七年级数学下册专题02平行线解答题压轴(原卷版+解析)

这是一份七年级数学下册专题02平行线解答题压轴(原卷版+解析)，共92页。试卷主要包含了某学习小组发现一个结论，已知，问题情境等内容，欢迎下载使用。

已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ．
（1）如图1，运用上述结论，探究∠PEQ与∠APE+∠CQE之间的数量关系．并说明理由；
（2）如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ＝130°时，求出∠PFQ的度数；
（3）如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长线交PF于点F，当∠PEQ＝80°时，请直接写出∠PFQ的度数．
2．【问题情景】如图1，若AB∥CD，∠AEP＝45°，∠PFD＝120°．过点P作PM∥AB，则∠EPF＝ ；
【问题迁移】如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，点E，F分别在AB，CD上，连接PE，PF，过P点作PN∥AB，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间的数量关系是 ，请在下方说明理由；
【联想拓展】如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝36°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，过点G作GH∥AB，则∠EGF＝ ．
3．已知：如图，直线PQ∥MN，点C是PQ，MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．
（1）若∠1与∠2都是锐角，如图1，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系．
（2）若小明把一块三角板（∠A＝30°，∠C＝90°）如图2放置，点D，E，F是三角板的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数．
（3）将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，给出下列两个结论：
①的值不变；
②∠GEN﹣∠BDF的值不变．
其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？并求出不变的值是多少．
4．对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N＝360°，则称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M＝90°，∠N＝45°，则∠N为∠M的6系补周角．
（1）若∠H＝120°，则∠H的4系补周角的度数为 °
（2）在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE，DE．
①如图1，∠D＝60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数．
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF＝n∠ABE，∠CDF＝n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）．
5．如图1，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC＝∠BCD．
（1）求证：∠DEC+∠ECD＝90°；
（2）如图2，BF平分∠ABD交CD的延长线于点F，若∠ABC＝100°，求∠F的大小；
（3）如图3，若H是BC上一动点，K是BA延长线上一点，KH交BD于点M，交AD于点O，KG平分∠BKH，交DE于点N，交BC于点G，当点H在线段BC上运动时（不与点B重合），求的值．
6．已知：直线EF分别交直线AB，CD于点G，H，且∠AGH+∠DHF＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M，N分别在射线GE，HF上，点P，Q分别在射线GA，HC上，连接MP，NQ，且∠MPG+∠NQH＝90°，分别延长MP，NQ交于点K，求证：MK⊥NK；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接KH，KH平分∠MKN，且HE平分∠KHD，若，求∠KMN的度数．
7．在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．（其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝∠D＝45°）
（1）将三角尺如图1所示叠放在一起．
①∠AOD与∠BOC大小关系是 ，依据是 ．
②∠BOD与∠AOC的数量关系是 ．
（2）小亮固定其中一块三角尺△COD不动，绕点O顺时针转动另一块三角尺，从图2的OA与OC重合开始，到图3的OA与OC在一条直线上时结束，探索△AOB的一边与△COD的一边平行的情况．
①求当AB∥CD时，如图4所示，∠AOC的大小；
②直接写出∠AOC的其余所有可能值．
8．已知：直线EF分别交直线AB，CD于点G，H，且∠AGH+∠DHF＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M，N分别在射线GE，HF上，点P，Q分别在射线GA，HC上，连接MP，NQ，且∠MPG+∠NQH＝90°，分别延长MP，NQ交于点K，求证：MK⊥NK；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接KH，若KH平分∠MKN，且HE平分∠KHD，若∠DHG＝5∠MPG，请直接写出∠KMN的度数．
9．已知直线a∥b，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．
（1）如图，当点P在线段EF上运动时，试探索∠1，∠2，∠3之间的关系，并给出证明；
（2）当点P在线段EF外运动时，请你在备用图中画出图形，并判断（1）中的结论是否还成立？若不成立，请你探索∠1，∠2，∠3之间的关系（不需要证明）．
10．问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．
操作发现
（1）如图（1），小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；
（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC之间的数量关系；
结论应用
（3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG＝α，则∠CFG等于 （用含α的式子表示）．
11．【阅读与思考】
如图，已知AM∥BN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
【思考与探究】
（1）①∠ABN的度数是 ；
②∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠ ；
③∠CBD的度数是 ；
【猜想与探究】
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律；
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是多少？
12．课题学习：平行线的“等角转化”功能．
（1）阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的度数．阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作ED∥BC，∴∠B＝ ，∠C＝ ，∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，∴∠B+∠BAC+∠C＝180°．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
（2）方法运用：如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数；
（3）深化拓展：已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在直线AB与CD之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC＝36°，求∠BED的度数．
②如图4，点B在点A的右侧，且AB＜CD，AD＜BC．若∠ABC＝n°，求∠BED度数．（用含n的代数式表示）
13．如图1，AM∥NC，点B位于AM，CN之间，∠BAM为钝角，AB⊥BC，垂足为点B．
（1）若∠C＝40°，则∠BAM＝ ；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM，交MA的延长线于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，BE平分∠DBC交AM于点E，若∠C＝∠DEB，求∠DEB的度数．
14．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠1＝∠2．
（1）如图1，求证：EF∥GH；
（2）如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N，EN交GH于点P，求证：∠N＝45°；
（3）如图3，在（2）的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若3∠FEN＝4∠HFM，直接写出的值．
15．已知，DE平分∠ADB交射线BC于点E，∠BDE＝∠BED．
（1）如图1，求证：AD∥BC；
（2）如图2，点F是射线DA上一点，过点F作FG∥BD交射线BC于点G，点N是FG上一点，连接NE，求证：∠DEN＝∠ADE+∠ENG；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DN，点P为BD延长线上一点，DM平分∠BDE交BE于点M，若DN平分∠PDM，DE⊥EN，∠DBC﹣∠DNE＝∠FDN，求∠EDN的度数．
16．将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由；
（2）若∠BCD＝4∠ACE，求∠BCD的度数；
（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究∠BCD等于多少度时CE∥AB，并简要说明理由．
17．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；
（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度数．
18．【探究结论】
（1）如图1，AB∥CD，E为形内一点，连结AE、CE得到∠AEC，则∠AEC、∠A、∠C的关系是 （直接写出结论，不需要证明）：
【探究应用】利用（1）中结论解决下面问题：
（2）如图2，AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E、F，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2，求证：∠FG1E+∠G2＝180°．
（3）如图3，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD＝60°，∠AEC＝3∠CEF，若8°＜∠BAE＜20°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为 ．
19．已知，直线EF分别与直线AB、CD相交于点G、H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD．
（2）如图2，点M在直线AB、CD之间，连接MG、HM，当∠AGM＝32°，∠MHC＝68°时，求∠GMH的度数．
（3）只保持（2）中所求∠GMH的度数不变，如图3，GP是∠AGM的平分线，HQ是∠MHD的平分线，作HN∥PG，则∠QHN的度数是否改变？若不发生改变，请求出它的度数．若发生改变，请说明理由．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）
20．如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．
（1）试说明：∠BAG＝∠BGA；
（2）如图1，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求证：CF平分∠BCD．
（3）如图2，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，求的值．
21．如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C、D在直线MN上，连接AC、AD，∠PAC＝50°，∠ADC＝30°，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于E．
（1）求∠AEC的度数；
（2）若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A1D1如图2所示位置，此时A1E平分∠AA1D1，CE平分∠ACD1，A1E与CE相交于E，∠PAC＝50°，∠A1D1C＝30°，求∠A1EC的度数．
（3）若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A1D1如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此时∠A1EC的度数．
22．如图1所示：点E为BC上一点，∠A＝∠D，AB∥CD．
（1）直接写出∠ACB与∠BED的数量关系；
（2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，BG的反向延长线与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠GHD大60°，求∠DEB的度数；
（3）保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，求∠PBM的度数．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）
23．如图，射线CB∥OA，∠C＝∠OAB．
（1）求证：AB∥OC；
（2）若点E，F在CB上，且∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．
①当∠C＝110°时，求∠EOB的度数；
②如果平移AB，那么的值是否随之发生变化？若不变，求出这个值；若变化，请说明理由．
24．已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．
（1）如图1，求证：∠BCD+∠CDE＝∠ABC；
（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，探究∠ABC和∠F之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．
25．如图1，G，E是直线AB上两点，点G在点E左侧，过点G的直线GP与过点E的直线EP交于点P．直线PE交直线CD于点H，满足点E在线段PH上，∠PGB+∠P＝∠PHD．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，点Q在直线AB，CD之间，PH平分∠QHD，GF平分∠PGB，点F，G，Q在同一直线上，且2∠Q+∠P＝120°，求∠QHD的度数；
（3）在（2）的条件下，若点M是直线PG上一点，直线MH交直线AB于点N，点N在点B左侧，请直接写出∠MNB和∠PHM的数量关系．（题中所有角都是大于0°且小于180°的角）
26．已知AB∥CD，P是截线MN上的一点，MN与CD、AB分别交于E、F．
（1）若∠EFB＝50°，∠EDP＝35°，求∠MPD的度数；
（2）如图1，当点P在线段EF上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问：是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；
（3）①如图2，当点P在线段FE的延长线上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，则的值为 ；
②当点P在直线EF上运动时，∠CDP与∠ABP的n等分线交于Q，其中∠CDQ＝∠CDP，∠ABQ＝∠ABP，设∠DPB＝α，求∠Q的度数（直接用含n，α的代数式表示，不需说明理由）.
