人教版八年级数学上册专题07平方差与完全平方公式压轴题的四种考法(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册专题07平方差与完全平方公式压轴题的四种考法(原卷版+解析)，共32页。试卷主要包含了平方差公式逆运算，完全平方公式，完全平方公式变形，完全平方公式与几何综合等内容，欢迎下载使用。

例1．计算： ．
例2．计算： = ．
【变式训练1】计算： ．
【变式训练2】．若A＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1，则A－2022的末位数字是 ．
【变式训练3】阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
【观察】①；
②；
③；
……
(1)【归纳】由此可得： ________；
(2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：_______；
(3)计算：______；
(4)若，求的值．
类型二、完全平方公式（换元法）
例．设 ，，．若，则的值是( )
A．5B．6C．7D．8
【变式训练1】已知，则 ．
【变式训练2】已知，求 ．
【变式训练3】阅读理解：
已知a+b＝﹣4，ab＝3，求+的值．
解：∵a+b＝﹣4，
∴＝．
即+＝16．
∵＝3，
∴+＝10．
参考上述过程解答：
（1）已知＝﹣3，＝﹣2．求式子（）（+）的值；
（2）若，＝﹣12，求式子的值．
类型三、完全平方公式变形
例．已知，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
例2．已知求 ．
【变式训练1】．已知x2=2y+5，y2=2x+5(x≠y)，则x3+2x2y2+y3的值为 ．
【变式训练2】已知，则的值为 ；的值为 ．
【变式训练3】．如果x2+4y2﹣2x﹣4y+2＝0，则（2x﹣3y）2﹣（3y+2x）2＝ ．
类型四、完全平方公式与几何综合
例．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．
（1）用含a、b的代数式分别表示、；
（2）若，，求的值；
（3）用a、b的代数式表示；并当时，求出图③中阴影部分的面积．
【变式训练1】若x满足，求的值．
解：设，，则，，
∴
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若x满足，求的值；
(2)已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且，，长方形EMFD的面积是48，分别以MF，DF作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积．
【变式训练2】如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．
(1)图中正方形阴影部分的面积为 ；
(2)请你用两种不同的方法分别求图中阴影部分的面积，可以得到等式是 ；
(3)若， ，则= ；
(4)若，，求的值 ．
【变式训练3】【阅读材料】
“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：北师大版七年级下册教材在学习“完全平方公式”时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．

【方法应用】
根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
(1)由图2可得等式： ；由图3可得等式： ；
(2)利用图3得到的结论，解决问题：若，，则 ；
(3)如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接）．
①请画出拼出后的长方形；
② ；
(4)如图4，若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a，b的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为 ．
课后训练
1．设，，．若，则的值是（ ）
A．16B．12C．8D．4
2．已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．若，满足，则的值为 ．
4．已知x满足（x﹣2020）2+（2022﹣x）2＝10，则（x﹣2021）2的值是 ．
5．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
(1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是________；
(2)利用（1）中的结论，若，，求的值；
(3)如图3，点C是线段上的一点，分别以、为边在的同侧作正方形和正方形，连接、、，当时，的面积记为，当时，的面积记为，以此类推，当时，的面积记为，计算的值．
6．知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．
例如：由图①可以得到，基于此，请解答下列问题：
(1)直接应用：若，，直接写出的值为___________；
(2)类比应用：填空：
①若，则___________；
②若，则___________；
(3)知识迁移：如图②，一农家乐准备在原有长方形用地（即长方形）上进行装修和扩建，先用长为120m的装饰性篱笆围起该长方形用地，再以，为边分别向外扩建正方形、正方形的空地，并在这两块正方形空地上建造功能性花园，该功能性花园面积和为，求原有长方形用地的面积．

7．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于 ．
(2)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系 ．
(3)运用你所得到的公式，计算若，求：
①的值．
②的值．
(4)用完全平方公式和非负数的性质求代数式的最小值．
8．图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于______
（2）观察图2你能写出下列三个代数式(m+n)2，(m-n)2，mn之间的等量关系 _____
（3）运用你所得到的公式，计算若mn=-2，m-n=4，求① (m+n)2的值．② m4+n4的值．
（4）用完全平方公式和非负数的性质求代数式x2+2x+y2-4y+7的最小值．
（5）试画出一个几何图形，使它的面积等于3m2+4mn+n2
9．若（m＋48）2=654421，求（m＋38）（m＋58）的值．
10．已知．
(1)______；
(2)求的值；
(3)求结果的个位数字．
专题07 平方差与完全平方公式压轴题的四种考法
类型一、平方差公式逆运算
例1．计算： ．
【答案】
【分析】首先将原式乘以，利用平方差公式求解，即可求得，继而求得答案．
【详解】
，故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，本题技巧性较强，所用到的方法是代数式的凑项变形，即根据待求式的结构，通过适当的拆、并、凑等手段，将其转化成所需要的形式．根据本题的特征，尝试将原式的系数1变形为，从而可应用平方差公式将原式变形为，为解决问题创造了良好的条件．
例2．计算： = ．
【答案】1
【分析】根据平方差公式可以使本题解答比较简便.
