2023-2024学年上海市静安区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年上海市静安区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列事件中，是必然事件的是( )
A. 购买一张彩票，中奖B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D. 任意画一个凸多边形，其外角和是360∘
2.一次函数y=2x−1的图象不经过( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.下列方程有实数根的是( )
A. x4+2=0B. x2−2=−1C. x2+2x−1=0D. xx−1=1x−1
4.下列说法中，正确的是( )
A. 平行向量的方向相同B. 方向相反的向量是相反向量
C. 平行向量的方向相反D. 方向相反的向量是平行向量
5.已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90∘，如果只添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是( )
A. AB=CDB. AC=BDC. AB=ADD. AC与BD互相平分
6.把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，边EC交边AD于点G.联结ED(如图所示).当BC= 2AB时，下列结论中，不正确的是( )
A. △AEG≌△CDG
B. ED//AC
C. AG=3GD
D. S△ABC=3S△AEG
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
7.已知函数关系式：y= x−1，则自变量x的取值范围是______.
8.直线y=x−1的截距是______.
9.方程x3−8=0的解是______.
10.如果关于x的方程ax=3有实数解，那么常数a的取值范围是______.
11.已知方程x2+4x−4xx2+4=2，如果设x2+4x=y，那么原方程变形为关于y的整式方程是______.
12.化简：AB+BC−AC=______.
13.一个多边形的每一个外角都等于36∘，那么这个多边形的内角和是______ ∘.
14.在1，2，3这三个数中，随机选取两个数，它们的和是偶数的概率是______.
15.梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90∘，AB=4，AD=2，CD=5，这个梯形的中位线的长度为______.
16.如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，交边DC于点E，BF平分∠ABC，交边DC于点F，如果BC=3，EF=2，那么DC=______.
17.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，B、C、E三点共线，点G在CD上，BC=3，CE=1，M是AF的中点，那么CM的长是______.
18.如果一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，那么称这个点为这个函数图象的“等值点”，比如：点(−1,−1)是函数y=2x+1图象上的“等值点”.
已知点A(1,0)，点B是函数y=−x+2图象上的“等值点”，点C是函数y=2x−10图象上的“等值点”，如果四边形ABCD是等腰梯形，那么点D的坐标是______.
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
解无理方程：3− 2x−3=x.
20.(本小题6分)
解方程组：x+y=6x2−3xy+2y2=0
21.(本小题6分)
已知一次函数y=23x+6，完成下列问题：
(1)求在这个函数图象上且位于x轴上方的所有点的横坐标的取值范围；
(2)求经过点(−2,−4)，且平行于直线y=23x+6的一次函数的解析式.
22.(本小题8分)
某汽车销售店根据过去几个月的销售记录，得到了每月的销售成本y(万元)与销售车辆x(辆)之间的关系如图所示.
(1)求y关于x的函数解析式；(不写定义域)
(2)如果该店每月的销售收入w(万元)与销售车辆x(辆)之间恰好成正比例关系，且当月销售10辆汽车时，销售收入与销售成本相等.
①求w关于x的函数解析式；(不写定义域)
②如果汽车销售店想要每月的净利润不少于13万元，那么该店每月应至少销售多少辆车？
(净利润=销售收入-销售成本)
23.(本小题10分)
某工厂接到制作2000件物理实验模型的加工订单，为了尽快完成任务，工厂对原加工计划进行了调整，经测算，如果平均每天比原计划多加工20件，那么能提早5天完成任务.
(1)求工厂原计划每天加工物理实验模型的件数；
(2)在生产模型的过程中，检验员会在一段时间内先后对多个批次的模型合格情况进行抽查，目的是估计产品的报废率，及时调整生产数量与进度，满足客户需求.下表是检验员对该物理实验模型产品抽查过程中的数据统计：
请估计这批物理实验模型成品的报废率约为______(精确到0.01)；结合你的估计帮助工厂计算，至少还需生产______件产品才能完成订单的需求.
24.(本小题8分)
如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，过点A作AE//BC，且AE=12BC，联结EC.