27．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．
（1）求∠BOD的度数；
（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．
①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；
②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．
28．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角∠1＝∠2．
（1）如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射．若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1＝50°，则∠2＝ °，∠3＝ °．
（2）请你猜想：当射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行时，两平面镜a、b间的夹角∠3的大小是否为定值？若是定值，请求出∠3，若不是定值，请说明理由．
（3）如图3，两面镜子的夹角为α°（0＜α＜90），进入光线与离开光线的夹角为β°（0＜β＜90）．试探索α与β的数量关系，并说明理由．
29．（1）如图1，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别交于A，B两点，点P在线段AB上，则∠1，∠2，∠3之间的等量关系是 ；如图2，点A在B处北偏东40°方向，在C处的北偏西45°方向，则∠BAC＝ °．
（2）如图3，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2＝90°，试说明：AB∥CD；并探究∠2与∠3的数量关系．
30．如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P，满足0°＜∠EPF＜180°．
（1）试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？
解：由于点P是平行线AB，CD之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为 ，如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为 ．
（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝ ．
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；
③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2，与∠DFQ2的角平分线交于点Q3；此次类推，则∠EPF与∠EQ2018F满足怎样的数量关系？（直接写出结果）
31．如图1，BC⊥AF于点C，∠A+∠1＝90°．
（1）求证：AB∥DE；
（2）如图2，点P从点A出发，沿线段AF运动到点F停止，连接PB，PE．则∠ABP，∠DEP，∠BPE三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点A，D，C重合的情况）？并说明理由．
32．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F
（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为 ；
（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；
（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝30°，∠PEB＝15°，求∠N的度数．
33．【探究】
（1）如图1，∠ADC＝120°，∠BCD＝130°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝ °；
（2）如图2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝ ；（用α、β表示）
（3）如图3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG、BH平行时，α、β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．
【挑战】
如果将（2）中的条件α+β＞180°改为α+β＜180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．
34．如图，AD，BC相交于点O，∠MCD＝∠BCM＝α，∠B＝4α．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠A＝∠B，求∠BOD的度数；（用含α的式子表示）
（3）若点E在AB上，连接OE，EP平分∠OEB交CM于点P，如备用图所示，求证：∠COE＝2∠EPC+∠B．
35．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝40°，求∠MGN+∠MPN的度数；
（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝102°，求∠AME的度数．（直接写出结果）
36．（1）如图1，AB∥CD，点E是在AB、CD之间，且在BD的左侧平面区域内一点，连接BE、DE．求证：∠E＝∠ABE+∠CDE．
（2）如图2，在（1）的条件下，作出∠EBD和∠EDB的平分线，两线交于点F，猜想∠F、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．
（3）如图3，在（1）的条件下，作出∠EBD的平分线和△EDB的外角平分线，两线交于点G，猜想∠G、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．
37．如图，已知直线AB∥CD．
（1）在图1中，点E在直线AB上，点F在直线CD上，点G在AB、CD之间，若∠1＝30°，∠3＝75°，则∠2＝ ；
（2）如图2，若FN平分∠CFG，延长GE交FN于点M，EM平分∠AEN，当∠N+∠FGE＝54°时，求∠AEN的度数；
（3）如图3，直线MF平分∠CFG，直线NE平分∠AEG相交于点H，试猜想∠G与∠H的数量关系，并说明理由．
专题02 平行线解答题压轴
1．某学习小组发现一个结论：已知直线a∥b，若直线c∥a，则c∥b．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题：
已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ．
（1）如图1，运用上述结论，探究∠PEQ与∠APE+∠CQE之间的数量关系．并说明理由；
（2）如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ＝130°时，求出∠PFQ的度数；
（3）如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长线交PF于点F，当∠PEQ＝80°时，请直接写出∠PFQ的度数．
【答案】（1）∠PEQ＝∠APE+∠CQE；
（2）115°；
（3）140°．
【解答】解：（1）∠PEQ＝∠APE+∠CQE，
如图1，过点E作EH∥AB，则EH∥AB∥CD，
∵AB∥EH，
∴∠APE＝∠PEH，
又∵CD∥EH，
∴∠CQE＝∠HEQ，
∵∠PEQ＝∠PEH+HEQ，
∴∠PEQ＝∠APE+∠CQE；
（2）如图2，由（1）得，∠PEQ＝∠APE+∠CQE＝130°；
∵∠APE+∠BPE＝180°，∠CQE+∠DQE＝180°，
∴∠BPE+∠DQE＝360°﹣130°＝230°，
又∵PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠3＝（∠BPE+∠DQE）＝×230°＝115°，
在四边形PEQF中，
∠PFQ＝360°﹣（∠1+∠2+∠PEQ）＝360°﹣（115°+130°）＝115°；
（3）140°，如图3，延长PF交CD与点M，
∵PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵AB∥CD，
∴∠BPE＝∠DNE，∠2＝∠PMC＝∠1，
又∵∠DQE＝∠DNE+∠E，即2∠4＝2∠1+80°，
∴∠4﹣∠1＝40°，
∴∠PFQ＝∠FQD+∠PMC＝180°﹣∠4+∠1＝180°﹣（∠4﹣∠1）＝180°﹣40°＝140°．
2．【问题情景】如图1，若AB∥CD，∠AEP＝45°，∠PFD＝120°．过点P作PM∥AB，则∠EPF＝ 105° ；
【问题迁移】如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，点E，F分别在AB，CD上，连接PE，PF，过P点作PN∥AB，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间的数量关系是 ∠PFC＝∠PEA+∠FPE ，请在下方说明理由；
【联想拓展】如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝36°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，过点G作GH∥AB，则∠EGF＝ 18° ．
【答案】（1）105°；
（2）∠PFC＝∠PEA+∠FPE；
（3）18°．
【解答】解：（1）∵AB∥PM，
∴∠1＝∠AEP＝45°，
∵AB∥CD，
∴PM∥CD，
∴∠2+∠PFD＝180°，
∵∠PFD＝120°，
∴∠2＝180°﹣120°＝60°，
∴∠1+∠2＝45°+60°＝105°．
即∠EPF＝105°，
故答案为：105°．
（2）∠PFC＝∠PEA+∠EPF．
理由：∵PN∥AB，
∴∠PEA＝∠NPE，
∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，
∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，
∵PN∥AB，AB∥CD，
∴PN∥CD，
∴∠FPN＝∠PFC，
∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，
故答案为：∠PFC＝∠PEA+∠FPE．
（3）∵GH∥AB，AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，
又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，
∴，
由（2）可知，∠CFP＝∠FPE+∠AEP，
∴∠HGF＝（∠FPE+∠AEP），
∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝（36°+∠AEP）﹣∠HGE＝18°．
故答案为：18°．
3．已知：如图，直线PQ∥MN，点C是PQ，MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．
（1）若∠1与∠2都是锐角，如图1，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系．
