七年级数学下册专题06平面直角坐标系-压轴两大类型(原卷版+解析)

这是一份七年级数学下册专题06平面直角坐标系-压轴两大类型(原卷版+解析)，共38页。
考点一：规律性问题-五大题型
考点二：坐标与几何图形综合
【考点一：规律性问题-五大题型】
【典例1】（2023秋•任城区期末）如图，动点M按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（2，2），第2次运动到点（4，0），第3次运动到点（6，4），…，按这样的规律运动，则第2024次运动到点（ ）
A．（2024，2）B．（4048，0）C．（2024，4）D．（4048，4）
【变式1-1】（2023秋•铁锋区期末）如图，直角坐标平面xOy内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点 （﹣1，0）运动到点（0，1），第2次运动到点（1，0），第3次运动到点（2，﹣2），…，按这样的运动规律，动点P第2023次运动到点（ ）
A．（2023，0）B．（2022，﹣2）C．（2023，1）D．（2022，0）
【变式1-2】（2023春•铁东区期中）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π个单位长度，则第2023秒时，点P的坐标是（ ）
A．（2023，0）B．（2023，1）C．（4046，0）D．（4046，﹣1）
【变式1-3】（2023秋•河口区期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0），…，则点P2024的坐标是 （675，1） ．
【典例2】（2023秋•砀山县期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1）、B（﹣1，1）、C（﹣1，﹣2）、D（1，﹣2），动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形ABCD的边做环绕运动；另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形CBAD的边做环绕运动，则第2023次相遇点的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣1）B．（﹣1，1）C．（﹣2，2）D．（1，1）
【变式2-1】（2023•九龙坡区校级开学）如图，在平面直角坐标系中A（﹣1，1），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D（3，1），一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，问第2025秒瓢虫在点（ ）
（﹣1，0）B．（﹣1，﹣1）C．（﹣1，﹣2）D．（0，﹣2）
【变式2-2】（2023春•武穴市期末）如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴、y轴，物体甲和物体乙由点A（2，0）同时出发，沿长方形BCDE的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动则两个物体运动后的第2023次相遇地点的坐标是（ ）
A．（﹣1，1）B．（1，﹣1）C．（2，0）D．（﹣1，﹣1）
【变式2-3】（2023春•西充县校级期末）在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从A点出发，沿着A→B→C→D→A…循环爬行，其中A点坐标为（1，﹣1），B点坐标为（﹣1，﹣1），C点坐标为（﹣1，3），当蚂蚁爬了2017个单位时，它所处位置的坐标为（ ）
A．（1，1）B．（1，0）C．（0，1）D．（0，﹣1）
【典例3】（2023秋•南岸区校级期中）如图，已知A1（1，0），A2（1，1），A3（﹣1，1），A4（﹣1，﹣1），A5（2，﹣1），…则点A2025的坐标为（ ）
A．（506，506）B．（﹣506，﹣506）
C．（507，﹣506）D．（﹣507，506）
【变式3-1】（2023秋•慈溪市月考）如图，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，⋯都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，⋯的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2023的坐标为（ ）
A．（﹣1010，0）B．（﹣1008，0）C．（2，﹣505）D．（1，506）
【变式3-2】（2023春•正阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，从点P1（﹣1，0），P2（﹣1，﹣1），P3（1，﹣1），P4（1，1），P5（﹣2，1），P6（﹣2，﹣2），……，依次进行下去，则P2023的坐标为（ ）
A．（506，﹣506）B．（506，506）
C．（﹣506，505）D．（﹣506，﹣506）
【典例4】（2023秋•紫金县期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2），…，根据这个规律，第331个点的坐标为（ ）
A．（8，17）B．（8，16）C．（7，17）D．（7，18）
【变式4-1】（2023春•武汉期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向依次排列：（1，0）→（2，0）→（2，1）→（1，1）→（1，2）→（2，2）→⋅⋅⋅根据这个规律，第2023个点的坐标为（ ）
A．（45，1）B．（45，2）C．（45，3）D．（45，4）
【变式4-2】（2023春•房县期中）横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，一列有规律的整点，其坐标依次为（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2），…，根据这个规律，第2022个整点的坐标为（ ）
