2023-2024学年上海市奉贤区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市奉贤区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.一次函数y=−3x−2的截距是( )
A. −3B. −2C. 2D. 3
2.下列方程中是二项方程的是( )
A. x4+x=0B. x5=0C. x3+x=1D. 12x3+8=0
3.以下描述AB和BA的关系不正确的是( )
A. 方向相反B. 模相等C. 平行D. 相等．
4.如果二次三项式x2−6x+p能在实数范围内分解因式，那么p的取值范围是( )
A. p≤9B. p≥9C. p<9D. p>9
5.小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到A1B1C1的位置，这时四边形ABB1A1就是平行四边形.小明这样做的依据是( )
A. 有两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B. 有两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C. 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
6.如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分。
7.方程x3−2x=0的根是______．
8.方程 3+x−1=0的解是______．
9.如果把直线y=3x−1沿y轴向上平移2个单位，所得直线的解析式是______．
10.关于x的方程(a+2)x=a2−4(a≠−2)的解是______．
11.如果一个多边形的内角和是1800°，那么这个多边形的边数是______．
12.一次函数y=(m−3)x的函数值y随着x的值增大而减小，那么m取值范围是______．
13.用换元法解方程：xx−1−x−1x−2=0时，如果设xx−1=y，那么原方程可以化为关于y的整式方程是______．
14.“六一”儿童节上，某小队建议每位同学向其他同学赠送1句祝福语，结果小队内共收到210句祝福语，设小队共有x人，那么根据题意所列方程为______．
15.如图，一次函数y=3x+2与y=kx的图象相交于点P，那么k= ______．
16.如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC与BD互相垂直，AC=3，那么梯形ABCD的中位线长为______．
17.我们把有两个相邻的内角是直角且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形.如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，且点D也在格点上，那么边AD的长为______．
18.如图，在正方形ABCD中，AB=4cm，点E在边AD上，联结BE，将△ABE沿BE翻折，点A的对应点为点F.当直线BF恰巧经过CD的中点M时，AE的长为______cm．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.解方程组x−y=2 ①x2−xy−2y2=0 ②
四、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题6分)
解分式方程：x−2x+2+1=16x2−4．
21.(本小题6分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，且AE=2EB，CF=2FD，联结EF．
(1)写出与DF相等的向量______；
(2)填空：AD+EB−EF= ______；
(3)求作：AB+FE.(在原图上保留作图痕迹，不要求写作法)
22.(本小题6分)
如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠C=90°，AD=1，CD=2，AB=BC.求S梯形ABCD．
23.(本小题8分)
“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来.”某书店在世界读书日之际，计划购进A类和B类图书，因为A类图书每本进价比B类图书每本进价高60%，所以用960元购进A类图书的数量比用同样的费用购进B类图书的数量少12本．
(1)求A、B两类图书每本的进价；
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：
甲：9601.6x=960x−12，解得x=30，经检验x=30是原方程的解．
乙：960x=1.6×960x+12，解得x=20，经检验x=20是原方程的解．