（2）若小明把一块三角板（∠A＝30°，∠C＝90°）如图2放置，点D，E，F是三角板的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数．
（3）将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，给出下列两个结论：
①的值不变；
②∠GEN﹣∠BDF的值不变．
其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？并求出不变的值是多少．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∠C＝∠1+∠2．
理由：如图1，过C作CD∥PQ，
∵PQ∥MN，
∴CD∥MN，
∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2．
（2）∵∠AEN＝∠A＝30°，
∴∠MEC＝30°，
由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，
∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°，
∴∠BDF＝∠PDC＝60°；
（3）结论①的值不变是正确的，
设∠CEG＝∠CEM＝x，则∠GEN＝180°﹣2x，
由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP，
∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x，
∴∠BDF＝90°﹣x，
∴＝＝2（定值），
即的值不变，值为2．
4．对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N＝360°，则称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M＝90°，∠N＝45°，则∠N为∠M的6系补周角．
（1）若∠H＝120°，则∠H的4系补周角的度数为 60 °
（2）在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE，DE．
①如图1，∠D＝60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数．
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF＝n∠ABE，∠CDF＝n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）．
【答案】（1）60°；
（2）①∠B＝75°；
②当BG上的动点P为∠CDG的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，此时k＝2n．
【解答】解：（1）设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义得，120+4x＝360，
解得，x＝60，
∠H的4系补周角的度数为60°，
故答案为60；
（2）①过E作EF∥AB，如图1，
∴∠B＝∠BEF，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，∠D＝60°，
∴∠D＝∠DEF＝60°，
∵∠B+60°＝∠BEF+∠DEF，
即∠B+60°＝∠BED，
∵∠B是∠BED的3系补周角，
∴∠BED＝360°﹣3∠B，
∴∠B+60°＝360°﹣3∠B，
∴∠B＝75°；
②当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，此时k＝2n．
5．如图1，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC＝∠BCD．
（1）求证：∠DEC+∠ECD＝90°；
（2）如图2，BF平分∠ABD交CD的延长线于点F，若∠ABC＝100°，求∠F的大小；
（3）如图3，若H是BC上一动点，K是BA延长线上一点，KH交BD于点M，交AD于点O，KG平分∠BKH，交DE于点N，交BC于点G，当点H在线段BC上运动时（不与点B重合），求的值．
【答案】（1）证明见解答；
（2）∠F＝40°；
（3）2．
【解答】（1）证明：如图1，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，即∠BCD+∠BDC+∠ADB＝180°，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADB＝2∠EDB，
∵∠BDC＝∠BCD，
∴2（∠BDC+∠EDB）＝180°，
∴∠BDC+∠EDB＝90°，即∠CDE＝90°，
∴∠DEC+∠ECD＝90°；
（2）解：如图2，
∵BF平分∠ABD，
∴∠ABF＝∠DBF，
设∠ABF＝∠DBF＝α，
∵∠ABC＝100°，
∴∠CBD＝100°﹣2α，
∵∠BDC＝∠BCD，
∴∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣∠CBD）＝40°+α，
∵∠BDC＝∠F+∠DBF，
∴∠F＝∠BDC﹣∠DBF＝40°+α﹣α＝40°；
（3）解：
在△BMK中，∠BMK＝∠DMH＝180°﹣∠ABD﹣∠BKH，
又∵∠BAD＝180°﹣（∠ABD+∠ADB），
∴∠DMH+∠BAD＝（180°﹣∠ABD﹣∠BKH）+（180°﹣∠ABD﹣∠ADB）＝360°﹣∠BKH﹣2∠ABD﹣∠ADB＝2[180°﹣（∠BKH+∠ADB）﹣∠ABD]，
∵KG平分∠BKH，DE平分∠ADB，
∴∠BKG＝∠BKH，∠BDE＝∠ADB，
∴∠DNG＝∠KNE＝180°﹣∠BKG﹣∠AED＝180°﹣∠BKH﹣∠ABD﹣∠BDE＝180°﹣（∠BKH+∠ADB）﹣∠ABD，
∴＝＝2．
6．已知：直线EF分别交直线AB，CD于点G，H，且∠AGH+∠DHF＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M，N分别在射线GE，HF上，点P，Q分别在射线GA，HC上，连接MP，NQ，且∠MPG+∠NQH＝90°，分别延长MP，NQ交于点K，求证：MK⊥NK；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接KH，KH平分∠MKN，且HE平分∠KHD，若，求∠KMN的度数．
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）50°．
【解答】（1）证明：∵∠CHG＝∠DHF，∠AGH+∠DHF＝180°，
∴∠AGH+∠CHG＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：过K作KR∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴RK∥AB∥CD，
∴∠MPG＝∠MKR，∠NQH＝∠RKN，
∵∠MPG+∠NQH＝90°，
∴∠MKR+∠NKR＝90°
∴∠MKN＝90°，
∴MK⊥NK；
（3）解：如图，过M作MT∥AB，过K作KR∥AB，
∵AB∥CD，
∴MT∥AB∥CD∥KR，
∵KH平分∠MKN，
∴∠MKH＝∠NKH＝45°
∵，
∴设∠DHG＝17x，∠MPG＝7x，
∵HE平分∠KHD，
∴∠KHM＝∠DHG＝17x，
∴∠KHD＝34x∴∠KHQ＝180°﹣34x，
∵CD∥KR，
∴∠RKH＝∠KHQ＝180°﹣34x，
∵MT∥AB∥KR
∴∠TMP＝∠MKR＝∠MPG＝7x，∠TMH＝∠MHD＝17x，
∵∠MKH＝45°，
∴∠RKH+∠MKR＝180°﹣34x+7x＝45°，
∴x＝5°，
∵∠KMN＝∠TMH﹣∠TMP，
∴∠KMN＝17x﹣7x＝10x＝50°．
7．在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．（其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝∠D＝45°）
（1）将三角尺如图1所示叠放在一起．
①∠AOD与∠BOC大小关系是 相等 ，依据是 同角的余角相等 ．
②∠BOD与∠AOC的数量关系是 互补 ．
（2）小亮固定其中一块三角尺△COD不动，绕点O顺时针转动另一块三角尺，从图2的OA与OC重合开始，到图3的OA与OC在一条直线上时结束，探索△AOB的一边与△COD的一边平行的情况．
①求当AB∥CD时，如图4所示，∠AOC的大小；
②直接写出∠AOC的其余所有可能值．
【答案】（1）①相等，同角的余角相等；②互补；
（2）①75°；②30°，45°，120°，135°．
【解答】解：（1）①∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠AOD＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°，
∴∠AOD＝∠BOC，（同角的余角相等），
故答案为：相等，同角的余角相等；
②∠AOC与∠BOD互补．
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180°．
∵∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC，
∴∠AOC+∠BOD＝180°，
即∠AOC与∠BOD互补，
故答案为：互补；
（2）①如图，过点O作OE∥AB，则OE∥AB∥CD，
∵OE∥AB∥CD，
∴∠A＝∠AOE＝30°，∠C＝∠COE＝45°，
∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝30°+45°＝75°；
②当AB∥OC时，如图，
此时∠AOC＝∠A＝30°；
当OA∥CD时，如图，
此时，∠AOC＝∠C＝45°；
当AB∥CD时，
由①得，∠AOC＝75°；
当AB∥OD时，如图，
此时，∠BOD＝∠B＝60°，
∴∠AOC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°；
当OB∥CD时，如图，
此时，∠BOD＝∠D＝45°，
∴∠AOC＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°；
综上，∠AOC的其余所有可能值为30°，45°，120°，135°．
8．已知：直线EF分别交直线AB，CD于点G，H，且∠AGH+∠DHF＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M，N分别在射线GE，HF上，点P，Q分别在射线GA，HC上，连接MP，NQ，且∠MPG+∠NQH＝90°，分别延长MP，NQ交于点K，求证：MK⊥NK；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接KH，若KH平分∠MKN，且HE平分∠KHD，若∠DHG＝5∠MPG，请直接写出∠KMN的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）∠KMN的度数为60°．
【解答】（1）证明：∵∠AGH+∠DHF＝180°，
又∵∠DHF＝∠EHC，
∴∠AGH+∠EHC＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：如图，由（1）知，AB∥CD，
过K作KO∥AB，
∵AB∥CD，
∴KO∥CD
∵KO∥AB
∴∠MPG＝∠MKO，
