2023-2024学年安徽省合肥市瑶海区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年安徽省合肥市瑶海区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在 15、 1.5、 40、 13中，最简二次根式有个．( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.方程x2=2x的解是( )
A. x=0B. x=2
C. x1=0 x2=2D. x1=0 x2= 2
3.如图，每个小正方形的边长为1，△ABC的三边a、b、c的大小关系式正确的是( )
A. cB. aC. aD. c4.已知三角形的两边长为2和5，第三边满足方程x2−7x+12=0，则三角形的周长为( )
A. 10B. 11C. 10或11D. 以上都不对
5.下列运算中，正确的是( )
A. 3+ 13=4B. 7− 2= 5
C. 5× 15=5 3D. ( 12+ 27)÷ 3=7
6.如图，已知AB⊥CD，△ABD，△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=8，BE=3，则AC等于( )
A. 8B. 5C. 3D. 34
7.已知一元二次方程x2−x−2=0的一个根为m，则2023−m2+m的值是( )
A. 2020B. 2021C. 2023D. 2025
8.若|x−1|=1−x，则化简 (x−1)2− (x−2)2的结果是( )
A. 3−2xB. 1C. −1D. 2x−3
9.定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a,b}表示a，b中的较大值，如：max{2,4}=4，max{−2,−4}=−2等等；按照这个规定，若max{x,−x}=x2−3x−5，则x的值是( )
A. 5B. 5或1− 6C. −1或1− 6D. 5或1+ 6
10.如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，延长BC到E，使CE=12BC，F是AC的中点，连接EF并延长EF交AB于G，BG的垂直平分线分别交BG，AD于点M，点N，连接GN，CN，下列结论：①∠ACN=∠BGN；②GF=12EF；③∠GNC=120°；④GM=CN；⑤EG⊥AB，其中正确的个数是( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.比较大小：3 5______4 3．
12.关于x的方程kx2+4x+2=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是______．
13.关于x的一元二次方程ax2+bx=0(a≠0)的一根为x=2018，则关于x的方程a(x+2)2+bx+2b=0的根为______．
14.如图，直角三角形纸片ABC中，AB=6，AC=8，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交于点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3则：
(1)AP3= ______；
(2)当折叠2024次之后，AP2024= ______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
15.计算：4( 3+ 7)0+ 12× 8−(1− 2)2．
四、解答题：本题共8小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解方程：(x−2)2=3x−6．
17.(本小题8分)
图a、图b是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，点A、B在小正方形的顶点上．
(1)连接AB，则AB的长为______个单位长度．
(2)在图a中画出△ABC(点C在小正方形的顶点上)，使△ABC是等腰三角形且△ABC为钝角三角形；
(3)图b中画出△ABD(点D在小正方形的顶点上)，使△ABD是等腰三角形∠ABD=45°．
18.(本小题8分)
先观察等式，再解答问题：
① 1+112+122=1+11−11+1=112；② 1+122+132=1+12−12+1=116；
③ 1+132+142=1+13−13+1=1112．
(1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想 1+142+152的结果，并验证；
(2)请你按照以上各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式(n为正整数)．
(3)应用上述结论，请计算 4+4202+4212的值．
19.(本小题10分)
某商场今年1月份销售额为60万元，2月份销售额下降10%，改进经营管理后月销售额大幅度上升，到4月份销售额已达到121.5万元，求3、4月份销售额的月平均增长率．
20.(本小题10分)
已知关于x的一元二次方程x2+5x−m=0的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．
21.(本小题12分)
有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为27dm2和75dm2的正方形木板．
(1)求原长方形木板的面积；
(2)如果木工想从剩余的木块中(阴影部分)截出长为2dm，宽为1.5dm的长方形木条，估计最多能裁出______块这样的木条？请你直接写出答案.(参考数据： 2≈1.414, 3≈1.732)
22.(本小题12分)
