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人教版八年级数学上册专题05最短路径的三种考法(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学上册专题05最短路径的三种考法(原卷版+解析)，共35页。试卷主要包含了坐标系的最值问题，几何图形中的最短路径问题，最短路径问题的实际应用等内容，欢迎下载使用。
例．在平面直角坐标系中，B(2，2)，以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）．
（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD．
①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；
②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；
（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．
【变式训练1】如图所示，点，，且a，b满足．若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（P为顶点），连接．
(1)如图1所示，直接写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
(2)如图2所示，当点P在点O，A之间运动时，则、之间的位置关系为 ；并加以证明；
(3)如图3所示，点P在x轴上运动过程中，若所在直线与y轴交于点F，请直接写出F点的坐标为 ，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系 ．
【变式训练2】在平面直角坐标系中，B(2，2)，以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）．
（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD．
①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；
②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；
（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．
类型二、几何图形中的最短路径问题
例1．如图，已知，平分，，在上，在上，在上．当取最小值时，此时的度数为（ ）
A．B．C．D．
例2．如图，在三角形中，，，于D，M，N分别是线段，上的动点，，当最小时， ．
【变式训练1】如图，在等腰中，，，是等边三角形，P是的平分线上一动点，连接，，则的最小值为 ．
【变式训练2】如图，等腰三角形的底边的长为4，面积为24，腰的垂直平分线分别交边，于点，，若为边的中点，为线段上一动点，则的最小值为（ ）
A．8B．10C．12D．14
【变式训练3】如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是( )
A．30°B．45°C．60°D．90°
【变式训练4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=4，点D是BC上一动点，以BD为边在BC的右侧作等边△BDE，F是DE的中点，连结AF，CF，则AF+CF的最小值是 .
类型三、最短路径问题的实际应用
例1.如图1，直线表示一条河的两岸，且现在要在这条河上建一座桥，桥的长度等于河宽度且桥与河岸垂直．使村庄经桥过河到村庄现在由小明、小红两位同学在图2设计两种：
小明：作，交于点，点．在处建桥．路径是．
小红：作，交于点，点；把平移至BE，连AE，交于，作于．在处建桥．路径是．
（1）在图2中，问：小明、小红谁设计的路径长较短？再用平移等知识说明理由．
（2）假设新桥就按小红的设计在处实施建造了，上游还有一座旧桥，早上10点某小船从旧桥下到新桥下，到达后立即返回，在两桥之间不停地来回行驶，船的航行方向和水流方向与桥保持垂直船在静水每小时14千米，水流每小时2千米，第二天早上6点时小明发现船在两桥之间（未到两桥）且离旧桥40千米处行驶求这两桥之间的距离．
例2．如图a，圆柱的底面半径为，圆柱高为，是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线：
路线1：高线＋底面直径，如图a所示，设长度为．
路线2：侧面展开图中的线段，如图b所示，设长度为．
(1)你认为小明设计的哪条路线较短？请说明理由；
(2)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为，高为”继续按前面的路线进行计算．（结果保留）
①此时，路线1的长度 ，路线2的长度 ；
②所以选择哪条路线较短？试说明理由．
【变式训练】阅读下列材料，解决提出的问题：
最短路径问题:如图（1），点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在直线l上找到一个点C，使得点C到点A，点B的距离和最短？我们只需连接AB，与直线l相交于一点，可知这个交点即为所求．
如图（2），如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得这个点到点A、点B的距离和最短？我们可以利用轴对称的性质，作出点B关于的对称点B，这时对于直线l上的任一点C，都保持CB＝CB，从而把问题（2）变为问题（1）．因此，线段AB与直线l的交点C的位置即为所求．
为了说明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′．因为AB′≤AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC'+C′B，即AC+BC最小．
任务：
数学思考
（1）材料中划线部分的依据是 ．
（2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是 ．（填字母代号即可）
A．转化思想 B．分类讨论思想 C．整体思想
迁移应用
（3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝15°，点P为AC边上的动点，点D为AB边上的动点，若AB＝8cm，则BP+DP的最小值为 cm．
课后训练
1．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝ °．
2．如图，在中，，点P、Q分别是边上的动点，则的最小值等于（ ）
A．4B．C．5D．
3．如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点 M、N，使得的周长最小，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，中，垂直于点，且，在直线上方有一动点满足，则点到两点距离之和最小时， 度．
5．如图，在锐角中，，，平分，、分别是 和上 的动点，则的最小值是 ．
6．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为 ．
7．如图1，已知直线的同侧有两个点、，在直线上找一点，使点到、两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题.
（1）如图2，在平面直角坐标系内，点的坐标为，点的坐标为，动点在轴上，求的最小值；
（2）如图3，在锐角三角形中，，，的角平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值为______.
（3）如图4，，，，点，分别是射线，上的动点，则的最小值为__________.
