2023-2024学年上海市长宁区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年上海市长宁区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.一次函数y=2x−1的图象不会经过的象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.用换元法解方程(xx−1)2−3x1−x−4=0时，如果设xx−1=y，那么原方程可变形为( )
A. y2−3y−4=0B. y2+3y−4=0C. y2−13y−4=0D. y2+13y−4=0
3.下列关于向量说法错误的是( )
A. 既有大小，又有方向的量叫做向量B. 向量的大小叫做向量的模
C. 长度为零的向量叫做零向量D. 零向量是没有方向的
4.下列说法中，正确的是( )
A. 必然事件的概率为1B. 随机事件的概率为0.5
C. 概率很小的事件不可能发生D. 概率很大的事件一定发生
5.下列说法中正确的是( )
A. 等腰梯形是中心对称图形B. 平行四边形是轴对称图形
C. 菱形的对角线互相垂直且相等D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等
6.综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形.(1)∼(3)是其作图过程.
(1)作BD的垂直平分线交BD于点O；
(2)连接AO，在AO的延长线上截取OC=AO；
(3)连接DC，BC，则四边形ABCD即为所求.
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( )
A. 两组对边分别平行B. 两组对边分别相等
C. 对角线互相平分D. 一组对边平行且相等
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
7.直线y=−3x−1的截距是______.
8.方程 x−1=1的实数根是______.
9.如果关于x的方程(m+2)x=1无解，那么m的取值范围是______.
10.如图，直线y=kx+b过点(2,0)，(0,3)，那么关于x的不等式kx+b≤0的解集是______.
11.如果直线y=kx+b(k≠0)与直线y=3x+3没有交点且过点(2,0)，那么b的值为______.
12.已知一次函数y=(1−m)x+2图象上两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，当x1y2，那么m的取值范围是______.
13.一个不透明的袋子中装着除了颜色外均相同的若干红球和6个蓝球，从中随机摸出一个球，如果摸到红球的概率是14，那么袋子中共有______个球.
14.某年级计划组织部分同学进行义务植树200棵，由于同学们积极参与，实际参加植树的同学人数比原计划多了30人，结果每人比原计划少植树1棵，但总共植树比原计划多了40棵，如果假设实际参加植树的同学人数为x人，那么可列出方程______.
15.如果从多边形的一个顶点出发的对角线有9条，那么它的边数是______.
16.矩形的两条对角线的夹角为60∘，一条对角线长为2，则矩形的面积为______.
17.如果梯形的中位线长为4，其中一条底边长为2，一条腰长为6，那么另外一条腰长x的取值范围是______.
18.如图，正方形ABCD的边长为 2，将△ABC绕点A旋转，得到△AB′C′，其中B、C的对应点分别是点B′，C′，如果点B′在正方形ABCD内，且到点B、C的距离相等，那么C′D的长为______.
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
19.解方程x−2x−1+x+3x+1+2x2−1=1
四、解答题：本题共6小题，共47分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题5分)
解方程组：{x+2y=4①x2−xy−2y2=0②.
21.(本小题6分)
如图，平行四边形ABCD中，点E为CD中点.把图中的线段都画成有向线段.
(1)填空：在这些有向线段表示的向量中，与DE相等的向量是______，与DE互为相反向量的向量是______；
(2)求作：BA+AE−DE(不写作法，保留作图痕迹，写出结论).
22.(本小题7分)
某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路(如图1)到爱国主义教育基地进行研学.上午8：00，军车在离营地60km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s(km)与所用时间t(h)的函数关系如图2所示.
(1)求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值.
(2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间.
23.(本小题9分)
已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AG是BC边上的高.H为线段CG上的点，以AG、GH为邻边作矩形AGHD，联结BD交AG于点E，联结AC交DH于点F.
(1)如果AB=AF，求证：四边形AGHD为正方形；
(2)联结EF，如果∠DBC=∠BAG，求证：四边形AEFD为矩形.
24.(本小题9分)
如图，在直角坐标平面内，直线y=kx+3与y轴交于点A，与双曲线y=−4x(x>0)交于点B.
(1)联结BO，如果△AOB的面积为6，求直线AB的表达式；
(2)点C在x轴负半轴上，点D在BO的延长线上，如果四边形ABCD是菱形，求点B的坐标.
25.(本小题11分)
定义：如果梯形的一个内角等于其它三个内角中的两个内角之和，那么称这个梯形为“加和角梯形”，这个内角称为“加和角”.
(1)如图1，在梯形ABCD中，AD//BC，点E为边BC上一点，四边形ABED为菱形，点E为边BC中点，求证：梯形ABCD为“加和角梯形”；
(2)在“加和角梯形”ABCD中，∠ADC为“加和角”，AD//BC.
