2023-2024学年安徽省合肥市高新区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省合肥市高新区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式中，一定是二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.的计算结果是( )
A. B. C. D.
3.用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长是( )
A. B. C. 或D. 不能确定
5.已知中，、、分别是、、的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是( )
A. B. ：：：：
C. ：：：：D.
6.关于的方程有实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. D. 且
7.某公司今年月份的营业额为万元，按计划、月份总营业额要达到万元，设该公司、两个月的营业额的月平均增长率为，则下列方程正确的是( )
A.
B.
C.
D.
8.若关于的方程的两根之和是，两根之积是，则关于的方程的两根之积是( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，，，为上一动点，是上一动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
10.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价，最高销售限价
以及实数确定实际销售价格，这里被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数恰好使得，据此可得，最佳乐观系数的值等于( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.使得代数式有意义的的取值范围是______．
12.规定：在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，方程的根为______．
13.在中，若，，，则的面积是______．
14.如图，在中，，，为的中点，，则的长为______．
三、计算题：共2小题，共16分。
15.解方程：．
16.已知一元二次方程有两个不相等的实数根；
求的取值范围；
若该方程的两个根为和，且满足，求的值．
四、解答题：本题共7小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
如图所示，在一次暴风雨后，一棵大树从离地面处被折断，经测量树的顶端与地面的接触点离树根部的距离为，若在该树正上方离地面处有高压电线，请判断，该树在折断前是否接触到电线？并说明你的理由．
19.本小题分
如图，在四边形中，，，，，．
求证：；
求四边形的面积．
20.本小题分
在网格中，点和直线的位置如图所示：

将点向右平移个单位，再向上平移个单位长度得到点，在图中网格中标出点并写出线段的长度______．
在的条件下，在直线上确定一点，使的值最小，在图中保留画图痕迹，并直接写出的最小值______；
若点，点的坐标分别为，；点为直线上的点，是以为斜边的直角三角形，在图网格中建立直角坐标系，并标出点点，点的坐标是______．
21.本小题分
某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙墙长围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场如图所示．
若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长和宽；
该扶贫单位想要建一个的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
22.本小题分
某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为元，当售价为元时，平均每天能售出双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量双与降低价格元之间存在如图所示的函数关系．
求出与的函数关系式；
公司希望平均每天获得的利润达到元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？
为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的，公司每天能否获得元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．
23.本小题分
由两个全等的和构成如图所示的四边形，已知直角三角形的直角边长分别为、，斜边长为，分别以，，为二次项系数、一次项系数和常数项构造的一元二次方程，称为勾股方程．
直接写出一个勾股方程．
若勾股方程有两个相等的实数根，求的值．
若是勾股方程的一个根，且四边形的周长是，求四边形的面积．
答案和解析
1.【答案】
解：选项，是三次根式，故该选项不符合题意；
选项，是负数，故该选项不符合题意；
选项，是正数，故该选项符合题意；
选项，时不是二次根式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据一般地，我们把形如的式子叫做二次根式判断即可．
本题考查二次根式的定义，掌握一般地，我们把形如的式子叫做二次根式是解题的关键．
2.【答案】
解：原式
．
故选：．
先化简，再加减．
本题考查了二次根式的加减．化简是解决本题的关键．
3.【答案】
解：方程，
变形得：，
配方得：，即，
则：．
故选：．
方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可求出的值．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4.【答案】
解：方程，
分解因式得：，
解得：或，
当底为，腰为时，由于，不符合三角形三边关系；
当底为，腰为时，可构成三角形，此时周长为，
故选：．
方程利用因式分解法求出解，确定出等腰三角形的腰与底，即可求出周长．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，三角形三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
5.【答案】
解：、，，故为直角三角形；
B、，为直角三角形；
C、：：：：，，故不能判定是直角三角形；
D、，且，，故为直角三角形；
故选：．
根据勾股定理逆定理可判断出、是否是直角三角形；根据三角形内角和定理可得、是否是直角三角形．
本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
6.【答案】
解：当时，，解得，
当时，，解得，则的范围为且，
综上所述，的取值范围是．
故选：．
