人教版八年级数学上册同步精品压轴题专题05整式乘除法的三种考法全攻略(学生版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册同步精品压轴题专题05整式乘除法的三种考法全攻略(学生版+解析)，共21页。试卷主要包含了不含某项字母求值，与几何的综合问题，规律性问题等内容，欢迎下载使用。

例1．已知计算的结果中不含和的项，求m、n的值．
【变式训练1】已知将展开的结果不含和项，(m、n为常数)
(1)求m、n的值；
(2)在(1)的条件下，求的值．(先化简，再求值)
【变式训练2】已知的展开式中不含和项．
(1)求的值．
(2)先化简，再求值：．
【变式训练3】(1)试说明代数式的值与、的值取值有无关系；
(2)已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值；
(3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
【变式训练4】(1)先化简，再求值：已知，求的值．
(2)若中不含，项，求m，n的值．
类型二、与几何的综合问题
例1.如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为，的正方形(阴影部分)．观察图形，解答下列问题：
(1)根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．
方法1：______，方法2：________；
(2)从中你发现什么结论呢？_________；
(3)运用你发现的结论，解决下列问题：
①已知，，求的值；
②已知，求的值．
【变式训练1】【知识生成】通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，两个边长分别为，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如如图(1)所示的梯形，请用两种方法计算梯形面积．
(1)方法一可表示为______；方法二可表示为______；
(2)根据方法一和方法二，你能得出，，之间的数量关系是______(等式的两边需写成最简形式)；
(3)由上可知，一直角三角形的两条直角边长为6和8，则其斜边长为______；
(4)【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图(2)是边长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块．用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为______；(等号两边需化为最简形式)
【变式训练2】阅读理解下列材料：
“数形结合”是一种非常重要的数学思想．在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：(如图1)．所谓“等积法”就是用不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图1，从整体看是一边长为的正方形，其面积为．从局部看由四部分组成，即：一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个长、宽分别为，的长方形．这四部分的面积和为．因为它们表示的是同一个图形的面积，所以这两个代数式应该相等，即．
同理，图2可以得到一个等式：．
根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
(1)由图3可得等式：___________；
(2)由图4可得等式：____________；
(3)若，，，且，，求的值．
①为了解决这个问题，请你利用数形结合思想，仿照前面的方法在下方空白处画出相应的几何图形，通过这个几何图形得到一个含有，，的等式．
②根据你画的图形可得等式：______________；
③利用①的结论，求的值．
【变式训练3】(发现问题)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题．
例如，求图1阴影部分的面积，可以得到乘法公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
请解答下列问题：
(1)请写出求图2阴影部分的面积能解释的乘法公式(直接写出乘法公式即可)
(2)用4个全等的、长和宽分别为a、b的长方形，拼摆成如图3的正方形，请你观察求图3中阴影部分的面积，蕴含的相等关系，写出三个代数式：(a＋b)2、(a－b)2、ab之间的等量关系式(直接写出等量关系式即可)
(自主探索)
(3)小明用图4中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽为a，长为b的长方形纸片拼出一个面积为(3a＋2b)(2a＋3b)长方形，请在下面方框中画出图形，并计算x＋z＝_____
(拓展迁移)
(4)事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图5表示的是一个边长为a＋b的正方体，请你根据图5求正方体的体积，写出一个代数恒等式：______
【变式训练4】提出问题：怎么运用矩形面积表示(y+2)(y+3)与2y+5的大小关系(其中y>0)？
几何建模：
(1)画长y+3，宽y+2的矩形，按图方式分割
(2)变形：2y+5=(y+2)+(y+3)
(3)分析：图中大矩形的面积可以表示为(y+2)(y+3)；阴影部分面积可以表示为(y+3)×1，画点部分的面积可表示为y+2，由图形的部分与整体的关系可知：
(y+2)(y+3)＞(y+2)+(y+3)，即(y+2)(y+3)＞2y+5
归纳提炼：
