2021年高考数学真题和模拟题分类汇编专题17复数含解析

这是一份2021年高考数学真题和模拟题分类汇编专题17复数含解析，共11页。试卷主要包含了选择题部分，填空题部分等内容，欢迎下载使用。
专题17 复数
一、选择题部分
1.(2021•新高考全国Ⅰ卷•T2)已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】C．
【解析】因为，故，故
故选C.
2.(2021•高考全国甲卷•理T3)已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】B．
【解析】由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解.
，
.故选B.
3.(2021•高考全国乙卷•文T2)设，则（）
A. B. C. D.
【答案】C．
【解析】由题意可得：.
故选C.
4.(2021•浙江卷•T2)已知，，(i为虚数单位)，则（）
A. B. 1 C. D. 3
【答案】C．
【解析】，
利用复数相等的充分必要条件可得：.
故选C.
5.(2021•江西上饶三模•理T2．)已知复数z1＝1+i，z2＝3﹣i在复平面内对应的向量分别为，，则的模为（　　）
A． B． C．4 D．2
【答案】D．
【解析】∵复数z1＝1+i，z2＝3﹣i在复平面内对应的向量分别为，，
∴＝(1,1),＝(3,﹣1),
∴＝﹣＝(2,﹣2),
∴＝＝2．
6.(2021•江苏盐城三模•T2)若复数z满足|z－i|≤2，则z的最大值为
A．1 B．2 C．4 D．9
【答案】D．
【考点】复数的运算
【解析】由题意可知，设z＝a＋bi，则|z－i|＝|a＋(b－1)i|≤2，即a2＋(b－1)2≤4，不妨设a＝2cosθ，b＝2sinθ＋1，则z＝a2＋b2＝4cos2θ＋2sin2θ＋4sinθ＋1＝5＋4sinθ≤9，故答案选D．
7.(2021•河南郑州三模•理T2)1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式eix＝cosx+isinx，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式可知，设复数z＝，根据欧拉公式可知，表示的复数的虚部为（　　）
A． B．i C． D．i
【答案】C．
【解析】eix＝cosx+isinx，
复数z＝，＝＝×＝＝i，
所以复数的虚部为：．
8.(2021•河南开封三模•文理T2)设复数z满足|z|＝|z﹣i|＝1，且z的实部大于虚部，则z＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】设z＝a+bi，（a，b∈R），
∵复数z满足|z|＝|z﹣i|＝1，
∴＝1，＝1，
即x2+y2＝1，x2+y2﹣2y＝0，
解得y＝，x＝±，
∵z的实部大于虚部，
∴x＝，
∴z＝+i．
9.(2021•河南焦作三模•理T2)已知复数z满足|z﹣2|＝1，则|z|的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C．
【解析】因为|z﹣2|＝1，所以z在复平面内所对应的点Z到点（2，0）的距离为1，
所以点Z的轨迹为以（2，0）为圆心，1为半径的圆，
所以|z|的取值范围为[1，3]，
则|z|的最大值为3．
10.(2021•河北张家口三模•T2)若复数z满足＝，则在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D．
【解析】由已知得，
所以＝1﹣2i，所以在复平面内对应的点（1，-2）．
11.(2021•山东聊城三模•T2.)已知a∈R，i为虚数单位，若a-3i2+4i为实数，则a的值为（）
A. 32B. 23C.-23D.-32
【答案】 D．
