】判断方程组的解
【解题方法】把告诉的已知解带入方程组中计算是否方程组的方程都成立。
例题讲解：7．（2022秋•开福区校级期末）二元一次方程组 SKIPIF 1 < 0 的解是（ ）
A．B．C．D．
【分析】①+②得出4x＝12，求出x，再把x＝3代入②求出y即可．
【解答】解：，
①+②，得
4x＝12，
解得x＝3，
把x＝3代入②，得
3﹣2y＝3，
解得y＝0，
所以原方程组的解是，
故选：D．
【考试题型2】解二元一次方程组
【解题方法】根据解二元一次方程组的两种方法选择合适方法求解，方法的选择判断一定是用未知数的系数进行判断，所以必须先观察方程中未知数的系数。
例题讲解：8．（2022秋•成华区期末）（1）解方程组： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解方程组： SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）用加减消元法，先消去y，求出x的值，再代入①可得y的值，即可得到答案；
（2）先化简②，再用加减消元法，先消去y，求出x的值，然后代入①可得y的值，即可得到答案；
【解答】解：（1）①+②×2得：
7x＝14，
解得x＝2，
把x＝2代入①得：
6+2y＝12，
解得y＝3，
∴方程组的解为；
（2）由②得3x+2y＝15③，
①×2得：8x+2y＝10④，
④﹣③得：5x＝﹣5，
解得x＝﹣1，
把x＝﹣1代入①得：
﹣4+y＝5，
解得y＝9，
∴方程组的解为．
【考试题型3】根据二元一次方程组的解求式子
【解题方法】将告诉的已知解带入方程组中，解出未知数的值，再把未知数的值带入式子中求值。有些式子可直接把方程组的两个式子进行加减乘除运算得到所求式子。
例题讲解：9．（2022秋•和平区期末）已知 SKIPIF 1 < 0 是二元一次方程组 SKIPIF 1 < 0 的解，则6m+4n的立方根为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【分析】把方程组的解代入方程组，得到关于m、n的二元一次方程组，先求出m、n，再求出6m+4n的立方根．
【解答】解：把代入二元一次方程组得，
解这个方程组，得．
∴6m+4n
＝6×8+4×4
＝48+16
＝64．
∴＝4．
故选：B．
10．（2022秋•南海区期末）已知x、y是二元一次方程组 SKIPIF 1 < 0 的解，那么x﹣y的值是（ ）
A．2B．﹣2C．3D．﹣3
【分析】将方程两式相加得，4x﹣4y＝8，即可求出答案．
【解答】解：将方程两式相加得，
4x﹣4y＝8，
∴x﹣y＝2，
故选：A．
【考试题型4】利用未知数的解得关系求系数的值
【解题方法】通常题目中两个未知数的关系式满足一个式子，利用解二元一次方程组的方法求出未知数的关于其他字母的值，带入未知数满足的式子中求出位置的字母。
例题讲解：11．（2022秋•和平区校级期末）已知方程组 SKIPIF 1 < 0 的解满足5x﹣y＝4，则k的值是（ ）
A．﹣1B．2C．﹣3D．﹣4
【分析】根据②﹣①得5x﹣y＝4k﹣4，再根据5x﹣y＝4，可得4k﹣4＝4，进一步求解即可．
【解答】解：，
②﹣①得5x﹣y＝4k﹣4，
∵5x﹣y＝4，
∴4k﹣4＝4，
解得k＝2．
故选：B．
12．（2022秋•峄城区校级期末）已知关于x，y的二元一次方程组 SKIPIF 1 < 0 的解相等，则n的值是（ ）
A．3B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【分析】把x＝y代入方程组中进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：，
解②得：x﹣y＝﹣2③，
把③代入①得：2×（﹣2）﹣5×（﹣2）＝3n+7，
解得：，
∴故选：B．
【考试题型5】同解方程组
【解题方法】利用题目中完全确定的两个方程建立新的方程组求出未知数的值，将未知数的值带入含有未知系数的两个方程里面建立新的方程组求解。
例题讲解：13．（2022秋•碑林区校级期末）已知关于x，y的方程组 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 有相同的解，那么2a+b值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】先根据关于x，y的方程组和有相同的解，列出方程组求出x、y的值，再代入计算求出a、b的值，最后代入计算即可．
【解答】解：，
求得，
∵关于x，y的方程组和有相同的解，
将代入，
得，
解得，
∴2a+b＝2×（﹣2）+8＝4，
故选：B．
考点四：二元一次方程（组）的实际应用
基本步骤：
①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。
②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。
③列方程：根据等量关系与未知数列出二元一次方程组。
④解方程组——按照解二元一次方程组的步骤解方程。