当a>2，b>2时，表示ab与a+b的大小关系．根据题意，设a=2+m，b=2+n(m>0，n>0)，要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤(用铅笔画图，并标注相关线段的长)
类型三、规律性问题
例1.(1)填空：
；
；
．
(2)猜想：
．(其中n为正整数，且)．
(3)利用(2)猜想的结论计算：
①
②
【变式训练1】阅读下文，寻找规律：
已知：，观察下列各式：
；
；
；
；
…
(1)填空：
①_________；
②_________．
(2)根据你的猜想，计算：
①_________；
②那么的末尾数字为_________．
【变式训练2】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”(如图所示)就是一例．
这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方(左右)两数之和．事实上，这个三角形给出了(a+b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1、2、1，恰好对应(a+b)2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应着(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数等等．
(1)根据上面的规律，(a+b)4展开式的各项系数中最大的数为 ；
(2)求出25+5×24×(﹣3)+10×23×(﹣3)2+10×22×(﹣3)3+5×2×(﹣3)4+(﹣3)5的值；
(3)若(x﹣1)2020＝a1x2020+a2x2019+a3x2018+……+a2019x2+a2020x+a2021，求出a1+a2+a3+……+a2019+a2020的值．
【变式训练3】“回文”是汉语特有的一种使用词序回环往复的修辞方法，正着读，倒着读，文字一样，韵味无穷例如：处处飞花飞处处，潺潺碧水碧潺潺．数学中也有像回文联一样的“回文等式”，例如，以下是三个两位数乘两位数的“回文等式”：
，
，
．
(1)下列选项中能构成“回文等式”的是______．(填上所有正确的序号)
A．与；B．与；
C．与；D．与；
E.与
(2)请写出两位数乘两位数的“回文等式”的一般规律，并用所学数学知识证明．
专题05 整式乘除法的三种考法全攻略
类型一、不含某项字母求值
例1．已知计算的结果中不含和的项，求m、n的值．
【答案】m＝1.5，n＝−10．
【详解】解：(5−3x＋mx2−6x3)•(−2x2)−x(−3x3＋nx−1)
＝−10x2＋6x3−2mx4＋12x5＋3x4−nx2＋x
＝12x5＋(3−2m)x4＋6x3＋(−10−n)x2＋x，
由结果中不含x4和x2项，得到3−2m＝0，−10−n＝0，
解得：m＝1.5，n＝−10．
【变式训练1】已知将展开的结果不含和项，(m、n为常数)
(1)求m、n的值；
(2)在(1)的条件下，求的值．(先化简，再求值)
【答案】(1)；(2)，-1792
【详解】(1)，
，由题意得：，解得：；
(2)，
当，时，原式
【变式训练2】已知的展开式中不含和项．
(1)求的值．
(2)先化简，再求值：．
【答案】(1)；(2)；．
【详解】(1)
．
展开式中不含和项，．解得．
(2)
．
当时，原式．
【变式训练3】(1)试说明代数式的值与、的值取值有无关系；
(2)已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值；
(3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
【答案】(1)代数式的值与s的取值有关系，与t的取值无关系，理由见详解；(2)1；(3)k=20，另一个因式为：．
【详解】解：(1)＝s2＋2st＋s−2st−4t2−2t＋4t2＋2t＝s2＋s．
故代数式的值与s的取值有关系，与t的取值无关系；
(2)∵()()=2ax3-ax2+2ax-2bx2+bx-2b，
又∵多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，
∴2a+b=0，-2b=-4，∴a=-1，b=2，=；
(3)∵二次三项式有一个因式是，
∴==，∴2m-5=3，5m=k，
∴m=4，k=20，另一个因式为：．
【变式训练4】(1)先化简，再求值：已知，求的值．
(2)若中不含，项，求m，n的值．
【答案】(1)，22；(2)，．
【详解】(1)，，，
∴且，解得：，，
．
(2)，
∵展开式中不含x、x2项，
∴，，
解得：，．
类型二、与几何的综合问题
例1.如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为，的正方形(阴影部分)．观察图形，解答下列问题：
(1)根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．
方法1：______，方法2：________；
(2)从中你发现什么结论呢？_________；
(3)运用你发现的结论，解决下列问题：
①已知，，求的值；
②已知，求的值．
【答案】(1)，；(2)；(3)①28；②．
【详解】解：(1)方法1，阴影部分的面积是两个正方形的面积和，即，
方法2，从边长为的大正方形面积减去两个长为，宽为的长方形面积，即，
故答案为：，；
(2)在(1)两种方法表示面积相等可得，，
故答案为：；
(3)①，，又，
；
②设，，则，，
，
答：的值为．
【变式训练1】【知识生成】通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，两个边长分别为，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如如图(1)所示的梯形，请用两种方法计算梯形面积．