8．如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点．
(1)______，______度；
(2)当四边形为轴对称图形时，求的长；
(3)若是等腰三角形，求的度数；
(4)若点在线段上，连接、，直接写出的值最小时的长度．
专题05 最短路径的三种考法
类型一、坐标系的最值问题（和最小，差最大问题）
例．在平面直角坐标系中，B(2，2)，以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）．
（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD．
①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；
②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；
（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．
【答案】（1）①见解析；②点C的坐标为(0，﹣4)或(0，4)；（2）2
【分析】（1）①证明△ABD≌△AOC（SAS），得出∠ABD＝∠AOC＝90°即可；
②存在两种情况：当点D落在第二象限时，作BM⊥OA于M，由等边三角形的性质得出AO＝2OM＝4，同①得△ABD≌△AOC（SAS），得出BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，得出OC＝AB＝OA＝4，则C（0，﹣4）；
当点D落在第一象限时，作BM⊥OA于M，由等边三角形的性质得出AO＝2OM＝4，同①得△ABD≌△AOC（SAS），得出BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，得出OC＝AB＝OA＝4，则C（0，4）；
（2）作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，此时OM+MN的值最小，由等边三角形的性质和勾股定理求出ON＝2即可．
【详解】解：（1）①证明：∵△OAB和△ACD是等边三角形，
∴BO＝AO＝AB，AC＝AD，∠OAB＝∠CAD＝60°，
∴∠BAD＝∠OAC，
在△ABD和△AOC中，，
∴△ABD≌△AOC（SAS），
∴∠ABD＝∠AOC＝90°，
∴AB⊥BD；
②解：存在两种情况：
当点D落在第二象限时，如图1所示：
作BM⊥OA于M，
∵B（2，2），
∴OM＝2，BM＝2，
∵△OAB是等边三角形，
∴AO＝2OM＝4，
同①得：△ABD≌△AOC（SAS），
∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，
若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，
∴OC＝AB＝OA＝4，
∴C（0，﹣4）；
当点D落在第一象限时，如图1﹣1所示：
作BM⊥OA于M，
∵B（2，2），
∴OM＝2，BM＝2，
∵△OAB是等边三角形，
∴AO＝2OM＝4，
同①得：△ABD≌△AOC（SAS），
∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，
若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，
∴OC＝AB＝OA＝4，
∴C（0，4）；
综上所述，若△ABD是等腰三角形，点C的坐标为（0，﹣4）或（0，4）；
（2）解：作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，如图2所示：
∵△OAB是等边三角形，ON'⊥AB，FB是OA边上的中线，
∴AN'＝AB＝2，BF⊥OA，BF平分∠ABO，
∵ON'⊥AB，MN⊥OB，
∴MN＝MN'，
∴N'和N关于BF对称，此时OM+MN的值最小，
∴OM+MN＝OM+MN'＝ON，
∵ON＝＝＝2，
∴OM+MN＝2；
即OM+NM的最小值为2．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及最小值问题；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
【变式训练1】如图所示，点，，且a，b满足．若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（P为顶点），连接．
(1)如图1所示，直接写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
(2)如图2所示，当点P在点O，A之间运动时，则、之间的位置关系为 ；并加以证明；
(3)如图3所示，点P在x轴上运动过程中，若所在直线与y轴交于点F，请直接写出F点的坐标为 ，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系 ．
【答案】(1)，；(2)垂直，见解析；(3)，
【分析】（1）根据非负数的性质得到，，得到，，于是得到结果；
（2）过点E作轴于H，证明，由全等三角形的性质得出，由等腰直角三角形的性质得出，证出，则可得出结论；
（3）由直角三角形的性质证出，则可得出；取点，连接、，O与G关于直线对称，连接交于E，连接，则，根据三角形的面积关系可得出．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
故答案为：，；
（2）证明：过点E作轴于H，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案为垂直；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
取点G，连接，
∵，，
∴O与G关于直线对称，连接交于E，连接，则，
此时最小，，
∵E到的距离相等，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．
【变式训练2】在平面直角坐标系中，B(2，2)，以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）．
（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD．
①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；
②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；
（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．
【答案】（1）①见解析；②点C的坐标为(0，﹣4)或(0，4)；（2）2
【详解】解：（1）①证明：∵△OAB和△ACD是等边三角形，
∴BO＝AO＝AB，AC＝AD，∠OAB＝∠CAD＝60°，
∴∠BAD＝∠OAC，在△ABD和△AOC中，，∴△ABD≌△AOC（SAS），
∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD；
②解：存在两种情况：当点D落在第二象限时，如图1所示：作BM⊥OA于M，
∵B（2，2），∴OM＝2，BM＝2，
∵△OAB是等边三角形，∴AO＝2OM＝4，
同①得：△ABD≌△AOC（SAS），∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，
若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，∴OC＝AB＝OA＝4，∴C（0，﹣4）；
当点D落在第一象限时，如图1﹣1所示：作BM⊥OA于M，
∵B（2，2），∴OM＝2，BM＝2，∵△OAB是等边三角形，∴AO＝2OM＝4，
同①得：△ABD≌△AOC（SAS），∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，
若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，∴OC＝AB＝OA＝4，∴C（0，4）；
综上所述，若△ABD是等腰三角形，点C的坐标为（0，﹣4）或（0，4）；
（2）解：作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，如图2所示：
∵△OAB是等边三角形，ON'⊥AB，FB是OA边上的中线，∴AN'＝AB＝2，BF⊥OA，BF平分∠ABO，
∵ON'⊥AB，MN⊥OB，∴MN＝MN'，
∴N'和N关于BF对称，此时OM+MN的值最小，∴OM+MN＝OM+MN'＝ON，
∵ON＝＝＝2，∴OM+MN＝2；即OM+NM的最小值为2．
类型二、几何图形中的最短路径问题
例1．如图，已知，平分，，在上，在上，在上．当取最小值时，此时的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、、、，则由轴对称知识可知，所以依据垂线段最短知：当在一条直线上，且时，取最小值，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质可以求出.
【详解】解：∵，平分，
∴，
作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、、、，
则，，，，，
∴，，，，
当在一条直线上，且时，取最小值，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D.
【点睛】本题考查了最短路径问题，等腰三角形等边对等角，直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，垂线段最短，通过作对称点化折为直是解题的关键.
例2．如图，在三角形中，，，于D，M，N分别是线段，上的动点，，当最小时， ．
【答案】
【分析】在下方作，使，连接，则最小值为，此时A、N、三点在同一直线上，推出，所以，即可得到．
【详解】解：在下方作，使，连接．
则，．
∴，
即最小值为，此时A、N、三点在同一直线上．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了最短路线问题以及等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
【变式训练1】如图，在等腰中，，，是等边三角形，P是的平分线上一动点，连接，，则的最小值为 ．
【答案】20
【分析】先确定点P是等腰对称轴上一点，再构造将军饮马模型得到的最小值为的长，从而使问题得到解决．
【详解】连接，
∵是等腰三角形，，是的角平分线，
∴所在直线为等腰对称轴，点B与点C关于对称，∴，
∴，即的最小值为的长．
∵是等边三角形，∴，∴的最小值为20．故答案为：20．
【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题，涉及等腰三角形，等边三角形的性质，确定问题是将军饮马模型问题是解题的关键．
【变式训练2】如图，等腰三角形的底边的长为4，面积为24，腰的垂直平分线分别交边，于点，，若为边的中点，为线段上一动点，则的最小值为（ ）
A．8B．10C．12D．14
【答案】C
【分析】连接，，根据，求得，根据，，得到，当A，M，D三点共线时，取得最小值，且最小值为，计算即可．
【详解】解：连接，，
∵等腰三角形的底边的长为4，面积为24，为边的中点，
∴，
∴，解得，
∵腰的垂直平分线分别交边，于点，，∴，
∵，∴，
当A，M，D三点共线时，取得最小值，且最小值为，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，线段的垂直平分线性质，三角形不等式求最值，熟练掌握三角形不等式求最值是解题的关键．
【变式训练3】如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是( )
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】D
【分析】首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），因为AF为定值，所以当AE+EF最小时，△AEF的周长最小，作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，根据等边三角形的判定和性质即可求出∠CFE的大小．
【详解】解：∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AF=CF，
∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，
∵CA=CM，∠ACM=60°，∴△ACM是等边三角形，
∵AF=CF，∴FM⊥AC，
∴∠CFE′=90°，
故选D．
【点睛】本题考查轴对称——最短距离问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），本题难度比较大，属于中考选择题中的压轴题．
【变式训练4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=4，点D是BC上一动点，以BD为边在BC的右侧作等边△BDE，F是DE的中点，连结AF，CF，则AF+CF的最小值是 .