⑤检验作答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。
基本等量关系：
①行程问题基本等量关系：
路程=时间×速度；时间=路程÷速度；速度=路程÷时间。
顺行：顺行速度＝自身速度＋风速（水速）；逆行速度＝自身速度－风速（水速）
②工程问题：
工作总量=工作时间×工作效率。
注意实际工作情况与计划工作情况之间的关系。
③商品销售问题：
利润＝售价－成本；售价＝标价×0.1折扣；利润率＝利润÷进价×100%
常见的建立方程的方法：
①基本等量关系建立方程。
②同一个量的两种不同表达式相等。
【考试题型1】由实际问题抽象二元一次方程组
【解题方法】认真审题，找出题目中表示等量关系的话语建立方程。
例题讲解：14．（2022秋•武汉期末）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则缺25本．设这个班有学生x人，图书y本，则可以列方程为（ ）
A．3x﹣20＝4x+25B．3x+20＝4x﹣25
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【分析】设这个班有学生x人，图书y本，根据每人分3本，则剩余20本可知图书数为（3x+20）本，班级人数为人；根据每人分4本，则缺25本可知图书数为（4x﹣25）本，班级人数为人，由此列出方程即可．
【解答】解：设这个班有学生x人，图书y本，
由题意得，3x+20＝4x﹣25，
，
故选：B．
15．（2022秋•南县期末）今年古交丘陵山区科研基地利用膜侧播种技术种植的玉米、高粱喜获丰收，玉米比露地栽培增产7.35%，高粱比露地栽培增产6.05%．已知采用膜侧播种技术种植两种作物亩产量的和为1135千克；露地种植两种作物亩产量的和为1063.5千克．设露地种植玉米、高粱的亩产量分别为x千克，y千克，根据题意可列方程组为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【分析】设露地种植玉米、高粱的亩产量分别为x千克，y千克，则采用膜侧播种技术种植玉米、高粱的亩产量分别为（1+7.35%）x千克，（1+6.05%）y千克，分别列出二元一次方程组求解即可．
【解答】解：设露地种植玉米、高粱的亩产量分别为x千克，y千克，
根据题意可得：，
故选：C．
【考试题型2】方程（组）的实际应用
【解题方法】根据基本步骤一步一步解决。若是数字问题，则百位的数字乘100加上十位上的数字乘10加上各位上的数字表示这个数；若是面积问题则利用图形的面积公式。其他的问题则考虑问题的基本量之间的基本等量关系。注意最后未知数的解一定要满足实际意义。
例题讲解：16．（2022秋•余姚市期末）如图，大长方形ABCD中无重叠地放置9个形状、大小都相同的小长方形，已知大长方形的长与宽的差为2，小长方形的周长为14，则图中空白部分的面积为（ ）
A．143B．99C．44D．53
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据题目中图形的等量关系列出二元一次方程组即可解答．
【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，观察图形可得：
，
解得：，
小长方形的面积为5×2＝10，
大长方形的面积为AB×BC＝（3y+x）（x+4y）＝11×13＝143，
空白部分面积为143﹣9×10＝53，
故选：D．
17．（2022秋•达川区校级期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的共需95万元；购进4辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车的共需110万元．
（1）问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利1.2万元，销售1辆B型汽车可获利0.8万元，假如这些新能源汽车全部售出，问该公司的共有几种购买方案？最大利润是多少万元？
【分析】（1）设A种型号的新能源汽车每辆进价为x万元，B种型号的新能源汽车每辆进价为y万元，根据“购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的共需95万元；购进4辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车的共需110万元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m辆A种型号的新能源汽车，n辆B种型号的新能源汽车，利用总价＝单价×数量，可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出该公司共有四种购买方案，再求出各方案可获得的利润，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设A种型号的新能源汽车每辆进价为x万元，B种型号的新能源汽车每辆进价为y万元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种型号的新能源汽车每辆进价为25万元，B种型号的新能源汽车每辆进价为10万元；