(1)方法一可表示为______；方法二可表示为______；
(2)根据方法一和方法二，你能得出，，之间的数量关系是______(等式的两边需写成最简形式)；
(3)由上可知，一直角三角形的两条直角边长为6和8，则其斜边长为______；
(4)【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图(2)是边长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块．用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为______；(等号两边需化为最简形式)
【答案】(1)；(2)；(3)10
(4)
【解析】(1)方法一可表示为：
方法二可表示为：
故答案为：
(2)
，
故答案为：
(3)
故答案为：10
(4)方法一可表示为：(a+b)3；
方法二可表示为：a3+3a2b+3ab2+b3．
∴等式为：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3．
故答案为：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3．
【变式训练2】阅读理解下列材料：
“数形结合”是一种非常重要的数学思想．在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：(如图1)．所谓“等积法”就是用不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图1，从整体看是一边长为的正方形，其面积为．从局部看由四部分组成，即：一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个长、宽分别为，的长方形．这四部分的面积和为．因为它们表示的是同一个图形的面积，所以这两个代数式应该相等，即．
同理，图2可以得到一个等式：．
根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
(1)由图3可得等式：___________；
(2)由图4可得等式：____________；
(3)若，，，且，，求的值．
①为了解决这个问题，请你利用数形结合思想，仿照前面的方法在下方空白处画出相应的几何图形，通过这个几何图形得到一个含有，，的等式．
②根据你画的图形可得等式：______________；
③利用①的结论，求的值．
【答案】(1)(a+2b)2=a2+4ab+4b2；
(2)(2a+b)(a+2b)=2a2++5ab+2b2；
(3)①见解析；②(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；③29．
【解析】(1)大正方形的面积可表示为=(a+2b)2，
大正方形的面积=各个长方形的面积之和=a2+4ab+4b2，
所以(a+2b)2=a2+4ab+4b2，
故答案为：(a+2b)2=a2+4ab+4b2；
(2)大长方形的面积可表示为=(2a+b)(a+2b)，
大长方形的面积=各个长方形的面积之和=2a2++5ab+2b2，
所以(2a+b)(a+2b)=2a2++5ab+2b2，
故答案为：(2a+b)(a+2b)=2a2++5ab+2b2；
(3)①所画图形如下：
②正方形的面积可表示为=(a+b+c)2；
正方形的面积=各个矩形的面积之和=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，
所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．
故答案为：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；
③∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，
∴a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=92-26×2=81-52=29．
【变式训练3】(发现问题)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题．
例如，求图1阴影部分的面积，可以得到乘法公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
请解答下列问题：
(1)请写出求图2阴影部分的面积能解释的乘法公式(直接写出乘法公式即可)
(2)用4个全等的、长和宽分别为a、b的长方形，拼摆成如图3的正方形，请你观察求图3中阴影部分的面积，蕴含的相等关系，写出三个代数式：(a＋b)2、(a－b)2、ab之间的等量关系式(直接写出等量关系式即可)
(自主探索)
(3)小明用图4中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽为a，长为b的长方形纸片拼出一个面积为(3a＋2b)(2a＋3b)长方形，请在下面方框中画出图形，并计算x＋z＝_____
(拓展迁移)
(4)事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图5表示的是一个边长为a＋b的正方体，请你根据图5求正方体的体积，写出一个代数恒等式：______
【答案】(1)(a－b)2＝a2－2ab＋b2；(2)(a＋b)2－4ab＝(a－b)2；
(3)图见解析，19；(4)(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
【详解】(1)阴影部分面积=大正方形面积-非阴影区域面积
即，故答案为；
(2)阴影部分面积=，大正方形面积=，长方形面积=
大正方形面积-4*长方形面积=阴影部分面积，即：；
(3)将面积为的长方形画出后，按比例分割，图如下：
