四川省内江市第六中学2025届高三上学期入学考试（第一次月考）数学试卷(含答案)

这是一份四川省内江市第六中学2025届高三上学期入学考试（第一次月考）数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．的展开式中含项的系数为( )
A.10B.40C.80D.120
2．命题“”为假命题，则a的取值范围为( )
A.B.C.D.
3．若函数的定义域为，则的定义域为( )
A.B.C.D.
4．设非空集合A,B，定义且，则集合( )
A.AB.BC.D.
5．已知等差数列的公差为2,前n项和为,且,,成等比数列.令,则数列的前50项和( )
A.B.C.D.
6．已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是( )
A.B.C.D.
7．某次考试共有8道单选题，某学生掌握了其中5道题，2道题有思路，1道题完全没有思路.掌握了的题目他可以选择唯一正确的答案，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为.已知这个学生随机选一道题作答且做对了，则该题为有思路的题目的概率为( )
A.B.C.D.
8．若对任意的,,恒成立，则a的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．对具有相关关系的两个变量x和y进行回归分析时,下列结论正确的是( )
A.若A,B两组成对数据的样本相关系数分别为,,则A组数据比B组数据的相关性较强
B.若所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上,则决定系数的值为1
C.若样本点的经验回归方程为,则在样本点处的残差为0.3
D.以模型去拟合一组数据时,为求出回归方程,设,将其变换后得到线性方程,则c,k的值分别是和2
10．已知，，，则下列结论正确的有( )
A.的最大值为B.的最小值为
C.的最小值为9D.的最小值为
11．已知连续函数满足：
①，则有；
②当时，；
③，则以下说法中正确的是( )
A.
B.
C.在上的最大值是10
D.不等式的解集为
三、填空题
12．若，则的解析式为________.
13．第一届全国学生（青年）运动会开幕式于2023年11月5日在广西举行，举办本届学青会是推动新时代青少年和学校体育改革发展，增强青少年和学生体质、促进竞技体育后备人才培养的重要措施.为了加强宣传力度，某体育协会从甲、乙等6人中选派4人到A，B，C，D四个不同的区域参加宣传活动，每人去一个区域，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去A区域的选派方法共有种（用数字作答）________.
14．已知函数对任意一个负数x，不等式恒成立，则整数a的最小值为________.
四、解答题
15．设,函数的单调增区间是.
(1)求实数a；
(2)求函数的极值.
16．已知函数，且.
(1)求实数m的值，在图中作出的图像（可直接作图，不用书写过程），并求函数有3个不同的零点时实数b的取值范围；
(2)若函数在区间上为增函数，求实数a的取值范围.
17．随着全球新能源汽车市场蓬勃增长，在政策的有力推动下，比亚迪汽车､小鹏汽车､理想汽车､小米汽车等中国的国产新能源汽车迅速崛起.新能源汽车因其较高的驱动效率､较低的用车成本､安静舒适的驾驶体验等优势深受部分车主的支持与欢迎.未来在努力解决充电效率较低､续航里程限制､低温环境影响等主要困难之后，新能源汽车市场有望得到进一步发展.某地区近些年的新能源汽车的年销量不断攀升，如下表所示：
(1)若该地区新能源汽车车主的年龄X（单位：岁）近似服从正态分布，其中年龄的有5万人，试估计该地区新能源汽车车主共有多少万人？（结果按四舍五入取整数）
(2)已知变量x与y之间的相关系数，请求出y关于x的线性回归方程，并据此估计2025年时，该地区新能源汽车的年销量.
参考公式与数据：
①若随机变量，则；；；
②，；
③，.
18．随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量.某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息.在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3.已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1.
（1）求一次数据能被软件准确分析的概率；
（2）在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立.设软件准确分析的数据集个数为X.
①求X的方差；
②当n为何值时，的值最大?
19．已知函数，
（1）讨论的单调性；
（2）当时，以为切点，作直线交的图像于异于的点，再以为切点，作直线交的图像于异于的点，…，依此类推，以为切点，作直线交的图像于异于的点，其中.求的通项公式.
（3）在（2）的条件下，证明：
参考答案
1．答案：C
解析：由题意，的展开式中含的项为.故选：C.
2．答案：A
解析：命题""为假命题;
当时，恒成立，只需
又函数在上单调递增，所以当时，
，.
故选：A.
3．答案：D
解析：由题意可知，所以，要使函数有意义，则，解得，即的定义域为.故选：D.
4．答案：D
解析：依题意可知，，
则，，
所以.
故选：D.
5．答案：D
解析：因为,,,
由题意得,
解得,
所以,
则,
则.
故选：D.
6．答案：B
解析：由题可得，
令，因为在上不单调，在上有变号零点，即在上有变号零点，
当时，，不成立；
当时，只需，即，解得或，
所以在上不单调的充要条件是或，
所以在上不单调的一个充分不必要条件是.