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】a-3i2+4i=(a-3i)(2-4i)(2+4i)(2-4i)=2a-12-(4a+6)i20，若其为实数，
则4a+6=0，即a=-32．故答案为：D．
【分析】根据复数乘除运算和复数概念即可求得。

12.(2021•四川内江三模•理T1．)复数的共轭复数是（　　）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
【答案】A．
【解析】∵＝，
∴复数的共轭复数是1﹣i．
13.(2021•重庆名校联盟三模•T2．)若复数z满足|z﹣1+i|＝|1﹣2i|，其中i为虚数单位，则z对应的点（x，y）满足方程（　　）
A．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5 B．（x﹣1）2+（y+1）2＝5
C．（x+1）2+（y﹣1）2＝5 D．（x+1）2+（y+1）2＝5
【答案】B．
【解析】设z＝x+yi，∵|z﹣1+i|＝|1﹣2i|，∴|（x﹣1）+（y+1）i|＝|1﹣2i|，
∴＝，故（x﹣1）2+（y+1）2＝5．
14.(2021•安徽蚌埠三模•文T1．)复数z满足（1+i）•z＝1﹣i，则的虚部为（　　）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
【答案】A．
【解析】∵（1+i）•z＝1﹣i，∴（1﹣i）（1+i）•z＝（1﹣i）（1﹣i），
化为2z＝﹣2i，解得z＝﹣i，
则＝i的虚部为1．
15.(2021•贵州毕节三模•文T2．)若复数z满足z（2﹣i）＝1（i是虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D．
【解析】由题意得z＝＝＝，
则＝在复平面内对应的点在第四象限．
16.(2021•河南济源平顶山许昌三模•文T2．)若复数z满足|z﹣3i|＝3，i为虚数单位，则|z﹣4|的最大值为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A．
【解析】由|z﹣3i|＝3，可知复数z对应点的轨迹为以B（0，3）为圆心，以3为半径的圆上，如图：

则|z﹣4|的最大值为|AB|+3＝5+3＝8．
17.(2021•四川泸州三模•理T2．)复数z＝，则其共轭复数＝（　　）
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i
【答案】A．
【解析】化简可得复数z＝
＝＝＝﹣1+i，
∴复数z的共轭复数为：﹣1﹣i．
18.(2021•江苏常数三模•T6．)已知i为虚数单位，则复数z＝1+2i+3i2+⋯+2020i2019+2021i2020的虚部为（　　）
A．﹣1011 B．﹣1010 C．1010 D．1011
【答案】B．
【解析】因为z＝1+2i+3i2+⋯+2020i2019+2021i2020，
所以iz＝i+2i2+3i3+⋯+2020i2019+2021i2020+2021i2021，
两式相减可得，（1﹣i）z＝1+i+i2+···+i2020﹣2021i2021＝，
所以z＝，
所以复数z的虚部为﹣1010．
19.(2021•湖南三模•T2．)已知z在复平面内对应的点的坐标为（2，﹣1），则＝（　　）
A．1﹣3i B．3+i C．1﹣i D．2﹣i
【答案】B．
【解析】因为z在复平面内对应的点的坐标为（2，﹣1），
所以z＝2﹣i，
故．
20.(2021•福建宁德三模•T1) 复平面内复数z1，z2对应的点关于实轴对称，若z1=3+4i，则z1z2=( )
A. 7-24i B. -7-24i C. -25 D. 25
【答案】D．
【解析】∵复平面内复数z1，z2对应的点关于实轴对称，z1=3+4i，
∴z2=3-4i，
∴z1z2=(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2=9+16=25，故选：D.