①如图2，如果AB=DC，AC⊥BD，垂足为点O，AC=2 6，求梯形ABCD的周长；
②如图3，如果∠A=90∘，点E为边BC中点，过点E作EF//CD交边AB于点F，AD=2，AB=4，点G在边CD上使得△EFG是以FG为腰的等腰三角形，求DG的长.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：在一次函数y=2x−1中，k=2>0，b=−1<0，
∴一次函数y=2x−1的图象经过一、三、四象限，
∴图象一定不经过第二象限．
故选：B.
根据一次函数的性质即可判断．
本题考查了一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
2.【答案】B
【解析】解：原方程可变为(xx−1)2+3xx−1−4=0，
设xx−1=y，原方程变为：
y2+3y−4=0，
故选：B.
原方程可变为(xx−1)2+3xx−1−4=0，若设xx−1=y方程可变为y2+3y−4=0即可．
本题考查换元法解分式方程，理解换元法的定义是正确解答的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、既有大小，又有方向的量叫做向量，故原说法正确；
B、向量的大小叫做向量的模，故原说法正确；
C、长度为零的向量叫做零向量，故圆说法正确；
D、零向量是有方向的，故原说法错误，
故选：D.
根据平面向量的定义逐一判断即可．
本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的定义是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：A、必然事件的概率为1，故A符合题意；
B、0<随机事件的概率<1，故B不符合题意；
C、概率很小的事件也可能发生，故C不符合题意；
D、概率很大的事件不一定会发生，故D不符合题意；
故选：A.
根据概率的意义，随机事件，概率公式，逐一判断即可解答．
本题考查了概率的意义，随机事件，概率公式，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A.等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C.菱形的对角线互相垂直但不相等，故本选项不符合题意；
D.正方形的对角线互相垂直平分且相等，故本选项符合题意．
故选：D.
选项A根据中心对称图形的定义以及等腰梯形的性质判断即可；选项B根据轴对称图形的定义判断即可；选项C根据菱形的性质判断即可；选项D根据正方形的性质判断即可．
本题考查了中心对称图形，轴对称图形，菱形的性质、正方形的性质以及等腰三角形的性质，掌握相关定义是解答本题的关键．
6.【答案】C
【解析】【分析】
根据：“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明即可．
本题考查了作线段的垂直平分线，作一条线段等于已知线段，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
【解答】
解：由作图得：DO=BO，AO=CO，
∴四边形ABCD为平行四边形，
故选：C.
7.【答案】−1
【解析】解：∵y=3x−1，
∴当x=0时，y=−1.
故答案为：−1.
一次函数的截距就是当x=0时，y的取值．
本题考查一次函数的性质，关键是明白截距的概念，以及求法．
8.【答案】x=2
【解析】解： x−1=1，
方程两边平方，得x−1=1，
解得：x=2，
经检验x=2是原方程的解．
故答案为：x=2.
方程两边平方得出x−1=1，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
9.【答案】−2
【解析】解：∵关于x的方程(m+2)x=1无解，
∴m+2=0，
解得：m=−2.
故答案为：−2.
根据方程(m+2)x=1无解得出m+2=0，再求出m即可．
本题考查了一元一次方程的解，能得出关于m的方程m+2=0是解此题的关键．
10.【答案】x≥2
【解析】解：根据函数图象可知，
∴关于x的不等式kx+b≤0的解集是x≥2.
故答案为：x≥2.
结合函数图象，写出直线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
11.【答案】−6
【解析】解：∵直线y=kx+b(k≠0)与直线y=3x+3没有交点，
∴k=3，
∵过点(2,0)，
∴0=3×2+b，解得b=−6.
故答案为：−6.
由题意可知两条直线平行，得出k=3，然后代入(2,0)即可求得b的值．
本题考查了两条直线的相交或平行问题，也考查了待定系数法确定函数解析式，求出k值是本题的关键．
12.【答案】m>1
【解析】解：∵x1y2，
∴y随x的增大而减小，
∴1−m<0，
∴m>1.
故答案为：m>1.
先根据x1y2，得到y随x的增大而减小，所以x的比例系数小于0，那么1−m<0，解不等式即可求解．
本题考查一次函数上点的坐标特点：当k>0，y随x增大而增大；当k<0时，y将随x的增大而减小．
13.【答案】8
【解析】解：设有红球x个，
∵袋子中装着除了颜色外均相同的若干红球和6个蓝球，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是14，
∴xx+6=14，
解得x=2，
∴袋子中的球共有6+2=8(个).
