2024年安徽省宣城市中考数学模拟试卷（5月份）（含解析）

这是一份2024年安徽省宣城市中考数学模拟试卷（5月份）（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2024的相反数是( )
A. 2024B. −2024C. 12024D. −12024
2.5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上.用科学记数法表示1300000是( )
A. 13×105B. 1.3×105C. 1.3×106D. 1.3×107
3.下列诗句所描述的事件中，属于必然事件的是( )
A. 黄河入海流B. 手可摘星辰C. 锄禾日当午D. 大漠孤烟直
4.下列立体图形中，左视图是圆的是( )
A. B. C. D.
5.将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1=( )
A. 45°
B. 50°
C. 60°
D. 75°
6.关于矩形的判定，以下说法不正确的是( )
A. 四个角相等的四边形是矩形
B. 一个内角是直角且对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线相等的平行四边形是矩形
D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
7.如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为米．( )
A. 0.9
B. 1.3
C. 1.5
D. 1.6
8.某著作讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号.如图，四边形ABCD内接于半径为2 3的圆，∠A=120°，∠B=45°，AB=AD，则四边形ABCD的周长为( )
A. 4 3+6 2
B. 10 3
C. 4 3+4 2
D. 4 3+5 2
9.抛物线y=−2x2+1通过变换可以得到抛物线y=−2(x+1)2+3，以下变换过程正确的是( )
A. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
D. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
10.综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h(cm)是液体的密度ρ(g/cm3)的反比例函数，其图象如图所示(ρ>0).下列说法正确的是( )
A. 当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm
B. 当液体密度ρ=2g/cm3时，浸在液体中的高度h=40cm
C. 当浸在液体中的高度0D. 当液体的密度0<ρ≤lg/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.分解因式：a2−4b2= ．
12.在二次根式 x−2中，字母x的取值范围是______．
13.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=2 2，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交边BC于点E，则图中阴影部分的面积是______.(结果保留π)
14.如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形ABCD是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变AC的长来调节BD的长.已知AB=50cm，BD的初始长为50cm，如果要使BD的长达到60cm，那么AC的长需要缩短______cm．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算： 16−(π−2024)0+2−1−sin30°．
16.(本小题8分)
先化简(1x+1+1x−1)⋅x2−2x+12x，再从−1，0，1，2中选择一个恰当的数代入求值．
17.(本小题8分)
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O；
(1)尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)若AC=4，BD=2，求cs∠BCE的值．
18.(本小题8分)
为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：A.跳绳；B.篮球；C.排球；D.足球，这4门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加.全校共有100名男同学选择了A项目，为了解选择A项目男同学的情况，从这100名男同学中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩x(个/分钟)绘制成频数分布直方图．

(1)若抽取的同学的测试成绩落在160≤x<165这一组的数据为160，162，161，163，162，164，则该组数据的中位数是______，众数是______；
(2)根据题中信息，估计选择B项目的男生共有______人，扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为______度；