如图所示，15只空油桶堆在一起，每只油桶的底面直径均为50厘米.现在要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？(结果精确到0.01厘米)
23.(本小题16分)
某汽车销售公司4月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量之间有如下关系；若当月仅售出1辆汽车，则该部汽车的进价为13.5万元，每多售出1辆，所有售出的汽车进价每辆均降低0.05万元，月底汽车生产厂家根据销售公司的销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内(含10辆)，每辆返利0.25万元；若当月销售量在10辆以上，每辆返利0.7万元．
(1)若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为______万元；
(2)如果该公司把该品牌汽车的售价定为15万元/辆，并计划当月盈利12万元，那么需要销售多少辆汽车？(提示：盈利=销售利润+返利)
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
根据最简二次根式的条件(1)被开方数不含分母，(2)被开方数不含有能开得尽方的因数或因式解答．
本题考查了最简二次根式，熟悉最简二次根式的定义是解题的关键．
【解答】
解：二次根式中只有 15被开方数不含分母且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式．
故选：A．
2.【答案】C
【解析】解：移项得x2−2x=0，
x(x−2)=0，
x=0，x−2=0，
x1=0，x2=2，
故选：C．
移项，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，题目比较好，难度适中．
3.【答案】A
【解析】解：∵b=AC= 42+32=5= 25，a=BC= 42+12= 17，c=4= 16，
∴b>a>c，
即c故选：A．
通过小正方形网格，可以看出AB=4，AC、BC分别可以构造直角三角形，再利用勾股定理可分别求出b、a，然后比较三边的大小即可．
本题考查了勾股定理，由勾股定理求出a、b的长是解决问题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：方程x2−7x+12=0，
分解因式得：(x−3)(x−4)=0，
解得：x1=3，x2=4，
当x=3时，2+3=5，不能构成三角形；
当x=4时，三角形周长为2+4+5=11．
故选：B．
利用因式分解法求出方程的解，确定出三角形周长即可．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，以及三角形三边关系，熟练掌握因式分解法解方程是解本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解： 3与 13不是同类二次根式，不能合并，故A错误，不符合题意；
7与 2不是同类二次根式，不能合并，故B错误，不符合题意；
5× 15= 5×15=5 3，故C正确，符合题意；
( 12+ 27)÷ 3= 12÷3+ 27÷3=2+3=5，故D错误，不符合题意．
故选：C．
根据二次根式的相关运算法则逐项判断即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
6.【答案】D
【解析】解：∵△BCE是等腰直角三角形，
∴BC=BE=3，
又∵CD=BD+BC=8，
∴BD=5，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴AB=BD=5，
在Rt△ABC中，AC= AB2+BC2= 32+52= 34．
故选：D．
由于△BCE是等腰直角三角形，那么可得BC=BE=3，而DC=8，可求DB=5，又∵△ABD是等腰直角三角形，那么可知AB=5，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AC．
本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键是分别求出BC、AB．
7.【答案】B
【解析】解：∵一元二次方程x2−x−2=0的一个根为m，
∴m2−m−2=0，
∴m2−m=2，
∴2023−m2+2m=2023−(m2−m)=2023−2=2021．
故选：B．
根据一元二次方程根的定义得到m2−m=2，再把2023−m2+2m变形为2023−(m2−m)，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
8.【答案】C
【解析】解：∵|x−1|=1−x，
∴x−1≤0，
解得x≤1，
∴x−2≤−1，
∴ (x−1)2− (x−2)2
=|x−1|−|x−2|
=1−x−2+x
=−1．
故选：C．
根据二次根式的性质求出x的取值范围，再根据二次根式的性质与绝对值的性质化简，然后合并同类项即可得解．
本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，求出x的取值范围是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：max{a,b}表示a，b中的较大值，max{x,−x}=x2−3x−5，
(1)x≥0时，x≥−x，x2−3x−5=x，
∴x2−4x−5=0，
解得x=5或x=−1(−1<0，舍去)．
(2)x<0时，x<−x，x2−3x−5=−x，
∴x2−2x−5=0，
解得x=1− 6或x=1+ 6(1+ 6>0，舍去)．
综上，可得若max{x,−x}=x2−3x−5，则x的值是5或1− 6．
故选：B．
根据题意，分两边情况(1)x≥0时，x≥−x，x2−3x−5=x；(2)x<0时，x<−x，x2−3x−5=−x，据此分别求出x的值即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，以及实数的运算，解答此题的关键是注意分两种情况讨论．