【答案】2．
【分析】以BC为边作等边三角形BCG，连接FG，AG，作GH⊥AC交AC的延长线于H，根据等边三角形的性质得到DC=EG，根据全等三角形的性质得到FC=FG，于是得到在点D的运动过程中，AF+FC=AF+FG，而AF+FG≥AG，当F点移动到AG上时，即A，F，G三点共线时，AF+FC的最小值=AG，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】以BC为边作等边三角形BCG，连接FG，AG，
作GH⊥AC交AC的延长线于H，
∵△BDE和△BCG是等边三角形，
∴DC=EG，
∴∠FDC=∠FEG=120°，
∵DF=EF，
∴△DFC≌△EFG（SAS），
∴FC=FG，
∴在点D的运动过程中，AF+FC=AF+FG，而AF+FG≥AG，
∴当F点移动到AG上时，即A，F，G三点共线时，AF+FC的最小值=AG，
∵BC=CG=AB=2，AC=2，
在Rt△CGH中，∠GCH=30°，CG=2，∴GH=1，CH=，
∴AG= ==2，
∴AF+CF的最小值是2．
【点睛】此题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
类型三、最短路径问题的实际应用
例1.如图1，直线表示一条河的两岸，且现在要在这条河上建一座桥，桥的长度等于河宽度且桥与河岸垂直．使村庄经桥过河到村庄现在由小明、小红两位同学在图2设计两种：
小明：作，交于点，点．在处建桥．路径是．
小红：作，交于点，点；把平移至BE，连AE，交于，作于．在处建桥．路径是．
（1）在图2中，问：小明、小红谁设计的路径长较短？再用平移等知识说明理由．
（2）假设新桥就按小红的设计在处实施建造了，上游还有一座旧桥，早上10点某小船从旧桥下到新桥下，到达后立即返回，在两桥之间不停地来回行驶，船的航行方向和水流方向与桥保持垂直船在静水每小时14千米，水流每小时2千米，第二天早上6点时小明发现船在两桥之间（未到两桥）且离旧桥40千米处行驶求这两桥之间的距离．
【答案】（1）小红设计的路径更短一些，原因见解析；（2）两桥之间的距离为千米或千米或千米；
【详解】解：（1）小红设计的路径更短一些；理由如下：
连接CE，∵，且，∴为平行四边形，可得，
小红走的路线是：，
小明走的路线是：，
∵在三角形中，，,
所以小明的路线比小红的要长，
即：小红设计的路径更短一些；
（2）设小船一共走了次完整的来回，两桥之间距离为千米，
由题可得顺流所需时间为，逆流所需要的时间是，
所以一个完整来回所需时间为，次完整的来回所需时间为：；
∵小船早上点出发，第二天早上点发现，
∴小船行驶了小时；
①若小明发现小船时，船是从旧桥到新桥的，
则依题意可得：，
化简可得：，
∵为整数，且，
∴，
即：两桥之间的距离为千米；
②若小明发现小船时，船是从新桥到旧桥的，
则依题意可得：，
化简可得：，
∵为整数，且，
∴，或；
即：两桥之间的距离为千米或千米；
综上可得：两桥之间的距离为千米或千米或千米；
例2．如图a，圆柱的底面半径为，圆柱高为，是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线：
路线1：高线＋底面直径，如图a所示，设长度为．
路线2：侧面展开图中的线段，如图b所示，设长度为．
(1)你认为小明设计的哪条路线较短？请说明理由；
(2)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为，高为”继续按前面的路线进行计算．（结果保留）
①此时，路线1的长度 ，路线2的长度 ；
②所以选择哪条路线较短？试说明理由．
【答案】(1)选择路线1较短，理由见解析
(2)①8，；②选择路线2较短，理由见解析
【分析】（1）利用勾股定理计算后，比较大小即可；
（2）把条件改成：“圆柱底面半径为，高为”继续按前面的路线进行计算即可．
【详解】（1）解：剪开前，，，∴，
剪开后，，，
∴；
∵，∴即所以选择路线1较短；
（2）解：①，．
②，
∴即所以选择路线2较短．
【点睛】此题主要考查了平面展开最短路径问题，比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便，比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．注意运用类比的方法做类型题．
【变式训练】阅读下列材料，解决提出的问题：
最短路径问题:如图（1），点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在直线l上找到一个点C，使得点C到点A，点B的距离和最短？我们只需连接AB，与直线l相交于一点，可知这个交点即为所求．
如图（2），如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得这个点到点A、点B的距离和最短？我们可以利用轴对称的性质，作出点B关于的对称点B，这时对于直线l上的任一点C，都保持CB＝CB，从而把问题（2）变为问题（1）．因此，线段AB与直线l的交点C的位置即为所求．
为了说明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′．因为AB′≤AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC'+C′B，即AC+BC最小．
任务：
数学思考
（1）材料中划线部分的依据是 ．
（2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是 ．（填字母代号即可）
A．转化思想 B．分类讨论思想 C．整体思想
迁移应用
（3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝15°，点P为AC边上的动点，点D为AB边上的动点，若AB＝8cm，则BP+DP的最小值为 cm．
【答案】（1）两点之间线段最短或三角形的两边之和大于第三边；（2）A；（3）4
【详解】（1）材料中划线部分的依据是两点之间线段最短或三角形的两边之和大于第三边；
故答案为两点之间线段最短或三角形的两边之和大于第三边；
（2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是转化的思想，故答案为A．
（3）如图（3）中，作点B关于点C的对称点B′，连接AB′．作BH⊥AB′于H．
作点D关于AC的对称点D′，则PD＝PD′，
∴PB+PD＝PB+PD′，
根据垂线段最短可知，当点D′与H重合，B，P，D′共线时，PB+PD的最小值＝线段BH的长，
∵BC＝CB′，AC⊥BB′，
∴AB＝AB′，
∴∠BAC＝∠CAB′＝15°，
∴∠BAH＝30°，
在Rt△ABH中，∵AB＝8cm，∠BAH＝30°，
∴BH＝AB＝4cm，
∴PB+PD的最小值为4cm．
故答案为4．
课后训练
1．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝ °．
【答案】105°
【分析】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，将CE转化为FH，与BF在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点F的位置，即F为AC与BH的交点时，BF＋CE的值最小，求出此时∠AFB＝105°．
【详解】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AC＝BC，∠DAC＝30°，
∴AC＝CH，
∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠ACH＝90°−60°＝30°，
∴∠DAC＝∠ACH＝30°，
∵AE＝CF，
∴△AEC≌△CFH，
∴CE＝FH，BF＋CE＝BF＋FH，
∴当F为AC与BH的交点时，BF＋CE的值最小，
此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∴∠AFB＝105°，
故答案为105°.