(3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图法或列表法计算出甲和乙同学同时被选中的概率．
19.(本小题8分)
某公司生产A种产品，它的成本是6元/件，售价是8元/件，年销售量为5万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x万元，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y与x之间满足我们学过的二种函数(即一次函数和二次函数)关系中的一种，它们的关系如下表：
(1)求y与x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)
(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费用和广告费用，试求出年利润W(万元)与广告费用x(万元)的函数关系式，并计算每年投入的广告费是多少万元时所获得的利润最大？
(3)如果公司希望年利润W(万元)不低于14万元，请你帮公司确定广告费的范围．
20.(本小题8分)
为巩固农村脱贫成果，利兴村委会计划利用一块如图所示的空地ABCD，培育绿植销售，空地南北边界AB/​/CD，西边界BC⊥AB，经测量得到如下数据，点A在点C的北偏东58°方向，在点D的北偏东48°方向，BC=780米，求空地南北边界AB和CD的长(结果保留整数，参考数据：tan48°≈1.1，tan58°≈1.6)．
21.(本小题8分)
如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连结BD．
(1)若∠C=30°，求ADCD的值；
(2)过点D作⊙O的切线，交BC于点E，求证：E是BC的中点．
22.(本小题8分)
定义：在四边形中，若一条对角线能平分一个内角，则称这样的四边形为“可折四边形”．
例：如图1，在四边形ABCD中，∠ABD=∠DBC，则四边形ABCD是“可折四边形”．
利用上述知识解答下列问题．

(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“可折四边形”的有：______．
(2)在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC．
①如图1，若∠ABC=60°，BD=4，求AD+CD的最小值．
②如图2，连接对角线AC，若DC刚好平分∠ACE，且∠BDC=25°，求∠DAC的度数．
③如图3，若∠ABC=60°，AD=CD，对角线AC与BD相交于点E，当BC=6，且△AEB为等腰三角形时，求四边形ABCD的面积．
23.(本小题8分)
已知抛物线y=ax2+bx−3(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)，点B(3,0)，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，若直线BC下方的抛物线上有一动点M，过点M作y轴平行线交BC于N，过点M作BC的垂线，垂足为H，求△HMN周长的最大值；
(3)若点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
(4)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点F，使得当经过点F的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有1FS2+1FT2为定值？若存在，求出点F坐标及定值，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：2024的相反数是−2024，
故选：B．
根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：1300000=1.3×106，
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】A
【解析】解：A.黄河入海流，这是必然事件；
B.手可摘星辰，这是不可能事件；
C.锄禾日当午，这是随机事件；
D.大漠孤烟直，这是随机事件．
故选：A．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4.【答案】D
【解析】解：A.三棱柱的左视图是长方形，因此选项A不符合题意；
B.圆柱的左视图是长方形，因此选项B不符合题意；
C.圆锥的左视图是等腰三角形，因此选项C不符合题意；
D.球的左视图是圆，因此选项D符合题意；
故选：D．
根据各个选项中的几何体的左视图的形状进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，掌握三棱柱、圆锥、圆柱以及球的三视图的形状是正确判断的前提．
5.【答案】D
【解析】解：如图，由题意可知，∠2=45°，∠4=30°，
∵两个三角板中有刻度的边互相垂直，
∴∠3=90°−∠2=45°，
∴∠1=∠3+∠4=45°+30°=75°，
故选：D．
如图(见解析)，先根据三角板可得∠2=45°，∠4=30°，再根据角的和差可得∠3=45°，然后根据三角形的外角性质即可得．
本题考查了三角板中的角度计算、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：四个角相等的四边形是矩形，故选项A正确，不符合题意；
