四川省内江市第六中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试卷(含答案)

这是一份四川省内江市第六中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下列说法中，正确的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，，则
D.若，则
2．下列五个写法：①；②；③；④；⑤，其中错误写法的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
3．化简的结果为( )
A.B.C.D.
4．不等式的解集是( )
A.或B.
C.或D.或
5．已知集合M满足,,则所有满足条件的集合M的个数是( )
A.5B.6C.7D.8
6．已知当自变量x在的范围内时,二次函数的最大值与最小值的差为4,则常数m的值可为( )
A.-3B.-1C.1D.3
7．函数的最大值为( )
A.8B.-8C.2D.4
8．若正实数x,y满足,则的最小值是( )
A.B.C.D.1
二、多项选择题
9．已知集合,则下列选项中正确的是( )
A.B.
C.D.
10．下列结论中,错误的结论有( )
A.取得最大值时x的值为1
B.若,则的最大值为-2
C.函数的最小值为2
D.若,,且,那么的最小值为
11．已知x、y为正实数,,则( )
A.B.的最大值为
C.的最小值为D.的最大值为
12．设,用表示不超过x的最大整数,则称为高斯函数,也叫取整函数,例如．令函数,以下结论正确的有( )
A.B.
C.的最大值为1,最小值为0D.与的图象有2个交点
三、填空题
13．化简_________.
14．已知集合,,则________.
15．若函数的定义域为R,则实数a的取值范围是__________．
16．如图,矩形,,,P,Q,R分别是矩形边,,上的点,其中,以,为邻边的矩形的面积记为S,则S的最小值是__________.
四、解答题
17．回答下列问题
（1）计算: ;
（2）化简: .
18．已知关于x的方程有两个实数根,.
（1）若时,求的值;
（2）若,求实数m的值.
19．已知a为实数,,
（1）若,求,;
（2）若,求实数a的取值范围．
20．已知,,.
（1）求证：;
（2）求的最小值.
21．已知函数.
（1）求不等式的解集;
（2）若最小值记为m,a,b,,且满足,求证：.
22．2022年9月22日,中国政府提出双碳目标两周年之际,由《财经》杂志、《财经十一人》、中创碳投联合主办的第二届“碳中和高峰论坛”在京落幕.过去一年,全球地缘政治重构,低碳转型先驱欧洲陷入能源危机,中国也不时出现煤荒电荒.在此背景下,与会专家观点各异,共识是低碳转型大势所趋,不会被暂时的波动所动摇.为了响应国家节能减排的号召,2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备.通过市场分析：全年需投入固定成本2000万元,每生产（百辆）新能源汽车,需另投入成本万元,且,由市场调研知,每辆车售价9万元,且生产的车辆当年能全部销售完.
（1）请写出2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式;（利润＝售价－成本）
（2）当2022年的总产量为多少百辆时,企业所获利润最大？并求出最大利润.
参考答案
1．答案：C
解析：选项A中，若，满足，但仍然有，A错；
选项B中，若，则，B错；
选项C中，则，得，，，C正确；
选项D中，若，则，甚至a，b中有一个为0时，或无意义，D错.
故选：C.
2．答案：C
解析：对于①，“”是用于元素与集合的关系，故①错；对于②，是任意集合的子集，故②对；对于③，根据集合中元素的无序性可知两个集合是同一集合，任何一个集合都是它本身的子集，故③对；对于④，因为是不含任何元素的集合，故④错；对于⑤，因为“”用于集合与集合，故⑤错.故错误的有①④⑤，共3个，故选C.
3．答案：C
解析：
故选：C.
4．答案：A
解析：因为,
当时,,,则不等式可化为,解得,故;
当时,,,则不等式可化为,解得,故;
当时,,,则不等式可化为,解得,故;
综上：或,即不等式的解集为或.
故选：A.
5．答案：C
解析：由题意可知,M中必含元素1,2,且至少含有3,4,5中的一个,
于是集合M的个数等价于集合的非空子集的个数,即．
故选：C.