根据复数在复平面内的几何意义求出复数z2，再利用复数的四则运算求解．
本题主要考查了复数在复平面内的几何意义，考查了复数的四则运算，是基础题．
21.(2021•江西南昌三模•理T2．)若复数z满足（1+i）（z﹣2）＝2i，则＝（　　）
A．3+i B．3﹣i C．﹣3+i D．﹣3﹣i
【答案】B．
【解析】由（1+i）（z﹣2）＝2i，
得z＝2+＝2+＝2+i（1﹣i）＝3+i，
所以＝3﹣i．
22.(2021•安徽宿州三模•理T2．)i为虚数单位，已知复数z＝，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A．
【解析】∵i4＝1，∴i2021＝（i4）505•i＝i，
∴复数z＝＝＝＝＝﹣i，则z的共轭复数＝+i在复平面内对应的点（，）位于第一象限．
23.(2021•安徽宿州三模•文T2．)设i是虚数单位，若复数z满足z（1+i）＝（1﹣i），则复数z的模|z|＝（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．2
【答案】B．
【解析】，所以有|z|＝1．
24.(2021•安徽马鞍山三模•理T2．)若复数（1+i）（a﹣i）（i是虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞）
【答案】B．
【解析】复数（1+i）（a﹣i）＝a+1+（a﹣1）i，在复平面内对应的点在第三象限，
∴a+1＜0，a﹣1＜0，解得：a＜﹣1．则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．
25.(2021•安徽马鞍山三模•文T2．)已知复数（i是虚数单位），z的共轭复数记作，则＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】∵，∴，|z|＝，则＝．
26.(2021•江西鹰潭二模•理T2．)若复数z满足（1+i）z＝|2+i|，则复数z的虚部是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】复数z满足（1+i）z＝|2+i|，
∴（1﹣i）（1+i）z＝（1﹣i）•，∴z＝﹣i，则复数z的虚部是﹣．
27.(2021•河北秦皇岛二模•理T2．)复数z＝的共轭复数在复平面内对应点坐标为（　　）
A．（4，﹣3） B．（4，3） C．（﹣3，4） D．（3，4）
【答案】B．
【解析】复数z＝＝，
所以复数z的共轭复数为，它在复平面内对应点坐标为（4，3）．
28.(2021•江西上饶二模•理T2．)复数z满足z•i＝1+2i（i为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D．
【解析】由z•i＝1+2i，得z＝，
∴复数z在复平面内所对应的点的坐标为（2，﹣1），在第四象限．
29.(2021•北京门头沟二模•理T1)复数z=2i1-i在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B．
【解析】解：复数z=2i1-i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=2i(1+i)2=i-1在复平面内对应的点(-1,1)在第二象限，
故选：B.利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
30.(2021•河北邯郸二模•理T9．)若复数z满足（2+i）z+5i＝0，则（　　）
A．z的虚部为﹣2 B．＝1+2i
C．z在复平面内对应的点位于第二象限 D．|z4|＝25
【答案】AD．
【解析】因为（2+i）z+5i＝0，所以，
故z的虚部为﹣2，故选项A正确；，故选项B错误；
z在复平面内对应的点位于第三象限，故选项C错误；
|z4|＝|z|4＝|﹣1﹣2i|4＝25，故选项D正确．
31.(2021•浙江杭州二模•理T2．)设复数z满足z•（3﹣i）＝10（i为虚数单位），则|z|＝（　　）
A．3 B．4 C． D．10
【答案】C．
【解析】由z•（3﹣i）＝10得z＝＝＝3+i，
则|z|＝．
32.(2021•江西九江二模•理T2．)已知复数z＝，则|z|＝（　　）
A．0 B． C．2 D．﹣2
【答案】B．
【解析】∵＝，|z|＝．
33.(2021•广东潮州二模•T2．)在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D．
【解析】复数＝＝，共轭复数对应点的坐标（，﹣）在第四象限．
