人教版八年级数学上册专题08因式分解压轴题的四种考法(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册专题08因式分解压轴题的四种考法(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了整体法，化简求值，新定义问题等内容，欢迎下载使用。
例．如果因式分解的结果为 ．
【变式训练1】因式分解：
(1)
(2)
【变式训练2】．因式分解：
(1)；
(2)．
(3)．
【变式训练3】．若是完全平方式，则的值为多少？
类型二、添、拆项
例．分解因式；．x3﹣3x2﹣6x+8=_______．
【变式训练1】把多项式分解因式：x3﹣2x2+1＝_________________．
【变式训练2】因式分解：
【变式训练3】添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式可以用如下方法分解因式：
①；
又比如多项式可以这样分解：
②；
仿照以上方法，分解多项式的结果是______．
类型三、化简求值
例．已知，且，则 -的值为（ ）
A．2022B．-2022C．4044D．-4044
【变式训练1】．已知，，那么 ， ．
【变式训练2】已知，且互不相等，则 ．
【变式训练3】．若，，那么式子的值为 ．
类型四、新定义问题
例．材料一：若一个两位数满足这个两位数等于它的各位数字之和的4倍，则称这个两位数为“宁静数”．例如：12是“宁静数”，，12是“宁静数”；34不是“宁静数”，，34不是“宁静数”．
材料二：一个四位自然数，将其千位数字与十位数字组成的两位数记作，将其百位数字与个位数字组成的两位数记作，若和都均为“宁静数”，则称为“致远数”，将千位数字与十位数字交换位置，百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的四位数，记．
(1)判断12是否为“宁静数”，3469是否是“致远数”？并说明理由；
(2)若一个四位自然数是“致远数”，且与9的和能被4整除，请求出所有符合条件的“致远数”．
【变式训练1】．阅读：证明命题“一个三位数各位数字之和可以被3整除，则这个数就可以被3整除”．
设表示一个三位数，
则
因为能被3整除，如果也能被3整除，那么就能被3整除．
(1)①一个四位数，如果能被9整除，证明能被9整除；
②若一个五位数能被9整除，则______；
(2)若一个三位数的各位数字是任意三个连续的正整数，则的最小正因数一定是______（数字“1”除外）；
(3)由数字1至9组成的一个九位数，这个数的第一位能被1整除，前两位组成的两位数能被2整除，前三位组成的三位数能被3整除，以此类推，一直到整个九位数能被9整除，写出这个九位数是______．
【变式训练2】．在平面直角坐标系中，我们称横纵坐标都是整数的点为整点，若坐标系内两个整点、满足关于的多项式能够因式分解为，则称点是的分解点．例如、满足，所以是的分解点．
(1)在点、、中，请找出不存在分解点的点：______．
(2)点、在纵轴上在的上方，点在横轴上，且点、、都存在分解点，若面积为，请直接写出满足条件的的个数及每个三角形的顶点坐标．
课后训练
1．因式分解： ．
2．如果为完全平方数，则正整数n为 ．
3．分解因式： ．
4．分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
5．已知三次四项式分解因式后有一个因式是，试求的值及另一个因式．
6．对任意一个三位数m，如果其个位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字，则称m为“开心数”．现将m的个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个新数，并规定．
例如：143是一个“开心数”，将其个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个新数，所以．
(1) ， ；
(2)若是8的倍数，则称这样的m为“幸运开心数”，求出所有的“幸运开心数”．
专题08 因式分解压轴题的四种考法
类型一、整体法
例．如果因式分解的结果为 ．
【答案】
【分析】把当成一个整体，再因式分解即可．
【详解】原式
故答案为：．
【点睛】题目主要考查利用整体法及公式法进行因式分解，理解题中的整体思想是解题关键．
【变式训练1】因式分解：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将和分别看作一个整体，利用十字相乘法因式分解，再利用提公因式法因式分解，最后利用公式法中的完全平方公式因式分解；
（2）原式是关于x、y、z的轮换式，若将原式视为关于x的多项式，则当x=y时，原式=0，故原式含有因子，又因为原式是关于x，y，z的轮换对称式，故原式还含因子，，又因为原式为x，y，z的五次式，因此可以设，利用待定系数法即可求解．
【详解】（1）解：

（2）解：当时，原式等于0，故原式含有因子，
又因为原式是关于x，y，z的轮换对称式，故原式还含因子，，
又因为原式为x，y，z的五次式，故可设
令，，得，
令，，得，
解得，，
所以．
【点睛】本题主要考查了十字相乘法、提公因式法、公式法以及待定系数法，熟练掌握和运用这些方法因式分解是解题的关键．
【变式训练2】．因式分解：
(1)；
(2)．
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解；
（2）先用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解；
（3）先把看成一个整体，利用完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式进行分解．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）．
【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式，整体思想，是解决本题的关键．
【变式训练3】．若是完全平方式，则的值为多少？
【答案】.