（2）设购买m辆A种型号的新能源汽车，n辆B种型号的新能源汽车，
根据题意得：25m+10n＝250，
∴m＝10﹣n，
∵m，n均为正整数，
∴或或或，
∴该公司共有四种购买方案．
当m＝2，n＝20时，获得的利润为1.2×2+0.8×20＝18.4（万元）；
当m＝4，n＝15时，获得的利润为1.2×4+0.8×15＝16.8（万元）；
当m＝6，n＝10时，获得的利润为1.2×6+0.8×10＝15.2（万元）；
当m＝8，n＝5时，获得的利润为1.2×8+0.8×5＝13.6（万元）．
∵18.4＞16.8＞15.2＞13.6，
∴最大利润是18.4万元．
【专题过关】
一．二元一次方程的定义（共2小题）
1．（2023春•柯桥区月考）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．x＝5﹣2yB． SKIPIF 1 < 0 ＝1﹣2yC．x2＝9﹣4yD．x＝z﹣8y
【分析】利用二元一次方程的定义，逐一分析各选项中的方程，即可得出结论．
【解答】解：A．方程x＝5﹣2y是二元一次方程，选项A符合题意；
B．方程是分式方程，选项B不符合题意；
C．方程x2＝9﹣4y是二元二次方程，选项C不符合题意；
D．方程x＝z﹣8y是三元一次方程，选项D不符合题意．
故选：A．
2．（2023春•岱岳区校级月考）已知方程：（n﹣3）x|n|﹣2+y＝3为二元一次方程，则n的值为 ．
【分析】根据二元一次方程的定义解答即可．
【解答】解：因为方程（n﹣3）x|n|﹣2+y＝3为二元一次方程，
所以，
解得n＝﹣3．
故答案为：﹣3．
二．二元一次方程的解（共4小题）
3．（2023春•柯桥区月考）二元一次方程2x+y＝9的正整数解有（ ）
A．一组B．二组C．三组D．四组
【分析】求出y＝9﹣2x，根据x、y为正整数求出9﹣2x＞0且x＞0，求出0＜x＜4.5，求出正整数x即可．
【解答】解：2x+y＝9，
y＝9﹣2x，
∵x、y都是正整数，
∴9﹣2x＞0，
∴x＜4.5，
即0＜x＜4.5，
∴x为1，2，3，4，
当x＝1时，y＝9﹣2＝7，
当x＝2时，y＝9﹣4＝5，
当x＝3时，y＝9﹣6＝3，
当x＝4时，y＝9﹣8＝1，
即二元一次方程2x+y＝9的正整数解有4组，
故选：D．
4．（2023春•柯桥区月考）已知 SKIPIF 1 < 0 是方程2x+k y＝6的解，则k等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】把代入方程2x+ky＝6得出﹣6+2k＝6，再求出k即可．
【解答】解：把代入方程2x+ky＝6得：﹣6+2k＝6，
解得：k＝6，
故选：D．
5．（2023•建湖县一模）已知二元一次方程2x+3y＝3，其中x与y互为相反数，则x，y的值为（ ）
A．x＝﹣4，y＝4B．x＝4，y＝﹣4C．x＝3，y＝﹣3D．x＝﹣3，y＝3
【分析】x与y互为相反数，那么y＝−x，然后代入2x+3y＝3求出x的值，即可求解．
【解答】解：由题意得x+y＝0，即y＝−x，
代入2x+3y＝3，得
2x−3x＝3，
解得x＝−3，
则y＝3．
故选：D．
6．（2023春•沙坪坝区校级月考）关于x，y的方程4x﹣3y＝7和2x+3y＝﹣1的解相同，则x+3y的值为（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0
【分析】将两个二元一次方程联立成方程组，解这个方程组求得x，y的值，再将x，y的值代入代数式，计算即可得出结论．
【解答】解：∵关于x，y的方程4x﹣3y＝7和2x+3y＝﹣1的解相同，
∴可得：，
解得：，
∴x+3y＝1+3×（﹣1）＝﹣2，
∴x+3y的值为﹣2．
故选：B．
三．解二元一次方程（共2小题）
7．（2023春•南岗区校级月考）下列是二元一次方程3x+y＝5的解为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【分析】将各选项代入方程的左边计算，看是否等于5，如果等于5就是方程的解，如果不等于5，就不是方程的解．
【解答】解：A．把代入得：3×1+0＝3≠5，即不是二元一次方程3x+y＝5的解，故本选项不符合题意；
B．把代入得：3×2+（﹣1）＝5，即是二元一次方程3x+y＝5的解，故本选项符合题意；
C．把代入得：3×（﹣1）+（﹣2）＝﹣5≠5，即不是二元一次方程3x+y＝5的解，故本选项不符合题意；
D．把代入得：3×0+（﹣5）＝﹣5≠5，即不是二元一次方程3x+y＝5的解，故本选项不符合题意．
故选：B．
8．（2023春•冷水滩区校级月考）方程3x﹣5y＝9，用含x的代数式表示y为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【分析】利用等式的性质将二元一次方程变形即可求解．
【解答】解：3x﹣5y＝9，
5y＝3x﹣9，
即y＝．
故选：D．
四．二元一次方程组的定义（共2小题）