一个内角是直角且对角线相等的四边形不一定是矩形，故选项B错误，符合题意；
对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C正确，不符合题意；
对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故选项D正确，不符合题意；
故选：B．
根据各个选项中条件，判断是否正确，即可解答本题．
本题考查矩形的判定，解答本题的关键是明确矩形的判定方法．
7.【答案】D
【解析】解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示：
则CD=BE，DE=BC=1.2米=65米，
在Rt△ADE中，AD=1.5米=32米，
由勾股定理得：AE= AD2−DE2= (32)2−(65)2=0.9(米)，
∴BE=AB−AE=2.5−0.9=1.6(米)，
∴CD=BE=1.6米，
故选：D．
过点D作DE⊥AB于E，则CD=BE，DE=BC=1.2米，由勾股定理得出AE=0.9(米)，则BE=AB−AE=1.6(米)，即可得出答案．
本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：连接AC，BD，设圆心为O，连接DO并延长交⊙O于M，连接AM，过A作AN⊥CD交CD延长线于N，如图：
∵∠DAB=120°，AB=AD，
∴∠ABD=30°，
∵AD=AD，
∴∠M=∠ABD=30°，
∵DM是⊙O的直径，
∴∠DAM=90°，
∴AD=12DM，
∵⊙O半径为2 3，
∴DM=4 3，
∴AD=2 3=AB，
∴BD= 3AD=6，
∵∠ADC=135°，
∴∠ADN=45°，
∴△ADN是等腰直角三角形，
∴AN=AD 2=2 3 2= 6，
∵∠DCB=180°−∠DAB=60°，AB=AD，
∴∠DCA=∠BCA=30°，
在Rt△ACN中，AC=2AN=2 6，
由托勒密定理任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号．
∴AD⋅BC+AB⋅CD=BD⋅AC，
∴2 3BC+2 3CD=6×2 6，
∴BC+CD=6 2，
∴AB+BC+CD+AD=2 3+6 2+2 3=4 3+6 2，
∴四边形ABCD的周长为4 3+6 2，
故选：A．
连接AC，BD，设圆心为O，连接DO并延长交⊙O于M，连接AM，过A作AN⊥CD交CD延长线于N，由∠DAB=120°，AB=AD，得∠ABD=30°，即得∠M=∠ABD=30°，可得AD=12DM=2 3=AB，BD= 3AD=6，由∠ADC=135°，得△ADN是等腰直角三角形，AN= 6，在Rt△ACN中，AC=2AN=2 6，由托勒密定理的推论知有2 3BC+2 3CD=6×2 6，故BC+CD=6 2，从而可得四边形ABCD的周长为4 3+6 2．
本考查了圆的相关性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的应用．
9.【答案】D
【解析】解：∵y=−2x2+1的顶点坐标为(0,1)，y=−2(x+1)2+3的顶点坐标为(−1,3)，
∴将抛物线y=−2x2+1先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，可得到抛物线y=−2(x+1)2+3．
故选：D．
先通过抛物线解析式得到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
本题考查了二次函数的图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标．
10.【答案】C
【解析】解：根据题意得，反比例函数解析式为：h=20ρ，
A、当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm，故原说法错误，不符合题意；
B、当液体密度ρ=2g/cm3时，浸在液体中的高度h=10cm，故原说法错误，不符合题意；，
C、当浸在液体中的高度0D、当液体的密度0<ρ≤lg/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm，故原说法错误，不符合题意；，
故选：C．
根据图像和反比例函数性质逐项分析判断即可．
本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数性质是关键．
11.【答案】(a+2b)(a−2b)
【解析】【分析】
本题考查运用平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是解题的关键．
直接用平方差公式进行分解．平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)．
【解答】
解：a2−4b2=(a+2b)(a−2b)．
故答案为(a+2b)(a−2b)．
12.【答案】x≥2
【解析】解：∵二次根式 x−2有意义，
∴x−2≥0，解得x≥2
故答案为：x≥2．
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解；
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
13.【答案】4 2−π
【解析】解：∵在矩形ABCD中，AB=2，AD=2 2，
∴AE=AD=2 2，
在Rt△ABE中，BE= AE2−AB2= (2 2)2−22=2，