【详解】解：
=
===1.
【点睛】本题应根据数字特点，灵活运用运算定律会或运算技巧，灵活简算.
【变式训练1】计算： ．
【答案】
【分析】利用平方差公式将变形为，通过相邻的项约分化简即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查利用平方差公式进行简便运算，解题的关键是将变形为．
【变式训练2】．若A＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1，则A－2022的末位数字是 ．
【答案】4
【分析】将乘以（2－1），然后用平方差公式计算，再用列举法找出的个位数的规律，推出A的个位数，再代入式子计算即可．
【详解】（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1
＝（2－1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1
＝（22－1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1
＝（24－1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1
＝（28－1）（28＋1）(216＋1)＋1
＝(216-1)(216＋1)＋1=232-1+1＝232；
∵，，，，
，，，；
∴尾数是2，4，8，6，……四个一循环，
∵32÷4=8，∴232的末位数字是6，
即A的末位数字是6，则A－2022的末位数字是4．故答案为：4．
【点睛】本题考查了平方差公式、数字规律等知识点，根据题意凑出平方差公式以及发现尾数是2，4，8，6，……四个一循环是解答本题的关键．
【变式训练3】阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
【观察】①；
②；
③；
……
(1)【归纳】由此可得： ________；
(2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：_______；
(3)计算：______；
(4)若，求的值．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．
【分析】（1）利用已知得出式子变化规律，进而得出答案；
（2）利用（2）中变化规律进而得出答案；
（3）将转化为，再利用（2）中变化规律进而得出答案；
（4）利用（2）中变化规律得出x的值，进而得出答案．
【详解】（1）解：①；
②；
③；……；
∴，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：
；故答案为：；
（4）解：∵，∴，
∵，∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了平方差公式以及数字变化规律，正确得出式子之间的变化规律是解题关键．
类型二、完全平方公式（换元法）
例．设 ，，．若，则的值是( )
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】根据完全平方公式得出，，进而根据已知条件得出，进而即可求解．
【详解】，，，
，，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，根据题意得出是解题的关键．
【变式训练1】已知，则 ．
【答案】7
【分析】先设，，则可化为，，再将，代入，然后求出结果
【详解】解：设：，，
则可化为：
∴
将，，代入上式，
则
【点睛】本题考查了对完全平方公式的应用，能熟记公式，并能设，，然后将原代数式化简再求值是解此题的关键，注意：完全平方公式为① ，②．
【变式训练2】已知，求 ．
【答案】
【分析】设，则；根据题意，得；再将代入到代数式中计算，即可得到答案．
【详解】∵
∴
设，则
∴，即
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式运算和代数式的知识；解题的关键是熟练掌握整式乘法、完全平方公式的性质，从而完成求解．
【变式训练3】阅读理解：
已知a+b＝﹣4，ab＝3，求+的值．
解：∵a+b＝﹣4，
∴＝．
即+＝16．
∵＝3，
∴+＝10．
参考上述过程解答：
（1）已知＝﹣3，＝﹣2．求式子（）（+）的值；
（2）若，＝﹣12，求式子的值．
【答案】(1)-15 (2)76
【分析】（1）利用完全平方公式，先求出（a2+b2）的值，再计算（a-b）（a2+b2）的值；
（2）把m-n-P=-10变形为[（m-p）-n]，利用完全平方公式仿照例题计算得结论．
【详解】解：（1）因为（a-b）2=（-3）2，
所以a2-2ab+b2=9，
又∵ab=-2
∴a2+b2=9-4=5，
∴（a-b）（a2+b2）=（-3）×5=-15
（2）∵（m-n-p）2=（-10）2=100，
即[（m-p）-n]2=100，