10.【答案】C
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，AC=BC，
∵CE=12BC，F是AC的中点，
∴CF=CE，
∴∠E=∠CFE，
∵∠ACB=∠E+∠CFE=60°，
∴∠E=30°，
∴∠BGE=90°，
∴EG⊥AB，故⑤正确；
设AG=x，则AF=FC=CE=2x，
∴FG= 3x，BE=6x，
Rt△BGE中，BG=3x，EG=3 3x，
∴EF=EG−FG−3 3x− 3x=2 3x，
∴GF=12EF，故②正确；
③如图，过N作NH⊥AC于H，连接BN，
在等边三角形ABC中，
∵AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，BN=CN，
∵MN⊥AB，
∴NH=NM，
∵MN是BG的垂直平分线，
∴BN=NG，
∴BN=CN=NG，
在Rt△NGM和Rt△NCH中，
MN=NHGN=NC，
∴Rt△NGM≌Rt△NCH(HL)，
∴∠GNM=∠CNH，
∴∠MNH=∠CNG，
∵∠ANM=∠ANH=60°，
∴∠CNG=120°，故③正确；
∵MN是BG的垂直平分线，
∴BN=GN，
等边△ABC中，AD⊥BC，
∴BN=CN，
∴GN=CN，故④错误；
∵BN=CN=NG，
∴∠DCN=∠DBN，∠NBM=∠NGM，
∵∠ACN=∠ACB−∠DCN=60°−∠DBN=∠ABN=∠NGM，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ACN=∠BGN，故①正确；
其中正确的有：①②③⑤，一共4个，
故选：C．
①根据角的和与差及等腰三角形的性质可判断①正确．
②设AG=x，则AF=FC=CE=2x，表示EF和FG的长，可判断②正确；
③作辅助线，构建三角形全等，先根据角平分线的性质得NH=NM，由线段垂直平分线的性质得BN=CN=NG，证明Rt△NGM≌Rt△NCH(HL)，可判断③正确；
④分别表示NG和FG的长，可判断④不正确；
⑤根据等边三角形的性质和三角形外角的性质得∠E=30°，由∠B=60°，可得EG⊥AB，可判断⑤正确．
本题属于三角形的综合题，是中考选择题的压轴题，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握勾股定理和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
11.【答案】<
【解析】【分析】
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小．解答此题的关键是比较出3 5、4 3这两个数的平方的大小关系．
首先分别求出3 5、4 3的平方的值各是多少；然后根据实数大小比较的方法，判断出3 5、4 3的平方的大小关系，即可判断出3 5、4 3的大小关系．
【解答】
解：(1)(3 5)2=45，(4 3)2=48，
∵45<48，
∴3 5<4 3．
故答案为<．
12.【答案】k<12且k≠0
【解析】解：根据题意得k≠0且Δ=42−4k×2>0，
解得k<12且k≠0．
故答案为：k<12且k≠0．
根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ=42−4k×2>0，然后解两个不等式，求出它们的公共部分即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
13.【答案】2016或−2
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解的定义，根据题意得到x+2=2018或x+2=0是解题的难点．将关于x的方程a(x+2)2+bx+2b=0变形为：a(x+2)2+b(x+2)=0，结合已知条件得到x+2=2018或x+2=0．
【解答】
解：∵由关于x的方程a(x+2)2+bx+2b=0得到：a(x+2)2+b(x+2)=0，且关于x的一元二次方程ax2+bx=0(a≠0)的一根为x=2018，
∴x+2=2018或x+2=0，
解得x=2016或−2．
故答案为2016或−2．
14.【答案】4532 5×3202324047
【解析】解：(1)在Rt△ABC中，BC= AB2+AC2=10，
∵D是BC中点，
∴AD=12BC=5，
由翻折的性质可知，AP1=DP1=52，
∵P1D的中点为D1，
∴AD1=52+52×12=32×52，
由翻折的性质可知，AP2=D1P2=34×52，
∵P2D1的中点为D2，
∴AD2=34AD1=98×52，
∴AP3=12AD2=34×34×52=4532；
故答案为：4532；
(2)由(1)可得规律，APn=34APn−1，
∴AP2024=(34)2023×52=5×3202324047．
故答案为：5×3202324047．
先根据勾股定理求出BC的长，再根据直角三角形斜边上中线的性质，求出AD，在根据翻折的性质和中点的定义依次写出前三次翻折后的APn的长度，根据数值的变化总结出APn的变化规律即可得解．
本题主要考查了规律型问题，根据勾股定理、翻折的性质以及直角三角形斜边中线的性质来总结规律是本题解题的关键．
15.【答案】解：原式=4×1+ 12×8−(1−2 2+2)
=4+2−3+2 2
=3+2 2．
【解析】根据零指数幂、二次根式的乘法发则和完全平方公式得到原式=4×1+ 12×4−(1−2 2+2)，然后化简和去括号后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后进行二次根式的加减运算．也考查了零指数幂．
16.【答案】解：∵(x−2)2=3x−6，
∴(x−2)2=3(x−2)，
∴(x−2)2−3(x−2)=0，