A．（45，3）B．（45，13）C．（45，22）D．（45，0）
【变式4-3】（2023秋•哈尔滨期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，按（1，0）→（2，0）→（2，1）→（1，1）→（1，2）→（2，2）→…的顺序用线段依次连接起来．根据这个规律，第50个点的坐标为 ．
【典例5】（2023春•江门期末）如图，在平面直角坐标系上有一个质点A0（﹣1，0），质点A0第一次跳动至点A1（1，1），第二次跳动至点A2（﹣2，1），第三次跳动至点A3（2，2），第四次跳动至点A4（﹣3，2），…依此规律跳动下去，则点A2023与点A2024之间的距离是（ ）
A．2023B．2025C．2027D．2029
【变式5-1】（2023春•长安区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A1（1，0），点A1第1次跳动至点A2（﹣1，1），第2次跳动至点A3（2，1），第3次跳动至点A4（﹣2，2），第4次跳动至点A5（3，2）…依此规律跳动下去，点A1第50次跳动至点A51的坐标是（ ）
A．（24，23）B．（25，25）C．（26，25）D．（27，26）
【变式5-2】（2023春•长安区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A1（1，0），点A1第1次跳动至点A2（﹣1，1），第2次跳动至点A3（2，1），第3次跳动至点A4（﹣2，2），第4次跳动至点A5（3，2）…依此规律跳动下去，点A1第50次跳动至点A51的坐标是（ ）
A．（24，23）B．（25，25）C．（26，25）D．（27，26）
【考点二：坐标与几何图形综合】
【典例6】（2023春•江油市期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，C（0，a），D（b，a），其中a，b满足关系式|a+2|+（b﹣a+1）2＝0．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）如图2，若AC⊥BC，BQ平分∠ABC交AC于点Q，交OC于点P，求证：∠CPQ＝∠CQP；
（3）如图3，若点A、点B分别在x轴负半轴和正半轴上运动，∠ACB的角平分线交x轴于点M，点N在x轴上，且∠BCF＝∠DCN，请补全图形，探究的值的变化情况，并直接写出结论（不要求写出探究过程）．
【变式6-1】（2022春•雄县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3b，0）为x轴负半轴上一点，点B（0，4b）为y轴正半轴上一点，其中b满足方程：3（b+1）＝6．
（1）求点A、B的坐标；
（2）点C为y轴负半轴上一点，且△ABC的面积为12，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使得△PBC的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式6-2】（2022春•齐齐哈尔期末）如图①，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，AB⊥BC，AO＝OB＝2，BC＝3
（1）写出点A、B、C的坐标．
（2）如图②，过点B作BD∥AC交y轴于点D，求∠CAB+∠BDO的大小．
（3）如图③，在图②中，作AE、DE分别平分∠CAB、∠ODB，求∠AED的度数．
【变式6-3】（2022春•随县期末）如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|a+2|+（b﹣3）2＝0
（1）求a，b的值．
（2）①在y轴的正半轴上存在一点M，使，求点M的坐标；
②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使仍然成立，若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标．
（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上一动点，连接OP，OE平分∠AOP，
OF⊥OE．当点P运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．
1．（2023春•海珠区期末）如图，一个机器人从点O出发，向正西方向走2m到达点A1；再向正北方向走4m到达点A2；再向正东方向走6m到达点A3；再向正南方向走8m到达点A4：再向正西方向走10m到达点A5…，按如此规律走下去，当机器人走到点A2023时，点A2023的坐标为（ ）
A．（2024，2024）B．（2024，2022）
C．（2023，2023）D．（2023，﹣2023）
2．（2023春•南康区期中）如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点（1，0）；第二分钟，它从点（1，0）运动到点（1，1），而后它接着按图中箭头所示在与x轴、y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2022分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（ ）
A．（44，5）B．（44，4）C．（44，3）D．（44，2）
3．（2023春•涵江区期中）如图，在平面直角坐标系中有点A0（1，0），点A0第一次跳动到点A1（﹣1，1），第二次点A1跳动到点A2（2，1），第三次点A2跳动到点A3（﹣2，2），第四次点A3跳动到点A4（3，2），…，依照此规律跳动下去，点A2023与点A2024之间的距离是 ．
4．（2023春•封开县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A2020的坐标为 ．