【点睛】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当BF＋CE取得最小值时确定点F的位置，有难度．
2．如图，在中，，点P、Q分别是边上的动点，则的最小值等于（ ）
A．4B．C．5D．
【答案】D
【分析】由勾股定理可得，作A关于的对称点，过点作，交于点，交于点，根据对称可得：，得到当三点共线时，最小，再根据垂线段最短，得到时，最小，据此求解即可．
【详解】解：在中，，
∴
作A关于的对称点，过点作，交于点，交于点，
∵，
∴当三点共线时，最小，
∵垂线段最短，∴时，最小，
连接，∵关于对称，
∴，∴，
∵，
∴，即：，∴．
故选D．
【点睛】本题主要考查利用轴对称求线段和最小问题．熟练掌握通过构造轴对称解决线段和最小是解题的关键．
3．如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点 M、N，使得的周长最小，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，A关于和的对称点，，即可得出，进而得出即可得出答案．
【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，，交于M，交于N，则，即为的周长最小值．作延长线，
∵，∴，∴，
∵，，且，，
∴，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．
4．如图，中，垂直于点，且，在直线上方有一动点满足，则点到两点距离之和最小时， 度．
【答案】45
【分析】由三角形面积关系得出点在与平行，且到的距离为的直线上，作点关于直线的对称点，连接交于点，则，，此时点到两点距离之和最小，作于，则，证明是等腰直角三角形，得出，由等腰三角形的性质得出，从而即可得到答案．
【详解】解：，
点在与平行，且到的距离为的直线上，
，
作点关于直线的对称点，连接交于点，如图所示，
，
则，，此时点到两点距离之和最小，
作于，则，
，，，，
是等腰直角三角形，，，
，，，
故答案为：45．
【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形面积等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
5．如图，在锐角中，，，平分，、分别是 和上 的动点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据题意画出符合题意的图形，作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC上），求出BM+MN=BR，根据垂线段最短得出BM+MN≥BE，求出BE即可得出BM+MN的最小值.
【详解】
解：作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC上）
∵平分，△ABC是锐角三角形
∴R必在AC上
∵N关于AD的对称点是R
∴MN=MR
∴BM+MN=BM+MR
∴BM+MN=BR≥BE（垂线段最短）
∵，
∴=18
∴BE=cm
即BM+MN的最小值是cm.
故答案为.
【点睛】本题考查了轴对称——最短路径问题. 解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值.
6．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为 ．
【答案】．
【分析】作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，
【详解】解：∵B、B′关于AC的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，
∴四边形ABCB′是平行四边形，∵等边三角形ABC是边长为2，
∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，
∴AD=，BD=CD=1，BB′=2AD=，
作B′G⊥BC的延长线于G，∴B′G=AD=，
在Rt△B′BG中，BG===3，
∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2，
在Rt△B′DG中，B′D===．
故BE+ED的最小值为．
7．如图1，已知直线的同侧有两个点、，在直线上找一点，使点到、两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题.
（1）如图2，在平面直角坐标系内，点的坐标为，点的坐标为，动点在轴上，求的最小值；
（2）如图3，在锐角三角形中，，，的角平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值为______.
（3）如图4，，，，点，分别是射线，上的动点，则的最小值为__________.
【答案】（1）5；（2）；（3）13.
【分析】（1）作点A 关于x轴的对称点，连接，的最小值即为的长，并构造以为斜边的直角三角形利用勾股定理求出长即可；
（2）作于点H，交AD与点，过点作于点，则的最小值为，由角平分线的性质可得，则，根据直角三角形30度角的性质结合勾股定理求得BH长即可；
（3）作点C关于OB的对称点，作点D关于OA的对称点， 连接分别交OA、OB于点，连接，则的最小值为的长，由对称的性质可得长，根据勾股定理求出长即可.
【详解】解：（1）作点A 关于x轴的对称点，连接，的最小值即为的长，构造以为斜边的直角三角形
在中，由勾股定理得
即
所以的最小值为5.
（2）作于点H，交AD与点，过点作于点，则的最小值为，
平分，，
在中，
由勾股定理得
所以的最小值为.
（3）作点C关于OB的对称点，作点D关于OA的对称点， 连接分别交OA、OB于点，连接，则的最小值为的长.
由对称可得OA垂直平分，OB垂直平分，
在中由勾股定理得
所以的最小值为13.
【点睛】本题考查了三角形中线段和的最小值问题，灵活利用两点之间线段最短或垂线段最短将通过找对称点的方法或作垂线段的方法将线段转化到同一条直线上是解题的关键.