∵KO∥CD，
∴∠NQH＝∠NKO，
∵∠MPG+∠NQH＝90°，
∴∠MKO+∠NKO＝90°，
则∠MKN＝90°，
即MK⊥NK．
（3）解：如图，过M作MT∥AB，过K作KR∥AB，
∵AB∥CD，
∴MT∥AB∥CD∥KR，
∵KH平分∠MKN，
∴∠MKH＝∠NKH＝45°，
∵∠DHG＝5∠MPG，
∴设∠DHG＝5x，∠MPG＝x，
∵HE平分∠KHD，
∴∠KHM＝∠DHG＝5x，
∴∠KHD＝10x，
∴∠KHQ＝180°﹣10x，
∵CD∥KR．
∴∠RKH＝∠KHQ＝180°﹣10x，
∵MT∥AB∥KR，
∴∠TMP＝∠MKR＝∠MPG＝x，∠TMH＝∠MHD＝5x，
∵∠MKH＝45°，
∴∠RKH+∠MKR＝180°﹣10x+x＝45°，
∴x＝15°，
∵∠KMN＝∠TMH﹣∠TMP，
∴∠KMN＝5x﹣x＝4x＝60°．
9．已知直线a∥b，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．
（1）如图，当点P在线段EF上运动时，试探索∠1，∠2，∠3之间的关系，并给出证明；
（2）当点P在线段EF外运动时，请你在备用图中画出图形，并判断（1）中的结论是否还成立？若不成立，请你探索∠1，∠2，∠3之间的关系（不需要证明）．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）∠1+∠3＝∠2，
证明：
过P作PM∥a，
∵a∥b，
∴a∥b∥PM，
∴∠1＝∠APM，∠3＝∠BPM，
∴∠1+∠3＝∠APM+∠BPM，
即∠1+∠3＝∠2；
（2）不成立，
有两种情况：
①如图2，此时∠1+∠2＝∠3，
理由是：∵a∥b，
∴∠3＝∠PQE，
∵∠1+∠2＝∠PQE，
∴∠1+∠2＝∠3；
②如图3，
此时∠2+∠3＝∠1，
理由是：∵a∥b，
∴∠1＝∠PQF，
∵∠2+∠3＝∠PQF，
∴∠2+∠3＝∠1．
10．问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．
操作发现
（1）如图（1），小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；
（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC之间的数量关系；
结论应用
（3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG＝α，则∠CFG等于 60°﹣α （用含α的式子表示）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠1＝∠EGD，
又∵∠2＝2∠1，
∴∠2＝2∠EGD，
又∵∠FGE＝60°，
∴∠EGD＝（180°﹣60°）＝40°，
∴∠1＝40°；
（2）如图2，∵AB∥CD，
∴∠AEG+∠CGE＝180°，
即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC＝180°，
又∵∠FEG+∠EGF＝90°，
∴∠AEF+∠FGC＝90°；
（3）如图3，∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
即∠AEG+∠FEG+∠EFG+∠GFC＝180°，
又∵∠GFE＝90°，∠GEF＝30°，∠AEG＝α，
∴∠GFC＝180°﹣90°﹣30°﹣α＝60°﹣α．
故答案为：60°﹣α．
11．【阅读与思考】
如图，已知AM∥BN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
【思考与探究】
（1）①∠ABN的度数是 116° ；
②∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠ CBN ；
③∠CBD的度数是 58° ；
【猜想与探究】
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律；
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是多少？
【答案】（1）①116°；②CBN；③58°；
（2）不变，2：1；
（3）29°．
【解答】解：（1）①∵AM∥BN，∠A＝64°，
∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°，
故答案为：116°；
②∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
故答案为：CBN；
③∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣64°＝116°，
∴∠ABP+∠PBN＝116°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝116°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°；
（2）不变，
∠APB：∠ADB＝2：1，
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB＝2：1；
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，
则有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）∠ABN＝116°，
∴∠CBD＝58°，
∴∠ABC+∠DBN＝58°，
∴∠ABC＝29°，
故答案为：29°．
12．课题学习：平行线的“等角转化”功能．
（1）阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的度数．阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作ED∥BC，∴∠B＝ ∠EAB ，∠C＝ ∠DAC ，∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，∴∠B+∠BAC+∠C＝180°．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
（2）方法运用：如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数；
（3）深化拓展：已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在直线AB与CD之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC＝36°，求∠BED的度数．
②如图4，点B在点A的右侧，且AB＜CD，AD＜BC．若∠ABC＝n°，求∠BED度数．（用含n的代数式表示）
【答案】（1）∠EAB；∠DAC；
（2）360°；
（3）①43°；②．
【解答】解：（1）∵ED∥BC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC（两直线平行，内错角相等）；
故答案为：∠EAB；∠DAC；
（2）过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠D+∠FCD＝180°，
∵CF∥AB，
∴∠B+∠FCB＝180°，
∴∠B+∠FCB+∠FCD+∠D＝360°，
∴∠B+∠BCD+∠D＝360°；
（3）①过E作EG∥AB，
∵AB∥DC，
∴EG∥CD，
∴∠GED＝∠EDC，
∵DE平分∠ADC，
∴，
∴∠GED＝25°，
∵BE平分∠ABC，
∴，
∵GE∥AB，
∴∠BEG＝∠ABE＝18°，
∴∠BED＝∠GED+∠BEG＝25°+18°＝43°；
②过E作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠PED＝∠EDC＝25°，
∵BE平分∠ABC，∠ABC＝n°，
∴，
∵AB∥PE，
∴∠ABE+∠PEB＝180°，
∴，
∴．
13．如图1，AM∥NC，点B位于AM，CN之间，∠BAM为钝角，AB⊥BC，垂足为点B．
（1）若∠C＝40°，则∠BAM＝ 130° ；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM，交MA的延长线于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，BE平分∠DBC交AM于点E，若∠C＝∠DEB，求∠DEB的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：过点B作BE∥AM，则AM∥BE∥NC，
∵BE∥NC，∠C＝40°，
∴∠CBE＝∠C＝40°．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣40°＝50°．
∵AM∥BE，
∴∠BAM+∠ABE＝18°，
∴∠BAM＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：130°；
（2）证明：如图2，过点B作BF∥DM，则∠ADB+∠DBF＝180°．
∵BD⊥AM，
∴∠ADB＝90°．
∴∠DBF＝90°，∠ABD+∠ABF＝90°．
又∵AB⊥BC，
∴∠CBF+∠ABF＝90°．
∴∠ABD＝∠CBF．
∵AM∥CN，
∴BF∥CN，
∴∠C＝∠CBF．
∴∠ABD＝∠C．
（3）解：设∠DEB＝x°，由（2）可得∠ABD＝∠C，
∵∠C＝∠DEB，
∴∠ABD＝∠C＝∠DEB＝x°．
过点B作BF∥DM，如图3，
∴∠DEB＝∠EBF，∠C＝∠FBC．
∴∠CBE＝∠EBF+∠FBC＝∠DEB+∠C＝2x°．
∵∠DBC＝∠ABC+∠ABD＝90°+x°．
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBC＝2∠CBE＝4x°，即4x＝90+x，解得x＝30．
∴∠DEB的度数为30°．
14．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠1＝∠2．
（1）如图1，求证：EF∥GH；
（2）如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N，EN交GH于点P，求证：∠N＝45°；
（3）如图3，在（2）的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若3∠FEN＝4∠HFM，直接写出的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴EF∥GH；
（2）如图2，过点N作NK∥CD，
∴KN∥CD∥AB，
∴∠KNE＝∠4，∠6＝∠7，
设∠4＝x，∠7＝y，
∵EN、FN分别平分∠BEF、∠DFM，
∴∠ENK＝∠5＝∠4＝x，∠6＝∠8＝∠7＝y，
又∵AB∥CD，
∴∠EFD＝180°﹣（∠4+∠5）＝180°﹣2x，
又∵FM⊥GH，
∴∠EFM＝90°，
∴180°﹣2x+2y＝90°，
∴x﹣y＝45°，
∴∠ENF＝∠ENK﹣∠6＝x﹣y＝45°，
（3）
∵3∠FEN＝4∠HFM，即3x＝4×2y，
∴x＝，
∴x﹣y＝﹣y＝45°
∴y＝27°，x＝72°，
又∵EN和GQ是角平分线，
∴GQ⊥EN，
∴∠GQH＝∠EGQ＝180°﹣90°﹣72°＝18°，
又∵∠MPN＝∠FEN＝x＝72°，
∴，
故答案为．
15．已知，DE平分∠ADB交射线BC于点E，∠BDE＝∠BED．