看图即可得：，，所以，，故答案为19；
(4)大正方体体积=各小长方体体积之和，即：
故答案为．
【变式训练4】提出问题：怎么运用矩形面积表示(y+2)(y+3)与2y+5的大小关系(其中y>0)？
几何建模：
(1)画长y+3，宽y+2的矩形，按图方式分割
(2)变形：2y+5=(y+2)+(y+3)
(3)分析：图中大矩形的面积可以表示为(y+2)(y+3)；阴影部分面积可以表示为(y+3)×1，画点部分的面积可表示为y+2，由图形的部分与整体的关系可知：
(y+2)(y+3)＞(y+2)+(y+3)，即(y+2)(y+3)＞2y+5
归纳提炼：
当a>2，b>2时，表示ab与a+b的大小关系．根据题意，设a=2+m，b=2+n(m>0，n>0)，要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤(用铅笔画图，并标注相关线段的长)
【答案】ab＞a+b．见解析
【详解】解：(1)画长为2+m，宽为2+n的矩形，并按图方式分割．
(2)变形：a+b=(2+m)+(2+n)
(3)分析：图中大矩形面积可表示为(2+m)(2+n)；阴影部分面积可表示为2+m与2+n的和．由图形的部分与整体的关系可知，(2+m)(2+n)＞(2+m)+(2+n)，即ab＞a+b．
类型三、规律性问题
例1.(1)填空：
；
；
．
(2)猜想：
．(其中n为正整数，且)．
(3)利用(2)猜想的结论计算：
①
②
【答案】(1)，，；(2)；(3)①；②
【详解】(1)；
；
；
故答案分别为：，，；
(2)由(1)的规律可得：原式，
故答案为：；
(3)①
；
②∵
即
．
【变式训练1】阅读下文，寻找规律：
已知：，观察下列各式：
；
；
；
；
…
(1)填空：
①_________；
②_________．
(2)根据你的猜想，计算：
①_________；
②那么的末尾数字为_________．
【答案】(1)①；②；(2)①；②1
【解析】(1)解：①根据规律可得：；
②原式；
(2)解：①∵，
把x=2，n=2020代入，
得：，
②∵的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，…，
∵，
∴的末尾数字是2，
∴的末尾数字是1.
【变式训练2】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”(如图所示)就是一例．
这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方(左右)两数之和．事实上，这个三角形给出了(a+b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1、2、1，恰好对应(a+b)2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应着(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数等等．
(1)根据上面的规律，(a+b)4展开式的各项系数中最大的数为 ；
(2)求出25+5×24×(﹣3)+10×23×(﹣3)2+10×22×(﹣3)3+5×2×(﹣3)4+(﹣3)5的值；
(3)若(x﹣1)2020＝a1x2020+a2x2019+a3x2018+……+a2019x2+a2020x+a2021，求出a1+a2+a3+……+a2019+a2020的值．
【答案】(1)6；(2)﹣1；(3)﹣1
【详解】解：(1)第五行即为1、 4、 6、 4 、1对应(a+b)4展开式中各项的系数，
∴(a+b)4展开式的各项系数中最大的数为6，故答案为6；
(2)∵(a+b)2＝a2+2ab+b2，
(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3，．．．．．．
根据展式中的2最大指数是5，首项a =2，末项b=-3,
∴25+5×24×(﹣3)+10×23×(﹣3)2+10×22×(﹣3)3+5×2×(﹣3)4+(﹣3)5＝[2+(﹣3)]5＝(2﹣3)5＝﹣1；
(3)∵(x﹣1)2020＝a1x2020+a2x2019+a3x2018+……+a2019x2+a2020x+a2021，
∴当x＝1时，(1﹣1)2020＝a1×12020+a2×12019+a3×12018+……+a201912+a2020×1+a2021，
即a1+a2+a3+……+a2019+a2020+a2021＝0，
当x＝0时，(0﹣1)2020＝a1×02020+a2×02019+a3×02018+……+a2019×02+a2020×0+a2021，即a2021＝1，
∴a1+a2+a3+……+a2019+a2020= a1+a2+a3+……+a2019+a2020+a2021- a2021＝0﹣1＝﹣1．
【变式训练3】“回文”是汉语特有的一种使用词序回环往复的修辞方法，正着读，倒着读，文字一样，韵味无穷例如：处处飞花飞处处，潺潺碧水碧潺潺．数学中也有像回文联一样的“回文等式”，例如，以下是三个两位数乘两位数的“回文等式”：
，
，
．
(1)下列选项中能构成“回文等式”的是______．(填上所有正确的序号)
A．与；B．与；
C．与；D．与；
E.与
(2)请写出两位数乘两位数的“回文等式”的一般规律，并用所学数学知识证明．
【答案】(1)CDE；(2)见解析
【解析】(1)解：A、，，，故该选项不符合题意；
B、与不是回文等式，故该选项不符合题意；
C、，，所以，故该选项符合题意；
D、，故该选项符合题意；
E、， ，所以，故该选项符合题意；
所以能构成“回文等式”的是CDE
故答案为：CDE；
(2)解：“回文等式”左边(右边)的两个两位数中十位数的积等于个位数的积，理由如下：
设回文等式左边的两个两位数为，，其中a，b，c，d为小于10的正整数，
依题意得：，
，解得：，所以．