那么甲同学所列方程中的x表示______，乙同学所列方程中的x表示______．
(2)按以上两类图书的进价，该书店用4500元购进A类图书m本及B类图书n本.然后将A类图书的售价定为每本52元，B类图书的售价定为每本40元，书店售完这一批次购进的两类图书共获利900元，那么书店分别购进了这两类图书多少本？
24.(本小题8分)
已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC<90°，AD//BC，AB/​/CD，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，DE=DF．
(1)求证：四边形ABCD为菱形；
(2)联结AC交BD于点O，联结OF，求证：∠BDC=∠OFB．
25.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x−3与x轴和y轴分别交于点B、C，与直线y=x相交于点A．
(1)求点A的坐标；
(2)已知点P在线段OA上．
①若点P是OA的中点，求线段BP的长度；
②点D在直线AC上，点H在x轴上，当四边形OPHD是正方形时，求点P的坐标．
26.(本小题10分)
如图，矩形ABCD中，AB=3，BC>AB，将矩形ABCD绕着点B逆时针旋转后得到矩形BEFG，点C恰好落在边AD上，点C的对应点是点E，点D的对应点是点F，点A的对应点是点G．
(1)如图1，当BC=5时，求DE的长；
(2)如图2，延长FE交边DC于点H，设CH=m，用m的代数式表示线段BC的长；
(3)联结AF，当△AEF是以AE为腰的等腰三角形时，请直接写出此时BC的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：当x=0时，y=−3x−2=−2，
∴一次函数y=−3x−2的截距是−2．
故选：B．
代入x=0求出与之对应的y值，该值即是一次函数y=−3x−2的截距．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记截距的定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、不是二项方程，故本选项错误；
B、不是二项方程，故本选项错误；
C、不是二项方程，故本选项错误；
D、是二项方程，故本选项正确；
故选：D．
二项方程的左边只有两项，其中一项含未知数x，这项的次数就是方程的次数；另一项是常数项；方程的右边是0，结合选项进行判断即可．
本题考查了二项方程的定义，注意二项方程的左边只有两项，一项含未知数，一项是常数，右边为0．
3.【答案】D
【解析】解：A、AB和BA的关系是方向相反，正确；
B、AB和BA的关系是模相等，正确；
C、AB和BA的关系是平行，正确；
D、AB和BA的关系不相等，错误；
故选：D．
利用单位向量的定义和性质直接判断即可．
此题考查平面向量问题，解题时要认真审题，注意单位向量、零向量、共线向量的定义和的性质的合理运用．
4.【答案】A
【解析】解：∵二次三项式x2−6x+p能在实数范围内分解因式，
∴Δ=36−4p≥0，
解得：p≤9，
故选：A．
根据多项式能分解因式，得到多项式为0时方程有解，确定出p的范围即可．
此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：根据平移的性质，得到AB//B1A1，AB=B1A1，
故选：C．
直接利用平移的性质结合平行四边形的判定定方法得出答案．
本题考查了平移，平行四边形的判定，熟练掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：由题意知，函数关系为一次函数y=−2x+4，由k=−2<0可知，y随x的增大而减小，且当x=0时，y=4，
当y=0时，x=2．
故选：D．
先求出一次函数的关系式，再根据函数图象与坐标轴的交点及函数图象的性质解答即可．
本题考查学生对计算程序及函数性质的理解．根据计算程序可知此计算程序所反映的函数关系为一次函数y=−2x+4，然后根据一次函数的图象的性质求解．
7.【答案】x1=0，x2=− 2，x3= 2
【解析】解：因式分解得x(x+ 2)(x− 2)=0，解得x1=0，x2=− 2，x3= 2．
故答案为：x1=0，x2=− 2，x3= 2．
用因式分解的方法解题，在提取x后，要观察题中各因式的形式，要分解彻底．
本题考查了因式分解法解高次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解方程的一种简便方法，要会灵活运用．
8.【答案】x=−2
【解析】解： 3+x−1=0，
移项，得 3+x=1，
方程两边平方得：3+x=1，
解得：x=−2，
经检验x=−2是原方程的解．
故答案为：x=−2．