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(2)联结BE，如果∠CBE=30∘，EC= 3，求点A到直线BE的距离.
25.(本小题10分)
问题：已知矩形的长和宽分别为12和2，是否存在一个新矩形，使其周长和面积都为原矩形的一半？
在学习函数的知识后，小丽发现可利用函数知识，借助图象，成功解决这一问题.过程如下：
第一步：建立函数模型
设新矩形的长和宽分别为x和y，
(1)假如只考虑新矩形周长为原矩形周长的一半，不考虑面积，那么y关于x的函数解析式是______①，它的定义域是______；
(2)假如只考虑新矩形面积为原矩形面积的一半，不考虑周长，那么y关于x的函数解析式是______②，它的定义域是______；
第二步：画出函数图象
(3)在所给的直角坐标平面内画出符合题意的函数①和函数②的大致图象.
第三步；同时考虑新矩形的面积和周长都为原矩形的一半，观察图象，解决问题.
(4)这两个函数图象在第一象限内有______个公共点；请解释公共点的意义.
(5)如果存在这样的新矩形，直接写出新矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由.
26.(本小题12分)
在等腰△ABC中，AB=AC=2 5，BC=4，直线l垂直平分AB，交AB于点O，点D、E在直线l上，且点D与点E关于点O对称，联结AD、DB、BE、EA.
(1)如图1，求证：四边形ADBE是菱形；
(2)如图1，当AD平分∠BAC时，求菱形ADBE的周长；
(3)当四边形ADBE为正方形时，请在图2中画出符合题意的正方形ADBE，再联结CD，求CD的长.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、购买一张彩票，中奖，是随机事件，不符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意；
C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
D、任意画一个凸多边形，其外角和是360∘，是必然事件，符合题意．
故选：D.
根据必然事件、随机事件的意义进行判断即可．
本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵一次函数y=2x−1，
∴该函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故选：B.
根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查无理方程、根的判别式、高次方程、分式方程等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
根据高次方程、无理方程、根的判别式、分式方程的解法，一一判断即可解决问题.
【解答】
解：A、∵x4>0，∴x4+2=0无实数根；故本选项不符合题意；
B、∵ x2−2≥0，∴ x2−2=−1无实数根，故本选项不符合题意；
C、∵x2+2x−1=0，Δ=22−4×(−1)=8>0，方程有实数根，故本选项符合题意；
D、解分式方程xx−1=1x−1，可得x=1，经检验x=1是分式方程的增根，故本选项不符合题意.
4.【答案】D
【解析】解：A、平行向量的方向相同或相反，原说法错误；
B、方向相反且长度相等的向量叫做相反向量，原说法错误；
C、平行向量的方向相同或相反，原说法错误；
D、方向相反的向量是平行向量，原说法正确．
故选：D.
根据共线向量的定义作答．
本题考查了平面向量，解题的关键是掌握平行向量的定义．
5.【答案】C
【解析】解：由∠A=∠B=∠C=90∘可判定四边形ABCD为矩形，
因此再添加条件：AB=AD，即可判定四边形ABCD为正方形，
故选：C.
根据正方形的判定定理即可得到结论．
本题考查正方形的判定．熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，BC= 2AB，
∴BC=DA，BC//DA，AB=CD，∠CDG=∠B=90∘，
∴DA= 2CD，∠DAC=∠BCA，
由折叠得EC=BC，AE=AB，∠AEG=∠B=90∘，∠ECA=∠BCA，△AEC≌ABC，
∴EC=DA，AE=CD，∠AEG=∠CDG，∠DAC=∠ECA，
∴CG=AG，
∴EC−CG=DA−AG，
∴GE=GD，
在△AEG和△CDG中，
∠AEG=∠CDG∠AGE=∠CGDAE=CD，
∴△AEG≌△CDG(AAS)，
故A不符合题意；
∵∠GDE=∠GED，∠GAC=∠GCA，
∴∠AGE=∠GDE+∠GED=2∠GDE，∠AGE=∠GAC+∠GCA=2∠GAC，
∴2∠GDE=2∠GAC，
∴∠GDE=∠GAC，
∴DE//AC，
故B不符合题意；
∴CG+GD=AG+GD=AD= 2CD，
∴(CG+GD)2=2CD2，
∵CG2−GD2=CD2，
∴2CG2−2GD2=2CD2，
∴2CG2−2GD2=(CG+GD)2，
整理得CG2−2GD⋅CG−3GD2=0，
∴(CG−3GD)(CG+GD)=0，
∴CG=3GD或CG=−GD(不符合题意，舍去)，
∴AG=3GD，
故C不符合题意；
∵CG=3GD=3GE，
∴CE=3GE+GE=4GE，
∴S△AEC=4S△AEG，
∵S△AEC=S△ABC，
∴S△ABC=4S△AEG≠3S△AEG，
故D符合题意，
故选：D.