∴AB=BE，
∴∠BAE=∠EAD=45°，
∴S阴影=S矩形ABCD−S扇形ADE
=2×2 2−45π×(2 2)2360
=4 2−π，
故答案为：4 2−π．
用矩形的面积减去扇形ADE的面积即可求得阴影部分的面积．
本题考查了扇形的面积的计算及矩形的性质，能够了解两个扇形构成半圆是解答本题的关键，难度不大．
14.【答案】(50 3−80)
【解析】解：设AC与BD交于点O，A′C′于BD′交于点O′，如下图所示：

依题意得：四边形ABCD，四边形A′BC′D′均为菱形，且AB=A′D′=50cm，BD=50cm，BD′=60cm，
∴BO=12BD=25cm，D′O′=12BD′=30cm，AC=2AO，A′C′=2A′O′，BD⊥AC，BD′⊥A′C′，
在Rt△AOB中，AB=50cm，BO=25cm，
由勾股定理得：AO= 502−252=25 3(cm)，
∴AC=2AO=50 3cm，
在Rt△A′O′D′中，A′D′=50cm，D′O′=30cm，
由勾股定理得：A′O′= 502−302=40(cm)，
∴A′C′=2A′O′=80cm，
∴AC−A′C′=(50 3−80)cm，
即AC的长需要缩短(50 3−80)cm．
故选：(50 3−80)．
设AC与BD交于点O，A′C′于BD′交于点O′，由菱形的性质得BO=12BD=25cm，D′O′=12BD′=30cm，AC=2AO，A′C′=2A′O′，BD⊥AC，BD′⊥A′C′，在Rt△AOB中由勾股定理可求出AO=25 3cm，则AC=2AO=50 3cm，在Rt△A′O′D′中由勾股定理可求出A′O′=40cm，则A′C′=2A′O′=80cm，然后再求出AC−A′C′即可．
此题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
15.【答案】解： 16−(π−2024)0+2−1−sin30°
=4−1+12−12
=3．
【解析】根据算术平方根、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值分别计算即可．
本题考查了实数的运算，熟练掌握算术平方根、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值是解题的关键．
16.【答案】解：(1x+1+1x−1)⋅x2−2x+12x
=x−1+x+1(x+1)(x−1)⋅(x−1)22x
=2x(x+1)(x−1)⋅(x−1)22x
=x−1x+1，
∵当x=−1，0，1时原分式无意义，
∴x=2，
当x=2时，原式=2−12+1=13．
【解析】先通分括号内的式子，再算括号外的乘法，然后从−1，0，1，2中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17.【答案】解：(1)如图，CE为所作；

(2)∵四边形ABCD为菱形，
∴OA=OC=12AC=2，OB=OD=12BD=1，AC⊥BD，AB=BC，
在Rt△OAB中，AB= OA2+OB2= 22+12= 5，
∵AB⋅CE=12AC⋅BD，
∴CE=12×2×4 5=4 55，
∵BC=AB= 5，
∴cs∠BCE=CEBC=4 55 5=45．
【解析】(1)利用基本作图，过C点AB的垂线即可；
(2)先根据菱形的性质得到OA=OC=2，OB=OD=1，AC⊥BD，AB=BC，则利用勾股定理可计算出AB= 5，则BC= 5，再利用面积法计算出CE=4 55，然后根据余弦的定义求解．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了菱形的性质和解直角三角形．
18.【答案】162 162 175 108
【解析】解：(1)将这组数据按照从小到大的顺序排列，排在第3和第4的为162和162，
∴该组数据的中位数是(162+162)÷2=162．
该组数据中出现次数最多的为162，
∴该组数据的众数为162．
故答案为：162；162．
(2)全校的男生人数为100÷20%=500(人)，
∴选择B项目的男生共有500×35%=175(人)．
扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为360°×(1−20%−35%−15%)=108°．
故答案为：175；108．
(3)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
∴甲和乙同学同时被选中的概率为212=16．
(1)根据中位数和众数的定义可得答案．
(2)先用选择A项目的男生人数除以扇形统计图中A的百分比可得全校的男生人数，再用全校的男生人数乘以扇形统计图中B的百分比可得选择B项目的男生人数；用360°乘以扇形统计图中D得百分比即可．
(3)画树状图得出所有等可能的结果数以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、频数(率)分布直方图、扇形统计图、中位数、众数，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、中位数和众数的定义是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)设y与x的函数关系式为y=ax2+bx+c，由题意，得
1=c1.5=a+b+c1.8=4a+2b+c，
解得：a=−0.1b=0.6c=1，
∴y=−0.1x2+0.6x+1；
(2)由题意，得
W=(8−6)×5(−0.1x2+0.6x+1)−x，
