2024年高考数学真题分类汇编03：复数和平面向量

这是一份2024年高考数学真题分类汇编03：复数和平面向量，共7页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2024·全国）若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
3．（2024·全国）已知，则（ ）
A．0B．1C．D．2
4．（2024·全国）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．1
5．（2024·全国）设，则（ ）
A．B．1C．-1D．2
6．（2024·全国）设，则（ ）
A．B．C．10D．
7．（2024·全国）已知向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件D．“”是“”的充分条件
8．（2024·北京）已知，则（ ）．
A．B．C．D．1
9．（2024·北京）已知向量，，则“”是“或”的（ ）条件．
A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件
C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件
二、填空题
10．（2024·天津）已知是虚数单位，复数 ．
11．（2024·天津）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；若为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ．
12．（2024·上海）已知，且，则的值为 ．
13．（2024·上海）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ．
参考答案：
1．C
【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.
【解析】因为，所以.
故选：C.
2．D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.
【解析】因为，所以，
所以即，故，
故选：D.
3．C
【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.
【解析】若，则.
故选：C.
4．B
【分析】由得，结合，得，由此即可得解.
【解析】因为，所以，即，
又因为，
所以，
从而.
故选：B.
5．D
【分析】先根据共轭复数的定义写出，然后根据复数的乘法计算.
【解析】依题意得，，故.
故选：D
6．A
【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.
【解析】由，则.
故选：A
7．C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【解析】对A，当时，则，
所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，
所以，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
8．C
【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.
【解析】由题意得，
故选：C.
9．A
【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.
【解析】因为，可得，即，
可知等价于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，无法得出或，
例如，满足，但且，可知充分性不成立；
综上所述，“”是“且”的必要不充分条件.
故选：A.
10．
【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.
【解析】.
故答案为：.
11．
【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值.
【解析】解法一：因为，即，则，
可得，所以；
由题意可知：，
因为为线段上的动点，设，
则，
又因为为中点，则，
可得
，
又因为，可知：当时，取到最小值；
解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则，
可得，
因为，则，所以；
因为点在线段上，设，
且为中点，则，
可得，
则，
且，所以当时，取到最小值为；
故答案为：；.
12．15
【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.
【解析】，，解得．
故答案为：15．
13．2
【分析】设，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.
【解析】设，且.
则，
，，解得，
故答案为：2.