8．如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点．
(1)______，______度；
(2)当四边形为轴对称图形时，求的长；
(3)若是等腰三角形，求的度数；
(4)若点在线段上，连接、，直接写出的值最小时的长度．
【答案】(1)4；45
(2)
(3)或或
(4)2
【分析】（1）根据题意可得，则，即可求得AE的长，再根据平分，即可求得的度数；
（2）根据轴对称图形的性质可得答案；
（3）根据题意可得，分三种情况：，，，再结合三角形内角和定理即可求解；
（4）过点M作，点P关于CD的对称点，根据题意可得，，根据，可得，则，，因此，以此得点E，M，三点共线时，的值最小，此时，最后根据解含30度角的直角三角形即可得到结果．
【详解】（1）解：，，
，
，
点是边的中点，
平分，
，
故答案为：4；45．
（2）∵四边形为轴对称图形，平分，
∴对称轴为直线，
∴．
（3）∵平分，，
∴．
当时，，
∴；
当时，；
当时，．
综上所述，的度数为或或．
（4）如图，点M在上，且，作点P关于的对称点，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
当点E，M，三点共线时，的值最小，
又根据垂线段最短，
当时，有最小值，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查轴对称——最短路径问题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，角平分线的性质，本题综合性较强，作出辅助线，找到最短路径是解题关键．
例．在平面直角坐标系中，B(2，2)，以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）．
（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD．
①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；
②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；
（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．
【变式训练1】如图所示，点，，且a，b满足．若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（P为顶点），连接．
(1)如图1所示，直接写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
(2)如图2所示，当点P在点O，A之间运动时，则、之间的位置关系为 ；并加以证明；
(3)如图3所示，点P在x轴上运动过程中，若所在直线与y轴交于点F，请直接写出F点的坐标为 ，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系 ．
【变式训练2】在平面直角坐标系中，B(2，2)，以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）．
（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD．
①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；
②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；
（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．
类型二、几何图形中的最短路径问题
例1．如图，已知，平分，，在上，在上，在上．当取最小值时，此时的度数为（ ）
A．B．C．D．
例2．如图，在三角形中，，，于D，M，N分别是线段，上的动点，，当最小时， ．
【变式训练1】如图，在等腰中，，，是等边三角形，P是的平分线上一动点，连接，，则的最小值为 ．
【变式训练2】如图，等腰三角形的底边的长为4，面积为24，腰的垂直平分线分别交边，于点，，若为边的中点，为线段上一动点，则的最小值为（ ）
A．8B．10C．12D．14
【变式训练3】如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是( )
A．30°B．45°C．60°D．90°
【变式训练4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=4，点D是BC上一动点，以BD为边在BC的右侧作等边△BDE，F是DE的中点，连结AF，CF，则AF+CF的最小值是 .
类型三、最短路径问题的实际应用
例1.如图1，直线表示一条河的两岸，且现在要在这条河上建一座桥，桥的长度等于河宽度且桥与河岸垂直．使村庄经桥过河到村庄现在由小明、小红两位同学在图2设计两种：
小明：作，交于点，点．在处建桥．路径是．
小红：作，交于点，点；把平移至BE，连AE，交于，作于．在处建桥．路径是．
（1）在图2中，问：小明、小红谁设计的路径长较短？再用平移等知识说明理由．
（2）假设新桥就按小红的设计在处实施建造了，上游还有一座旧桥，早上10点某小船从旧桥下到新桥下，到达后立即返回，在两桥之间不停地来回行驶，船的航行方向和水流方向与桥保持垂直船在静水每小时14千米，水流每小时2千米，第二天早上6点时小明发现船在两桥之间（未到两桥）且离旧桥40千米处行驶求这两桥之间的距离．
例2．如图a，圆柱的底面半径为，圆柱高为，是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线：
路线1：高线＋底面直径，如图a所示，设长度为．
路线2：侧面展开图中的线段，如图b所示，设长度为．
(1)你认为小明设计的哪条路线较短？请说明理由；
(2)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为，高为”继续按前面的路线进行计算．（结果保留）
①此时，路线1的长度 ，路线2的长度 ；
②所以选择哪条路线较短？试说明理由．
【变式训练】阅读下列材料，解决提出的问题：
最短路径问题:如图（1），点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在直线l上找到一个点C，使得点C到点A，点B的距离和最短？我们只需连接AB，与直线l相交于一点，可知这个交点即为所求．
如图（2），如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得这个点到点A、点B的距离和最短？我们可以利用轴对称的性质，作出点B关于的对称点B，这时对于直线l上的任一点C，都保持CB＝CB，从而把问题（2）变为问题（1）．因此，线段AB与直线l的交点C的位置即为所求．
为了说明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′．因为AB′≤AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC'+C′B，即AC+BC最小．
任务：
数学思考
（1）材料中划线部分的依据是 ．
（2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是 ．（填字母代号即可）
A．转化思想 B．分类讨论思想 C．整体思想
迁移应用
（3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝15°，点P为AC边上的动点，点D为AB边上的动点，若AB＝8cm，则BP+DP的最小值为 cm．
课后训练
1．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝ °．
2．如图，在中，，点P、Q分别是边上的动点，则的最小值等于（ ）
A．4B．C．5D．
3．如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点 M、N，使得的周长最小，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，中，垂直于点，且，在直线上方有一动点满足，则点到两点距离之和最小时， 度．
5．如图，在锐角中，，，平分，、分别是 和上 的动点，则的最小值是 ．
6．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为 ．
7．如图1，已知直线的同侧有两个点、，在直线上找一点，使点到、两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题.
（1）如图2，在平面直角坐标系内，点的坐标为，点的坐标为，动点在轴上，求的最小值；
（2）如图3，在锐角三角形中，，，的角平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值为______.
（3）如图4，，，，点，分别是射线，上的动点，则的最小值为__________.