5．（2023春•玉林期中）如图在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0），…，根据这个规律探索可得，第2023个点的坐标为 ．
6．（2023春•西华县期中）如图，在长方形ABCD中，一只蚂蚁从A点出发，沿着A→B→C→D→A…循环爬行，其中A点的坐标为（1，﹣1），C点的坐标为（﹣1，3），D点的坐标为（1，3），当蚂蚁爬行了2023个单位长度时，它所处位置的坐标为 ．
7．（2023春•扎赉特旗期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），将Rt△ABO顺着x轴无滑动的滚动．第一次滚动到①的位置，点A的对应点记作点A1；第二次滚动到②的位置，点A1的对应点记作点A2；第三次滚动到③的位置，点A2的对应点记作点A3；…；依次进行下去，发现点A（﹣3，0），A1（0，3），A2（9，0），…，则点A2023的坐标为
8．（2022春•北流市期末）如图，平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（5，0），C（3，3），D（2，4），求四边形ABCD的面积．
9．（2022•桥东区校级三模）如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b），且a、b满足+|b﹣6|＝0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的线路移动，回到点O后停止运动．
（1）a＝ ，b＝ ，点B的坐标为 ；
（2）当点P移动4秒时，请指出点P的位置，并求出点P的坐标；
（3）在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间．
10．（2022春•随县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（4，0），C（4，3）三点．
（1）求△ABC的面积；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），且四边形ABOP的面积是△ABC的面积的两倍；求满足条件的P点坐标．
11．（春•全南县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b满足a＝+﹣1，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC．
（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB＝S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）的值是否发生变化，并说明理由．
专题06 平面直角坐标系-压轴两大类型
考点一：规律性问题-五大题型
考点二：坐标与几何图形综合
【考点一：规律性问题-五大题型】
【典例1】（2023秋•任城区期末）如图，动点M按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（2，2），第2次运动到点（4，0），第3次运动到点（6，4），…，按这样的规律运动，则第2024次运动到点（ ）
A．（2024，2）B．（4048，0）C．（2024，4）D．（4048，4）
【答案】B
【解答】解：∵第1次从原点运动到点（2，2），第2次运动到点（4，0），第3次运动到点（6，4），第4次从原点运动到点（8，0），第5次运动到点（10，2）……，
∴动点M的横坐标为2n，纵坐标按照2，0，4，0四个为一组进行循环，
∵2024÷4＝504，
∴第2023次运动到点（2×2024，0），即：（4048，0）；
故选：B．
【变式1-1】（2023秋•铁锋区期末）如图，直角坐标平面xOy内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点 （﹣1，0）运动到点（0，1），第2次运动到点（1，0），第3次运动到点（2，﹣2），…，按这样的运动规律，动点P第2023次运动到点（ ）
A．（2023，0）B．（2022，﹣2）C．（2023，1）D．（2022，0）
【答案】B
【解答】解：由题意可知，第1次运动到点（0，1）、第2次运动到点（1，0）、第3次运动到点（2，﹣2）、第4次运动到点（3，0）、第5次运动到点（4，1），
∴可得到，第n次运动到点的横坐标为n﹣1，纵坐标为4次一循环，循环规律为1→0→﹣2→0→1，
∵2023÷4＝，
∴动点P第2023次运动到点的坐标为（2022，﹣2），
故选：B．
【变式1-2】（2023春•铁东区期中）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π个单位长度，则第2023秒时，点P的坐标是（ ）
A．（2023，0）B．（2023，1）C．（4046，0）D．（4046，﹣1）
【答案】C
【解答】解：半径为1个单位长度的半圆的周长为×2π×1＝π，
∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π个单位长度，
∴点P每秒走1个半圆，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为（2，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为（4，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为（6，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为（8，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为（10，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为（12，0），
…，
∵2023÷4＝505余3，