34.(2021•山东潍坊二模•T2．)在复数范围内，已知p，q为实数，1﹣i是关于x的方程x2+px+q＝0的一个根，则p+q＝（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
【答案】C．
【解析】因为1﹣i是关于x的方程x2+px+q＝0的一个根，
则1+i是方程x2+px+q＝0的另一个根，
由韦达定理可得1+i+（1﹣i）＝﹣p，（1+i）（1﹣i）＝q，
解得p＝﹣2，q＝2，所以p+q＝0．
35.(2021•浙江丽水湖州衢州二模•T1．)已知复数z＝，其中i为虚数单位，则|z|＝（　　）
A． B． C． D．2
【答案】C．
【解析】z＝＝＝3﹣i，其中i为虚数单位，则|z|＝＝．
36.(2021•安徽淮北二模•文T2．)设复数z＝i2021+1（i是虚数单位），是z的共轭复数，则﹣z2＝（　　）
A．3﹣i B．1+3i C．﹣1﹣i D．1﹣3i
【答案】D．
【解析】∵z＝i2021+1＝（i4）505•i+1＝i+1，∴，
则﹣z2＝1﹣i﹣（1+i）2＝1﹣i﹣1﹣2i+1＝1﹣3i．
37.(2021•宁夏银川二模•文T2．)复数z满足（1﹣i）z＝1﹣i3，则复数z＝（　　）
A．i B．﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【答案】A．
【解析】（1﹣i）z＝1﹣i3，∴（1﹣i）z＝1+i，
∴（1+i）（1﹣i）z＝（1+i）（1+i），∴2z＝2i，解得z＝i．
38.(2021•河南郑州二模•文T2．)设复数z满足（1+i）z＝2i，则|z|＝（　　）
A． B． C． D．2
【答案】C．
【解析】∵（1+i）z＝2i，∴（1﹣i）（1+i）z＝2i（1﹣i），z＝i+1．则|z|＝．
39.(2021•新疆乌鲁木齐二模•文T2．)已知复数z＝1﹣i，则＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i
【答案】A．
【解析】将z＝1﹣i代入得．

40.(2021•吉林长春一模•文T2.) 已知复数z满足zi=2+2i(i为虚数单位)，z-为复数z的共轭复数，则z⋅z-=( )
A. 2 B. 6 C. 2 D. 6
【答案】D．
【解析】解：复数z满足zi=2+2i(i为虚数单位)，
∴zi(-i)=(2+2i)(-i)，
∴z=-2-2i，
z-=-2+2i，
则z⋅z-=(-2-2i)(-2+2i)=(-2)2+22=6，
故选：D.
利用复数的运算法则、共轭复数的性质即可得出．
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

二、填空题部分
41.(2021•吉林长春一模•文T15.)若复数满足则.
【答案】．
【解析】设有．
42.(2021•辽宁朝阳二模•T14．)已知|z+i|+|z﹣i|＝6，则复数z在复平面内所对应点P（x，y）的轨迹方程为　　．
【答案】+＝1．
【解析】∵复数z在复平面内所对应点P（x，y），又|z+i|+|z﹣i|＝6，
∴+＝6，即点P（x，y）到点A（0，﹣），和B（0，﹣）的距离之和为：6，且两定点的距离为：2＜6，
故点P的运动轨迹是以点AB为焦点的椭圆，且2a＝6，2c＝2，故b＝＝2，
∴复数z在复平面内所对应点P（x，y）的轨迹方程为：+＝1．
43.(2021•天津南开二模•T10．)若复数z＝2i+，其中i是虚数单位，则复数z的模为　　．
【答案】．
【解析】复数z＝2i+＝2i+，则复数|z|＝．
44.(2021•上海嘉定三模•T3．)若复数z＝（1+i）•i（其中i为虚数单位），则共轭复数＝　．
【答案】﹣1﹣i．
【解析】由已知得，z＝（1+i）⋅i＝﹣1+i，则＝﹣1﹣i．
45.(2021•辽宁朝阳三模•T13．)写出一个虚数z，使得z2+3为纯虚数，则z＝　1+2i　．
【答案】1+2i．
【解析】设z＝a+bi（a，b∈R，b≠0），则z2+3＝（a+bi）2+3＝a2﹣b2+3﹣2abi为纯虚数，∴a2﹣b2+3＝0，2ab≠0，取a＝1，b＝2，则z＝1+2i．
46.(2021•上海浦东新区三模•T8．)若复数z＝x+yi（x，y∈R，i为虚数单位）满足|x|+|y|≤1，则z在复平面上所对应的图形的面积是　2　．
【答案】2．
【解析】因为复数z＝x+yi（x，y∈R，i为虚数单位）满足|x|+|y|≤1，
所以复数z在复平面上所对应的图形为边长为的正方形内部（包括边界），
又正方形的面积为，所以z在复平面上所对应的图形的面积是2．
47.(2021•宁夏中卫三模•理T13．)已知i为虚数单位，复数z＝（2+i3）（1﹣ai）为实数，则z＝　　．
【答案】．
【解析】∵z＝（2+i3）（1﹣ai）＝（2﹣i）（1﹣ai）
＝（2﹣a）﹣（2a+1）i为实数，
∴2a+1＝0，即a＝，则z＝2﹣（﹣）＝2+＝．