由矩形的性质得BC=DA，BC//DA，AB=CD，∠CDG=∠B=90∘，则DA= 2CD，由折叠得EC=BC，AE=AB，∠AEG=∠B=90∘，∠ECA=∠BCA，所以EC=DA，AE=CD，∠AEG=∠CDG，∠DAC=∠ECA，则CG=AG，所以GE=GD，可根据“AAS”证明△AEG≌△CDG，则A不符合题意；再证明∠AGE=2∠GDE=2∠GAC，则∠GDE=∠GAC，所以DE//AC，则B不符合题意；由CG+GD=AG+GD= 2CD，得(CG+GD)2=2CD2，而CG2−GD2=CD2，所以2CG2−2GD2=(CG+GD)2，推导出AG=CG=3GD，可判断C不符合题意；由CE=4GE，得S△AEC=4S△AEG，则S△ABC=4S△AEG≠3S△AEG，可判断D符合题意，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出∠DAC=∠ECA，进而证明CG=AG是解题的关键．
7.【答案】x≥1
【解析】解：根据题意得，x−1≥0，
解得x≥1.
故答案为：x≥1.
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
8.【答案】−1
【解析】【分析】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．
根据图象上点的坐标特征求得直线与y轴的交点坐标，即可求得结果．
【解答】
解：直线y=x−1与y轴的交点坐标为(0,−1)，
所以直线y=x−1的截距是−1.
9.【答案】x=2
【解析】解：x3−8=0，
x3=8，
解得：x=2.
故答案为：x=2.
首先整理方程得出x3=8，进而利用立方根的性质求出x的值．
此题主要考查了立方根的性质，正确由立方根定义求出是解题关键．
10.【答案】a≠0
【解析】解：若关于x的方程ax=3有实数解，
则常数a的取值范围是a≠0，
故答案为：a≠0.
根据一元一次方程的未知数的系数不为0解答即可．
本题考查了一元一次方程的解，注意一元一次方程的未知数的系数不为0这个条件是解题的关键．
11.【答案】y2−2y−4=0
【解析】解：方程x2+4x−4xx2+4=2，若设x2+4x=y，则原方程可变形为：
y−4y=2，
即y2−2y−4=0，
故答案为：y2−2y−4=0.
设x2+4x=y，将原方程可变为y−4y=2，再根据等式的性质两边都乘以y得y2−2y−4=0即可．
本题考查换元法解分式方程，理解换元法的意义以及等式的性质是正确解答的关键．
12.【答案】0
【解析】解：AB+BC−AC
=AC−AC
=0.
故答案为：0.
利用线性向量的计算法则作答即可．
本题主要考查向量的运算法则，解题的关键在于掌握向量的运算法则，为基础题．
13.【答案】1440
【解析】解：360∘÷36∘=10，
(10−2)×180∘=1440∘.
即这个多边形的内角和是1440∘，
故答案为1440.
由多边形外角的性质可求解多边形的边数，再利用多边形的内角和定理可求解．
本题主要考查多边形的内角与外角，求解多边形的边数是解题的关键．
14.【答案】13
【解析】解：列表如下：
共有6种等可能的结果，其中它们的和是偶数的结果有：(1,3)，(3,1)，共2种，
∴它们的和是偶数的概率为26=13.