W=−x2+5x+10，
W=−(x−2.5)2+16.25．
∴a=−1<0，
∴当x=2.5时，W最大=16.25．
答：年利润W(万元)与广告费用x(万元)的函数关系式为W=−x2+5x+10，每年投入的广告费是2.5万元时所获得的利润最大为16.25万元．
(3)当W=14时，
−x2+5x+10=14，
解得：x1=1，x2=4，
∴1≤x≤4时，年利润W(万元)不低于14万元．
【解析】本题考查二次函数的应用．
(1)设y与x的函数关系式为y=ax2+bx+c，由待定系数法求出其解即可；
(2)由销售问题的数量关系利润=销售总额−成本费用−广告费用就可以表示出W与x之间的关系式；
(3)当y=14时代入(2)的解析式求出x的值，由二次函数的图象特征就可以得出结论．
20.【答案】解：由题意可知：∠BCA=58°，∠ADE=48°，
过D作于DE⊥AB于点E，
∵AB/​/CD，BC⊥AB，
∴四边形BCDE为矩形，
∴DE=BC=780米，
在Rt△ABC中，tan58°=ABBC，
∵BC=780米，tan58°≈1.6，
∴AB≈780×1.6≈1248(米)，
在Rt△ADE中，tan48°=AEDE，
∵DE=BC=780米，tan48°≈1.1，
∴AE≈780×1.1≈858(米)，
∴CD≈1248−858≈390(米)，
答：AB的长和CD的长分别约为1248米和390米．
【解析】由题意可知：∠BCA=58°∠ADE=48°，过D作于DE⊥AB于E，易得四边形BCDE为矩形，从而可知DE=BC，然后根据锐角三角函数的定义分别求出AB与AE的长度即可求出答案．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义求出AE与CD的长度，本题属于基础题型．
21.【答案】(1)解：∵∠ABC=90°，∠C=30°，
∴∠A=60°，
∵AB为直径，
∴BD⊥AC，
∴∠ADB=∠CDB=90°，
∴∠ABD=30°，
∴AD= 33BD，CD= 3BD，
∴ADCD= 33BD 3BD=13；
(2)证明：连接OD，OE，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE=90°，
在Rt△OBE与Rt△ODE中，
OD=OBOE=OE，
∴Rt△OBE≌Rt△ODE(HL)，
∴DE=BE，
∴∠EDB=∠EBD，
∵∠DBC+∠C=∠BDE+∠CDE=90°，
∴∠CDE=∠C，
∴DE=CE，
∴BE=CE，
∴E是BC的中点．
【解析】(1)根据三角形的内角和定理得到∠A=60°，根据圆周角定理得到BD⊥AC，求得AD= 33BD，CD= 3BD，于是得到结论；
(2)连接OD，OE，根据切线的性质得到∠ODE=90°，根据全等三角形的性质得到DE=BE，等量代换即可得到结论．
本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
22.【答案】菱形、正方形
【解析】解：(1)∵平行四边形、矩形的对角线不一定平分平行四边形、矩形的角，
∴平行四边形、矩形不一定是“可折四边形”；
∵菱形、正方形的对角线平分一组对角，
∴菱形、正方形一定是“可折四边形”；
故答案为：菱形、正方形．
(2)①当DC⊥BC，DA⊥AB时，DC与DA最小，
∴此时AD+CD最小；
∵∠ABC=60°，对角线BD平分∠ABC．
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=30°，
∴DC=DA=BD2=2，
∴AD+CD=2+2=4，
答：AD+CD的最小值为4；
②如图1，过点D作DE⊥BC交BC延长线于E，DP⊥AC于P，DG⊥BA交BA延长线于G，
∵∠3=∠1+∠2①，
∠ACF=∠4+∠ABC，
又∵DC平分∠ACF，DB平分∠ABC，
∴∠ACF=2∠3，∠ABC=2∠2，
∴2∠3=∠4+2∠2②，
①×2−②得∠4=2∠1=50°，
∵DE⊥BC，DP⊥AC，DG⊥AB，
又∵DC平分∠ACF，DB平分∠ABC，
∴DE=DP，DE=DG，
∴DP=DG，
∴AD平分∠GAP，
∴∠DAC=65°；
③如图2
过D作DQ⊥BC，D P⊥A B，
又∵DB平分∠ABC，
∴D P=D Q，
∵AD=CD，
∴Rt△DPA≌Rt△DQC(HL)，
∴∠ADP=∠CDQ，
∵DB平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=12×60°=30°，
∴∠BDP=∠BDQ=60°，
∴∠ADC=∠PDQ=120°，
则A，B，C，D四点共圆，
∴∠BAE=∠BDC，∠ABC=∠ADE；
当BA=BE时，如图3，
∴∠BAE=∠BEA=∠BDC=12(180°−30°)=75°，
∴∠ADE=45°，
∴∠BCD=180°−∠CBD−∠BDC=180°−30°−75°=75°，
∴∠BCD=∠BDC，
∴BC=BD=6，
∵∠CBD=30°，
∴CN=12BC=3，
∵∠ADE=45°，∠AMD=90°，
∴∠DAM=∠ADE=45°，
∴AM=DM，
∵∠ABM=30°，
∴AB=2AM，
∴BM= AB2−AM2= 3AM，
∵BM+DM=BD=6，
∴ 3AM+AM=6，
∴AM=3 3−3，
S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=12BD⋅AM+12BD⋅CN=12BD(AM+CN)=9 3．
当EB=EA时，如图4
∵∠BAE=∠ABE=∠BDC=30°，
∴∠DEC=60°，