∴P的坐标是（4046，0）．
故选：C．
【变式1-3】（2023秋•河口区期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0），…，则点P2024的坐标是 （675，1） ．
【答案】（675，1）．
【解答】解：由图可得，P6（2，0），P12（4，0），…，P6n（2n，0），P6n+1（2n，1），
2024÷6＝337……2，
∴P6×337+2（2×337+1，1），
即P2024（675，1），
故答案为：（675，1）．
【典例2】（2023秋•砀山县期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1）、B（﹣1，1）、C（﹣1，﹣2）、D（1，﹣2），动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形ABCD的边做环绕运动；另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形CBAD的边做环绕运动，则第2023次相遇点的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣1）B．（﹣1，1）C．（﹣2，2）D．（1，1）
【答案】D
【解答】解：∵点A（1，1）、B（﹣1，1）、C（﹣1，﹣2）、D（1，﹣2），
∴AB＝CD＝1﹣（﹣1）＝2，AD＝BC＝1﹣（﹣2）＝3，
∴矩形的周长为2×（2+3）＝10，
由题意，经过1秒时，P、Q在点B（﹣1，1）处相遇，接下来P、Q两点走的路程和是10的倍数时，两点相遇，相邻两次相遇间隔时间为10÷（2+3）＝2秒，
∴第二次相遇点是CD的中点（0，﹣2），
第三次相遇点是点A（1，1），
第四次相遇点是点（﹣1，﹣1），
第五次相遇点是点（1，﹣1），
第六次相遇点是点B（﹣1，1），……，
由此发现，每五次相遇点重合一次，
∵2023÷5＝404⋯⋯3，
∴第2023次相遇点的坐标与第三次相遇点的坐标重合，即A（1，1），
故选：D．
【变式2-1】（2023•九龙坡区校级开学）如图，在平面直角坐标系中A（﹣1，1），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D（3，1），一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，问第2025秒瓢虫在点（ ）
A．（﹣1，0）B．（﹣1，﹣1）C．（﹣1，﹣2）D．（0，﹣2）
【答案】D
【解答】解：∵AB+BC+CD+DA＝3+4+3+4＝14，
14÷2＝7，
∴瓢虫7秒爬行一圈，
∵2025÷7＝289……2，
2×2＝4，
4﹣3＝1，
∴第2025秒瓢虫在点（0，﹣2），
故选：D．
【变式2-2】（2023春•武穴市期末）如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴、y轴，物体甲和物体乙由点A（2，0）同时出发，沿长方形BCDE的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动则两个物体运动后的第2023次相遇地点的坐标是（ ）
A．（﹣1，1）B．（1，﹣1）C．（2，0）D．（﹣1，﹣1）
【答案】A
【解答】解：由图已知，矩形周长为12，
∵甲、乙速度分别为1单位/秒，2单位/秒，
则两个物体每次相遇时间间隔为秒，
则两个物体相遇点依次为（﹣1，1）、（﹣1，﹣1）、（2，0），（﹣1，1）……
∴两个物体相遇点以（﹣1，1）、（﹣1，﹣1）、（2，0）三次为一个循环，
∵2023＝3×674+1，
∴第2023次两个物体相遇位置为（﹣1，1），
故选：A．
【变式2-3】（2023春•西充县校级期末）在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从A点出发，沿着A→B→C→D→A…循环爬行，其中A点坐标为（1，﹣1），B点坐标为（﹣1，﹣1），C点坐标为（﹣1，3），当蚂蚁爬了2017个单位时，它所处位置的坐标为（ ）
A．（1，1）B．（1，0）C．（0，1）D．（0，﹣1）
【答案】D
【解答】解：∵A点坐标为（1，﹣1），B点坐标为（﹣1，﹣1），C点坐标为（﹣1，3），
∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝3﹣（﹣1）＝4，
∴从A→B→C→D→A一圈的长度为2（AB+BC）＝12．
∵2017＝168×12+1，
∴当蚂蚁爬了2017个单位时，它所处位置在点A左边一个单位长度处，即（0，﹣1）．
故选：D．
【典例3】（2023秋•南岸区校级期中）如图，已知A1（1，0），A2（1，1），A3（﹣1，1），A4（﹣1，﹣1），A5（2，﹣1），…则点A2025的坐标为（ ）
A．（506，506）B．（﹣506，﹣506）
C．（507，﹣506）D．（﹣507，506）
【答案】C
【解答】解：由图得，点A的坐标有4种情况，依次在四个象限，
2025÷4＝506……1，
∴点A2025在第四象限，纵坐标为﹣506，横坐标为506+1＝507，
∴A2025的坐标是（507，﹣506）．
故选：C．
【变式3-1】（2023秋•慈溪市月考）如图，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，⋯都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，⋯的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2023的坐标为（ ）
A．（﹣1010，0）B．（﹣1008，0）C．（2，﹣505）D．（1，506）
【答案】A
【解答】解：观察图形可以看出A1～A4；A5～A8……每4个为一组，
∵2023÷4＝505⋯⋯3，
∴A2021在x轴负半轴，纵坐标为0，
∵A3、A7、A11的横坐标分别为0，﹣2，﹣4，
则A4n+3的横坐标为﹣2n，
∴A2023的横坐标为﹣2×505＝﹣1010，