9．（2023春•仓山区期中）下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【分析】利用二元一次方程组的定义，逐一分析各个选项中的方程组即可．
【解答】解：A．方程组的第二个方程是二元二次方程，选项A不符合题意；
B．方程组是二元一次方程组，选项B符合题意；
C．方程组的第一个方程是二元二次方程，选项C不符合题意；
D．方程组是三元一次方程组，选项D不符合题意．
故选：B．
10．（2022春•兴文县期中）已知关于x，y的方程组 SKIPIF 1 < 0 是二元一次方程组，则m的值为（ ）
A．﹣2B．2或﹣2C．﹣3D．3或﹣3
【分析】根据组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程解答．
【解答】解：由题意可得：，
解得：m＝﹣3．
故选：C．
五．二元一次方程组的解（共8小题）
11．（2023春•仓山区期中）已知m为正整数，且二元一次方程组 SKIPIF 1 < 0 有整数解，则m的值为（ ）
A．1B．2C．3D．7
【分析】先解方程组求得方程组的解是：，则3+m是10和15的公约数，且是正整数，据此即可求得m值．
【解答】解：两式相加得：（3+m）x＝10，
则x＝，
代入第二个方程得：y＝，
当方程组有整数解时，3+m是10和15的公约数，
∴3+m＝±1或±5，
即m＝﹣2或﹣4或2或﹣8，
又∵m是正整数，
∴m＝2．
故选：B．
12．（2023春•南岗区校级月考）若方程组 SKIPIF 1 < 0 的解x与y相等，则a的值等于（ ）
A．0B．﹣1C．1D．2
【分析】把x＝y代入4x+3y＝7中，求出x，y的值，再将x，y的值代入ax+（a﹣1）y＝3，求出a的值即可．
【解答】解：由题意，得：x＝y，
把x＝y代入4x+3y＝7，得：4y+3y＝7，
解得：y＝1，
∴x＝y＝1，
把x＝y＝1代入ax+（a﹣1）y＝3，得：a+（a﹣1）＝3，
解得：a＝2．
故选：D．
13．（2023春•内乡县月考）若关于x、y的方程组 SKIPIF 1 < 0 的解满足x与y互为相反数，则a的值是（ ）
A．﹣1B．1C．2D．4
【分析】根据x与y互为相反数得到x＝﹣y，代入方程组中计算即可求出k的值．
【解答】解：由x与y互为相反数，得到x+y＝0，即x＝﹣y，
代入方程组得：，
解得：a＝﹣1．
故选：A．
14．（2022秋•简阳市期末）小明求得方程组 SKIPIF 1 < 0 的解为 SKIPIF 1 < 0 ，由于不小心，滴上了墨水，刚好遮住了两个数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，则这两个数分别为（ ）
A．﹣2和2B．﹣2和4C．2和﹣4D．2和﹣2
【分析】利用二元一次方程组解的意义，将y＝4代入方程4x+y＝12中，求得x值，再将x，y值代入方程3x﹣2y＝■中，计算即可得出结论．
【解答】解：将y＝4代入方程4x+y＝12得：
4x+4＝12，
解得：x＝2．
将代入方程3x﹣2y＝■中，
∴■＝3×2﹣2×4＝6﹣8＝﹣2．
故选：D．
15．（2022秋•碑林区校级期末）已知关于x，y的方程组 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 有相同的解，那么2a+b值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】先根据关于x，y的方程组和有相同的解，列出方程组求出x、y的值，再代入计算求出a、b的值，最后代入计算即可．
【解答】解：，
求得，
∵关于x，y的方程组和有相同的解，
将代入，
得，
解得，
∴2a+b＝2×（﹣2）+8＝4，
故选：B．
16．（2023•沭阳县模拟）已知方程组 SKIPIF 1 < 0 的解满足5x﹣y＝4，则k的值是（ ）
A．﹣1B．2C．﹣3D．﹣4
【分析】根据②﹣①得5x﹣y＝4k﹣4，再根据5x﹣y＝4，可得4k﹣4＝4，进一步求解即可．
【解答】解：，
②﹣①得5x﹣y＝4k﹣4，
∵5x﹣y＝4，
∴4k﹣4＝4，
解得k＝2．
故选：B．
17．（2023春•柯桥区月考）已知关于x，y的方程组 SKIPIF 1 < 0 ，给出下列结论：
① SKIPIF 1 < 0 是方程组的解；
②当a＝﹣3时，x，y的值互为相反数；
③当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4﹣a的解．
其中正确的个数为（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【分析】先求出方程组的解，把代入x、y，求出a，即可判断①；把a＝﹣3代入x＝1+2a，y＝1﹣a，求出x、y的值，即可判断②；把a＝1代入，求出x、y的值，再代入方程x+y＝4﹣a，即可判断③．
【解答】解：，
①﹣②，得4y＝4﹣4a，
解得：y＝1﹣a，
把y＝1﹣a代入①，得x+3﹣3a＝4﹣a，
解得：x＝1+2a，
即方程组的解是，
①×3+②，得4x+8y＝12，
把代入x＝1+2a得：5＝1+2a，
解得：a＝2，