∴（m-p）2-2n（m-p）+n2=100，
∴（m-p）2+n2=100+2n（m-p）=100+2（-12）=76．
【点睛】本题主要考查了整式乘法的完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形是解决本题的关键．
类型三、完全平方公式变形
例．已知，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知，，两等式左右两边分别相减，可得到，将，利用完全平方公式，变为，再将上面的式子的值代入，问题得解．
【详解】解：∵，，
∴，
即：
，
故答案为：C．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，将变为是难点．
例2．已知求 ．
【答案】47
【分析】根据已知等式两边同时除以x，得到的值，然后利用完全平方公式求出的值，最后再利用完全平方公式求的值即可.
【详解】∵，，
∴两边同时除以x得：，即，
∴，即，
∴，
∴.
【点睛】本题考查已知式子的值求代数式的值，熟练应用等式的基本性质及完全平方公式是解题的关键.
【变式训练1】．已知x2=2y+5，y2=2x+5(x≠y)，则x3+2x2y2+y3的值为 ．
【答案】
【分析】首先根据题意得出且，从而进一步得出，由此进一步求出的值，最后再通过将所求式子分解为进一步计算即可.
【详解】∵，，
∴，，
∵，而，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了乘法公式的综合运用，熟练掌握相关公式及方法是解题关键.
【变式训练2】已知，则的值为 ；的值为 ．
【答案】 2 6
【分析】由可得,，再对进行变形即可求解；由可得，然后左右平方，将作为一个整体求解即可．
【详解】解:∵，
∴，，
∴
=2；
∵
∴，即
∴
∴，解得：．
故答案为：2，6．
【点睛】本题主要考查了代数式求值、完全平方公式的应用等知识点，灵活运用相关知识对代数式进行变形成为解答本题的关键．
【变式训练3】．如果x2+4y2﹣2x﹣4y+2＝0，则（2x﹣3y）2﹣（3y+2x）2＝ ．
【答案】
【分析】已知等式左边利用完全平方公式变形后，利用非负数的性质求出x与y的值，即可确定出xy的值．然后将其代入整理后的所求代数式进行求值即可．
【详解】解：∵x2+4y2﹣2x﹣4y+2＝0，
∴（x﹣1）2+4（y﹣）2＝0，
∴x﹣1＝0，y﹣＝0，即x＝1，y＝，
∴xy＝
则（2x﹣3y）2﹣（3y+2x）2＝（2x﹣3y+3y+2x）（2x﹣3y﹣3y﹣2x）
＝4x•（﹣6y）＝﹣24xy＝﹣24×
＝﹣12．
故答案是：﹣12．
【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
类型四、完全平方公式与几何综合
例．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．
（1）用含a、b的代数式分别表示、；
（2）若，，求的值；
（3）用a、b的代数式表示；并当时，求出图③中阴影部分的面积．
【答案】（1）， ；（2）77；（3）17
【分析】（1）由图中正方形和长方形的面积关系，可得答案；
（2）根据，将a-b＝8，ab＝13代入进行计算即可；
（3）根据和 ，可求得图 中阴影部分的面积 ．
【详解】解：（1）由图可得，， ．
（2），
所以的值为77．
（3）由图可得：
所以图中阴影部分的面积为17．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，数形结合、恰当进行代数式变形是解答本题的关键．
【变式训练1】若x满足，求的值．
解：设，，则，，
∴
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若x满足，求的值；
(2)已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且，，长方形EMFD的面积是48，分别以MF，DF作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积．
【答案】(1)130；(2)28
【分析】（1）设，，仿照例题，根据完全平方公式的变形计算即可求解；
（2）根据题意可得：，，根据（1）的方法，设，，进而计算即可求解．
【详解】（1）解：设，，
∴，，
∴；
（2）解：根据题意可得：，，
∴，，
设，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式的变形求值，读懂题意，正确的计算是解题的关键．
【变式训练2】如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．
(1)图中正方形阴影部分的面积为 ；
(2)请你用两种不同的方法分别求图中阴影部分的面积，可以得到等式是 ；
(3)若， ，则= ；