故答案为：8.
设有红球x个，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是概率公式，熟记概率公式是解题的关键．
14.【答案】200+40x+1=200x−30
【解析】解：设实际参加植树的同学人数为x人，则原计划有(x−30)人参加植树活动，
根据题意得：200+40x+1=200x−30.
故答案为：200+40x+1=200x−30.
设实际参加植树的同学人数为x人，则原计划有(x−30)人参加植树活动，根据实际每人植树棵数+1=原计划每人植树棵数，即可列出方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是弄清题意，找到等量关系．
15.【答案】12
【解析】解：∵从多边形的一个顶点出发的对角线有9条，
∴多边形的边数为：9+3=12.
故答案为：12.
根据n边形从一个顶点出发的对角线最多可画的条数为n−3，求出多边形的边数即可．
本题主要考查了多边形的边数与对角线条数的关系，解题的关键是熟练掌握n边形从一个顶点出发的对角线最多可画的条数为n−3.
16.【答案】 3
【解析】解：矩形的两条对角线的夹角为：∠1=60∘，
∵矩形对角线相等且互相平分，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=AO=12AC=1，
在直角△ABC中，AC=2，AB=1，
∴BC= AC2−AB2= 3，
故矩形的面积为：1× 3= 3.
故答案为： 3.
根据矩形的两条对角线的夹角为60∘，可以判定△AOB为等边三角形，即可求得AB=AO，在直角△ABC中，已知AC，AB，根据勾股定理即可计算BC的长，进而计算矩形的周长即可解题．
此题主要考查了矩形对角线相等且互相平分的性质，等边三角形的判定，勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理计算BC的长是解题的关键．
17.【答案】2【解析】解：过点D作DE⊥BC于E，
∴DE=AB，
当AD=BE=2时，
中位线长为4，
∴AD+BC=8，
当BC=6，CD=6时，
则AD=BE=2，
∴CE=BC−AD=4，
另外一条腰长x的取值范围是6−4即2当BC=6，DE=6时，
∴CE=BC−AD=4，
另外一条腰长x的取值范围是6故答案为：2作DE⊥BC于E点，利用勾股定理求得EC的长，分上下两底分别为6，求得另一底边的长即可．
本题考查了梯形的中位线定理，解题的关键是分两种情况讨论．
18.【答案】 3−1
【解析】解：过B′作EF//AB，作B′H⊥AB，
由正方形ABCD的边长为 2，点B′到点B、C的距离相等，将△ABC绕点A旋转，得到△AB′C′，
得AB′=AB=AD，∠B′AC=45∘−∠CAC′=∠DAC′，AC=AC′，
得△B′AC≌△DAC′(SAS)，
得C′D=CB′=BB′，
由四边形HBEB′是矩形，
得B′H=BE=12BC= 22，AH= AB′2−B′H2= 62，BH=AB−AH= 2 62，
得C′D=BB′= B′H2+BH2= 3−1.
故答案为： 3−1.
过B′作EF//AB，作B′H⊥AB，由正方形ABCD的边长为 2，点B′到点B、C的距离相等，将△ABC绕点A旋转，得到△AB′C′，得AB′=AB=AD，∠B′AC=45∘−∠CAC′=∠DAC′，AC=AC′，得△B′AC≌△DAC′(SAS)，得C′D=CB′=BB′，由四边形HBEB′是矩形，得B′H=BE=12BC= 22，AH= AB′2−B′H2= 62，BH=AB−AH= 2 62，即可得C′D=BB′= B′H2+BH2= 3−1.
本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是正确作出辅助线．
19.【答案】解：去分母，得(x−2)(x+1)+(x+3)(x−1)+2=x2−1，
整理后，得x2+x−2=0，
解这个方程，得x1=−2，x2=1，
检验：把x=−2代入x2−1，它等于3≠0，
所以x=−2是原方程的根；
把x=1代入x2−1，它等于0，
所以x=1是增根．
∴原方程的根是x=−2.
【解析】最简公分母是(x−1)(x+1)，方程两边都乘以最简公分母，化为整式方程求解即可．
(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；
(2)解分式方程一定注意要验根；
(3)去分母时要注意符号的变化．
20.【答案】解：{x+2y=4①x2−xy−2y2=0②，
由②得：(x−2y)(x+y)=0，
x−2y=0或x+y=0③，
由③和①组成两个二元一次方程组x+2y=4x−2y=0或x+2y=4x+y=0，
解得：x1=2y1=1，x2=−4y2=4，
所以原方程组的解是x1=2y1=1，x2=−4y2=4.