（1）如图1，求证：AD∥BC；
（2）如图2，点F是射线DA上一点，过点F作FG∥BD交射线BC于点G，点N是FG上一点，连接NE，求证：∠DEN＝∠ADE+∠ENG；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DN，点P为BD延长线上一点，DM平分∠BDE交BE于点M，若DN平分∠PDM，DE⊥EN，∠DBC﹣∠DNE＝∠FDN，求∠EDN的度数．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答；
（3）∠EDN的度数为45°．
【解答】（1）证明：∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE＝∠BDE，
∵∠BDE＝∠BED，
∴∠ADE＝∠BED，
∴AD∥BE；
（2）证明：过点E作EH∥BD，
∴∠DEH＝∠BDE，
∵∠BDE＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠DEH，
∵BD∥FG，
∴EH∥FG，
∴∠HEN＝∠ENG，
∵∠DEN＝∠DEH+∠HEN，
∴∠DEN＝∠ADE+∠ENG；
（3）解：设∠BDM＝2x，
∵DM平分∠BDE，
∴∠BDM＝∠MDE＝2x，
∴∠ADE＝∠BDE＝2∠BDM＝4x，
∴∠ADB＝2∠BDE＝8x，
∵AD∥BC，
∴∠B＝180°﹣∠ADB＝180°﹣8x，
∵DE⊥EN，
∴∠DEN＝90°，
由（2）得：∠DEN＝∠ADE+∠ENG，
∴∠ENG＝∠DEN﹣∠ADE＝90°﹣4x，
∵DN平分∠PDM，
∴∠MDN＝∠PDM＝（180°﹣∠BDM）＝（180°﹣2x）＝90°﹣x，
∴∠EDN＝∠MDN﹣∠MDE＝90°﹣x﹣2x＝90°﹣3x，
∴∠DNE＝90°﹣∠EDN＝3x，∠FDN＝∠ADE﹣∠EDN＝4x﹣（90°﹣3x）＝7x﹣90°，
∵∠DBC﹣∠DNE＝∠FDN，
∴180°﹣8x﹣3x＝7x﹣90°，
解得：x＝15°，
∴∠EDN＝90°﹣3x＝45°，
∴∠EDN的度数为45°．
16．将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由；
（2）若∠BCD＝4∠ACE，求∠BCD的度数；
（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究∠BCD等于多少度时CE∥AB，并简要说明理由．
【答案】（1）∠BCD+∠ACE＝180°，理由见解析；
（2）144°；
（3）∠BCD等于150°或30°时，CE∥AB．
【解答】解：（1）∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下：
∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE＝90°+∠ACD+∠ACE＝90°+90°＝180°；
（2）如图①，设∠ACE＝α，则∠BCD＝4α，
由（1）可得∠BCD+∠ACE＝180°，
∴4α+α＝180°，
∴α＝36°，
∴∠BCD＝4α＝144°；
（3）分两种情况：
①如图1所示，当∠BCD＝150°时，AB∥CE．
∵∠BCD＝150°，∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝30°，
∴∠A＝∠ACE＝30°，
∴AB∥CE．
②如图2所示，当∠BCD＝30°时，AB∥CE．
∵∠BCD＝30°，∠DCE＝90°，
∴∠BCE＝∠B＝60°，
∴AB∥CE．
综上所述，∠BCD等于150°或30°时，CE∥AB．
17．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；
（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：如图1，∵∠AGE+∠DHE＝180°，∠AGE＝∠BGF．
∴∠BGF+∠DHE＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：如图2，过点M作MR∥AB，
又∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MR．
∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．
∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM．
（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，
∵射线GH是∠BGM的平分线，
∴，
∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，
∵，
∴，
∴∠FGN＝2β，
过点H作HT∥GN，
则∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，
∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β，
∠CHG＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β，
∵AB∥CD，
∴∠AGH+∠CHG＝180°，
∴90°+α+2α+3β＝180°，
∴α+β＝30°，
∴∠GHM＝2（α+β）＝60°．
18．【探究结论】
（1）如图1，AB∥CD，E为形内一点，连结AE、CE得到∠AEC，则∠AEC、∠A、∠C的关系是 ∠AEC＝∠A+∠C （直接写出结论，不需要证明）：
【探究应用】利用（1）中结论解决下面问题：
（2）如图2，AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E、F，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2，求证：∠FG1E+∠G2＝180°．
（3）如图3，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD＝60°，∠AEC＝3∠CEF，若8°＜∠BAE＜20°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为 42°或41° ．
【答案】（1）∠AEC＝∠A+∠C；
（2）证明过程见解答；
（3）42°或41°．
【解答】（1）解：过点E作EF∥AB，
∴∠A＝∠1，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠2＝∠C．
∵∠AEC＝∠1+∠2，
∴∠AEC＝∠A+∠C（等量代换），
故答案为：∠AEC＝∠A+∠C；
（2）证明：由（1）可知：∠EG2F＝∠1+∠DFG2，
∵FG2平分∠MFD，
∴∠EFG2＝∠DFG2，
∵∠1＝∠2，
∴∠EG2F＝∠2+∠EFG2，
∵∠EG1F+∠2+∠EFG2＝180°，
∴∠FG1E+∠G2＝180°；
（3）由（1）知：∠AEF＝∠BAE+∠DFE，
设∠CEF＝x，则∠AEC＝3x，
∵∠EFD＝60°，
∴x+3x＝∠BAE+60°，
∴∠BAE＝4x﹣60°，
又∵8°＜∠BAE＜20°，
∴8°＜4x﹣60°＜20°，
解得17°＜x＜20°，
又∵∠DFE是△CEF的外角，
∴∠C＝∠DFE﹣∠CEF＝∠DFE﹣x，
∵∠C的度数为整数，
∴x＝18°或19°，
∴∠C＝60°﹣18°＝42°或∠C＝60°﹣19°＝41°，
故答案为：42°或41°．
19．已知，直线EF分别与直线AB、CD相交于点G、H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD．
（2）如图2，点M在直线AB、CD之间，连接MG、HM，当∠AGM＝32°，∠MHC＝68°时，求∠GMH的度数．
（3）只保持（2）中所求∠GMH的度数不变，如图3，GP是∠AGM的平分线，HQ是∠MHD的平分线，作HN∥PG，则∠QHN的度数是否改变？若不发生改变，请求出它的度数．若发生改变，请说明理由．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）
【答案】（1）证明过程见解析；（2）∠GMH＝100°；（3）∠QHN＝40°．
【解答】（1）证明：∵∠AGE+∠BGE＝180°，∠AGE+∠DHE＝180°，
∴∠BGE＝∠DHE，
∴AB∥CD．
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠AGH+∠CHG＝180°，即∠AGM+∠MGH+∠MHG+∠MHC＝180°，
∵∠MGH+∠MHG+∠GMH＝180°，
∴∠GMH＝∠AGM+∠MHC，
∵∠AGM＝32°，∠MHC＝68°，
∴∠GMH＝100°．
（3）解：∠QHN的度数不发生改变，理由如下，
由（2）得，∠AGM+∠MHC＝∠GMH＝100°，
∴∠MGH+∠MHG＝80°，
∵GP、HQ分别平分∠MGA和∠MHD，
∴∠MGP＝∠MGA，∠MHQ＝∠MHD＝（180°﹣∠MHC）＝90°﹣∠MHC，
∴∠PGH＝∠MGP+∠MGH＝∠MGA+∠MGH，
∵HN∥PG，
∴∠GHN＝∠PGH＝∠MGA+∠MGH，
∴∠QHN＝∠GHN﹣∠GHQ＝（∠MGA+∠MGH）﹣（∠MHQ﹣∠MHG）＝∠MGA+∠MGH﹣∠MHQ+∠MHG＝∠MGA+80°﹣∠MHQ，
∴∠QHN＝∠MGA+80°﹣（90°﹣∠MHC）＝﹣10°+（∠MGA+∠MHC）＝﹣10°+×100°＝40°．
20．如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．
（1）试说明：∠BAG＝∠BGA；
（2）如图1，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求证：CF平分∠BCD．
（3）如图2，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，求的值．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答；
（3）5或．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠GAD＝∠BGA，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠GAD
∴∠BAG＝∠BGA；
（2）解：∵∠BGA＝∠F+∠BCF，
∴∠BGA﹣∠F＝∠BCF，
∵∠BAG＝∠BGA，
∴∠∠BAG﹣∠F＝∠BCF，
∵∠BAG﹣∠F＝45°，
∴∠BCF＝45°，
∵∠BCD＝90°，
∴CF平分∠BCD；
（3）解：有两种情况：
①当M在BP的下方时，如图5，
设∠ABC＝4x，
∵∠ABP＝3∠PBG，
∴∠ABP＝3x，∠PBG＝x，
∵AG∥CH，
∴∠BCH＝∠AGB＝＝90°﹣2x，
∵∠BCD＝90°，
∴∠DCH＝∠PBM＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，
∴∠ABM＝∠ABP+∠PBM＝3x+2x＝5x，
∠GBM＝2x﹣x＝x，
∴∠ABM：∠GBM＝5x：x＝5；
②当M在BP的上方时，如图6，
同理得：∠ABM＝∠ABP﹣∠PBM＝3x﹣2x＝x，
∠GBM＝2x+x＝3x，
∴∠ABM：∠GBM＝x：3x＝．
综上，的值是5或．