故答案为：13.
列表可得出所有等可能的结果数以及它们的和是偶数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
15.【答案】72
【解析】解：过点D作DE⊥BC于点E，
∵AD//BC，∠B=90∘，
∴四边形ABED是矩形，
∴AD=BE=2，AB=DE=4，
在直角三角形DEC中，CD=5，
∴CE= CD2−DE2=3，
∴BC=BE+CE=2+3=5，
∴这个梯形的中位线的长度为12×(AD+BC)=12×(2+5)=72，
故答案为：72.
过点D作DE⊥BC于点E，易证四边形ABED是矩形，所以可得AD=BE，AB=DE，在直角三角形DEC中，利用勾股定理可求出CE的长，进而可求出BC的长，根据梯形的中位线定理即可得到结论．
本题考查了梯形的中位线定理，直角梯形的性质以及勾股定理的运用，正确作出图形的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
16.【答案】4
【解析】解：在平行四边形ABCD中，AB//CD，AD=BC=3，则∠DEA=∠EAB，∠CFB=∠FBA.
∵AE平分∠DAB，BF平分∠ABC，
∴∠DAE=∠EAB，∠FBC=∠FBA.
∴∠DAE=∠DEA，∠CFB=∠FBC.
∴AD=DE=3，BC=FC=3.
又∵EF=2，CD=DE+CF−EF，
∴CD=3+3−2=4.
故答案为：4.
首先利用平行四边形的对边相互平行得到AB//CD；然后由平行线的性质和角平分线的定义以及等角对等边推知：BC=CF，AD=DE；最后由线段间的和差关系求得线段DC的长度．
本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，以及平行线的性质等知识点．解题的关键是推知AD=DE=3，BC=FC=3.
17.【答案】 5
【解析】解：如图，连接AC、CF，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴∠ACD=45∘，∠FCG=45∘，∠ABC=90∘，∠CEF=90∘，AB=BC，CE=EF，
∴∠ACF=∠ACD+∠FCG=45∘+45∘=90∘，
∵BC=3，CE=1，
∴AB=3，EF=1，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC= AB2+BC2= 32+32=3 2，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，CF= CE2+EF2= 12+12= 2，
在Rt△ACF中，由勾股定理得，AF= AC2+CF2= (3 2)2+( 2)2=2 5，
∵M是AF的中点，
∴CM=12AF=12×2 5= 5，
故答案为： 5.
连接AC、CF，根据正方形的性质得出∠ACD=∠FCG=45∘，即可得到△ACF是直角三角形，再利用勾股定理分别求出AC、CF、AF的长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出CM的长．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
18.【答案】(11,10)
【解析】解：∵点B是函数y=−x+2的“等值点”，
∴−x+2=x，
解得x=1，
∴点B的坐标为(1,1).
同理可得，点C的坐标为(10,10).
如图所示，
∵点B坐标为(1,1)，点C坐标为(10,10)，
∴BC与x轴正半轴的夹角为45∘，
∵点A坐标为(1,0)，点B坐标为(1,1)，
∴AB⊥x轴，AB=1.
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AD//BC，CD=AB=1，
∴∠D=∠BAD=45∘，
∴∠DAx=∠D，
∴CD//x轴，
∴点D的坐标为(11,10).
故答案为：(11,10).
根据“等值点”的定义求出点B和点C的坐标，再根据等腰梯形的性质即可解决问题．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及等腰梯形的性质，理解题中“等值点”的定义及熟知等腰梯形的性质是解题的关键．
19.【答案】解：3− 2x−3=x，
移项，得3−x= 2x−3，
方程两边平方，得(3−x)2=2x−3，
整理，得x2−8x+12=0，
解得：x1=2，x2=6，
经检验：x=2是原方程的解，x=6不是原方程的解，
所以原方程的解是x=2.
【解析】移项后方程两边平方得出(3−x)2=2x−3，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
20.【答案】解：将方程x2−3xy+2y2=0的左边因式分解，得x−2y=0或x−y=0，
原方程组可以化为x+y=6x−2y=0或x+y=6x−y=0，
解这两个方程组得x=4y=2或x=3y=3，
所以原方程组的解是x1=4y1=2,x2=3y2=3.