移项后方程两边平方得出方程3+x=1，再求出方程的解，最后进行检验即可．
本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
9.【答案】y=3x+1
【解析】解：原直线的k=3，b=−1；向下平移2个单位长度得到了新直线，那么新直线的k=3，b=−1+2=1，
则新直线的解析式为y=3x+1．
故答案为：y=3x+1．
只向上平移，比例系数不变，让常数项加平移的单位即可．
本题考查了函数图象的几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．上下平移时只需让b的值加减即可．
10.【答案】x=a−2
【解析】解：∵a≠−2，
∴a+2≠0；
∵(a+2)x=a2−4(a≠−2)，
∴x=a2−4a+2(a≠−2)，
∴x=a−2．
故答案为：x=a−2．
根据等式的性质，两边同时除以a+2，求出关于x的方程(a+2)x=a2−4(a≠−2)的解即可．
此题主要考查了解一元一次方程的方法，要明确解一元一次方程的一般步骤，去括号要注意括号前面的符号，移项时要改变符号是关键．
11.【答案】12
【解析】解：这个正多边形的边数是n，
则(n−2)⋅180°=1800°，
解得：n=12，
则这个正多边形是12．
n边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式，寻求等量关系，构建方程求解．
12.【答案】m<3
【解析】解：∵一次函数y=(m−3)x的函数值y随着x的值增大而减小，
∴m−3<0，
∴m<3；
故答案为：m<3．
根据一次函数y=kx+b(k≠0)的增减性来确定k的符号．
本题考查一次函数图象与系数的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k>0时，直线必经过一、三象限．k<0时，直线必经过二、四象限．b>0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b<0时，直线与y轴负半轴相交．
13.【答案】y2−2y−1=0
【解析】解：设xx−1=y，则方程xx−1−x−1x−2=0可转化为：y−1y−2=0，
去分母，方程两边同时乘以y，得：y2−2y−1=0，
故答案为：y2−2y−1=0．
根据设xx−1=y，则方程xx−1−x−1x−2=0可转化为：y−1y−2=0，然后再去分母，将该分式方程转化为整式方程即可．
此题主要考查了换元法，熟练掌握换元法是解决问题的关键．
14.【答案】x(x−1)=210
【解析】解：∵小队共有x人，且每位同学向其他同学赠送1句祝福语，
∴每人赠送(x−1)句祝福语，
又∵小队内共收到210句祝福语，
∴可列方程x(x−1)=210．
故答案为：x(x−1)=210．
由每位同学向其他同学赠送1句祝福语及小队共有x人，可得出每人赠送(x−1)句祝福语，再利用小队内共收到的祝福语=人数×每人赠送祝福语数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15.【答案】5
【解析】解：∵点P的纵坐标为5，
∵点P在一次函数y=3x+2的图象上，
∴5=3x+2，得x=1，
∴点P的坐标为(1,5)，
把P点的坐标代入y=kx得，5=k1
∴k=5，
故答案为：5．
把点P的纵坐标代入一次函数解析式，即可得到点P的坐标，然后代入反比例函数解析式，即可求得k．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，求得P点的坐标是解答本题的关键．
16.【答案】32 2
【解析】解：作DE/​/AC交BC的延长线于点E，
∵AD/​/CE，
∴四边形ACED为平行四边形，
∴AD=CE，DE=AC=3，ED⊥BD，
AD+BC=CE+BC=BE= BD2+ED2= 32+32=3 2，
∴梯形的中位线为：12(AD+BC)=12×3 2=32 2，
故答案为：32 2．
作DE/​/AC，从而得到四边形ACED为平行四边形，将两底的和转化为线段BE的长，利用梯形的中位线定理求得答案即可．
本题考查梯形的中位线，等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握梯形中位线定理是解题的关键．．
17.【答案】 13或1
【解析】解：如图：
AD= 32+22= 13，
如图：
AD=1．
故答案为： 13或1．
根据定义可以画出两个图，进而得出答案．
本题主要考查多边形，画出图形是解题的关键．
18.【答案】(2 5−2)
【解析】解：如图，连接EM，
在正方形ABCD中，AB=4cm，直线BF恰好经过CD的中点M，
∴CM=DM=2cm，
∴BM= BC2+CM2= 42+22=2 5，
由折叠的性质可知：AE=EF，AB=BF=4cm，