(4)若，，求的值 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据题意可得小正方形的边长，即可得出阴影部分面积；
（2）根据同一图形的面积的两种表示方法，可得答案；
（3）根据完全平方公式变形即可求解；
（4）根据完全平方公式与平方差公式变形，设，得出，根据平方根的定义，解方程即可求解．
【详解】（1）根据小正方形的边长，
∴图中正方形阴影部分的面积为，
故答案为：．
（2）方法一：；方法二：；
∴两种不同的方法分别求图中阴影部分的面积，可以得到等式是
（3）解：∵，
∴，
∴,
故答案为：．
（4）解：∵，，
∴
∴
∴
设，
∴
∴
∴
解得：（负值舍去）
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式与图形面积，求一个数的算术平方根，根据平方根的定义解方程，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
【变式训练3】【阅读材料】
“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：北师大版七年级下册教材在学习“完全平方公式”时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．

【方法应用】
根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
(1)由图2可得等式： ；由图3可得等式： ；
(2)利用图3得到的结论，解决问题：若，，则 ；
(3)如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接）．
①请画出拼出后的长方形；
② ；
(4)如图4，若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a，b的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为 ．
【答案】(1)
(2)155
(3)①见解析；②9
(4)
【分析】（1）用两种不同的方法表示出大长方形的面积，以及大正方形的面积，即可得出结论；
（2）利用（1）中的结论进行求解即可；
（3）①根据，得到大长方形是由2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成，画图即可；②根据①可知的值，代入求解即可；
（4）根据拼接成的是正方形，得到选取的纸片的面积和必须构成完全平方式，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：由图2知，∵大长方形的面积，
大长方形的面积3个小正方形的面积+3个小长方形的面积，
∴；
由图3知，∵大正方形的面积，
大正方形的面积＝3个正方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积，
∴；
故答案为：，．
（2）∵由（1）知：，
∴，
，
把代入，
．
故答案为：155．
（3）①∵，
可以看成2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成的大长方形的面积，
如图：

②由①知：，∴．故答案为：9．
（4）3张边长为a的正方形纸片的面积为，4张边长分别为的长方形纸片的面积为，5张边长为b的正方形纸片的面积为，要想从中取出若干张纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则选取的纸片的面积和必须构成完全平方式，
∴可以选取1张边长为a的正方形纸片、2张边长分别为的长方形纸片、1张边长为b的正方形纸片，此时围成的正方形面积为，此时正方形的边长，
也可以选取1张边长为a的正方形纸片、4张边长分别为的长方形纸片、4张边长为b的正方形纸片，此时围成的正方形面积为，此时正方形的边长，
∴拼成的正方形的边长最长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景以及多项式乘多项式与几何图形的面积．熟练掌握完全平方公式以及多项式乘以多项式的法则，是解题的关键．
课后训练
1．设，，．若，则的值是（ ）
A．16B．12C．8D．4
【答案】A
【分析】先将a=x-2017，b=x-2019代入，得到（x-2017）2+（x-2019）2=34，再变形为（x-2018+1）2+（x-2018-1）2=34，然后将（x-2018）作为一个整体，利用完全平方公司得到一个关于（x-2018）的一元二次方程即可解答．
【详解】解：∵a=x-2017，b=x-2019，a2+b2=34，
∴（x-2017）2+（x-2019）2=34，
∴（x-2018+1）2+（x-2018-1）2=34，
∴（x-2018）2+2（x-2018）+1+（x-2018）2-2（x-2018）+1=34，
∴2（x-2018）2=32，
∴（x-2018）2=16，
又∵c=x-2018，
∴c2=16.