∴A2023的坐标为（﹣1010，0）．
故选：A．
【变式3-2】（2023春•正阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，从点P1（﹣1，0），P2（﹣1，﹣1），P3（1，﹣1），P4（1，1），P5（﹣2，1），P6（﹣2，﹣2），……，依次进行下去，则P2023的坐标为（ ）
A．（506，﹣506）B．（506，506）
C．（﹣506，505）D．（﹣506，﹣506）
【答案】A
【解答】解：根据点的运动特征，把这些点分为四类，每一象限一类，周期为4，
∵2023÷4＝505••••••3，
∴P2023在第四象限，考虑P3（1，﹣1），P7（2，﹣2），P11（3，﹣3）…
这些点的横坐标都是下标与1的和除以4得到的，纵坐标与横坐标互为相反数，
∵（2023+1）÷4＝506，
∴P2023的坐标为（506，﹣506）．
故答案为：A．
【典例4】（2023秋•紫金县期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2），…，根据这个规律，第331个点的坐标为（ ）
A．（8，17）B．（8，16）C．（7，17）D．（7，18）
【答案】D
【解答】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，
例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1＝12，
右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4＝22，
右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9＝32，
右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16＝42，
…
右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，
∵331＝182+7，
∴第331个点是边上有17个点的正方形，再顺推7个点，
第331个点是（7，18），
故选：D．
【变式4-1】（2023春•武汉期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向依次排列：（1，0）→（2，0）→（2，1）→（1，1）→（1，2）→（2，2）→⋅⋅⋅根据这个规律，第2023个点的坐标为（ ）
A．（45，1）B．（45，2）C．（45，3）D．（45，4）
【答案】B
【解答】解：由图形可知，图中各点分别组成了正方形点阵，每个正方形点阵的整点数量依次为最右下角点横坐标的平方，
且当正方形最右下角点的横坐标为奇数时，这个点可以看作按照运动方向到达x轴，当正方形最右下角点的横坐标为偶数时，这个点可以看作按照运动方向离开x轴，
∵452＝2025，
∴第2025个点在x轴上坐标为（45，0），
则第2023个点在（45，2）．
故选：B．
【变式4-2】（2023春•房县期中）横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，一列有规律的整点，其坐标依次为（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2），…，根据这个规律，第2022个整点的坐标为（ ）
A．（45，3）B．（45，13）C．（45，22）D．（45，0）
【答案】A
【解答】解：观察图中点的坐标可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，
如：第12个点的坐标为（1，0），
第22个点的坐标为（1，22），
第32个点的坐标为（3，0），
第42个点的坐标为（1，42），
第52个点的坐标为（5，0），
第62个点的坐标为（1，62），
..．
当n为奇数时，第n2个点的坐标为（n，0），
当n为偶数时，第n2个点的坐标为（1，n2），
∵452＝2025，45为奇数，
∴第2025个点的坐标为（45，0），
∴退3个点，得到第2022个点是（45，3），
故选：A．
【变式4-3】（2023秋•哈尔滨期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，按（1，0）→（2，0）→（2，1）→（1，1）→（1，2）→（2，2）→…的顺序用线段依次连接起来．根据这个规律，第50个点的坐标为 （8，0） ．
【答案】（8，0）．
【解答】解：第1圈有1个点：（1，0），
第2圈有3个点：（1，0），（2，1），（1，1），前2圈共有1+3＝4个点，
第3圈有5个点：（2，1），（2，2），（3，2），（3，1），（3，0），前3圈共有1+3+5＝9＝32个点，
第4圈有7个点：（4，0），（4，1），（4，2），（4，3），（3，3），（2，3），（1，3），前4圈共有1+3+5+7＝16＝42个点，
……，
前圈共有n2个点，
∵50＝72+1，
∴第50个点再第8圈，是第一个点，其坐标为（8，0），
故答案为：（8，0）．
【典例5】（2023春•江门期末）如图，在平面直角坐标系上有一个质点A0（﹣1，0），质点A0第一次跳动至点A1（1，1），第二次跳动至点A2（﹣2，1），第三次跳动至点A3（2，2），第四次跳动至点A4（﹣3，2），…依此规律跳动下去，则点A2023与点A2024之间的距离是（ ）
A．2023B．2025C．2027D．2029
【答案】B
【解答】解：∵由图象可知：A1（1，1），A2（﹣2，1），A3（2，2），A4（﹣3，2），A5（3，3），A6（﹣4，3），A7（4，4），A8（﹣5，4），
∴A1A2＝1﹣（﹣2）＝3，
A3A4＝2﹣（﹣3）＝5，
A5A6＝3﹣（﹣4）＝7，
A7A8＝4﹣（﹣5）＝9，
••••••
由此可以得出第（n﹣1）次跳动至点与第n跳动至点间的距离等于第n次跳动次数加1，
∴点A2023与点A2024之间的距离是2024+1＝2025，
故选：B．
