2023-2024学年上海市普陀区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市普陀区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中，与 2a是同类二次根式的是( )
A. 3aB. 6aC. 8aD. 12a
2. 5m+n的有理化因式是( )
A. 5m+ nB. 5m+nC. 5m− nD. 5m−n
3.下列函数中，y的值随x的值增大而减小的是( )
A. y=5xB. y=5xC. y=−5xD. y=−5x
4.在下列关于x的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是( )
A. x2−3x−1=0B. 3x2−x+1=0C. x2+3=0D. x2−4x+4=0
5.下列命题的逆命题是假命题的是( )
A. 如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形是等边三角形
B. 如果两个三角形关于某个点成中心对称，那么这两个三角形全等
C. 如果一个三角形的两个锐角的和为90°，那么这个三角形是直角三角形
D. 如果两个三角形能够互相重合，那么这两个三角形是全等三角形
6.如图，在△ABC中，∠BAC是钝角，以点C为圆心、CB的长为半径画弧，再以点A为圆心、AB的长为半径画弧，这两条弧相交于点D，连接BD，延长CA交BD于点E.下列结论中一定正确的是( )
A. BC=BD
B. 2AE=AB
C. BE=DE
D. ∠ABD=∠ABC
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
7.化简： a39= ______ ．
8.方程2x2−x=0的根是______．
9.函数y= 3x+4的定义域是______ ．
10.已知函数f(x)=x+42x−1，那么f(2)= ______ ．
11.在实数范围内分解因式：x2− 5x+1= ______ ．
12.如果反比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象位于第二、四象限，那么k= ______ .(只需写一个数值)
13.某商品的原价为100元，如果经过两次降价后的价格为81元，且每次降价的百分率都相同，那么该商品每次降价的百分率是______．
14.已知M、N是两个定点，那么经过这两个定点的圆的圆心轨迹是______ ．
15.如图，为了测量塔CD的高度，现选取两个测量点A和B(点A、B、C在一条直线上)，测得∠CAD=15°，∠CBD=30°.如果AB=a，那么塔高CD= ______ .(结果用含字母a的代数式表示)
16.如图，在四边形ABCD中，AB=AC，CE⊥AD，垂足为点E.如果CE=12BC，∠CAD=18°，那么∠B= ______ °.
17.小明求代数式 x2+1+ (x−4)2+4的最小值时，采用如下方法：如图，在同一直角坐标平面内，设M(x,0)为x轴上的一个动点，选取点A(0,1)和B(4,2)，根据两点的距离公式得AM= x2+1，BM= (x−4)2+4，通过构造，将求代数式的最小值转化为求AM+BM的最小值.由此小明求出 x2+1+ (x−4)2+4的最小值等于______ ．
18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2 6，AB=2 10，点D在边BC上，且CD=13BD，现将△ABC绕着点D旋转得到△A1B1C1，点A1、B1、C1分别与点A、B、C对应，连接AA1，如果点C1在线段AD的延长线上，那么AA1= ______ ．
三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算： 2× 62+ 18 6−22− 3．
20.(本小题6分)
解方程：x(x−4)2=x+8．
21.(本小题6分)
现有两段长度相等的路面需要摊铺，分别交给甲乙两队完成.甲队摊铺路面的长度y(米)与摊铺时间x(小时)的函数关系的图象如图所示；乙队摊铺路面的长度y(米)与摊铺时间x(小时)的函数解析式是y=10x(0≤x≤10).结合图象提供的信息，回答下列问题：
(1)甲队摊铺的路面总长是______ 米；
(2)在图中画出乙队摊铺路面的长度y(米)与摊铺时间x(小时)的函数关系的图象；
(3)当甲队的工作效率发生变化的这个时刻，乙队摊铺路面的长度是______ 米；
(4)甲队的平均工作效率是每小时______ 米.