故答案为A．
【点睛】本题考查了完全平方公式，对所给条件灵活变形以及正确应用整体思想是解答本题的关键．
2．已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据方程可变形为，利用完全平方式将化成，从而整体代入计算即可．
【详解】解： 由方程两边同时除以得，变形为，
则，
故选：B．
【点睛】本题考查了代数式化简求值，利用完全平方公式变形并采用整体思想是解题关键．
3．若，满足，则的值为 ．
【答案】
【分析】已知等式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出，的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：已知等式变形得：，
即，
∵，，
∴，，
解得：，，
则．
故答案为：．
【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．已知x满足（x﹣2020）2+（2022﹣x）2＝10，则（x﹣2021）2的值是 ．
【答案】4
【分析】根据题意原式可化为[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝10，再应用完全平方公式可化为（x﹣2021）2+2（x﹣2021）+1+（x﹣2021）2﹣2（x﹣2021）+1＝10，应用整体思想合并同类项，即可得出答案．
【详解】解：∵（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝10
∴[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝10，
∴（x﹣2021）2+2（x﹣2021）+1+（x﹣2021）2﹣2（x﹣2021）+1＝10，
∴2（x﹣2021）2+2＝10，∴（x﹣2021）2＝4．故答案为：4．
【点睛】本题考查了完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
5．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
(1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是________；
(2)利用（1）中的结论，若，，求的值；
(3)如图3，点C是线段上的一点，分别以、为边在的同侧作正方形和正方形，连接、、，当时，的面积记为，当时，的面积记为，以此类推，当时，的面积记为，计算的值．
【答案】(1)
(2)16
(3)
【分析】（1）通过观察图形可以发现，大正方形是由四个矩形与中间的小正方形组成，据此进一步分析求解即可；
（2）根据（1）中的结论进一步代入计算即可；
（3）连接，证明出，再利用的面积与△的面积相等得出，从而得到据此进一步计算即可．
【详解】（1）由图1和图2中矩形的面积为等量得：
故答案为：；
（2）由（1）中公式可得：
．
同理可得：
；
（3）连接，
在正方形和正方形中，，
，
∴和的边上的高相等，
．
当时，，
当时，，
……
当时，，
∴
．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，观察图形，找出相应的规律是解题关键．
6．知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．
例如：由图①可以得到，基于此，请解答下列问题：
(1)直接应用：若，，直接写出的值为___________；
(2)类比应用：填空：
①若，则___________；
②若，则___________；
(3)知识迁移：如图②，一农家乐准备在原有长方形用地（即长方形）上进行装修和扩建，先用长为120m的装饰性篱笆围起该长方形用地，再以，为边分别向外扩建正方形、正方形的空地，并在这两块正方形空地上建造功能性花园，该功能性花园面积和为，求原有长方形用地的面积．

【答案】(1)
(2)①②
(3)
【分析】（1），即可求解；
（2）①，即可求解；②可求，即可求解；
（3）设，，可得，可求，可得，即可求解．
【详解】（1）解：
，
，
故答案：．
（2）解：①
，
，
，
故答案：；
②因为，
所以，
，
，
，
故答案：．
（3）解：设，，
则，所以；
由题意得，
因为，
所以
，
所以．
所以原有长方形用地的面积为．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何应用，掌握、、、之间的关系是解题的关键．
7．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于 ．
(2)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系 ．
(3)运用你所得到的公式，计算若，求：