8．如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点．
(1)______，______度；
(2)当四边形为轴对称图形时，求的长；
(3)若是等腰三角形，求的度数；
(4)若点在线段上，连接、，直接写出的值最小时的长度．
专题05 最短路径的三种考法
类型一、坐标系的最值问题（和最小，差最大问题）
例．在平面直角坐标系中，B(2，2)，以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）．
（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD．
①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；
②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；
（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．
【答案】（1）①见解析；②点C的坐标为(0，﹣4)或(0，4)；（2）2
【分析】（1）①证明△ABD≌△AOC（SAS），得出∠ABD＝∠AOC＝90°即可；
②存在两种情况：当点D落在第二象限时，作BM⊥OA于M，由等边三角形的性质得出AO＝2OM＝4，同①得△ABD≌△AOC（SAS），得出BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，得出OC＝AB＝OA＝4，则C（0，﹣4）；
当点D落在第一象限时，作BM⊥OA于M，由等边三角形的性质得出AO＝2OM＝4，同①得△ABD≌△AOC（SAS），得出BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，得出OC＝AB＝OA＝4，则C（0，4）；
（2）作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，此时OM+MN的值最小，由等边三角形的性质和勾股定理求出ON＝2即可．
【详解】解：（1）①证明：∵△OAB和△ACD是等边三角形，
∴BO＝AO＝AB，AC＝AD，∠OAB＝∠CAD＝60°，
∴∠BAD＝∠OAC，
在△ABD和△AOC中，，
∴△ABD≌△AOC（SAS），
∴∠ABD＝∠AOC＝90°，
∴AB⊥BD；
②解：存在两种情况：
当点D落在第二象限时，如图1所示：
作BM⊥OA于M，
∵B（2，2），
∴OM＝2，BM＝2，
∵△OAB是等边三角形，
∴AO＝2OM＝4，
同①得：△ABD≌△AOC（SAS），
∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，
若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，
∴OC＝AB＝OA＝4，
∴C（0，﹣4）；
当点D落在第一象限时，如图1﹣1所示：
作BM⊥OA于M，
∵B（2，2），
∴OM＝2，BM＝2，
∵△OAB是等边三角形，
∴AO＝2OM＝4，
同①得：△ABD≌△AOC（SAS），
∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，
若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，
∴OC＝AB＝OA＝4，
∴C（0，4）；
综上所述，若△ABD是等腰三角形，点C的坐标为（0，﹣4）或（0，4）；
（2）解：作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，如图2所示：
∵△OAB是等边三角形，ON'⊥AB，FB是OA边上的中线，
∴AN'＝AB＝2，BF⊥OA，BF平分∠ABO，
∵ON'⊥AB，MN⊥OB，
∴MN＝MN'，
∴N'和N关于BF对称，此时OM+MN的值最小，
∴OM+MN＝OM+MN'＝ON，
∵ON＝＝＝2，
∴OM+MN＝2；
即OM+NM的最小值为2．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及最小值问题；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
【变式训练1】如图所示，点，，且a，b满足．若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（P为顶点），连接．
(1)如图1所示，直接写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
(2)如图2所示，当点P在点O，A之间运动时，则、之间的位置关系为 ；并加以证明；
(3)如图3所示，点P在x轴上运动过程中，若所在直线与y轴交于点F，请直接写出F点的坐标为 ，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系 ．
【答案】(1)，；(2)垂直，见解析；(3)，
【分析】（1）根据非负数的性质得到，，得到，，于是得到结果；
（2）过点E作轴于H，证明，由全等三角形的性质得出，由等腰直角三角形的性质得出，证出，则可得出结论；
（3）由直角三角形的性质证出，则可得出；取点，连接、，O与G关于直线对称，连接交于E，连接，则，根据三角形的面积关系可得出．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
故答案为：，；
（2）证明：过点E作轴于H，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案为垂直；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
取点G，连接，
∵，，
∴O与G关于直线对称，连接交于E，连接，则，
此时最小，，
∵E到的距离相等，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．
【变式训练2】在平面直角坐标系中，B(2，2)，以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）．
（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD．
①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；
②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；
（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．
【答案】（1）①见解析；②点C的坐标为(0，﹣4)或(0，4)；（2）2
【详解】解：（1）①证明：∵△OAB和△ACD是等边三角形，
∴BO＝AO＝AB，AC＝AD，∠OAB＝∠CAD＝60°，
∴∠BAD＝∠OAC，在△ABD和△AOC中，，∴△ABD≌△AOC（SAS），
∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD；
②解：存在两种情况：当点D落在第二象限时，如图1所示：作BM⊥OA于M，
∵B（2，2），∴OM＝2，BM＝2，
∵△OAB是等边三角形，∴AO＝2OM＝4，
同①得：△ABD≌△AOC（SAS），∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，
若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，∴OC＝AB＝OA＝4，∴C（0，﹣4）；
当点D落在第一象限时，如图1﹣1所示：作BM⊥OA于M，
∵B（2，2），∴OM＝2，BM＝2，∵△OAB是等边三角形，∴AO＝2OM＝4，
同①得：△ABD≌△AOC（SAS），∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，
若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，∴OC＝AB＝OA＝4，∴C（0，4）；
综上所述，若△ABD是等腰三角形，点C的坐标为（0，﹣4）或（0，4）；
（2）解：作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，如图2所示：
∵△OAB是等边三角形，ON'⊥AB，FB是OA边上的中线，∴AN'＝AB＝2，BF⊥OA，BF平分∠ABO，
∵ON'⊥AB，MN⊥OB，∴MN＝MN'，
∴N'和N关于BF对称，此时OM+MN的值最小，∴OM+MN＝OM+MN'＝ON，
∵ON＝＝＝2，∴OM+MN＝2；即OM+NM的最小值为2．
类型二、几何图形中的最短路径问题
例1．如图，已知，平分，，在上，在上，在上．当取最小值时，此时的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、、、，则由轴对称知识可知，所以依据垂线段最短知：当在一条直线上，且时，取最小值，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质可以求出.
【详解】解：∵，平分，
∴，
作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、、、，
则，，，，，
∴，，，，
当在一条直线上，且时，取最小值，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D.
【点睛】本题考查了最短路径问题，等腰三角形等边对等角，直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，垂线段最短，通过作对称点化折为直是解题的关键.
例2．如图，在三角形中，，，于D，M，N分别是线段，上的动点，，当最小时， ．
【答案】
【分析】在下方作，使，连接，则最小值为，此时A、N、三点在同一直线上，推出，所以，即可得到．
【详解】解：在下方作，使，连接．
则，．
∴，
即最小值为，此时A、N、三点在同一直线上．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了最短路线问题以及等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
【变式训练1】如图，在等腰中，，，是等边三角形，P是的平分线上一动点，连接，，则的最小值为 ．
【答案】20
【分析】先确定点P是等腰对称轴上一点，再构造将军饮马模型得到的最小值为的长，从而使问题得到解决．
【详解】连接，
∵是等腰三角形，，是的角平分线，
∴所在直线为等腰对称轴，点B与点C关于对称，∴，
∴，即的最小值为的长．
∵是等边三角形，∴，∴的最小值为20．故答案为：20．
【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题，涉及等腰三角形，等边三角形的性质，确定问题是将军饮马模型问题是解题的关键．
【变式训练2】如图，等腰三角形的底边的长为4，面积为24，腰的垂直平分线分别交边，于点，，若为边的中点，为线段上一动点，则的最小值为（ ）
A．8B．10C．12D．14
【答案】C
【分析】连接，，根据，求得，根据，，得到，当A，M，D三点共线时，取得最小值，且最小值为，计算即可．
【详解】解：连接，，
∵等腰三角形的底边的长为4，面积为24，为边的中点，
∴，
∴，解得，
∵腰的垂直平分线分别交边，于点，，∴，
∵，∴，
当A，M，D三点共线时，取得最小值，且最小值为，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，线段的垂直平分线性质，三角形不等式求最值，熟练掌握三角形不等式求最值是解题的关键．
【变式训练3】如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是( )
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】D
【分析】首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），因为AF为定值，所以当AE+EF最小时，△AEF的周长最小，作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，根据等边三角形的判定和性质即可求出∠CFE的大小．
【详解】解：∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AF=CF，
∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，
∵CA=CM，∠ACM=60°，∴△ACM是等边三角形，
∵AF=CF，∴FM⊥AC，
∴∠CFE′=90°，
故选D．
【点睛】本题考查轴对称——最短距离问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），本题难度比较大，属于中考选择题中的压轴题．
【变式训练4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=4，点D是BC上一动点，以BD为边在BC的右侧作等边△BDE，F是DE的中点，连结AF，CF，则AF+CF的最小值是 .