讨论：当时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当时，根据判别式的意义得到，解不等式得的范围为且，然后综合两种情况得到的取值范围．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
7.【答案】
解：设该公司、两月的营业额的月平均增长率为．
根据题意列方程得：．
故选：．
分别表示出月，月的营业额进而得出等式即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题关键．
8.【答案】
解：把方程看作关于的一元二次方程，
设关于的方程的两根为，，则方程的两根为，，
关于的方程的两根之和是，两根之积是，
，，
．
故选：．
把方程看作关于的一元二次方程，则利用关于的方程的两根为，得到，，然后利用根与系数的关系得到结论．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，利用换元的思想是解决问题的关键．
9.【答案】
解：作点关于的对称点，过点作，
则的最小值为的长；
，，
，，
；
故选：．
作点关于的对称点，过点作，则的最小值为的长；在中，，，即可求；
本题考查等腰三角形的性质，轴对称求最短路径；通过作对称点，将的最小值转化为的长是解题的关键．
10.【答案】
解：，，，
，
，
解得，
，
．
故选：．
根据题设条件，由，知，由此能求出最佳乐观系数的值．
本题考查黄金分割的应用，解题时要注意一元二次方程的求解方法．
11.【答案】
解：代数式有意义，
，
，
的取值范围是，
故答案为：．
根据二次根式中的被开方数是非负数且分母不为零列不等式，求解即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
12.【答案】，
解：由题意得：，
，
或，
，．
故答案为：，．
直接根据定义的这种运算的规则求解．
本题考查了新定义和解一元二次方程，利用新定义得到方程：是解题的关键．
13.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理以及三角形的面积，求出，的长度是解题的关键．
过点作，垂足为，通过勾股定理可求出，，的长，进而可得出的长，再利用三角形的面积公式可求出的面积．
【解答】
解：过点作，垂足为，如图所示．
在中，，；
在中，，，
，
或，
当时，．
当时，．
故答案为或．
14.【答案】
解：如图，作交的延长线于．
，，，
≌，
，
，
，
，
故答案为．
如图，作交的延长线于利用全等三角形的性质证明，再利用直角三角形度角的性质解决问题即可．
本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
15.【答案】解：，
，，，
，
，
，．
【解析】本题考查的是一元二次方程的解法有关知识，解题的关键在于熟练掌握运用公式法解一元二次方程利用公式法直接进行解答即可得到结果．
16.【答案】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
；
方程的两个根为和，
，，
，
，
，
的值为．
【解析】根据方程有两个不相等的实数根可得出，求出的取值范围即可；
利用根与系数的关系得到，，根据列出关于的方程，然后解方程求出的值．
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，解题的关键是熟记一元二次方程的根与系数的关系为：，．
17.【答案】解：原式
．
【解析】先用完全平方公式展开，再化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
18.【答案】解：根据题意可知，，根据勾股定理可求得：，
故大树的高度为，
，
，，
该树不会触碰到电线．
【解析】根据题意求出的长度，然后求出整个大树的高度；最后求出与电线的关系．
本题考查了勾股定理的应用．这类题目是用数学模型来解决实际问题，利用勾股定理使求解过程变得简单．
19.【答案】证明：连接，
，
，
，
，
是直角三角形，即是直角，
；
解：


．
【解析】连接，根据勾股定理可知，再根据即可得出结论；
根据即可得出结论．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
20.【答案】 或
解：如图，点即为所求，，
故答案为：；
如图，点即为所求，的最小值，
故答案为：；
建立直角坐标系如图所示，
设，
是以为斜边的直角三角形，点在轴上，
，
，
解得或，
或
故答案为：或．
根据平移变换的性质作出图形即可，再根据勾股定理求出的长；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求，此时的最小值为的长，根据勾股定理求出的长即可；
根据点的坐标建立平面直角坐标系，设根据勾股定理得出方程求出的值即可得出点的坐标．
本题考查了作图平移变换，勾股定理，轴对称最短路线问题，熟记各性质定理是解题的关键．
21.【答案】解：设，则，
依题意，得：，
解得：，．
当时，，符合题意，
当时，，，不合题意，舍去．
答：鸡场的长为，宽为．
不能，理由如下：
设，则，
依题意，得：，
整理，得：．
，
该方程无解，即该扶贫单位不能建成一个的矩形养鸡场．
【解析】设，则，根据矩形的面积公式结合矩形养鸡场面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，分别代入中，取使得小于等于的值即可得出结论；
不能，理由如下，设，则，同可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】解：设与的函数关系式为 ，
由图可知其函数图象经过点和，
将其代入 得，，
解得，
与的函数关系式为；
由题意得 ，
整理得 ，
解得：，；
当时，售价为元，
当时，售价为元，
优惠力度最大，
取，
答：当每双运动鞋的售价为元时，企业每天获得的销售利润达到元并且优惠力度最大；
公司每天能获得元的利润，理由如下：
要保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的，
，
解得：；
依题意，得 ，
整理得 ，
解得：；
降价元时，公司每天能获得元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的．
【解析】由题意，设与的函数关系式为，然后由待定系数法求解析式，即可得到答案；
根据题意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解；
由题意，列出一元一次不等式，求出不等式的解集，然后列一元二次方程，即可求出答案．
本题考查了一次函数的性质，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确的列出方程，从而进行解题．
23.【答案】解：设，，
则，
是勾股方程；
勾股方程有两个相等的实数根，
，
，
，
，
，
，
，
；
是勾股方程的一个根，
，
，
四边形的周长是，
，
，
，
，，
，
四边形的面积．
【解析】设，，则，即可写出一个符合条件的勾股方程；
由已知可知，再结合勾股定理，能求出，，即可求解；
由已知可得，，求出，再求面积即可．
本题考查一元二次方程、勾股定理，理解题意，灵活应用勾股定理、一元二次方程的判别式、完全平方公式是解题的关键．