【解析】由②得出(x−2y)(x+y)=0，求出x−2y=0或x+y=0③，由③和①组成两个二元一次方程组，再求出两个方程组的解即可．
本题考查了高次方程和解二元一次方程组，能把二元二次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．
21.【答案】EC ED，CE
【解析】解：(1)与DE相等的向量是EC，与DE互为相反向量的向量是ED，CE；
故答案为：EC；ED，CE；
(2)如图，BD即为所求(BA+AE−DE=BE−DE=BD).
(1)根据相等向量，相反向量的定义判断即可；
(2)利用三角形法则画出图形．
本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是掌握三角形法则．
22.【答案】解：(1)由函数图象可得，大巴速度为60−201=40(km/h)，
∴s=20+40t；
当s=100时，100=20+40t，
解得t=2，
∴a=2；
∴大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为s=20+40t，a的值为2；
(2)由函数图象可得，军车速度为60÷1=60(km/h)，
设部队官兵在仓库领取物资所用的时间为x h，
根据题意得：60(2−x)=100，
解得：x=13，
答：部队官兵在仓库领取物资所用的时间为13h.
【解析】(1)求出大巴速度为60−201=40(km/h)，即得s=20+40t；令s=100得a=2；
(2)求出军车速度为60÷1=60(km/h)，设部队官兵在仓库领取物资所用的时间为x h，可得：60(2−x)=100，即可解得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
23.【答案】(1)证明：∵四边形AGHD是矩形，
∴∠ADF=90∘，∠GAD=90∘，
∵AG是BC边上的高，
∴∠AGB=90∘，
∴∠AGB=∠ADF，
∵∠BAC=∠GAD=90∘，
∴∠BAG+∠GAC=∠GAC+∠FAD，
∴∠BAG=∠FAD，
∵∠AGB=∠ADF，AB=AF，
∴△BAG≌△FAD(AAS).
∴AG=AD，
∵四边形AGHD是矩形
∴四边形AGHD是正方形；
(2)证明：∵∠BAC=∠DAE=90∘，
∴∠BAG=∠DAF，
∵∠BAG=∠DBC，
∴∠DAF=∠DBC，
∵AD//GH，
∴∠ADE=∠DBC，
∴∠ADE=∠DAF，
∵AD=AD，∠DAE=∠ADF，
∴△ADF≌△DAE(ASA)，
∵AE=DF，
∴AE//DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵∠ADF=90∘，
∴四边形AEFD是矩形．
【解析】(1)通过矩形的性质得出∠ADF=90∘，∠GAD=90∘，证明△BAG≌△FAD，得出AG=AD，再结合正方形的判定，即可作答．
(2)经过角的等量代换得出∠DAF=∠DBC，结合AD//GH，得出∠ADE=∠DAF，证明△ADF≌△DAE(ASA)，得出四边形AEFD是平行四边形，结合∠ADF=90∘，即可作答．
本题考查了正方形的判定，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
24.【答案】解：(1)直线y=kx+3与y轴交于点A，则点A(0,3)，
则△AOB的面积=12×OA×xB=12×3×xB=6，
解得：xB=4，
当x=4时，y=−4x=−1，即点B(4,−1)，
将点B的坐标代入一次函数表达式得：−1=4k+3，
解得：k=−1，
则直线AB的表达式为：y=−x+3；
(2)如图，设BC交y轴负半轴于点E，
∵四边形ABCD是菱形，
则BC=BA，∠CBO=∠ABO，
而BO=BO，
则△AOB≌△COB(SAS)，
则∠COB=∠AOB，
则∠xOB=∠AOB−90∘=∠COB−90∘=∠EOB，
即OB为二、四象限的角平分线，
故点B在直线y=−x上，
联立上式和反比例函数表达式得：−x=−4x，
解得：x=−2(舍去)或2，
即点B(2,−2).