21．如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C、D在直线MN上，连接AC、AD，∠PAC＝50°，∠ADC＝30°，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于E．
（1）求∠AEC的度数；
（2）若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A1D1如图2所示位置，此时A1E平分∠AA1D1，CE平分∠ACD1，A1E与CE相交于E，∠PAC＝50°，∠A1D1C＝30°，求∠A1EC的度数．
（3）若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A1D1如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此时∠A1EC的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1所示：
∵直线PQ∥MN，∠ADC＝30°，
∴∠ADC＝∠QAD＝30°，
∴∠PAD＝150°，
∵∠PAC＝50°，AE平分∠PAD，
∴∠PAE＝75°，
∴∠CAE＝25°，
可得∠PAC＝∠ACN＝50°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECA＝25°，
∴∠AEC＝180°﹣25°﹣25°＝130°；
（2）如图2所示：
∵∠A1D1C＝30°，线段AD沿MN向右平移到A1D1，PQ∥MN，
∴∠QA1D1＝30°，
∴∠PA1D1＝150°，
∵A1E平分∠AA1D1，
∴∠PA1E＝∠EA1D1＝75°，
∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，
∴∠CAQ＝130°，∠ACN＝50°，
∵CE平分∠ACD1，
∴∠ACE＝25°，
∴∠CEA1＝360°﹣25°﹣130°﹣75°＝130°；
（3）如图3所示：
过点E作FE∥PQ，
∵∠A1D1C＝30°，线段AD沿MN向左平移到A1D1，PQ∥MN，
∴∠QA1D1＝30°，
∵A1E平分∠AA1D1，
∴∠QA1E＝∠2＝15°，
∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，
∴∠ACN＝50°，
∵CE平分∠ACD1，
∴∠ACE＝∠ECN＝∠1＝25°，
∴∠CEA1＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°．
22．如图1所示：点E为BC上一点，∠A＝∠D，AB∥CD．
（1）直接写出∠ACB与∠BED的数量关系；
（2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，BG的反向延长线与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠GHD大60°，求∠DEB的度数；
（3）保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，求∠PBM的度数．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）
【答案】（1）∠ACB+∠BED＝180°；（2）100°；（3）40°．
【解答】解：（1）如答图1所示，延长DE交AB于点F．
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠EFB，
∵∠A＝∠D，
∴∠A＝∠EFB，
∴AC∥DF，
∴∠ACB＝∠CED．
∵∠CED+∠BED＝180°，
∴∠ACB+∠BED＝180°．
（2）如答图2所示，过点E作ES∥AB，过点H作HT∥AB．
设∠ABG＝∠EBG＝α，∠FDH＝∠EDH＝β，
∵AB∥CD，AB∥ES，
∴∠ABE＝∠BES，∠SED＝∠CED，
∴∠BED＝∠BES+∠SED＝∠ABE+∠CDE＝2α+180°﹣2β，
∵AB∥TH，AB∥CD，
∴∠ABG＝∠THB，∠FDH＝∠DHT，
∴∠GHD＝∠THD﹣∠THB＝β﹣α，
∵∠BED比∠BHD大60°，
∴2α+180°﹣2β﹣（β﹣α）＝60°，
∴β﹣α＝40°，
∴∠BHD＝40°，
∴∠BED＝100°；
（3）如答图3所示，过点E作EQ∥DN．
设∠CDN＝∠EDN＝α，∠EBM＝∠KBM＝β，
由（2）易知∠DEB＝∠CDE+∠ABE，
∴2α+180°﹣2β＝100°，
∴β﹣α＝40°，
∴∠DEB＝∠CDE+∠EDN+180°﹣（∠EBM+∠PBM）＝α+180°﹣β﹣∠PBM，
∴∠PBM＝80°﹣（β﹣α）＝40°．
23．如图，射线CB∥OA，∠C＝∠OAB．
（1）求证：AB∥OC；
（2）若点E，F在CB上，且∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．
①当∠C＝110°时，求∠EOB的度数；
②如果平移AB，那么的值是否随之发生变化？若不变，求出这个值；若变化，请说明理由．
【答案】（1）见解答；
（2）①35°；
②∠OBC：∠OFC的值不发生变化，
∠OBC：∠OFC＝1：2．
【解答】（1）证明：∵CB∥OA，
∴∠C+∠COA＝180°，
∵∠C＝∠OAB，
∴∠OAB+∠COA＝180°，
∴AB∥OC．
（2）①∠COA＝180°﹣∠C＝70°，
∵∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF，
∴∠FOB+∠EOF＝（∠AOF+∠COF）＝∠COA＝35°．
②∠OBC：∠OFC的值不发生变化，
∵CB∥OA，
∴∠OBC＝∠BOA，∠OFC＝∠FOA，
∵∠FOB＝∠AOB，
∴∠FOA＝2∠BOA，
∴∠OFC＝2∠OBC，
∴∠OBC：∠OFC＝1：2．
24．已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．
（1）如图1，求证：∠BCD+∠CDE＝∠ABC；
（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，探究∠ABC和∠F之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．
【答案】（1）见解答过程；
（2）∠ABC﹣∠F＝90°；
（3）45°．
【解答】（1）证明：过点C作CM∥AB，如图1，
∴∠ABC＝∠BCM，
∵AB∥ED，
∴∠CDE＝∠DCM，
∵∠BCM＝∠BCD+∠DCM，
∴∠ABC＝∠BCD+∠CDE；
（2）解：∠ABC﹣∠F＝90°，理由：
过点C作CN∥AB，如图2，
∴∠ABC＝∠BCN，
∵AB∥ED，
∴CN∥EF，
∴∠F＝∠FCN，
∵∠BCN＝∠BCF+∠FCN，
∴∠ABC＝∠BCF+∠F，
∵CF⊥BC，
∴∠BCF＝90°，
∴∠ABC＝90°+∠F，
即∠ABC﹣∠F＝90°；
（3）延长HG交EF于点Q，过点G作GP∥EF，如图3，
∴∠BGD＝∠CGQ，
∵AB∥DE，
∴∠ABH＝∠EQG，
∵GP∥EF，
∴∠EQG＝∠PGQ，∠EFG＝∠PGF，
∴∠PGQ＝∠ABH，
∴∠BGD﹣∠CGF＝∠CGQ﹣∠CGF＝∠FGQ，
∵∠FGQ＝∠PGQ﹣∠PGF，
∴∠FGQ＝∠ABH﹣∠EFG，
∵BH平分∠ABC，FG平分∠CFD，
∴∠ABH＝∠ABC，∠EFG＝∠CFD，
∴∠FGQ＝∠ABC﹣∠CFD＝（∠ABC﹣∠CFD），
由（2）可得：∠ABC﹣∠CFD＝90°，
∴∠FGQ＝×90°＝45°，
即∠BGD﹣∠CGF＝45°．
25．如图1，G，E是直线AB上两点，点G在点E左侧，过点G的直线GP与过点E的直线EP交于点P．直线PE交直线CD于点H，满足点E在线段PH上，∠PGB+∠P＝∠PHD．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，点Q在直线AB，CD之间，PH平分∠QHD，GF平分∠PGB，点F，G，Q在同一直线上，且2∠Q+∠P＝120°，求∠QHD的度数；
（3）在（2）的条件下，若点M是直线PG上一点，直线MH交直线AB于点N，点N在点B左侧，请直接写出∠MNB和∠PHM的数量关系．（题中所有角都是大于0°且小于180°的角）
【答案】（1）证明过程详见解答部分；
（2）160°；
（3）点N在点B左侧，∠MNB和∠PHM的数量关系是∠MNB+∠PHM＝100°或∠MNB+∠PHM＝280°或∠MNB﹣∠PHM＝80°或∠MNB+∠PHM＝80°．
【解答】（1）证明：∵∠PGB+∠P＝∠PHD，∠PGB+∠P＝∠PEB，
∴∠PEB＝∠PHD，
∴AB∥CD；
（2）解：过点Q作QK∥AB，如图，
则∠GQK＝∠EGF，
由（1）知：AB∥CD，
∴QK∥CD，
∴∠HQK＝∠CHQ，
∴∠GQH＝∠GQK+∠HQK
＝∠EGF+∠CHQ，
∵GF平分∠PGB，
∴∠PGB＝2∠EGF＝2∠GQK，
∵PH平分∠QHD，
∴∠QHD＝2∠PHD，
∵∠PGB+∠P＝∠PHD，
∴∠QHD＝2∠PHD＝2∠PGB+2∠P＝4∠GQK+2∠P，
∵2∠GQH+∠P＝120°，
∴2∠GQK+2∠HQK+∠P＝120°，
∴2∠GQK+∠P＝120°﹣2∠HQK＝120°﹣2∠QHC，
∴∠QHD＝4∠GQK+2∠P＝2（120°﹣2∠QHC）＝240°﹣4∠QHC，
∵∠QHC＝180°﹣∠QHD，
∴∠QHD＝240°﹣4（180°﹣∠QHD），
解得∠QHD＝160°；
即∠QHD的度数为160°；
（3）在（2）的条件下，若点M是直线PG上一点，直线MH交直线AB于点N，点N在点B左侧，∠MNB和∠PHM的数量关系是∠MNB+∠PHM＝100°或∠MNB﹣∠PHM＝80°或∠MNB+∠PHM＝80°，理由如下：
在（2）的条件下，∠PHD＝∠QHD＝80°，
若点M在PG的延长线上，
或
∵AB∥CD，
∴∠HEN＝∠PHD＝80°，∠HEN＝∠CHP＝100°，
∵∠MNB+∠PHM+∠HEN＝180°，
∴∠MNB+∠PHM＝180°﹣∠HEN＝100°或∠MNB+∠PHM＝∠CHN+∠PHM＝180°+∠CHP＝280°．
若点M在PG上，
∵AB∥CD，
∴∠HEN＝∠PHD＝80°，
∵∠MNB＝∠PHM+∠HEN，
∴∠MNB﹣∠PHM＝∠HEN＝80°；
若点M在GP的延长线上，
∵AB∥CD，
∴∠HEN+∠PHD＝180°，
∴∠HEN＝180°﹣∠PHD＝100°，
∵∠HME+∠PHM+∠HEN＝180°，∠MNB＝∠HNE，
∴∠MNB+∠PHM＝180°﹣∠HEN＝80°．
综上所述，点N在点B左侧，∠MNB和∠PHM的数量关系是∠MNB+∠PHM＝100°或∠MNB+∠PHM＝280°或∠MNB﹣∠PHM＝80°或∠MNB+∠PHM＝80°．
26．已知AB∥CD，P是截线MN上的一点，MN与CD、AB分别交于E、F．
（1）若∠EFB＝50°，∠EDP＝35°，求∠MPD的度数；
（2）如图1，当点P在线段EF上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问：是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；
（3）①如图2，当点P在线段FE的延长线上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，则的值为 ；
②当点P在直线EF上运动时，∠CDP与∠ABP的n等分线交于Q，其中∠CDQ＝∠CDP，∠ABQ＝∠ABP，设∠DPB＝α，求∠Q的度数（直接用含n，α的代数式表示，不需说明理由）.