把代入y＝1﹣a得：﹣1＝1﹣a，
解得：a＝2，
即是方程组的一个解，故①正确；
当a＝﹣3时，x＝1+2a＝1+（﹣6）＝﹣5，y＝1﹣a＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4，
所以x、y不是相反数，故②错误；
当a＝1时，x＝1+2a＝3，y＝1﹣a＝0，
即方程组的解是，
代入方程x+y＝4﹣a得：左边＝3+0＝3，右边＝4﹣1＝3，
所以左边＝右边，
即当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4﹣a的解，故③正确；
正确的个数是2，
故选：B．
18．（2023春•拱墅区校级期中）若关于x、y的二元一次方程组 SKIPIF 1 < 0 的解为 SKIPIF 1 < 0 ，则方程组 SKIPIF 1 < 0 的解为 ．
【分析】将方程组变形为，由关于x、y的二元一次方程组的解为，可得出关于（x+2），（y﹣1）的二元一次方程组的解为，解之即可得出结论．
【解答】解：方程组可变形为．
∵关于x、y的二元一次方程组的解为，
∴关于（x+2），（y﹣1）的二元一次方程组的解为，
解得：，
∴方程组的解为．
故答案为：．
六．解二元一次方程组（共3小题）
19．（2023春•南岗区校级月考）方程组 SKIPIF 1 < 0 的解是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
由①×2﹣②得：13x＝13，
解得：x＝1，
将x＝1代入①得：3×1+4y＝5，
解得：y＝0.5，
∴方程组的解为：．
故选：C．
20．（2023春•朝阳区校级月考）若单项式2xm+2nyn﹣2m+2与x5y7是同类项，则m n的值是（ ）
A．3B．﹣3C．﹣1D． SKIPIF 1 < 0
【分析】根据同类项的定义可得到关于m，n的二元一次方程组，解方程组即可得出m，n的值，再代入运算即可．
【解答】解：∵单项式2xm+2nyn﹣2m+2与x5y7是同类项，
∴，
解得：，
∴mn＝（﹣1）3＝﹣1．
故选：C．
21．（2023春•鹿城区期中）解方程组：
（1） SKIPIF 1 < 0 ； （2） SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）应用代入消元法，求出方程组的解即可；
（2）应用加减消元法，求出方程组的解即可．
【解答】解：（1），
由①，可得：x＝3y+3③，
③代入②，可得：2（3y+3）+y＝﹣2，
解得y＝﹣，
把y＝﹣代入③，可得x＝3×（﹣）+3＝﹣，
∴原方程组的解是．
（2），
由②，可得3x﹣4y＝1③，
①×2+③，可得5x＝15，
解得x＝3，
把x＝3代入③，可得3×3﹣4y＝1，
解得y＝2，
∴原方程组的解是．
七．由实际问题抽象出二元一次方程组（共2小题）
22．（2023春•杭州期中）某校劳动课学习制作娃娃和沙包，已知每米布可做娃娃25个或沙包40个．现有36米布料，完成后打算将1个娃娃和2个沙包配成一套礼物．布料没有剩余，礼物也恰好成套．设做娃娃用了x米布，做沙包用了y米布，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【分析】根据“每米布可做娃娃25个或沙包40个．现有36米布料，完成后打算将1个娃娃和2个沙包配成一套礼物”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意得：．
故选：C．
23．（2023•青岛一模）为守住国家耕地底线，确保粮食安全，某地区积极相应国家“退林还耕”号召，将该地区一部分林地改为耕地，改变后，耕地面积和林地面积共有2000亩，林地面积是耕地面积的30%．设改变后耕地面积为x亩，林地面积为y亩，则下列方程正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【分析】根据“改变后，耕地面积和林地面积共有2000亩，林地面积是耕地面积的30%”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵改变后，耕地面积和林地面积共有2000亩，
∴x+y＝2000；
∵改变后，林地面积是耕地面积的30%，
∴y＝x•30%．
∴根据题意可列方程组．
故选：D．
八．二元一次方程组的应用（共3小题）
24．（2023•安庆模拟）我国航天事业的飞速发展引发了航空航天纪念品的热销，某商店准备购进甲、乙两类关于航空航天的纪念品进行销售．已知甲类纪念品的进价为m元/件，乙类纪念品的进价比甲类的进价多5元/件．若每件甲类纪念品的售价是在其进价的基础上提高了60%，每件乙类纪念品的售价是在其进价的基础上提高了40%，根据上述条件，回答下面问题：
（1）请用含有m的代数式填写表：
（2）该商店分别购进甲类纪念品100件，乙类纪念品80件．两类纪念品全部售出后所得的总利润为1080元，问每件甲、乙两类纪念品进价分别多少元？
【分析】（1）根据题意列出表格即可；
（2）根据总利润为1080元，构建方程求解．
【解答】解：（1）由题意：
故答案为：1.6m，m+5，1.4（m+5）；