∴(x−2−3)(x−2)=0，
∴x−2−3=0或x−2=0，
解得x1=2，x2=5．
【解析】先移项，然后利用因式分解法解方程即可．
本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
17.【答案】5
【解析】解：(1)AB= 32+42=5；
故答案为：5．
(2)△ABC如图所示；
(3)△ABD如图所示．
(1)利用勾股定理列式计算即可得解；
(2)在网格上取AC=AB的点C即可；
(3)作以AB为直角边的等腰直角三角形即可．
本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握网格结构以及勾股定理是解题的关键．
18.【答案】解：(1)解： 1+142+152的结果为1120；
验证： 1+142+152=1+14−14+1=1120；
(2)第n个等式的左边为 1+1n2+1(n+1)2，等式右边为1与1n(n+1)的和，
故等式如下：
1+1n2+1(n+1)2=1+1n−1n+1=11n(n+1)；
(3) 4+4202+4212=2 1+1202+1212=2×(1120×21)=2×(11420)=421210
【解析】(1)利用题中等式的计算规律得出结果，并验证．
(2)找出第n个等式的左边为 1+1n2+1(n+1)2，右边为1与1n(n+1)的和，列出等式即可．
(3)按照(2)得出的等式关系，代入 4+4202+4212即可求得结果．
本题主要考查了二次根式的加减法，观察式子找规律，根据规律解题即可．
19.【答案】解：由题意得：2月份的销售额60(1−10%)=54(万元)，
设3、4月份平均每月销售额增长的百分率是x，
54(1+x)2=121.5，
∴1+x=±1.5，
∴x1=50%或x2=−2.5(负值舍去)．
答：3、4月份销售额的月平均增长率为50%．
【解析】设3、4月份平均每月销售额增长的百分率是x.由题意得2月份的销售额是54万元，在此基础上连续两年增长，达到了121.5万元，列方程求解．
此题主要考查了一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．
20.【答案】解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得，2+t=−5，2t=−m，
解得t=−7，m=14，
即m的值为14，方程的另一个根为−7．
【解析】设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得，2+t=−5，2t=−m，然后分别解方程得到t与m的值．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
21.【答案】4
【解析】解：(1)∵两个正方形的面积分别为27dm2和75dm2，
∴这两个正方形的边长分别为3 3dm和5 3dm，
∴原矩形木板的面积为5 3(3 3+5 3)=120(dm2)；
(2)最多能裁出3块这样的木条．理由如下：
∵3 3≈5.196，2 3≈3.464，
3.46÷1.5≈2(块)，
5.196÷2≈2(块)，
2×2=4(块)．
∴从剩余的木块(阴影部分)中截出长为2dm，宽为1.5dm的长方形木条，最多能裁出4块这样的木条．
故答案为：4．
(1)根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；
(2)求出3 3和2 3的范围，根据题意解答．
本题考查的是二次根式的应用，掌握二次根式的性质、无理数的估算是解题的关键．
22.【答案】解：如图，AD⊥BC于D，
∵AB=4×50=200，BC=4×50=200，AC=4×50=200，
∴△ABC为等边三角形，
∴AD= 32BC=100 3，
∴油桶的最高点到地面的距离=25+100 3+25≈223.21(cm)．
答：遮雨棚起码要223.21cm高．
【解析】取三个角处的三个油桶的圆心，连接组成一个△ABC，如图，可证明它为等边三角形，它的边长为200厘米，利用等边三角形的性质得到高AD=100 3厘米，于是利用油桶的最高点到地面的距离为两个圆的半径与AD的和，然后进行近似计算即可．
本题考查了二次根式的应用：把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．此题关键是三个角处的三个油桶的圆心连线长为4个油桶的直径，考查学生分析题意的能力及勾股定理．
23.【答案】13.4
【解析】解：(1)根据题意得：13.5−0.05×(3−1)
=13.5−0.05×2
=13.5−0.1
=13.4(万元)，
∴每辆汽车的进价为13.4万元．
故答案为：13.4；
(2)设需要销售x辆汽车，则每辆的销售利润为15−[13.5−0.05(x−1)]=(0.05x+1.45)万元．
当x≤10时，(0.05x+1.45)x+0.25x=12，
整理得：x2+34x−240=0，
解得：x1=6，x2=−40(不符合题意，舍去)；
当x>10时，(0.05x+1.45)x+0.7x=12，
整理得：x2+43x−240=0，
解得：x1=5(不符合题意，舍去)，x2=−48(不符合题意，舍去)．
答：需要销售6辆汽车．
(1)利用每辆汽车的进价=13.5−0.05×(月销售量−1)，即可求出结论；
(2)设需要销售x辆汽车，则每辆的销售利润为(0.05x+1.45)万元，分x≤10及x>10两种情况考虑，利用总利润=每辆的销售利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

2023-2024学年安徽省合肥市瑶海区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

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