7．答案：B
解析：设事件表示选到会做的题，事件表示选到有思路的题，事件表示选到完全没有思路的题，
设事件B表示答对该题，则，，
设事件U表示答对8个题，
则
设事件C表示将有思路的题目做对，则
故选：B.
8．答案：D
解析：因为，所以，则可化为，
整理得，因为，所以，
令，则函数在上单调递减，
则在上恒成立，所以在上恒成立，
令，则在上恒成立，
则在上单调递减，
所以，故，所以a得最小值为.故选：D.
9．答案：BD
解析：对于A,因为相关系数的绝对值越大,数据的相关性越强,而,
所以B组数据比A组数据的相关性较强,所以A错误,
对于B,因为所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上,所以两个变量x和之间是一次函数,所以决定系数的值为1,所以B正确,
对于C,因为样本点的经验回归方程为,所以当时,,所以残差为,所以C错误,
对于D,由,得,因为,所以,
因为,所以，,得，,所以D正确.
故选：BD.
10．答案：ABD
解析：因为，，，
对于A，由基本不等式可得，，即，当且仅当时取等号，A正确；
对于B，由，得，则，把代入可得，
，当且仅当时取等号，B正确；
对于C，，
当且仅当时取等号，C错误；
对于D，
则
当且仅当且，即时取等号，D正确.
故选：ABD.
11．答案：ACD
解析：因为，则有，
令，则，则，故A正确；
令，则，
令代x，则，
即，即，故B错误；
设且，则，由，
令，则，即，
令，，
则，
即，
因为时，，又，故，
所以，所以，即在R上单调递减，
又，所以，，
又，所以，
故在上的最大值为10，故C正确；
由，即，
即，即，
又因为，即，
所以，即，
故，即，解得，
即原不等式的解集为，故D正确；
故选：ACD.
12．答案：
解析：令，则，
代入，即可求出，从而求出.
令，则，
，.
故答案为：.
13．答案：276
解析：依题意，由甲、乙至少有一人参加，得甲参加与甲不参加乙必参加两种情况，当甲参加时，有种选派方法，当甲不参加时，有种选派方法，所以不同选派方法种数是.
故答案为：276
14．答案：2
解析：对任意一个负数x，不等式恒成立，
即对恒成立，
设，则，
设，则，令，解得，
当时，，故单调递减，
当时，，故单调递增，又，，时，
故存在，使得，即，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，取得最大值，
因为中，，，故，
所以的最大值，
当时，，又整数，所以整数a的最小值为2.
故答案为：2
15．答案：(1)2
(2)极小值为,极大值为0.
解析：（1）函数的定义域为：
且
因为函数的单调增区间是,
所以的解集是.
所以方程的解是,,
所以.
（2）当时,令,则或
当x变化时,,的变化情况如下表：
当时,有极小值;
当时,有极大值.
16．答案：（1），图像见解析，；
（2）
解析：（1）因为，所以
函数的大致图像如图所示，
令，得,
故有3个不同的零点等价于方程有3个不同的实根，
由图可知
（2）由图像可知，函数在区间和上分别单调递增，
因为，
且函数在区间上为增函数，
所以可，解得或
所以实数a的取值范围为
17．答案：（1）234万人；
（2）39万辆
解析：（1）由题意，该地区新能源汽车车主的年龄X（单位：岁）近似服从正态分布，则,,所以,,
，
所以估计该地区新能源汽车车主共有万人.
（2）由题意，，
所以，
由已知，,
所以，
所以，
所以，
所以y关于x的线性回归方程为，
2025年对应的年份代码，所以当时，，
估计2025年时，该地区新能源汽车的年销量约为39万辆.
18．答案：（1）；
（2）①；②
解析：（1）记“输入的数据集质量高”为事件A，“一次数据能被软件准确分析”为事件B，由题意可知：，，，则，所以.
所以一次数据能被软件准确分析的概率0.75.
（2）由（1）可知：，
①依题意，，所以X的方差；
②可知，
令，则，
令，解得，可知当，可得；
令，解得，可知当，可得；
于是
所以当时，最大，即时，的值最大.
19．答案：（1）单调性见解析；
（2）；
（3）证明见解析
解析：（1）
①若，当时，；当时，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
②若，则，则在R上单调递增
③若，当时，；当时，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
综上所述：
①当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
②当时，则在R上单调递增；
③当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，，切点
切线斜率：，故切线方程为：
联立得：
化简得：
因式分解得：.
故
上式亦满足由作切线而得到的的横坐标，故
，则是以为首项，以为公比的等比数列
故，故
（3）构造，
，故在上单调递减，故
故当时，
故
则，，……，… 15分
将上式累加，得
故
故
年份
2018
2019
2020
2021
2022
2023
年份代码
1
2
3
4
5
6
新能源汽车年
销量(y)/万辆
x
1
f'(x)
+
0
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