【分析】首先把分类整理为，再进一步利用多项式乘法计算展开，把看作整体，在配方成完全平方式，进一步探讨即可得出答案．
【详解】
∴，
即.
【点睛】此题考查完全平方式的运用，注意常数项是一次项系数一半的平方．
类型二、添、拆项
例．分解因式；．x3﹣3x2﹣6x+8=_______．
【答案】（x﹣4）（x﹣1）（x+2）
【详解】解：x3﹣3x2﹣6x+8=
===
==（x﹣4）（x﹣1）（x+2），
故答案为：（x﹣4）（x﹣1）（x+2）．
【变式训练1】把多项式分解因式：x3﹣2x2+1＝_________________．
【答案】(x﹣1)(x2﹣x﹣1)
【详解】解：原式＝x3﹣x2﹣x2+1＝x2(x﹣1)﹣(x+1)(x﹣1)＝(x﹣1)(x2﹣x﹣1)
故答案为：(x﹣1)(x2﹣x﹣1)
【变式训练2】因式分解：
【答案】
【详解】原式．
故答案为：
【变式训练3】添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式可以用如下方法分解因式：
①；
又比如多项式可以这样分解：
②；
仿照以上方法，分解多项式的结果是______．
【答案】
【详解】解：
，
故答案为：
类型三、化简求值
例．已知，且，则 -的值为（ ）
A．2022B．-2022C．4044D．-4044
【答案】A
【分析】先将式子整理变形得，进而得出，即，再将展开，最后整理代入即可得出答案．
【详解】因为，
所以，
整理，得，
则，
即．
因为，
所以，
即．
由，得，
所以．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键．
【变式训练1】．已知，，那么 ， ．
【答案】 -1 0
【分析】由条件可以变形为，因式分解从而可以求出其值；，可以得出，．所以从而得出结论．
【详解】解：∵，，
∴
∴，
∴，
∴
∴
∵m≠2n，
∴
∴m＋2n＝−1；
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
故答案是：−1；0．
【点睛】本题考查了因式分解在整式计算求值中运用和技巧，将原式进行适当的变形，灵活运用因式分解是解题的关键．
【变式训练2】已知，且互不相等，则 ．
【答案】
【分析】通过已知条件，找到的关系：，，，即可获得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了代数式求值以及因式分解等知识，利用已知条件找到是解题关键．
【变式训练3】．若，，那么式子的值为 ．
【答案】
【分析】把两个等式相减化简后可得，再把中的拆成，再分别与前后两项重新组合，提公因式后把两个已知等式代入，即可解决．
【详解】∵，
∴
即
∵
∴






故答案为：−2020
【点睛】本题考查了因式分解的应用，用到了一种变形：拆项，这也是本题的难点所在．
类型四、新定义问题
例．材料一：若一个两位数满足这个两位数等于它的各位数字之和的4倍，则称这个两位数为“宁静数”．例如：12是“宁静数”，，12是“宁静数”；34不是“宁静数”，，34不是“宁静数”．
材料二：一个四位自然数，将其千位数字与十位数字组成的两位数记作，将其百位数字与个位数字组成的两位数记作，若和都均为“宁静数”，则称为“致远数”，将千位数字与十位数字交换位置，百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的四位数，记．
(1)判断12是否为“宁静数”，3469是否是“致远数”？并说明理由；
(2)若一个四位自然数是“致远数”，且与9的和能被4整除，请求出所有符合条件的“致远数”．
【答案】(1)12是“宁静数”，3469不是“致远数”，理由见解析
(2)1122，3162，2346，4386
【分析】（1）根据“宁静数”和“致远数”的定义判断即可；
（2）根据新定义，求出，由题意可得出，的取值，即可求解．
【详解】（1）解：12是“宁静数”，3469不是“致远数”，理由如下：
，
12是“宁静数”；
在3469中，，，，，
，，
3469不是“致远数”；
（2）解：设四位自然数，且，，，不为0，则，
是“致远数”，
，，
，，
，
“宁静数”必为4的倍数且是两位数，
“宁静数”有12，24，36，48，