【解析】(1)由△AOB的面积=12×OA×xB=12×3×xB=6，求出点B的坐标，即可求解；
(2)证明OB为二、四象限的角平分线，即可求解．
本题考查的是反比例函数的综合运用，涉及到菱形的性质、一次函数的性质、三角形全等等，综合性强，难度适中．
25.【答案】(1)证明：∵四边形ABED为菱形，
∴∠B=∠ADE，DE=BE，
∵E为边BC中点，
∴BE=CE，
∴DE=CE，
∴∠EDC=∠C，
∴∠EDC+∠ADE=∠C+∠B，
即∠ADC=∠B+∠C，
∴梯形ABCD为“加和角梯形”；
(2)解：①∵梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，
∴∠ABC=∠DCB，∠ADC+∠DCB=180∘，AC=BD，
∴“加和角梯形”ABCD中，∠ADC为“加和角”，
∴∠ADC=∠DCB+∠ABC=2∠DCB，
∴2∠DCB+∠DCB=180∘，
∴∠DCB=∠ABC=60∘，
分别过点A、D作AG⊥BC、DH⊥BC，垂足分别为点G，H，
∴∠AGH=∠DHC=90∘，AG//DH，
∴∠AGH=∠DHG=∠DAG=90∘，
∵四边形AGHD为矩形，
∴AD=GH，AG=DH，
在Rt△AGC和Rt△DHB中，
AG=DH，AC=DB，
∴Rt△AGC≌Rt△DHB(HL)，
∴∠OBC=∠OCB，
∵AC⊥BD，
∴∠BOC=90∘，
∴∠OBC+∠OCB=90∘，
∴∠OBC=∠OCB=45∘，
在Rt△ACG中，∠AGC=90∘，∠ACG=∠CAG=45∘，
∴AG=CG，
∵AC2+CG2=AC2，AC=2 6，
∴AG=CG=2 3，
在Rt△ABG中，∠AGB=90∘，∠ABG=60∘，∠BAG=30∘，
∴BG=12AB，
∵BC2+AC2=AB2，
∴BG=2，AB=4，
∴AB=CD=4，BC=2 3+2，
∵BH=CG=2 3，AD=GH=2 3−2，
∴C梯形ABCP=2 3−2+2 3+2+4+4=8+4 3，
∴梯形ABCD的周长为8+4 3；
②∵∠A=90∘，AD//BC，
∴∠B=90∘，∠ADC+∠C=180∘，
由∠ADC为“加和角”，
可得∠ADC=90∘+∠C，
∴∠C=45∘，
过点D作DH⊥BC于点H，则四边形ADHB为矩形，
∴DH=AB=4，BH=AD=2，BC=BH+CH=4+2=6，
∴CH=4.DC= CH2+DH2=4 2，
由点E为BC中点，EF//CD，
则∠C=∠FEB=∠BFE=45∘，
∴BF=BE=3，
当GF=GE时，
∵BE=BF，BG=BG，
则△BFG≌△BEG(SAS)，
则∠GBC=∠GBF=45∘，
∵∠GBC=∠C=45∘，
在△GBC中，∠BGC=180∘−∠GBC−∠C=90∘，GB=GC，
∵GB2+GC2=BC2，BC=6，
GB=GC=3 2，DG=DC−GC= 2；
当FG=FE时，过点G作GQ⊥BC于点Q，交AD延长线于点P，作FR⊥PQ于点R，
设DG=x，
∵BE=BF=3，AF=4−3=1，∠C=∠CGO=∠PGD=∠PDG=45∘，
则DP=PG= 22x，RG= 22x，FR=2+ 22x，
∵FR2+RC2=FC2=FE2=BF2+BE2，
∴( 22x−1)2+( 22x+2)2=32+32，
解得：x=3 6− 22，
∴DG=3 6− 22，
综上，DG= 2或DG=3 6− 22.
【解析】(1)根据四边形ABED为菱形，得出∠B=∠ADE，DE=BE，结合点E为边BC中点，得出DE=CE，∠EDC=∠C，即可得到∠ADC=∠B+∠C，即可证明；
(2)①根据ABCD是梯形，AD//BC，AB=DC，得到∠ABC=∠DCB，∠ADC+∠DCB=180∘，AC=BD，结合“加和角梯形”ABCD中，∠ADC为“加和角”，即可求出∠DCB=∠ABC=60∘，分别过点A、D作AG⊥BC、DH⊥BC，垂足分别为点G，H，则∠AGH=∠DHC=90∘，AG//DH，证出四边形AGHD为矩形，得到AD=GH，AG=DH，证明Rt△AGC≌Rt△DHB，得到∠OBC=∠OCB，求出∠BOC=90∘，∠OBC=∠OCB=45∘，∠ACG=∠CAG=45∘，证明AG=CG，根据勾股定理求出AG=CG，在Rt△ABG中，根据直角三角形的性质得出BG=AB，BG=12AB，BG=2，AB=4，从而求出BC，AD，即可求解；
②由∠ADC“加和角”，可得∠C=45∘，过点D作DH⊥BC于点H，可得四边形ADHB为矩形，得出DH，CH，BH，BC，DC，E为BC中点，EF//CD，可得∠FEB=∠BFE=45∘，BF=BE，分为当GF=GE时和当FG=FE时，分别作图求解即可．
本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，梯形的性质，矩形的性质和判定，菱形的性质，新定义问题，解题的关键是理解新定义，作辅助线，掌握以上知识点．