【变式5-1】（2023春•长安区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A1（1，0），点A1第1次跳动至点A2（﹣1，1），第2次跳动至点A3（2，1），第3次跳动至点A4（﹣2，2），第4次跳动至点A5（3，2）…依此规律跳动下去，点A1第50次跳动至点A51的坐标是（ ）
A．（24，23）B．（25，25）C．（26，25）D．（27，26）
【答案】C
【解答】解：由图得，A3，A5，A7，…，A2n+1在第一象限，
而A2，A4，A6，…，A2n在第二象限，
∴A51在第一象限，
由A3（2，1）A5（3，2）A7（4，3）…，得，A2n+1（n+1，n），
∵2n+1＝51，
∴n＝25，
∴A2n+1（26，25）．
故选：C．
【变式5-2】（2023春•长安区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A1（1，0），点A1第1次跳动至点A2（﹣1，1），第2次跳动至点A3（2，1），第3次跳动至点A4（﹣2，2），第4次跳动至点A5（3，2）…依此规律跳动下去，点A1第50次跳动至点A51的坐标是（ ）
A．（24，23）B．（25，25）C．（26，25）D．（27，26）
【答案】C
【解答】解：由图得，A3，A5，A7，…，A2n+1在第一象限，
而A2，A4，A6，…，A2n在第二象限，
∴A51在第一象限，
由A3（2，1）A5（3，2）A7（4，3）…，得，A2n+1（n+1，n），
∵2n+1＝51，
∴n＝25，
∴A2n+1（26，25）．
故选：C．
【考点二：坐标与几何图形综合】
【典例6】（2023春•江油市期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，C（0，a），D（b，a），其中a，b满足关系式|a+2|+（b﹣a+1）2＝0．
（1）a＝ ﹣2 ，b＝ ﹣3 ；
（2）如图2，若AC⊥BC，BQ平分∠ABC交AC于点Q，交OC于点P，求证：∠CPQ＝∠CQP；
（3）如图3，若点A、点B分别在x轴负半轴和正半轴上运动，∠ACB的角平分线交x轴于点M，点N在x轴上，且∠BCF＝∠DCN，请补全图形，探究的值的变化情况，并直接写出结论（不要求写出探究过程）．
【答案】（1）﹣2，﹣3；（2）见解析；（3）．
【解答】（1）解：如图1中，
∵|a+2|+（b﹣a+1）2＝0，
∴a＝﹣2，b＝﹣3，
故答案为：﹣2，﹣3；
（2）证明：如图2中，
∵BQ平分∠CBA，
∴∠OBP＝∠CBQ，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BOP＝∠BCQ＝90°，
∴∠BPO＝∠CQP，
∵∠CPQ＝∠BPO，
∴∠CQP＝∠CPQ；
（3）解：如图3，结论：定值＝．
理由：设∠DCN＝∠BCF＝x，∠ACD＝y，
∴∠ACB＝180°﹣x﹣y，∠ACN＝x﹣y，
∵CM平分∠ACB，
∴∠MCB＝（180°﹣x﹣y），
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCF＝x，
∴∠BCO＝90°﹣x，
∴∠OCM＝（180°﹣x﹣y）﹣（90°﹣x）＝
∴＝．
【变式6-1】（2022春•雄县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3b，0）为x轴负半轴上一点，点B（0，4b）为y轴正半轴上一点，其中b满足方程：3（b+1）＝6．
（1）求点A、B的坐标；
（2）点C为y轴负半轴上一点，且△ABC的面积为12，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使得△PBC的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）解方程：3（b+1）＝6，得：b＝1，
∴A（﹣3，0），
B（0，4），
（2）∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∵△ABC的面积为12，，
∴BC＝8，
∵B（0，4），
∴OB＝4，
∴OC＝4，
∴C（0，﹣4）；
（3）存在，
∵△PBC的面积等于△ABC的面积的一半，C（0，﹣4），B（0，4），
∴BC上的高OP为，
∴点P的坐标（，0）或（﹣，0）．
【变式6-2】（2022春•齐齐哈尔期末）如图①，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，AB⊥BC，AO＝OB＝2，BC＝3
（1）写出点A、B、C的坐标．
（2）如图②，过点B作BD∥AC交y轴于点D，求∠CAB+∠BDO的大小．
（3）如图③，在图②中，作AE、DE分别平分∠CAB、∠ODB，求∠AED的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）依题意得：A（﹣2，0），B（2，0），C（2，3）；
（2）∵BD∥AC，
∴∠ABD＝∠BAC，
∴CAB+∠BDO＝∠ABD+∠BDO＝90°；
（3）：∵BD∥AC，
∴∠ABD＝∠BAC，
∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，
∴∠CAE+∠BDE＝（∠BAC+∠BDO）＝（∠ABD+∠BDO）＝×90°＝45°，
过点E作EF∥AC，
则∠CAE＝∠AEF，∠BDE＝∠DEF，
∴∠AED＝∠AEF+∠DEF＝∠CAE+∠BDE＝45°．
【变式6-3】（2022春•随县期末）如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|a+2|+（b﹣3）2＝0
（1）求a，b的值．
（2）①在y轴的正半轴上存在一点M，使，求点M的坐标；
②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使仍然成立，若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标．