【答案】2．
【分析】以BC为边作等边三角形BCG，连接FG，AG，作GH⊥AC交AC的延长线于H，根据等边三角形的性质得到DC=EG，根据全等三角形的性质得到FC=FG，于是得到在点D的运动过程中，AF+FC=AF+FG，而AF+FG≥AG，当F点移动到AG上时，即A，F，G三点共线时，AF+FC的最小值=AG，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】以BC为边作等边三角形BCG，连接FG，AG，
作GH⊥AC交AC的延长线于H，
∵△BDE和△BCG是等边三角形，
∴DC=EG，
∴∠FDC=∠FEG=120°，
∵DF=EF，
∴△DFC≌△EFG（SAS），
∴FC=FG，
∴在点D的运动过程中，AF+FC=AF+FG，而AF+FG≥AG，
∴当F点移动到AG上时，即A，F，G三点共线时，AF+FC的最小值=AG，
∵BC=CG=AB=2，AC=2，
在Rt△CGH中，∠GCH=30°，CG=2，∴GH=1，CH=，
∴AG= ==2，
∴AF+CF的最小值是2．
【点睛】此题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
类型三、最短路径问题的实际应用
例1.如图1，直线表示一条河的两岸，且现在要在这条河上建一座桥，桥的长度等于河宽度且桥与河岸垂直．使村庄经桥过河到村庄现在由小明、小红两位同学在图2设计两种：
小明：作，交于点，点．在处建桥．路径是．
小红：作，交于点，点；把平移至BE，连AE，交于，作于．在处建桥．路径是．
（1）在图2中，问：小明、小红谁设计的路径长较短？再用平移等知识说明理由．
（2）假设新桥就按小红的设计在处实施建造了，上游还有一座旧桥，早上10点某小船从旧桥下到新桥下，到达后立即返回，在两桥之间不停地来回行驶，船的航行方向和水流方向与桥保持垂直船在静水每小时14千米，水流每小时2千米，第二天早上6点时小明发现船在两桥之间（未到两桥）且离旧桥40千米处行驶求这两桥之间的距离．
【答案】（1）小红设计的路径更短一些，原因见解析；（2）两桥之间的距离为千米或千米或千米；
【详解】解：（1）小红设计的路径更短一些；理由如下：
连接CE，∵，且，∴为平行四边形，可得，
小红走的路线是：，
小明走的路线是：，
∵在三角形中，，,
所以小明的路线比小红的要长，
即：小红设计的路径更短一些；
（2）设小船一共走了次完整的来回，两桥之间距离为千米，
由题可得顺流所需时间为，逆流所需要的时间是，
所以一个完整来回所需时间为，次完整的来回所需时间为：；
∵小船早上点出发，第二天早上点发现，
∴小船行驶了小时；
①若小明发现小船时，船是从旧桥到新桥的，
则依题意可得：，
化简可得：，
∵为整数，且，
∴，
即：两桥之间的距离为千米；
②若小明发现小船时，船是从新桥到旧桥的，
则依题意可得：，
化简可得：，
∵为整数，且，
∴，或；
即：两桥之间的距离为千米或千米；
综上可得：两桥之间的距离为千米或千米或千米；
例2．如图a，圆柱的底面半径为，圆柱高为，是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线：
路线1：高线＋底面直径，如图a所示，设长度为．
路线2：侧面展开图中的线段，如图b所示，设长度为．
(1)你认为小明设计的哪条路线较短？请说明理由；
(2)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为，高为”继续按前面的路线进行计算．（结果保留）
①此时，路线1的长度 ，路线2的长度 ；
②所以选择哪条路线较短？试说明理由．
【答案】(1)选择路线1较短，理由见解析
(2)①8，；②选择路线2较短，理由见解析
【分析】（1）利用勾股定理计算后，比较大小即可；
（2）把条件改成：“圆柱底面半径为，高为”继续按前面的路线进行计算即可．
【详解】（1）解：剪开前，，，∴，
剪开后，，，
∴；
∵，∴即所以选择路线1较短；
（2）解：①，．
②，
∴即所以选择路线2较短．
【点睛】此题主要考查了平面展开最短路径问题，比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便，比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．注意运用类比的方法做类型题．
【变式训练】阅读下列材料，解决提出的问题：
最短路径问题:如图（1），点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在直线l上找到一个点C，使得点C到点A，点B的距离和最短？我们只需连接AB，与直线l相交于一点，可知这个交点即为所求．
如图（2），如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得这个点到点A、点B的距离和最短？我们可以利用轴对称的性质，作出点B关于的对称点B，这时对于直线l上的任一点C，都保持CB＝CB，从而把问题（2）变为问题（1）．因此，线段AB与直线l的交点C的位置即为所求．
为了说明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′．因为AB′≤AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC'+C′B，即AC+BC最小．
任务：
数学思考
（1）材料中划线部分的依据是 ．
（2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是 ．（填字母代号即可）
A．转化思想 B．分类讨论思想 C．整体思想
迁移应用
（3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝15°，点P为AC边上的动点，点D为AB边上的动点，若AB＝8cm，则BP+DP的最小值为 cm．
【答案】（1）两点之间线段最短或三角形的两边之和大于第三边；（2）A；（3）4
【详解】（1）材料中划线部分的依据是两点之间线段最短或三角形的两边之和大于第三边；
故答案为两点之间线段最短或三角形的两边之和大于第三边；
（2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是转化的思想，故答案为A．
（3）如图（3）中，作点B关于点C的对称点B′，连接AB′．作BH⊥AB′于H．
作点D关于AC的对称点D′，则PD＝PD′，
∴PB+PD＝PB+PD′，
根据垂线段最短可知，当点D′与H重合，B，P，D′共线时，PB+PD的最小值＝线段BH的长，
∵BC＝CB′，AC⊥BB′，
∴AB＝AB′，
∴∠BAC＝∠CAB′＝15°，
∴∠BAH＝30°，
在Rt△ABH中，∵AB＝8cm，∠BAH＝30°，
∴BH＝AB＝4cm，
∴PB+PD的最小值为4cm．
故答案为4．
课后训练
1．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝ °．
【答案】105°
【分析】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，将CE转化为FH，与BF在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点F的位置，即F为AC与BH的交点时，BF＋CE的值最小，求出此时∠AFB＝105°．
【详解】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AC＝BC，∠DAC＝30°，
∴AC＝CH，
∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠ACH＝90°−60°＝30°，
∴∠DAC＝∠ACH＝30°，
∵AE＝CF，
∴△AEC≌△CFH，
∴CE＝FH，BF＋CE＝BF＋FH，
∴当F为AC与BH的交点时，BF＋CE的值最小，
此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∴∠AFB＝105°，
故答案为105°.