【解析】先对x2−3xy+2y2=0分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立①，组成两个二元一次方程组，解之即可．
本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．
21.【答案】解：(1)当y=0时，23x+6=0，解得x=−9，
∵当k=23>0，y随x的增大而增大，
∴在这个函数的图象上且位于x轴上方的所有点的横坐标的取值范围为x>−9.
(2)设所求的一次函数的解析式为y=kx+b，
∵平行于直线y=23x+6，
∴k=23，
∴y=23x+b，
∵经过点(−2,−4)，
∴23×(−2)+b=−4，
解得b=−83，
∴该一次函数的解析式为y=23x−83.
【解析】(1)先求出一次函数与x轴的交点坐标，然后根据一次函数的性质写出图象位于x轴上方的所有点的横坐标的取值范围．
(2)根据两平行直线的解析式的k值相等求出k，然后把经过的点的坐标代入解析式计算求出b值，即可得解．
本题考查了两直线平行的问题，一次函数函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，根据平行直线解析式的k值相等求出k值是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设y=kx+30，
则：30k+30=60，
解得：k=1，
∴y关于x的函数解析式为y=x+30；
(2)①设w=ax，
则：10a=10+30，
解得：a=4，
∴w关于x的函数解析式为：w=4x；
②由题意得：4x−(x+30)≥13，
解得：x≥1413，
∴x的最小整数解为15，
答：想要每月的净利润不少于13万元，那么该店每月应至少销售15辆车．
【解析】(1)根据待定系数法求解；
(2)根据“每月的净利润不少于13万元”列不等式求解．
本题考查了一元函数的应用，掌握待定系数法和列不等式是解题的关键．
23.【答案】0.0241
【解析】解：(1)设工厂原计划每天加工物理实验模型x件，根据题意得：
2000x−2000x+20=5，
整理，得x2+20x−8000=0，
解得x1=80，x2=−100(不符合题意，舍去)，
经检验，x=80是原方程的解，
答：工厂原计划每天加工物理实验模型80件；
(2)由表格可知，估计这批物理实验模型成品的报废率约为0.02，
2000÷(1−0.02)−2000≈41(件)，
即至少还需生产41件产品才能完成订单的需求．
故答案为：0.02，41.
(1)设工厂原计划每天加工物理实验模型x件，根据如果平均每天比原计划多加工20件，那么能提早5天完成任务，列出方程，进行解答即可；
(2)利用频率估计概率解答即可．
本题考查的是利用频率估计概率，分式方程的应用，正确掌握上述知识点是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵AB=AC，AD为BC边上的中线，
∴AD⊥BC，BD=CD=12BC，
∴∠ADC=90∘，
∵AE=12BC，
∴AE=CD，
∵AE//BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC=90∘，
∴平行四边形ADCE为矩形；
(2)解：过点A作AH⊥BE于H，设AD，BE相交于O，
由(1)知，四边形ADCE是矩形，DB=CD，
∴AE=CD，AD=EC= 3，∠EAD=∠BDA=90∘，
∴AE=DB，
在△AOE和△DOB中，
∠EAD=∠BDA∠AOE=∠DOBAE=DB，
∴△AOE≌△DOB(AAS)，
∴AO=DO= 32，EO=BO，
在Rt△BOD中，∠CBE=30∘，
∴EO=BO=2DO= 3，
∴BD= BO2−DO2=32，
∴AE=32，
∵S△AOE=12AO⋅AE=12EO⋅AH，
∴AH= 32×32 3=34，
∴点A到直线BE的距离为34.
【解析】(1)由等腰三角形三线合一性质得出AD⊥BC，BD=CD，再证四边形ADCE是平行四边形，然后由∠ADC=90∘，即可得出结论；
(2)过点A作AH⊥BE于H，证明△AOE≌△DOB，得到AO=DO= 32，EO=BO，在Rt△BOD中，根据勾股定理和含30度直角三角形的性质求得AE=BD=32，根据三角形的面积公式即可求出AH.