【答案】（1）15°；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）如图，当点P在线段AB，CD之间时，过点P作PG∥AB．
∵AB∥CD，
∴PG∥CD．
∵∠EFB＝50°，∠EDP＝35°
∴∠EPG＝∠EFB＝50°，
∠DPG＝∠EPD＝35°．
∴∠MPD＝∠EPG﹣∠DPG＝50°﹣35°＝15°．
当点P在CD的上方时，可得∠MPD＝85°，
综上所述，∠MPD为15°或85°；
（2）．
由（1）可知PG∥CD．
∴∠DPG＝∠CDP，
∠BPG＝∠ABP．
∴∠DPB＝∠DPG+∠BPG＝∠CDP+∠ABP．
同理可得∠Q＝∠CDQ+∠ABQ．
又∵DQ，BQ分别平分∠CDP与∠ABP，
∴∠CDQ＝∠CDP，
∠ABQ＝∠ABP．
∴∠Q＝∠CDQ+∠ABQ＝（∠CDP+∠ABP）＝∠DPB．
∴．
（3）①．
如图，过点P作PG∥AB．过点Q作QH∥AB．
∵AB∥CD，
∴PG∥CD，QH∥CD．
∴∠DPG＝∠CDP，
∠BPG＝∠ABP．
∴∠DPB＝∠BPG﹣∠DPG＝∠ABP﹣∠CDP．
同理可得∠BQD＝∠ABQ﹣∠CDQ．
又∵DQ，BQ分别平分∠CDP与∠ABP，
∴∠CDQ＝∠CDP，
∠ABQ＝∠ABP．
∴∠BDQ＝∠ABQ﹣∠CDQ＝（∠ABP﹣∠CDP）＝∠DPB．
∴．
②∠BQD＝．
分三种情况讨论：
（Ⅰ）当点P在线段FE的延长线上运动时，如图，
可得∠DPB＝∠ABP﹣∠CDP，
∠BQD＝∠ABQ﹣∠CDQ．
∵，
．
∴．
∴．
（Ⅱ）当点P在线段EF上运动时，如图，
可得∠DPB＝∠ABP+∠CDP，
∠BQD＝∠ABQ+∠CDQ．
∵，
．
∴．
∴．
（Ⅲ）当点P在线段EF的延长线上运动时，如图，
可得∠DPB＝∠ABP+∠CDP，
∠BQD＝∠ABQ+∠CDQ．
∵，
．
∴．
∴
综上所述，．
27．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．
（1）求∠BOD的度数；
（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．
①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；
②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠COE＝60°，OA平分∠COE，
∴∠AOC＝30°，
又∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD＝180°﹣30°﹣90°＝60°；
（2）①分两种情况：
①当OE平分∠AOB时，∠AOE＝45°，
即9°t+30°﹣3°t＝45°，
解得t＝2.5；
②当OF平分∠AOB时，∠AOF＝45°，
即9°t﹣150°﹣3°t＝45°，
解得t＝32.5；
综上所述，当t＝2.5s或32.5s时，直线EF平分∠AOB；
②t的值为12s或36s．
分两种情况：
①当OE平分∠BOD时，∠BOE＝∠BOD，
即9°t﹣60°﹣3°t＝（60°﹣3°t），
解得t＝12；
②当OF平分∠BOD时，∠DOF＝∠BOD，
即9°t﹣300°＝（3°t﹣60°），
解得t＝36；
综上所述，若直线EF平分∠BOD，t的值为12s或36s．
28．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角∠1＝∠2．
（1）如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射．若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1＝50°，则∠2＝ 100 °，∠3＝ 90 °．
（2）请你猜想：当射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行时，两平面镜a、b间的夹角∠3的大小是否为定值？若是定值，请求出∠3，若不是定值，请说明理由．
（3）如图3，两面镜子的夹角为α°（0＜α＜90），进入光线与离开光线的夹角为β°（0＜β＜90）．试探索α与β的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）100；90；
（2）90°；
（3）2α+β＝180°．
【解答】解：（1）如图：
∵∠1＝∠4＝50°，
∴∠5＝180°﹣2×50°＝80°，
∵m∥n，
∴∠2+∠5＝180°，
∴∠2＝100°，
∴∠6＝（180°﹣∠2）＝40°，
∴∠3＝180°﹣∠4﹣∠6＝90°；
故答案为：100，90；
（2）当∠3＝90°时，m∥n，
理由如下：
∵∠3＝90°，
∴∠4+∠6＝90°，
∴2∠4+2∠6＝180°，
∴∠2+∠5＝180°，
∴m∥n；
（3）解：如图3，
由（1）可得，∠5＝180°﹣2∠2，∠6＝180°﹣2∠3，
∵∠2+∠3＝180°﹣∠α，
∴∠β＝180°﹣∠5﹣∠6＝2（∠2+∠3）﹣180°＝2（180°﹣∠α）﹣180°＝180°﹣2∠α，
∴α与β的数量关系为：2α+β＝180°，
故答案为：2α+β＝180°．
29．（1）如图1，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别交于A，B两点，点P在线段AB上，则∠1，∠2，∠3之间的等量关系是 ∠3＝∠1+∠2 ；如图2，点A在B处北偏东40°方向，在C处的北偏西45°方向，则∠BAC＝ 85 °．
（2）如图3，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2＝90°，试说明：AB∥CD；并探究∠2与∠3的数量关系．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1中，作PM∥AC，
∵AC∥BD，
∴PM∥BD，
∴∠1＝∠CPM，∠2＝∠MPD，
∴∠1+∠2＝∠CPM+∠MPD＝∠CPD＝∠3．
由题可知：∠BAC＝∠B+∠C，
∵∠B＝40°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝40°+45°＝85°．
故答案为：∠1+∠2＝∠3，85°．
（2）证明：∵BE、DE平分∠ABD、∠BDC，
∴∠1＝∠ABD，∠2＝∠BDC；
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠ABD+∠BDC＝180°；
∴AB∥CD；（同旁内角互补，两直线平行）
∵DE平分∠BDC，
∴∠2＝∠FDE；
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠BED＝∠DEF＝90°；
∴∠3+∠FDE＝90°；
∴∠2+∠3＝90°．
30．如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P，满足0°＜∠EPF＜180°．
（1）试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？
解：由于点P是平行线AB，CD之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为 ∠EPF＝∠AEP+∠PFC ，如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为 ∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360° ．
（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝ 150° ．
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；
③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2，与∠DFQ2的角平分线交于点Q3；此次类推，则∠EPF与∠EQ2018F满足怎样的数量关系？（直接写出结果）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，过点P作PH∥AB，
则∠EPF＝∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP，
故答案为：∠EPF＝∠AEP+∠PFC；
同理可得：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°，
故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；
（2）①∠EPF＝60°，则∠EQF＝150°，
由（1）知∠PEA+∠PFC＝∠P＝60°，
而∠PFC+2β＝180°，∠PEA+2α＝180°，
故α+β＝150°＝∠EQF，
故答案为150°；
②如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
设：∠BEQ＝∠QEP＝α，∠QFD＝∠PFQ＝β，
则∠P＝180°﹣2α+180°﹣2β＝360°﹣2（α+β），
∠Q＝α+β，
即：∠EPF+2∠EQF＝360°；
③同理可得：∠Q1＝（α+β），∠Q2＝（α+β），
∠Q2018＝（）2018（α+β），
故：∠EPF+22019•∠EQ2018F＝360°．
31．如图1，BC⊥AF于点C，∠A+∠1＝90°．
（1）求证：AB∥DE；
（2）如图2，点P从点A出发，沿线段AF运动到点F停止，连接PB，PE．则∠ABP，∠DEP，∠BPE三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点A，D，C重合的情况）？并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，∵BC⊥AF于点C，
∴∠A+∠B＝90°，
又∵∠A+∠1＝90°，
∴∠B＝∠1，
∴AB∥DE．
（2）如图2，当点P在A，D之间时，过P作PG∥AB，
∵AB∥DE，
∴PG∥DE，
∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，
∴∠BPE＝∠BPG+∠EPG＝∠ABP+∠DEP；
如图所示，当点P在C，D之间时，过P作PG∥AB，
∵AB∥DE，
∴PG∥DE，
∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，
∴∠BPE＝∠BPG﹣∠EPG＝∠ABP﹣∠DEP；
如图所示，当点P在C，F之间时，过P作PG∥AB，
∵AB∥DE，
∴PG∥DE，
∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，
∴∠BPE＝∠EPG﹣∠BPG＝∠DEP﹣∠ABP．
32．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F
（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为 ∠PFD+∠AEM＝90° ；
（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；
（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝30°，∠PEB＝15°，求∠N的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）作PG∥AB，如图①所示：
则PG∥CD，
∴∠PFD＝∠1，∠2＝∠AEM，
∵∠1+∠2＝∠P＝90°，
∴∠PFD+∠AEM＝∠1+∠2＝90°，
故答案为：∠PFD+∠AEM＝90°；