、可以是1，2，3，4，
又与9的和能被4整除，即是偶数，
或3，
①当时，或3，
对应的致远数有：1122，3162，
②当时，或4，
对应的致远数为：2346，4386，
综上所述，符合条件的“致远数”有：1122，3162，2346，4386．
【点睛】本题考查了新定义，因式分解的应用，解题的关键是正确理解新定义．
【变式训练1】．阅读：证明命题“一个三位数各位数字之和可以被3整除，则这个数就可以被3整除”．
设表示一个三位数，
则
因为能被3整除，如果也能被3整除，那么就能被3整除．
(1)①一个四位数，如果能被9整除，证明能被9整除；
②若一个五位数能被9整除，则______；
(2)若一个三位数的各位数字是任意三个连续的正整数，则的最小正因数一定是______（数字“1”除外）；
(3)由数字1至9组成的一个九位数，这个数的第一位能被1整除，前两位组成的两位数能被2整除，前三位组成的三位数能被3整除，以此类推，一直到整个九位数能被9整除，写出这个九位数是______．
【答案】(1)①见解析；②1
(2)3
(3)381654729
【分析】（1）①首先把四位数改写成，由能被9整除，能被9整除，即可得出结论；②首先把五位数改写成，然后根据这个五位数能被9整除得能被9整除，即可求得答案；
（2）假设，则三位数，据此可得出答案；
（3）由能被1整除，可得为质数，由四位数能被4整除，可得两位数能被4整除，则，由九位数中已有7，9，可得，由五位数能被5整除，可得末尾数字，从而得到，由八位数能被8整除，可得三位数能被8整除，从而得到，从而得到对应，由为质数可得，由能被2整除可得，从而得到，即可得到答案．
【详解】（1）①证明：∵是一个四位数，
能被9整除，能被9整除，
四位数能被9整除；
②解：是一个五位数，
，
五位数能被9整除，
能被9整除，
，
故答案为：1；
（2）解：三位数的各位数字是任意三个连续的正整数，
不妨假设，
，
三位数的最小正因数一定是3，
故答案为：3；
（3）解：均为0至9之间的整数
由能被1整除，可得为质数，
由四位数能被4整除，可得两位数能被4整除，则，
由九位数中已有7，9，可得，
由五位数能被5整除，可得末尾数字，从而得到，
由八位数能被8整除，可得三位数能被8整除，从而得到，
这时的九位数为：，
对应，
为质数，
，
两位数能被2整除，且，
，
，
这个九位数时：381654729，
故答案为：381654729．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，数的整除特征，熟练掌握因式分解的方法，理解整除数的特征是解答此题的关键．
【变式训练3】．在平面直角坐标系中，我们称横纵坐标都是整数的点为整点，若坐标系内两个整点、满足关于的多项式能够因式分解为，则称点是的分解点．例如、满足，所以是的分解点．
(1)在点、、中，请找出不存在分解点的点：______．
(2)点、在纵轴上在的上方，点在横轴上，且点、、都存在分解点，若面积为，请直接写出满足条件的的个数及每个三角形的顶点坐标．
【答案】(1)
(2)的个数为，，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，
【分析】（1）根据题意分别求解，，的分解点即可；
（2）首先表示出，的纵坐标，和的长度，由面积为推出，根据在的上方，得到，，同法可求其余的点．
【详解】（1）解：对于，，故是的分解点；
对于，，故是的分解点；
无法分解，点不存在分解点，故答案为：；
（2），在纵轴上，、的横坐标为，
，都存在分解点，
两点坐标满足关于的多项式能够因式分解为，
，的纵坐标只能负数，而且能分解（可用平方差公式分解），
的面积为，且点在横轴上，，，
的长度可能为，，，，，，的长度可能为，，，，，，
当的长度为，时，的长度为或，此时不存在有分解点的，，
，的纵坐标只能是，，，，的长度可能为，，，，
当时，，
在的上方，，，
同法当时，可得，，
当时，可得，；
当时，可得，；
当时，可得，；
当时，可得，；
当时，可得，；
当时，可得，，
综上所述，的个数为．
【点睛】本题考查了新定义，坐标与图形，因式分解，三角形面积的求解，理解题意，分情况讨论是解答本题的关键．
课后训练
1．因式分解： ．
【答案】
【分析】根据多项式特点，进行分组，两次运用公式法分解因式即可.