22.(本小题6分)
如图，在△ABC中，BC= 5AB，直线l⊥AC，垂足为点D．
(1)如果点E在直线l上，且点E到∠BAC两边的距离相等，试用直尺和圆规作出满足上述条件的点E(不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点E)；
(2)在第(1)题的条件下，连接BE和CE，如果S△ABES△ACE=12，请判断△ABC的形状，并说明理由．
23.(本小题8分)
已知：如图，在△ABC中，点A在边BC的垂直平分线上，直线l经过点A，BD、CE分别垂直于直线l，垂足分别为点D、E，且BD=AE．
(1)求证：△ABD≌△CAE；
(2)取边BC的中点F，连接EF，求证：EF平分∠DEC．
24.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy内，正比例函数y=−12x的图象经过点A(−2,m)，点A与点B关于y轴对称，且点B在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上．
(1)求m的值和反比例函数的解析式；
(2)设P是直线y=−12x上的一动点.当线段BP最短时，求△ABP的面积．
25.(本小题12分)
【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系.如图，已知在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的中线，AE⊥BD，垂足为点F．
(1)根据图1，写出△ABC中小普同学所发现的结论，并给出证明；
【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”.下面我们跟着小普同学再探究：
(2)在如图1中，“线垂”三角形ABC是否可以是直角三角形？如果可以，求∠DBC的度数；如果不可以，请说明理由；
(3)已知线段MN，是否存在一点P，使得以MN为一边的“线垂”三角形PMN为等腰三角形？如果存在，请在图2中用直尺和圆规作出∠PMN为“分角”的“线垂”等腰三角形PMN(不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点P)，并用文字语言归纳表述成一条与“线垂”等腰三角形的边或角有关的真命题；如果不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
【解答】
解：A、 3a与 2a不是同类二次根式；
B、 6a与 2a不是同类二次根式；
C、 8a=2 2a与 2a是同类二次根式；
D、 12a=2 3a与 2a不是同类二次根式；
故选：C．
2.【答案】B
【解析】解： 5m+n⋅ 5m+n=5m+n，
所以 5m+n的有理化因式是 5m+n，
故选：B．
根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号，即可判断．
本题考查了有理化因式，熟练掌握有理化因式的定义是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、一次函数y=5x中，∵k=5>0，∴y的值随x的值增大而增大，不符合题意；
B、反比例函数y=5x中，∵k=5>0，∴函数图象的两个分支分别位于第一三象限，在每一象限内，y的值随x的值增大而减小，不符合题意；
C、一次函数y=−5x中，∵k=−5<0，∴y的值随x的值增大而减小，符合题意；
D、反比例函数y=−5x中，∵k=−5<0，∴函数图象的两个分支分别位于第二四象限，在每一象限内，y的值随x的值增大而增大，不符合题意．
故选：C．
根据反比例函数及正比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是反比例函数及正比例函数的性质，熟知函数图象与系数的关系是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：A、Δ=(−3)2−4×1×(−1)=9+4=13>0，一定有两个不相等的实数根，符合题意；
B、Δ=(−1)2−4×3×1=−11<0，无实数根，不符合题意；
C、Δ=02−4×1×3=−12<0，无实数根，不符合题意；
D、Δ=(−4)2−4×1×4=0，有两个相等的实数根，不符合题意．
故选：A．
先求出Δ的值，再比较出其与0的大小即可求解．
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形是等边三角形，逆命题是如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形是轴对称图形，是真命题，不符合题意；
B、如果两个三角形关于某个点成中心对称，那么这两个三角形全等，逆命题是如果两个三角形全等，那么这两个三角形关于某个点成中心对称，是假命题，符合题意；
C、如果一个三角形的两个锐角的和为90°，那么这个三角形是直角三角形，逆命题是如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形的两个锐角的和为90°，是真命题，不符合题意；
D、如果两个三角形能够互相重合，那么这两个三角形是全等三角形，逆命题是如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形能够互相重合，是真命题，不符合题意；
故选：B．
分别写出各个命题的逆命题，根据等边三角形的性质、轴对称图形、中心对称的概念、直角三角形的性质判断即可．
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6.【答案】C
【解析】解：由作法得AD=AB，CD=CB，
∴AC垂直平分BD，
∴BE=DE．
故选：C．
利用基本作图得AD=AB，CD=CB，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可判断AC垂直平分BD，所以BE=DE．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
7.【答案】a a3
【解析】解：∵a39≥0，
∴a≥0，
∴ a39= (a3)2⋅a=a a3．
故答案为：a a3．
先根据二次根式有意义的条件得到a≥0，然后根据二次根式的性质化简．
本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键．
8.【答案】x1=0，x2=12
【解析】【分析】
本题主要考查因式分解法解一元二次方程，通过将方程左边因式分解，把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题是因式分解法解一元二次方程的关键．
将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程可得．
【解答】
解：左边因式分解，得：x(2x−1)=0，
∴x=0或2x−1=0，
解得：x1=0，x2=12，
故答案为：x1=0，x2=12．
9.【答案】x≥−43
【解析】解：由题意得：3x+4≥0，
解得：x≥−43，
故答案为：x≥−43．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
10.【答案】2
【解析】解：∵f(x)=x+42x−1，
∴f(2)=2+44−1=2．
故答案为：2．
把x=2代入函数关系式即可解答．
本题考查了函数值，明确把x=2代入函数关系式进行计算是解题的关键．
11.【答案】(x− 52+12)(x− 52−12)
【解析】解：x2− 5x+1
=x2− 5x+( 52)2−( 52)2+1
=(x− 52)2−14
=(x− 52+12)(x− 52−12).
故答案为：(x− 52+12)(x− 52−12).