本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、含30度直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形面积和矩形面积的计算等知识，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质和矩形的判定与性质是解题的关键．
25.【答案】y=7−x00两
【解析】解：(1)原长方形的周长为：2×(2+12)=28，只考虑新矩形周长为原矩形周长的一半，不考虑面积，那么y关于x的函数解析式是：y=7−x，定义域为0故答案为：y=7−x，0(2)新长方形的面积为：12×2×12=12，
只考虑新矩形面积为原矩形面积的一半，不考虑周长，那么y关于x的函数解析式是y=12x，它的定义域是x>0，
故答案为：y=12x，x>0；
(3)列表：
描点，连线，如图所示：
观察图象可知：当新矩形的长为4，宽为3或矩形的长为4，宽为3时，新矩形的周长是原来的一半，面积是原来的一半．
(4)这两个函数图象在第一象限内有两个公共点，这两个公共点的横纵坐标正好是既符合矩形的周长为原来的一半，又符合矩形的面积是原来一半时，矩形的长和宽，
故答案为：两；
(5)存在；新矩形的长为4，宽为3或矩形的长为3，宽为4.
(1)根据矩形的周长公式写出函数解析式，然后写出定义域即可；
(2)根据矩形的面积公式写出函数解析式，然后写出定义域即可；
(3)根据反比例函数图象和一次函数图象的画法画出函数图象，得出结果即可；
(4)根据图象得出答案即可；
(5)根据函数图象得出答案即可．
本题主要考查了求一次函数解析，反比例函数解析，画一次函数和反比例函数图象，一次函数和反比例函数的交点问题，解题的关键是数形结合．
26.【答案】(1)证明：如图1，
∵直线l垂直平分AB，
∴DA=DB，EA=EB，
∵点D与点E关于点O对称，
∴AD=AE，
∴AD=AE=BE=BD，
∴四边形AEBD为菱形；
(2)解：如图2，延长AD交BC于F，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AF⊥BC，BF=CF，
∵BC=4，
∴BF=2，
∵AB=2 5，
∴AF= AB2−BF2=4，
∴DF=4−AD，
在Rt△BDF中，BF2+DF2=BD2，
∵AD=BD，
∴22+(4−AD)2=AD2，
∴AD=52，
∴菱形ADBE的周长为4×52=10；
(3)如图3，四边形ADBE为正方形，作CM⊥AB于M，作CN⊥l于N，
∴四边形OMCN为矩形，
由△ABC的等面积得，BC⋅AF=AB⋅CM，即4×4=2 5×CM，
∴CM=8 55，
∴ON=CM=8 55，
∵四边形ADBE为正方形，
∴OD=OA= 5，
∴DN=ON−OD=3 55，
∵AC=2 5，
∴AM= AC2−CM2=6 55，
∴OM=AM−OA= 55，
∴CN=OM= 55，
∴CD= DN2+CN2= 2.
【解析】(1)根据垂直平分线即对称的性质得出AD=AE=BE=BD即可解答；
(2)延长AD交BC于F，利用勾股定理求出AF，根据菱形性质得出AD=BD，再在Rt△BDF中利用勾股定理求出BD即可解答；
(3)作图符合题意的正方形，作CM⊥AB于M，作CN⊥l于N，利用等面积求出CM，利用勾股定理求出AM，再根据矩形性质求出CN、DM，再由勾股定理求出CD即可．
本题考查了四边形综合，菱形性质、矩形性质、正方形性质及勾股定理的计算的灵活应用是本题的解题关键．抽取模型数累计m(件)
50
100
150
200
250
300
400
报废模型数累计n(件)
0
3
4
5
5
6
8
模型报废的频率nm(精确到0.001)
0
0.03
0.027
0.025
0.02
0.02
0.02
1
2
3
1
(1,2)
(1,3)
2
(2,1)
(2,3)
3
(3,1)
(3,2)
x
…
2
3
4
6
…
y=7−x
…
5
4
3
1
…
y=12x
…
6
4
3
2
…