（2）证明：如图②所示：
∵AB∥CD，
∴∠PFD+∠BHF＝180°，
∵∠P＝90°，
∴∠BHF+∠2＝90°，
∵∠2＝∠AEM，
∴∠BHF＝∠PHE＝90°﹣∠AEM，
∴∠PFD+90°﹣∠AEM＝180°，
∴∠PFD﹣∠AEM＝90°；
（3）如图③所示：
∵∠P＝90°，
∴∠PHE＝90°﹣∠PEB＝90°﹣15°＝75°，
∵AB∥CD，
∴∠PFC＝∠PHE＝75°，
∵∠PFC＝∠N+∠DON，
∴∠N＝75°﹣30°＝45°．
33．【探究】
（1）如图1，∠ADC＝120°，∠BCD＝130°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝ 35 °；
（2）如图2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝ ；（用α、β表示）
（3）如图3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG、BH平行时，α、β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．
【挑战】
如果将（2）中的条件α+β＞180°改为α+β＜180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．
【答案】（1）35°；
（2）；
（3）α+β＝180°，证明过程看解答过程；
挑战：∠AFB＝90°﹣，证明过程看解答过程．
【解答】解：（1）如图1．
∵BF平分∠CBE，AF平分∠DAB，
∴∠FBE＝∠CBE，∠FAB＝∠DAB．
∵∠D+∠DCB+∠DAB+∠ABC＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB
＝360°﹣120°﹣130°＝110°．
又∵∠F+∠FAB＝∠FBE，
∴∠F＝∠FBE﹣∠FAB＝
＝
＝．
（2）如图2．
由（1）得：∠AFB＝，∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB．
∴∠AFB＝＝．
（3）若AG∥BH，则α+β＝180°．
证明：如图3．
若AG∥BH，则∠GAB＝∠HBE．
∵AG平分∠DAB，BH平分∠CBE，
∴∠DAB＝2∠GAB，∠CBE＝2∠HBE．
∴∠DAB＝∠CBE．
∴AD∥BC．
∴∠DAB+∠DCB＝α+β＝180°．
挑战：如图4．
∵AM平分∠DAB，BN平分∠CBE，
∴∠BAM＝，．
∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠BCD＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣BCD＝360°﹣α﹣β．
∴∠DAB+180°﹣∠CBE＝360°﹣α﹣β．
∴∠DAB﹣∠CBE＝180°﹣α﹣β．
∵∠ABF与∠NBE是对顶角，
∴∠ABF＝∠NBE．
又∵∠F+∠ABF＝∠MAB，
∴∠F＝∠MAB﹣∠ABF．
∴∠F＝
＝
＝90°﹣．
34．如图，AD，BC相交于点O，∠MCD＝∠BCM＝α，∠B＝4α．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠A＝∠B，求∠BOD的度数；（用含α的式子表示）
（3）若点E在AB上，连接OE，EP平分∠OEB交CM于点P，如备用图所示，求证：∠COE＝2∠EPC+∠B．
【答案】（1）AB∥CD，（2）∠BOD＝7α，（3）∠COE＝2∠EPC+∠B．
【解答】证明：（1）∵∠MCD＝∠BCM＝α，
∴∠BCM＝3α，
∴∠BCD＝∠BCM+∠MCD＝4α＝∠B，
∴AB∥CD．
解：（2）过O做OF，使OF∥AB∥CD
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠A＝∠B＝3α，
∵AB∥OF，
∴∠B＝∠BOF，
CD∥OF，
∴∠FOD＝∠D，
∠BOD＝∠BOF+∠FOD＝∠B+∠D＝4α+3α＝7α．
证明：（3）过点P作AB、CD的平行线PQ，
∵AB∥PQ∥CD，
∴∠QPC＝∠PCD＝α，
∴∠BEP＝∠EPQ＝∠OEB，
∵∠COE＝∠OEP+∠ENO，
且∠ENO＝∠B+∠BEN＝∠BNP，
∴∠COE＝∠B+∠BEN+∠OEP＝∠B+∠OEB，
又∵EP平分∠OEB，
∴∠COE＝2∠EPC+∠B．
35．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝40°，求∠MGN+∠MPN的度数；
（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝102°，求∠AME的度数．（直接写出结果）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，过G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，
∵MG⊥NG，
∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°；
（2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，
∵GK∥AB，AB∥CD，
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝α，
∵GK∥AB，∠BMG＝40°，
∴∠MGK＝∠BMG＝40°，
∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，
∴∠GMP＝∠BMG＝40°，
∴∠BMP＝80°，
∵PQ∥AB，
∴∠MPQ＝∠BMP＝80°，
∵ND平分∠GNP，
∴∠DNP＝∠GND＝α，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠QPN＝∠DNP＝α，
∴∠MGN＝40°+α，∠MPN＝80°﹣α，
∴∠MGN+∠MPN＝40°+α+80°﹣α＝120°；
（3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y，
∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，
∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x，
∴∠AME＝2x，
∵GK∥AB，
∴∠MGK＝∠BMG＝x，
∵ET∥AB，
∴∠TEM＝∠EMA＝2x，
∵CD∥AB∥KG，
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝y，
∴∠MGN＝x+y，
∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG，
∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝∠CNG＝90°﹣y，
∵ET∥AB∥CD，
∴ET∥CD，
∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣y，
∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y，
∵2∠MEN+∠G＝102°，
∴2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝102°，
∴x＝26°，
∴∠AME＝2x＝52°．
36．（1）如图1，AB∥CD，点E是在AB、CD之间，且在BD的左侧平面区域内一点，连接BE、DE．求证：∠E＝∠ABE+∠CDE．
（2）如图2，在（1）的条件下，作出∠EBD和∠EDB的平分线，两线交于点F，猜想∠F、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．
（3）如图3，在（1）的条件下，作出∠EBD的平分线和△EDB的外角平分线，两线交于点G，猜想∠G、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图，
过点E作EH∥AB，
∴∠BEH＝∠ABE，
∵EH∥AB，CD∥AB，
∴EH∥CD，
∴∠DEH＝∠CDE，
∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝∠ABE+∠CDE；
（2）2∠F﹣（∠ABE+∠CDE）＝180°，
理由：由（1）知，∠BED＝∠ABE+∠CDE，
∵∠EDB+∠EBD+∠BED＝180°，
∴∠EBD+∠EDB＝180°﹣∠BED＝180°﹣（∠ABE+∠CDE），
∵BF，DF分别是∠DBE，∠BDE的平分线，
∴∠EBD＝2∠DBF，∠EDB＝2∠BDF，
∴2∠DBF+2∠BDF＝180°﹣（∠ABE+∠CDE），
∴∠DBF+∠BDF＝90°﹣（∠ABE+∠CDE），
在△BDF中，∠F＝180°﹣（∠DBF+∠BDF）＝180°﹣[90°﹣（∠ABE+∠CDE）]＝90°+（∠ABE+∠CDE），
即：2∠F﹣（∠ABE+∠CDE）＝180°；
（3）2∠G＝∠ABE+∠CDE，理由：如图3，
由（1）知，∠BED＝∠ABE+∠CDE，
∵BG是∠EBD的平分线，
∴∠DBE＝2∠DBG，
∵DG是∠EDP的平分线，
∴∠EDP＝2∠GDP，
∴∠BED＝∠EDP﹣∠DBE＝2∠GDP﹣2∠DBG＝2（∠GDP﹣∠DBG），
∴∠GDP﹣∠DBG＝∠BED＝（∠ABE+∠CDE）
∴∠G＝∠GDP﹣∠DBG＝（∠ABE+∠CDE），
∴2∠G＝∠ABE+∠CDE．
37．如图，已知直线AB∥CD．
（1）在图1中，点E在直线AB上，点F在直线CD上，点G在AB、CD之间，若∠1＝30°，∠3＝75°，则∠2＝ 45° ；
（2）如图2，若FN平分∠CFG，延长GE交FN于点M，EM平分∠AEN，当∠N+∠FGE＝54°时，求∠AEN的度数；
（3）如图3，直线MF平分∠CFG，直线NE平分∠AEG相交于点H，试猜想∠G与∠H的数量关系，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1所示，过G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥GH，
∴∠1＝∠EGH，∠2＝∠FGH，
∴∠1+∠2＝∠EGF，即30°+∠2＝75°，
∴∠2＝45°，
故答案为：45°；
（2）∵FN平分∠CFG，EM平分∠AEN，
∴可设∠AEM＝∠NEM＝α，∠CFN＝∠GFN＝β，
如图2所示，过G作GP∥CD，过N作NQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴NQ∥AB∥CD∥PG，
∴∠QNF＝∠CFN＝β，∠QNE＝∠AEN＝2α，∠PGE＝∠AEM＝α，∠PGF＝∠DFG＝180°﹣2β，
∴∠FNE＝∠QNF﹣∠QNE＝β﹣2α，∠FGE＝∠PGE+∠PGF＝α+180°﹣2β，
又∵∠FNE+∠FGE＝54°，
∴β﹣2α+（α+180°﹣2β）＝54°，
∴α＝24°，
∴∠AEN＝2α＝48°；
（3）猜想：∠G＝2∠H．理由：
∵MF平分∠CFG，NE平分∠AEG，
∴可设∠AEN＝∠NEG＝α，∠CFM＝∠GFM＝β，
如图3所示，过H作HP∥CD，过G作GQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴GQ∥AB∥CD∥PH，
∴∠QGE＝∠AEG＝2α，∠QGF＝∠CFG＝2β，∠PHM＝∠CFM＝β，∠PHN＝∠AEN＝α，
∴∠EGF＝∠QGE﹣∠QGF＝2α﹣2β，∠EHF＝∠PHN﹣∠PHM＝α﹣β，
∴∠EGF＝2∠EHF．