将x2− 5x+1化成一个完全平方式与另一个数的差，再运用平方差公式分解因式．
本题主要考查实数范围内分解因式，其中涉及完全平方公式和平方差公式的运用．
12.【答案】−1(答案不唯一)
【解析】解：∵反比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象位于第二、四象限，
∴k<0，
∴k=−1(答案不唯一)．
先根据反比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象位于第二、四象限判断出k的符号，进而可得出结论．
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．
13.【答案】10%
【解析】解：设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为100(x−1)2元，
根据题意得：100(x−1)2=81，
即x−1=0.9，
解之得x1=1.9，x2=0.1．
因x=1.9不合题意，故舍去，所以x=0.1．
即每次降价的百分率为0.1，即10%．
故答案为：10%．
设每次降价的百分率为x，第一次降价后价格变为100(1−x)，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100(x−1)(x−1)，从而列出方程，求出答案．
此题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍，难度一般．
14.【答案】线段MN的垂直平分线上
【解析】解：∵M、N是两个定点，
∴经过这两个定点的圆的圆心到M、N两点的距离相等，
∴这个圆的圆心在线段MN的垂直平分线上．
故答案为：线段MN的垂直平分线上．
由于圆要经过M、N是两个定点，所以这个圆的圆心到M、N两点的距离相等，由此即可确定这个圆心的轨迹．
此题主要考查了轨迹，解题的关键是确定所求轨迹具有的共同性质．
15.【答案】12a
【解析】解：∵∠CAD=15°，∠CBD=30°，
∴∠ADB=∠CBD−∠CAD=15°=∠CAD，
∴AB=BD=a，
在Rt△BCD中，∠CBD=30°，AB=a，
∴CD=12BD=12a，
故答案为：12a.
根据三角形内角和定理求出∠ADB，进而根据等腰三角形的判定得出BD=AB=a，再在直角三角形BCD中，由30度角所对的直角边等于斜边一半即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握等腰三角形的判定和性质，直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
16.【答案】72
【解析】解：过A作AH⊥BC于H，
∵AB=AC，
∴CH=12BC，∠B=∠ACB，
∵CE=12BC，
∴CH=CE，
∵CE⊥AD，AH⊥BC，
∴∠AEC=∠AHC=90°，
∵AC=AC，CE=CH，
∴Rt△ACE≌Rt△ACH(HL)，
∴∠ACB=∠ACE，
∵∠CAD=18°，
∴∠ACE=90°−∠CAD=72°，
∴∠B=∠ACE=72°．
故答案为：72．
过A作AH⊥BC于H，由等腰三角形的性质推出CH=12BC，∠B=∠ACB，而CE=12BC，得到CH=CE，由HL证明Rt△ACE≌Rt△ACH，得到∠ACB=∠ACE，求出∠ACE=90°−∠CAD=72°，即可得到∠B=∠ACE=72°．
本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是证明Rt△ACE≌Rt△ACH(HL)，得到∠ACB=∠ACE．
17.【答案】5
【解析】解：如图，作点A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于M，则此时AM+BM的值最小，且等于BC的长度，
∵点A(0,1)和B(4,2)，
∴C(0,−1)，
∴BC= 42+(2+1)2=5，
∴AM+BM的最小值为5，
即 x2+1+ (x−4)2+4的最小值等于5，
故答案为：5．
作点A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于M，则此时AM+BM的值最小，且等于BC的长度，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了轴对称−最短路径问题，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
18.【答案】2 15
【解析】解：如图，∵∠ACB=90°，AC=2 6，AB=2 10，
∴BC= AB2−AC2= 40−24=4，
∵CD=13BD，
∴CD=14CD=1，
∴AD= AC2+CD2= 24+1=5，
∵将△ABC绕着点D旋转得到△A1B1C1，
∴C1D=CD=1，A1C1=AC=2 6，
∴AC1=6，
∴AA1= A1C12+C1A2= 36+24=2 15，
故答案为：2 15．
由勾股定理可求BC，AD，由旋转的性质可得C1D=CD=1，A1C1=AC=2 6，由勾股定理可求解．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
19.【答案】解：原式= 2× 2× 32+ 186−2(2+ 3)
= 3+ 3−4−2 3
=−4．
【解析】先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后分母有理化后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
20.【答案】解：方程整理得：x2−6x−16=0，
分解因式得：(x+2)(x−8)=0，
∴x+2=0或x−8=0，
解得：x1=−2，x2=8．
【解析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