①的值．
②的值．
(4)用完全平方公式和非负数的性质求代数式的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)① ②
(4)
【分析】（1）根据线段的差可得结论；
（2）方法1，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个长方形面积，方法2，阴影部分小正方形的边长为,即可计算出面积，可得两次计算的都是阴影部分的面积，即可得出答案；
（3）分别根据完全平方公式可解答；．
（4）先把代数式配方为完全平方公式，利用非负性解题即可．
【详解】（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于；
故答案为：；
（2）根据题意，方法1：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个长方形面积，即；
方法2，阴影部分小正方形的边长为，则面积为；
∴；
故答案为：；
（3）由（2）知：,
，
①；
②∵；
∴；
（4）
∵，，
∴代数式的最小值为．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景进行求解是解决本题的关键．
8．图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于______
（2）观察图2你能写出下列三个代数式(m+n)2，(m-n)2，mn之间的等量关系 _____
（3）运用你所得到的公式，计算若mn=-2，m-n=4，求① (m+n)2的值．② m4+n4的值．
（4）用完全平方公式和非负数的性质求代数式x2+2x+y2-4y+7的最小值．
（5）试画出一个几何图形，使它的面积等于3m2+4mn+n2
【答案】（1）；（2）；（3）①②；（4）；（5）图见解析．
【分析】（1）根据阴影部分正方形的边长等于小长方形的长减去宽解答；
（2）根据大正方形的面积减去阴影部分小正方形的面积等于四个长方形的面积解答；
（3）把数据代入（2）的数量关系计算即可得解；
（4）根据完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得解；
（5）把代数式化为两个整式的乘积形式即可画出图形．
【详解】（1）由图可知，阴影部分小正方形的边长为：m−n；
故答案为：m−n；
（2）根据正方形的面积公式，阴影部分的面积为（m−n）2，
还可以表示为（m＋n）2−4mn；
根据阴影部分的面积相等，（m−n）2＝（m＋n）2−4mn；
故答案为：（m−n）2＝（m＋n）2−4mn；
（3）∵mn＝−2，m−n＝4，
∴（m＋n）2＝（m−n）2＋4mn＝42＋4×（−2）＝16−8＝8，
（m＋n）2＝m2+n2+2mn=8
∴m2+n2=8-2mn=12
∴m4+n4=（m2+n2）2-2m2n2=122-2×4=144-8=136;
（4）x2＋2x＋y2−4y＋7，
＝x2＋2x＋1＋y2−4y＋4＋2，
＝（x＋1）2＋（y−2）2＋2，
∵（x＋1）2≥0，（y−2）2≥0，
∴（x＋1）2＋（y−2）2≥2，
∴当x＝−1，y＝2时，代数式x2＋2x＋y2−4y＋7的最小值是2．
(5) ∵3m2+4mn+n2=()()
∴长为，宽为．
故图形如下：
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，准确识图，根据阴影部分的面积的两种不同表示方法得到的代数式的值相等列式是解题的关键．
9．若（m＋48）2=654421，求（m＋38）（m＋58）的值．
【答案】．
【分析】（m+38）与（m＋58）的算术平均数为（m+48）,故设，得x2=654421，把所求关于m的代数式换元成关于x的代数式，即可用平方差公式进行简便运算．
【详解】解：设，则，m=x-48，
把m=x-48代入（m＋38）（m＋58）中得
原式
．
故答案为：．
【点睛】本题考查用平方差公式进行简便运算．设（m+38）与（m＋58）的算术平均数为x然后换元是解决此题的关键．本题运用的平均数换元的思想在进行有关代数式的变形中常常用到．
10．已知．
(1)______；
(2)求的值；
(3)求结果的个位数字．
【答案】(1)15；(2)232－1；(3)0
【分析】（1）根据平方差公式求出即可；
（2）添加上，重复根据平方差公式依次求出，即可得出答案；
（3）根据（2）的规律，多次利用平方差公式即可得出答案．
【详解】（1）解：；
故答案为：15；
（2）
；
（3）
；
，，，，，，
可知的个位数呈3、9、7、循环，
，
的个位数是1，
的个位数是0．
即结果的个位数字是0．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，解此题的关键是重复运用平方差公式，根据结果得出规律，题目比较好，有一定的难度．