（2）由题可知：100×60% m+80×40%（m+5）＝1080，
解得：m＝10，
m+5＝15（元），
答：每件甲、乙两类纪念品进价分别为10元和15元．
25．（2023春•冷水滩区校级月考）某商场用相同的价格分两次购进A型和B型两种型号的电脑，前两次购进情况如表．
（1）求该商场购进A型和B型电脑的单价各为多少元？
（2）已知商场A型电脑的标价为每台4000元，B型电脑的标价为每台6000元，两种电脑销售完共获利多少元？
【分析】（1）设该商场购进A型电脑的单价为x元，B型电脑的单价为y元，由表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）由（1）的结果和表中数据列式计算即可．
【解答】解：（1）设该商场购进A型电脑的单价为x元，B型电脑的单价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：该商场购进A型电脑的单价为3000元，B型电脑的单价为5000元；
（2）（4000﹣3000）×（20+10）+（6000﹣5000）×（30+20）＝30000+50000＝80000（元），
答：两种电脑销售完共获利80000元．
26．（2023春•桐柏县校级月考）古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，研学是最美的相遇．伴着三月的春风，哼着欢快的曲调，我们踏上了研学之路．方树泉中学七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆．下面是王老师和小真、小萱同学有关租车问题的对话：
王老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元．”
小真：“八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计5100元．”
小萱：“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”．
根据以上对话，解答下列问题：
（1）参加此次活动的七年级师生共有 人；
（2）客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
（3）若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问有几种租车方案？哪一种租车最省钱？
【分析】（1）根据“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”，可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值，再将其代入45a+15中，即可求出结论；
（2）设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元，根据“60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元，租用4辆60座和2辆45座的客车，一天的租金共计5100元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设租用60座客车m辆，45座客车n辆，根据“租用的客车要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满”，可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为自然数，可得出各租车方案，再求出各租车方案所需租车费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：45a+15＝60（a﹣2），
解得：a＝9，
∴45a+15＝45×9+15＝420，
∴参加此次活动的七年级师生共有420人．
故答案为：420；
（2）设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：客运公司60座客车每辆每天的租金是900元，45座客车每辆每天的租金是750元；
（3）设租用60座客车m辆，45座客车n辆，
根据题意得：60m+45n＝420，
∴m＝7﹣n．
又∵m，n均为自然数，
∴或或，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用60座客车7辆，所需租车费用为900×7＝6300（元）；
方案2：租用60座客车4辆，45座客车4辆，所需租车费用为900×4+750×4＝6600（元）；
方案3：租用60座客车1辆，45座客车8辆，所需租车费用为900×1+750×8＝6900（元）．
∵6300＜6600＜6900，
∴租车方案1最省钱．
进价/元
售价/元
甲类纪念品
m

乙类纪念品


进价/元
售价/元
甲类纪念品
m
1.6m
乙类纪念品
m+5
1.4（m+5）
A型（台）
B型（台）
总进价（元）
第一次
20
30
210000
第二次
10
20
130000