21.【答案】100 50 253
【解析】解：(1)由图象可知，甲队摊铺的路面总长是100米，
故答案为：100；
(2)当x=0时，y=0；
当x=10时，y=100，画出图象如下：
(3)当x=5时，y=10×5=50(米)，
故答案为：50；
(4)甲队的平均工作效率是=10012=253(米/小时)，
故答案为：253．
(1)直接由图象信息得出结果；
(2)利用描点法画出图象即可；
(3)将x=5代入乙队的函数解析式求出y的值即可；
(4)将甲队摊铺路面的长度除以摊铺时间即可求出甲队的平均工作效率．
本题考查一次函数的应用，理解题意，能从图象中获取有用信息时解题的关键．
22.【答案】解：(1)如图，点E为所作；

(2)△ABC为直角三角形．
理由如下：
∵S△ABES△ACE=12，点E到∠BAC两边的距离相等，
∴ABAC=12，
即AC=2AB，
∵BC= 5AB，
∴AB2+AC2=AB2+4AB2=5AB2，BC2=( 5AB)2=5AB2，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形．
【解析】(1)作∠BAC的平分线交直线l于E点，根据角平分线的性质可判断E点满足条件；
(2)利用三角形面积公式可得到ABAC=12，即AC=2AB，然后利用勾股定理的逆定理可证明△ABC为直角三角形．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和勾股定理的逆定理．
23.【答案】证明：(1)∵点A在边BC的垂直平分线上，
∴AB=AC，
∵BD、CE分别垂直于直线l，
∴△CAE和△ABD是直角三角形，
在Rt△ABD和Rt△CAE中，
AB=ACAE=BD，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL)；
(2)如图，连接AF，作FG⊥CE于G，作FH⊥AD于H，设AF交CE于O，

∴∠AHF=∠CGF=90°，
∵∠BAC=90°，F是BC的中点，AB=AC，
∴AF=CF=12BC，AF⊥BC，
∴∠AFC=90°，
∵∠AOE=∠COF，
∴∠FAH=∠FCG，
在△AFH和△CFG中，
∠AHF=∠CGF=90°∠FAH=∠FCGAF=CF，
∴△AFH≌△CFG(AAS)，
∴FH=FG，
∵FG⊥CE，FH⊥AD，
∴EF平分∠CED．
【解析】(1)根据线段垂直平分线的性质得到AB=AC，利用HL即可证明Rt△ABD≌Rt△CAE；
(2)连接AF，作FG⊥CE于G，作FH⊥AD于H，设AF交CE于O，可证得△AFH≌△CFG，从而FH=FG，进而得出结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
24.【答案】解：(1)∵正比例函数y=−12x的图象经过点A(−2,m)，
∴m=−12×(−2)=1，
∴A(−2,1)，
∵点A与点B关于y轴对称，
∴B(2,1)，
∵点B在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，
∴k=2×1=2，
∴反比例函数的解析式为y=2x；
(2)过点B作直线y=−12x的垂线，垂足为P，如图，此时线段BP最短，
设直线PB为y=2x+b，
把点B(2,1)代入得1=4+b，
解得b=−3，
∴直线PB为y=2x−3，
解方程组y=2x−3y=−12x得x=65y=−35，
∴P(65,−35)，
∵A(−2,1)，B(2,1)，
∴AB=4，点P到AB的距离为1+35=85，
∴S△ABP=12×4×85=165．
即当线段BP最短时，△ABP的面积为165．
【解析】(1)由正比例函数的解析式求得m的值得到点A的坐标，再利用关于y轴对称点的坐标特征得点B的坐标，然后利用待定系数法可求得反比例函数的解析式；
(2)过点B作直线y=−12x的垂线，垂足为P，利用垂线段最短得到此时线段BP最短，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数求出直线BP的解析式，则解方程组y=2x−3y=−12x得P(65,−35)，然后根据三角形面积公式求解．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的图象上点的坐标特征，轴对称的性质等，确定P点的位置是解题的关键．
25.【答案】解：(1)BC=2AB，
证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AE⊥BD，
∴∠BFA=∠BFE=90°，
∴∠ABD+∠BAF=∠CBD+∠BEF=90°，
∴∠BAF=∠BEF，
∴BA=BE，
∵AE是△ABC的中线，
∴BE=CE，
∴BA=BE=12BC，
∴BC=2AB；
(2)可以是直角三角形，
证明：当∠BAC=90°时，
∵BC=2AB，
∴∠C=30°，
∴∠ABC=60°，
∴BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴∠DBC=30°；
(3)存在，
根据题意描述，点P在线段MN的垂直平分线上，
作图如下：

真命题：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
【解析】(1)先根据BF平分∠ABE和BF⊥AE推出BA=BE，由AE是△ABC的中线得出BE=CE，则可得出BC与AB的倍数关系；
(2)根据三角形边的大小关系推出当△ABC是直角三角形时只能是∠BAC=90°，然后根据BC与AB的倍数关系推出∠C的度数，易得∠DBC的度数；
(3)由题意知点P在线段MN的垂直平分线上，画出图形即可．
本题是三角形综合题，考查了新定义“线垂”三角形，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．