∴FM=BM−BF=2 5−4(cm)，
设AE=EF=x cm，则ED=(4−x)cm，
由勾股定理得：EM2=EF2+FM2=ED2+DM2，
∴x2+(2 5−4)2=(4−x)2+22，
解得：x=2 5−2
∴AE=2 5−2(cm)，
故答案为：(2 5−2)．
首先结合题意得到CM=DM，利用勾股定理求出BM，由折叠的性质可得：AE=EF，AB=BF，进而得到FM，设AE=EF=x，用x表示ED，利用勾股定理得到EM2=EF2+FM2=ED2+DM2，列出关于x的方程，进一步解答即可得解．
本题主要考查了翻折变换(折叠问题)，正方形的性质，勾股定理等知识点，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
19.【答案】解：由②得(x+y)(x−2y)=0，
则x+y=0或x−2y=0，
所以方程组可变形为x−y=2x+y=0或x−y=2x−2y=0，
解得x=1y=−1或x=4y=2．
【解析】由方程②可得x+y=0或x−2y=0，据此可得两个关于x、y的方程组，再分别求解可得．
本题主要考查高次方程，解高次方程的关键是利用合适的方法将方程中未知数的次数降低．
20.【答案】解：化为整式方程得：x2−4x+4+x2−4=16，
x2−2x−8=0，
解得：x1=−2，x2=4，
经检验x=−2时，x+2=0，
所以x=4是原方程的解．
【解析】分式方程变形后去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
21.【答案】EB FC
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AB=CD，
∵AE=2EB，CF=2DF，
∴DF=BE，
∴与DF相等的向量是EB．
故答案为：EB；
(2)连接CE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/BC，AD=BC，
∴AD+EB=EC，
∴AD+EB−EF=−CE−EF=−CF=FC．
故答案为：FC；
(3)如图，AG即为所求．
(1)利用平行四边形的性质以及题目条件证明DF=BE，可得结论；
(2)利用三角形法则求解；
(3)在AB的下方作BG/​/EF，且BG=EF，连接AG，AG即为所求．
本题考查作图−复杂作图，平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是掌握三角形法则．
22.【答案】解：过A作AH⊥BC于H，
∵AD/​/BC，∠C=90°，
∴∠D=90°，
∴∠D=∠C=∠AHC=90°，
∴四边形AHCD是矩形，
∴AH=CD=2，CH=AD=1，
∵AB=BC，
∴BH=BC−1，
∵AB2=AH2+BH2，AB=BC，
∴BC2=22+(BC−1)2，
∴BC=52，
∴S梯形ABCD=12(AD+BC)⋅CD=12×(1+52)×2=72．
【解析】过A作AH⊥BC于H，根据平行线的性质得到∠D=90°，根据矩形的性质得到AH=CD=2，CH=AD=1，∵AB=BC，求得BH=BC−1，根据勾股定理得到BC=52，根据梯形的面积公式即可得到结论．
本题考查了直角梯形，矩形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】B类图书每本进价 购进A类图书的数量
【解析】解：(1)观察所列方程可知，甲同学所列方程中的x表示B类图书每本进价，
乙同学所列方程中的x表示购进A类图书的数量；
故答案为：B类图书每本进价，购进A类图书的数量；
(2)由9601.6x=960x−12可得x=30，
经检验，x=30是原方程的解，
∴1.6x=1.6×30=48，
∴A类图书每本进价48元，B类图书每本进价30元；
根据题意得：48m+30n=4500(52−48)m+(40−30)n=900，
解得m=50n=70，
∴书店购进A类图书50本，B类图书70本．
(1)观察所列方程可知，甲同学所列方程中的x表示B类图书每本进价，乙同学所列方程中的x表示购进A类图书的数量；
(2)结合(1)求出A类图书每本进价48元，B类图书每本进价30元；根据题意可得48m+30n=4500(52−48)m+(40−30)n=900，即可解得答案．
本题考查二元一次方程组和分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
24.【答案】证明：(1)∵AD/​/BC，AB/​/CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴S平行四边形ABCD=AB⋅DE=BC⋅DF，
∵DE=DF，
∴AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