6．答案：C
解析：二次函数,
该函数图象开口向下,当时,y取得最大值7,
当自变量x在的范围内时,
二次函数的最大值与最小值的差为4,
当时,时取得最小值,时取得最大值,
此时最大值与最小值的差为;
当时,和分别取得最小值和最大值,
此时最大值与最小值的差大于4,不符合题意;
当时,和分别取得最大值和最小值,
此时最大值与最小值的差小于4,不符合题意;
由上可得,m的取值范围是,
故选：C.
7．答案：A
解析：设,则,即,所以,
因为,所以当时,函数取得最大值为8.
故选：A.
8．答案：B
解析：设,,则,
所以
,
因为,当且仅当,时取等号.
所以.
故选：B.
9．答案：ACD
解析：对于A,,所以A正确,
对于B,,所以B错误,
对于C,,所以C正确,
对于D,,所以D正确,
故选：ACD.
10．答案：ABCD
解析：对于A,的对称轴为,所以取得最大值时x的值为,故A错误;
对于B,令
若,,,,当时,取等号,
所以,则.则的最大值为-3,故B错误;
对于C,函数
令,当时,,不满足题意,故C错误;
对于D,若,,且,
,当时,
即,时,取等号.
所以的最小值为,故D错误.
故选：ABCD.
11．答案：ABD
解析：因为x、y为正实数,,
对于A选项,,当且仅当时,等号成立,A对;
对于B选项,因为,则,
故,当且仅当时,等号成立,
所以,最大值为,B对;
对于C选项,,
当且仅当时,等号成立,故的最小值为,C错;
对于D选项,,
当且仅当时,即当时,等号成立,故的最大值为,D对.
故选：ABD.
12．答案：AB
解析：对于A,由题意得,所以A正确,
对于B,,所以B正确,
对于C,由选项B可知,是周期为1的周期函数,则当时,,
当时,,
当时,,
综上,的值域为,即的最小值为0,无最大值,所以C错误,
对于D,由选项C 可知,且的周期为1,
作出与的图象,由图象可知与的图象有无数个交点,所以D错误,
故选：AB.
13．答案：
解析：依题意,,所以.
故答案为：.
14．答案：
解析：由,,解得,则;
由,解得或,则或
所以.
故答案为：.
15．答案：
解析：函数的定义域为R,
在R上恒成立,
①当时,恒成立,满足题意;
②当时,要使在R上恒成立,
则解得．
综上若函数y的定义域为R,则实数a的取值范围是．
故答案为：.
16．答案：4
解析：设,
因为,,所以,
所以,
因为四边形为矩形,所以,
所以,
因为,所以,
所以,所以,
即,所以,
所以矩形的面积,
令,则,,
所以,当且仅当,即时取等号,
所以当时,取得最小值4.
故答案为：4.
17．答案：（1）;
（2）
解析：（1）原式;
（2）原式
.
18．答案：（1）1
（2）-1
解析：（1）时,,,
可得,,
;
（2）由,得,
,,
由,
得,
解得舍去,或,
所以实数m的值为-1.
19．答案：（1）,
（2）
解析：（1）,
由,得,
,
,
.
（2）,
,
由（1）知,,
当时,,解得;
当时,,解得,
综上所述：实数a的取值范围是.
20．答案：（1）证明见解析
（2）2
解析：（1）由,,,,当且仅当时取等号.
所以,得证.
（2）.
当且仅当,时取等号,故的最小值为2.
21．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）因为,
当时,;
当时,;
当时,;
因为,所以,
当时,得,解得,故;
当时,得,解得,故;
当时,得,解得,故;
综上：,即的解集为.
（2）由（1）得,
当时,,则;
当时,,则,即;
当时,,则;
综上：,故最小值为,即,
所以,
又a,b,,令,,,则,,且,
所以
,
当且仅当,,且,即时,等号成立,此时,,
所以,即.
22．答案：（1）
（2）2022年的总产量为25百辆时,企业所获利润最大,最大利润为4250万元
解析：（1）由题意得当时,,
当时,,
所以,
（2）由（1）得,
当时,,
所以当时,取得最大值4250,
当时,,
当且仅当,即时取等号,此时取得最大值4070,
因为,
所以当,即2022年的总产量为25百辆时,企业所获利润最大,最大利润为4250万元.