【点睛】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当BF＋CE取得最小值时确定点F的位置，有难度．
2．如图，在中，，点P、Q分别是边上的动点，则的最小值等于（ ）
A．4B．C．5D．
【答案】D
【分析】由勾股定理可得，作A关于的对称点，过点作，交于点，交于点，根据对称可得：，得到当三点共线时，最小，再根据垂线段最短，得到时，最小，据此求解即可．
【详解】解：在中，，
∴
作A关于的对称点，过点作，交于点，交于点，
∵，
∴当三点共线时，最小，
∵垂线段最短，∴时，最小，
连接，∵关于对称，
∴，∴，
∵，
∴，即：，∴．
故选D．
【点睛】本题主要考查利用轴对称求线段和最小问题．熟练掌握通过构造轴对称解决线段和最小是解题的关键．
3．如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点 M、N，使得的周长最小，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，A关于和的对称点，，即可得出，进而得出即可得出答案．
【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，，交于M，交于N，则，即为的周长最小值．作延长线，
∵，∴，∴，
∵，，且，，
∴，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．
4．如图，中，垂直于点，且，在直线上方有一动点满足，则点到两点距离之和最小时， 度．
【答案】45
【分析】由三角形面积关系得出点在与平行，且到的距离为的直线上，作点关于直线的对称点，连接交于点，则，，此时点到两点距离之和最小，作于，则，证明是等腰直角三角形，得出，由等腰三角形的性质得出，从而即可得到答案．
【详解】解：，
点在与平行，且到的距离为的直线上，
，
作点关于直线的对称点，连接交于点，如图所示，
，
则，，此时点到两点距离之和最小，
作于，则，
，，，，
是等腰直角三角形，，，
，，，
故答案为：45．
【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形面积等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
5．如图，在锐角中，，，平分，、分别是 和上 的动点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据题意画出符合题意的图形，作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC上），求出BM+MN=BR，根据垂线段最短得出BM+MN≥BE，求出BE即可得出BM+MN的最小值.
【详解】
解：作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC上）
∵平分，△ABC是锐角三角形
∴R必在AC上
∵N关于AD的对称点是R
∴MN=MR
∴BM+MN=BM+MR
∴BM+MN=BR≥BE（垂线段最短）
∵，
∴=18
∴BE=cm
即BM+MN的最小值是cm.
故答案为.
【点睛】本题考查了轴对称——最短路径问题. 解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值.
6．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为 ．
【答案】．
【分析】作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，
【详解】解：∵B、B′关于AC的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，
∴四边形ABCB′是平行四边形，∵等边三角形ABC是边长为2，
∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，
∴AD=，BD=CD=1，BB′=2AD=，
作B′G⊥BC的延长线于G，∴B′G=AD=，
在Rt△B′BG中，BG===3，
∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2，
在Rt△B′DG中，B′D===．
故BE+ED的最小值为．
7．如图1，已知直线的同侧有两个点、，在直线上找一点，使点到、两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题.
（1）如图2，在平面直角坐标系内，点的坐标为，点的坐标为，动点在轴上，求的最小值；
（2）如图3，在锐角三角形中，，，的角平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值为______.
（3）如图4，，，，点，分别是射线，上的动点，则的最小值为__________.
【答案】（1）5；（2）；（3）13.
【分析】（1）作点A 关于x轴的对称点，连接，的最小值即为的长，并构造以为斜边的直角三角形利用勾股定理求出长即可；
（2）作于点H，交AD与点，过点作于点，则的最小值为，由角平分线的性质可得，则，根据直角三角形30度角的性质结合勾股定理求得BH长即可；
（3）作点C关于OB的对称点，作点D关于OA的对称点， 连接分别交OA、OB于点，连接，则的最小值为的长，由对称的性质可得长，根据勾股定理求出长即可.
【详解】解：（1）作点A 关于x轴的对称点，连接，的最小值即为的长，构造以为斜边的直角三角形
在中，由勾股定理得
即
所以的最小值为5.
（2）作于点H，交AD与点，过点作于点，则的最小值为，
平分，，
在中，
由勾股定理得
所以的最小值为.
（3）作点C关于OB的对称点，作点D关于OA的对称点， 连接分别交OA、OB于点，连接，则的最小值为的长.
由对称可得OA垂直平分，OB垂直平分，
在中由勾股定理得
所以的最小值为13.
【点睛】本题考查了三角形中线段和的最小值问题，灵活利用两点之间线段最短或垂线段最短将通过找对称点的方法或作垂线段的方法将线段转化到同一条直线上是解题的关键.
8．如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点．
(1)______，______度；
(2)当四边形为轴对称图形时，求的长；
(3)若是等腰三角形，求的度数；
(4)若点在线段上，连接、，直接写出的值最小时的长度．
【答案】(1)4；45
(2)
(3)或或
(4)2
【分析】（1）根据题意可得，则，即可求得AE的长，再根据平分，即可求得的度数；
（2）根据轴对称图形的性质可得答案；
（3）根据题意可得，分三种情况：，，，再结合三角形内角和定理即可求解；
（4）过点M作，点P关于CD的对称点，根据题意可得，，根据，可得，则，，因此，以此得点E，M，三点共线时，的值最小，此时，最后根据解含30度角的直角三角形即可得到结果．
【详解】（1）解：，，
，
，
点是边的中点，
平分，
，
故答案为：4；45．
（2）∵四边形为轴对称图形，平分，
∴对称轴为直线，
∴．
（3）∵平分，，
∴．
当时，，
∴；
当时，；
当时，．
综上所述，的度数为或或．
（4）如图，点M在上，且，作点P关于的对称点，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
当点E，M，三点共线时，的值最小，
又根据垂线段最短，
当时，有最小值，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查轴对称——最短路径问题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，角平分线的性质，本题综合性较强，作出辅助线，找到最短路径是解题关键．
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