（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上一动点，连接OP，OE平分∠AOP，
OF⊥OE．当点P运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．
【答案】（1）a＝﹣2，b＝3；
（1）①M（0，5）；
②M（2.5，0）或M（﹣2.5，0）或M（0，﹣5）；
（3）2．
【解答】解：（1）∵|a+2|+（b﹣3）2＝0，
∴a＝﹣2，b＝3，
（2）①设M（0，m）（m＞0），
由题意得：0.5m•1＝0.5×0.5×（2+3）×2，
解得：m＝5，
∴M（0，5）；
②当M 在y轴的负半轴上时，0.5（﹣m）•1＝0.5×0.5×（2+3）×2，
m＝﹣5，
M（0，﹣5）；
当M在横轴上时，设M（n，0），
则：0.5×|n|×2＝0.5×0.5×（2+3）×2，
解得：n＝±2.5，
∴M（±2.5，0），
所以M（2.5，0）或M（﹣2.5，0）或M（0，﹣5）；
（3）
＝2，
理由：∵∠EOF＝90°，∠ODE＝90°，
∴∠OED+∠EFO＝90°，∠DOE+∠DEO＝90°，∠AOE+∠FOB＝90°，∠EOP+∠POF＝90°，
∴∠EOD＝∠EFO，
∵OE平分∠AOP，EF∥AB，
∴∠AOE＝∠EOP，∠OFE＝∠FOB，
∴∠FOP＝∠FOB＝∠OFP，
∵∠OPD＝∠PFO+∠POF＝2∠OFP＝2∠DOE，
∴＝2．
1．（2023春•海珠区期末）如图，一个机器人从点O出发，向正西方向走2m到达点A1；再向正北方向走4m到达点A2；再向正东方向走6m到达点A3；再向正南方向走8m到达点A4：再向正西方向走10m到达点A5…，按如此规律走下去，当机器人走到点A2023时，点A2023的坐标为（ ）
A．（2024，2024）B．（2024，2022）
C．（2023，2023）D．（2023，﹣2023）
【答案】A
【解答】解：由图可得，点A的位置有4种可能的位置，
除第1点外分别是在4个象限内，
∵2023÷4＝505…3，余数是3，
∴A2023在第一象限，
∵A3（4，4），A7（8，8）…
∴A2023（2024，2024）．
故选：A．
2．（2023春•南康区期中）如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点（1，0）；第二分钟，它从点（1，0）运动到点（1，1），而后它接着按图中箭头所示在与x轴、y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2022分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（ ）
A．（44，5）B．（44，4）C．（44，3）D．（44，2）
【答案】D
【解答】解：由题知（0，0）表示粒子运动了0分钟，
（1，1）表示粒子运动了2＝1×2（分钟），将向左运动，
（2，2）表示粒子运动了6＝2×3（分钟），将向下运动，
（3，3）表示粒子运动了12＝3×4（分钟），将向左运动，
…，
于是会出现：
（44，44）点粒子运动了44×45＝1980（分钟），此时粒子将会向下运动，
∴在第2022分钟时，粒子又向下移动了2022﹣1980＝42个单位长度，
∴粒子的位置为（44，2），
故选：D．
3．（2023春•涵江区期中）如图，在平面直角坐标系中有点A0（1，0），点A0第一次跳动到点A1（﹣1，1），第二次点A1跳动到点A2（2，1），第三次点A2跳动到点A3（﹣2，2），第四次点A3跳动到点A4（3，2），…，依照此规律跳动下去，点A2023与点A2024之间的距离是 2025 ．
【答案】2025．
【解答】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），
第4次跳动至点的坐标是（3，2），
第6次跳动至点的坐标是（4，3），
第8次跳动至点的坐标是（5，4），
…，
第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），
则第2024次跳动至点的坐标是（1013，1012），
第2023次跳动至点的坐标是（﹣1012，1012）．
∵点A2023与点A2024的纵坐标相等，
∴点A2023与点A2024之间的距离＝1013﹣（﹣1012）＝2025．
故答案为：2025．
4．（2023春•封开县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A2020的坐标为 （1010，0） ．
【答案】（1010，0）．
【解答】解：根据题意可知，A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），A7（3，0），A8（4，0），……
可得坐标规律为：A4n（2n，0），A4n+1（2n，1），A4n+2（2n+1，1），A4n+3（2n+1，0），
∵2020＝4×505，
∴点A2020的坐标为（1010，0），
故答案为：（1010，0）．
5．（2023春•玉林期中）如图在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0），…，根据这个规律探索可得，第2023个点的坐标为 （64，6） ．
【答案】（64，6）．
【解答】解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，0）和（2，1）作为第二列，
依此类推，则第一列有1个点，第二列有2个点，⋯，
第n列有n个点，则n列共有个点，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上，
∵1+2+3+⋯+63＝2016，
∴第2023个点一定在第64列，由下到上是第7个点，
因而第2023个点的坐标是（64，6），
故答案为：（64，6）．
6．（2023春•西华县期中）如图，在长方形ABCD中，一只蚂蚁从A点出发，沿着A→B→C→D→A…循环爬行，其中A点的坐标为（1，﹣1），C点的坐标为（﹣1，3），D点的坐标为（1，3），当蚂蚁爬行了2023个单位长度时，它所处位置的坐标为 （0，3）． ．