(2)如图，由(1)可知，四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，BC=DC，
∴∠BDC=∠DBC，
∵DF⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∴OF=12BD=OB，
∴∠DBC=∠OFB，
∴∠BDC=∠OFB．
【解析】证明四边形ABCD是平行四边形，再由平行四边形面积证明AB=BC，然后由菱形的判定即可得出结论；
(2)由菱形的性质得OB=OD，BC=DC，则∠BDC=∠DBC，再由直角三角形斜边上的中线性质得OF=12BD=OB，则∠DBC=∠OFB，即可得出结论．
本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
25.【答案】解：(1)由题意得y=xy=2x−3，
解得x=3y=3，
∴点A的坐标为(3,3)；
(2)∵点B在直线AC上，
当y=0时，即2x−3=0，
∴x=32，
∵点P是OA的中点，A(3,3)，
∴P(32,32)，
∵点P和点B的横坐标都等于32，
∴BP=32−0=32，
∴线段BP的长度为32；
(3)如图，

∵四边形OPHD是正方形，
∴OH=PD，OH⊥PD，
则PD⊥x轴，
∵点P在线段OA上，
设P(x,x)，
∵点D在直线AC上，
∴D(x,2x−3)，
则OH=2x，PD=x−(2x−3)=3−x，
∴2x=3−x，
∴x=1，
∴点P的坐标为(1,1)．
【解析】(1)根据交点联立，即可求解；
(2)①根据中点的定义即可求解；
②根据正方形的性质即可求解．
本题考查了正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握正方形的性质．
26.【答案】解：(1)∵四边形ABCD矩形，
∴AB=CD=3，BC=AD=5，∠A=90°，
矩形GBEF是由矩形ABCD旋转得到，
∴BE=CB=5，
在Rt△ABE中，AE= BE2−AB2= 52−32=4，
∴DE=AD−AE=5−4=1；
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3，∠A=∠C=∠D=90°，
∴∠AEB+∠ABE=90°，
∵CH=m，
∴DH=3−m，
∵矩形GBEF是由矩形ABCD旋转得到，
∴BE=CB，∠BEF=∠C=90°，
∴BE=CB=AD，
设AE=x，DE=y，则BE=BC=AD=x+y，
∵∠AEB+∠AEF=∠BEF=90°，∠AEF=∠DEH，
∴∠ABE=∠DEH，
∴△ABE∽△DEH，
∴AEDH=ABDE，即x3−m=3y，
∴xy=9−3m，
由勾股定理得AE2+AB2=BE2，
即x2+32=(x+y)2，
∴2xy+y2=9，
∴2(9−3m)+y2=9，
解得y= 6m−9，
∴x=9−3m 6m−9=3−m2m−3 6m−9，
∴BC=x+y=m2m−3 6m+9．
(3)当AE=EF时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3，∠A=90°，
由旋转可得EF=CD=3，BE=BC，
∴AE=3，
由勾股定理得BE= AB2+AE2= 32+32=3 2，
∴BC=BE=3 2，
当AE=AF时，过点A作AH⊥EF于H，如图，

∵AE=AF，AH⊥EF，
∴EH=12EF=32，
∵∠AEH+∠AEB=90°，∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠AEH=∠ABE，
∵∠AHE=∠BAE=90°，
∴△AEH∽△EBA，
∴AEBE=EHAB=323=12，
∴AE=12BE，
由勾股定理得BE2=AE2+AB2，
∴BE2=(12BE)2+32，
解得BE=2 3，
由旋转可得BC=BE=2 3，
综上，当△AEF是以AE为腰的等腰三角形时，BC的长为3 2或2 3．
【解析】(1)先由矩形的性质与旋转的性质得AB=CD=3，BC=AD=5，BE=CB=5，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得AE，即可解决问题；
(2)设AE=x，DE=y，则BE=BC=AD=x+y，证明△ABE∽△DEH，得AEDH=ABDE，则xy=9−3m，再由勾股定理得AE2+AB2=BE2，即x2+32=(x+y)2，即2xy+y2=9，所以2(9−3m)+y2=9，求得y= 6m−9，从而求得x=9−3m 6m−9=3−m2m−3 6m−9，即可由BC=x+y求解．
(3)分两种情况：当AE=EF时，当AE=AF时，分别求解即可．
本题考查四边形的综合应用，主要考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形三线合一的性质，本题综合性较强，有一定难度．