∴∠ADE=90°，
∵BC=6，
∴同理可求得CH=3，BD=6 3，AD=6，
S四边形ABCD=SRt△ADB+S△BCD=12BD⋅AD+12BD⋅CH=12BD(AD+CH)=27 3．
综上，四边形ABCD的面积为9 3或27 3．
(1)根据菱形、正方形的对角线平分一组对角可得出答案；
(2)①当DC⊥BC，DA⊥AB时，DC与DA最小，此时AD+CD最小；利用直角 三角形的性质可求解；
②过点D作DE⊥BC交BC延长线于E，DP⊥AC于P，DG⊥BA交BA延长线于G，证明DE=DP，DE=DG，得出DP=DG，从而得到AD平分∠GAP，即可求解；
③先证明A，B，C，D四点共圆，不规则分两种情况：当BA=BE时，当EB=EA时，分别求解即可．
本题属于四边形综合题，考查角平分线的性质与判定，菱形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的面积，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．本题综合性较强，注意分类讨论，以免漏解．
23.【答案】解：(1)∵A(−1,0)，B(3,0)在抛物线y=ax2+bx−3(a≠0)上，
∴a−b−3=09a+3b−3=0，
解得：a=1b=−2，
∴抛物线的表达式为：y=x2−2x−3．
(2)∵抛物线的表达式为：y=x2−2x−3，
∴当x=0时，y=−3，
∴C(0,−3)，
设直线BC的解析式为y=kx+n，
∵B(3,0)，C(0,−3)，
∴3k+n=0n=−3，
解得：k=1n=−3，
∴直线BC的解析式为y=x−3，
设M(m,m2−2m−3)其中0∴MN=m−3−(m2−2m−3)=−m2+3m，
∵OB=OC=3，∠BOC=90°，
∴∠OCB=45°，
∵MN//y轴，
∴∠MNH=∠OCB=45°，
∵MH⊥BC，
∴△HMN是等腰直角三角形，
∴HM=HN= 22MN，
∴△HMN的周长l=( 22+ 22+1)MN
=( 2+1)(−m2+3m)
=−( 2+1)m2+3( 2+1)m
=−( 2+1)(m−32)2+9 2+94，
∴当m=32时，△HMN的周长有最大值，l最大=9 2+94．
(3)由题意知，抛物线的对称轴为直线x=−−22×1=1，B(3,0)，C(0,−3)，
设点P坐标为(1,s)，点Q坐标为Q(t,0)，
①当BC为对角线时，3+0=1+t0−3=s+0，
解得：s=−3t=2，
∴Q(2,0)，

②当BP为对角线时，3+1=0+t0+s=−3+0，
解得：s=−3t=4，
∴Q(4,0)，

③当BQ为对角线时，3+t=1+00+0=s−3，
解得：s=3t=−2，
解得：Q(−2,0)，

综上所述，存在点Q，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，Q点的坐标为(2,0)，(4,0)，(−2,0)．
(4)当抛物线y=x2−2x−3向左平移1个单位，向上平移4个单位后，得到新的抛物线y=(x+1)2−2(x+1)−3+4，即y=x2，
设ST的解析式为y=kx+b，点S坐标为(x1,y1)，点T坐标为(x2,y2)，则F(0,b)，
联立新抛物线与直线ST的解析式得：y=kx+by=x2，
∴x2−kx−b=0，
∴x1+x2=k，x1x2=−b，
FS2=x12+(y1−b)2=x12+k2x12=(1+k2)x12，
同理，FT2=(1+k2)x22，
∴1FS2+1FT2=11+k2(1x12+1x22)=11+k2[(x1+x2)2−2x1x2(x1x2)2]=11+k2(k2+2bb2)，
∵1FS2+1FT2为定值，
∴1+k2=k2+2b，
解得：b=12，
当b=12时，1FS2+1FT2=4，
∴定点F(0,12),1FS2+1FT2的值为4．
【解析】(1)把A(−1,0)，点B(3,0)代入y=ax2+bx−3，得出关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，即可得答案；
(2)根据抛物线解析式求出点C坐标，利用待定系数法求出直线BC解析式，设M(m,m2−2m−3)，则N(m,m−3)，根据MN/​/y，MH⊥BC及B、C两点坐标得出△HMN是等腰直角三角形，利用m表示出△HMN的周长，利用二次函数的性质求出最大值即可得答案；
(3)根据抛物线解析式求出对称轴为直线x=1，点P坐标为(1,s)，点Q坐标为Q(t,0)，根据平行四边形对角线中点的坐标相同，分BC、BP、BQ为对角线三种情况，列方程组求出s、t的值即可得答案；
(4)根据平移规律得出新的抛物线解析式为y=x2，设ST的解析式为y=kx+b，S(x1,y1)，T(x2,y2)，则F(0,b)，联立抛物线与直线ST的解析式得x2−kx−b=0，利用一元二次方程根与系数的关系用k、b、x1、x2分别表示FS2和FT2，代入1FS2+1FT2，根据1FS2+1FT2为定值得出b值及定值即可．
本题考查二次函数的综合，包括待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、求一次函数解析式、平行四边形的性质、求二次函数的最大值、一元二次方程根与系数的关系，综合性强，熟练掌握相关的性质及规律是解题关键x(万元)
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1
1.5
2
…
y
1
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