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题无法直接提公因式或运用乘法公式进行分解因式，结合式子特点，对多项式分组，两次运用公式法进行分解，要注意符号问题，正确分组是解题关键.
2．如果为完全平方数，则正整数n为 ．
【答案】2或14或11
【分析】分情况讨论，分别设为首项的平方，末项的平方，中间项，则可得出n的值即可．
【详解】设为首项的平方，则末项为，中间项为乘积两倍为=2×，
∴首项为2，首项平方为，∴n=2；
设为末项的平方，则首项为，乘积两倍为=2××，
∴末项为，末项平方为，
∴n=14；
设为中间项，则=2××=，
∴n=11，
综上所述，正整数n的值为2或14或11，
故答案为：2或14或11．
【点睛】本题考查了完全平方式的形式，掌握完全平方式的形式是解题的关键．
3．分解因式： ．
【答案】
【分析】先分组，然后再运用提取公因式法和公式法进行因式分解即可．
【详解】解：
=
=
=
=．
故答案为．
【点睛】本题考查了运用分组法、提取公因式法、公式法因式分解，对原式正确的分组是正确解答本题的关键．
4．分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用提公因式法分解因式即可；
（2）先利用、凑出完全平方公式，然后利用平方差公式对其进行因式分解即可；
（3）首先去括号，再移项凑出完全平方公式，然后利用提公因式法分解因式即可；
（4）首先通过移项凑出完全平方公式，然后提公因式，得出，再把分解为，得出，然后把看作整体，利用完全平方公式变形，得出，然后再利用平方差公式因式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题考查了因式分解，解本题的关键在熟练掌握因式分解的方法．
5．已知三次四项式分解因式后有一个因式是，试求的值及另一个因式．
【答案】，
【分析】根据题意，当时，代数式的值为0，进而求得的值，然后因式分解即可求解．
【详解】解：依题意，三次四项式分解因式后有一个因式是，
∴时，原式
∴，
∵
∴另一个因式为
【点睛】本题考查了因式分解的意义，解题时要根据分组分解法、提公因式法、公式法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组，要考虑分组后还能进行下一步分解，注意分解因式要彻底，直到不能再分解为止．
6．对任意一个三位数m，如果其个位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字，则称m为“开心数”．现将m的个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个新数，并规定．
例如：143是一个“开心数”，将其个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个新数，所以．
(1) ， ；
(2)若是8的倍数，则称这样的m为“幸运开心数”，求出所有的“幸运开心数”．
【答案】(1)21，18
(2)143或286或341或484或682或880
【分析】（1）根据新定义求解即可；
（2）设这个“幸运开心数”的个位数字为，百位数字为，则十位数字为，为非负整数，则，根据题意是8的倍数，根据，，且，，从而确定的值为：，再分别列举出满足条件的的值即可．
【详解】（1）解：，，
故答案为21，18；
（2）解：设这个“幸运开心数”的个位数字为，百位数字为，则十位数字为，为非负整数，
，，
，
是8的倍数，则是8的倍数，
，，，
的值为：，
为非负整数，且，
或或或或或，
所有的“幸运开心数”143或286或341或484或682或880．
【点睛】本题考查了整式的加减运算，理解新定义是解题的关键．