【答案】（0，3）．
【解答】解：∵A点的坐标为（1，﹣1），C点的坐标为（﹣1，3），D点的坐标为（1，3），
∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝3﹣（﹣1）＝4，
∴从A→B→C→D→A一圈的长度为2（AB+BC）＝12．
∵2023＝168×12+7，
∴当蚂蚁爬了2023个单位时，它所处位置在点D左边一个单位长度处，即（0，3）．
故答案为：（0，3）．
7．（2023春•扎赉特旗期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），将Rt△ABO顺着x轴无滑动的滚动．第一次滚动到①的位置，点A的对应点记作点A1；第二次滚动到②的位置，点A1的对应点记作点A2；第三次滚动到③的位置，点A2的对应点记作点A3；…；依次进行下去，发现点A（﹣3，0），A1（0，3），A2（9，0），…，则点A2023的坐标为 （8088，3） ．
【答案】（8088，3）．
【解答】解：∵A（﹣3，0），B（0，4），
∴AB＝5，
由题意得：三角形滚动3次为一个周期，向右移动12，
∵2023÷3＝674……1，
674×12+3＝8088+3＝8091，
﹣3+8091＝8088，
∴点A2023的坐标为（8088，3），
故答案为：（8088，3）．
8．（2022春•北流市期末）如图，平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（5，0），C（3，3），D（2，4），求四边形ABCD的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，作CE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F．
则S△ADF＝×（2﹣1）×4＝2，S梯形DCEF＝×（3+4）×（3﹣2）＝3.5，S△BCE＝×（5﹣3）×3＝3，
∴S四边形ABCD＝2+3.5+3＝8.5，
答：四边形ABCD的面积是8.5．
9．（2022•桥东区校级三模）如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b），且a、b满足+|b﹣6|＝0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的线路移动，回到点O后停止运动．
（1）a＝ 4 ，b＝ 6 ，点B的坐标为 （4，6） ；
（2）当点P移动4秒时，请指出点P的位置，并求出点P的坐标；
（3）在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵a、b满足+|b﹣6|＝0，
∴a﹣4＝0，b﹣6＝0，
解得a＝4，b＝6，
∴点B的坐标是（4，6），
故答案为：4，6，（4，6）；
（2）∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的线路移动，
∴2×4＝8，
∵OA＝4，OC＝6，
∴当点P移动4秒时，在线段CB上，离点C的距离是：8﹣6＝2，
即当点P移动4秒时，此时点P在线段CB上，离点C的距离是2个单位长度，点P的坐标是（2，6）；
（3）由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况，
第一种情况，当点P在OC上时，
点P移动的时间是：5÷2＝2.5秒，
第二种情况，当点P在BA上时．
点P移动的时间是：（6+4+1）÷2＝5.5秒，
故在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，点P移动的时间是2.5秒或5.5秒．
10．（2022春•随县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（4，0），C（4，3）三点．
（1）求△ABC的面积；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），且四边形ABOP的面积是△ABC的面积的两倍；求满足条件的P点坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵B（4，0），C（4，3），
∴BC＝3，
∴S△ABC＝×3×4＝6；
（2）∵A（0，2）（4，0），
∴OA＝2，OB＝4，
∴S四边形ABOP＝S△AOB+S△AOP
＝×4×2+×2（﹣m）＝4﹣m，
又∵S四边形ABOP＝2S△ABC＝12，
∴4﹣m＝12，
解得：m＝﹣8，
∴P（﹣8，1）．
11．（春•全南县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b满足a＝+﹣1，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC．
（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB＝S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）的值是否发生变化，并说明理由．
【解答】解：（1）由题意得，3﹣b≥0且b﹣3≥0，
解得b≤3且b≥3，
∴b＝3，
a＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，
∴点C（0，2），D（4，2）；
∵AB＝3﹣（﹣1）＝3+1＝4，
∴S四边形ABDC＝4×2＝8；
（2）∵S△PAB＝S四边形ABDC，
∴×4•OP＝8，
解得OP＝4，
∴点P的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；
（3）＝1，比值不变．
理由如下：由平移的性质可得AB∥CD，
如图，过点P作PE∥AB，则PE∥CD，
∴∠DCP＝∠CPE，∠BOP＝∠OPE，
∴∠CPO＝∠CPE+∠OPE＝∠DCP+∠BOP，
∴＝1，比值不变．