2025届人教新高考高三数学一轮复习考点规范练18任意角和弧度制、三角函数的概念Word版附解析

这是一份2025届人教新高考高三数学一轮复习考点规范练18任意角和弧度制、三角函数的概念Word版附解析，共4页。试卷主要包含了基础巩固，综合应用等内容，欢迎下载使用。

1.若sin α<0,且tan α>0,则α是( )
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
答案:C
解析:∵sin α<0,∴α的终边落在第三、第四象限或y轴的非正半轴.又tan α>0,∴α的终边在第一象限或第三象限.综上可知,α是第三象限角.
2.若将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是( )
A.π3B.π6
C.-π3D.-π6
答案:A
解析:将表的分针拨慢应按逆时针方向旋转,故选项C,D不正确.
因为拨慢10分钟,所以转过的角度应为圆周的212=16,即为16×2π=π3.
3.已知点P(tan α,cs α)在第三象限,则角α在( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
答案:B
解析:∵点P(tan α,cs α)在第三象限,∴tan α<0,cs α<0,则角α在第二象限.
4.如果1弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为( )
A.1sin0.5B.sin 0.5
C.2sin 0.5D.tan 0.5
答案:A
解析:连接圆心与弦的中点,则由弦心距、弦长的一半、半径构成一个直角三角形,弦长的一半为1,其所对的圆心角为0.5,故半径为1sin0.5,这个圆心角所对的弧长为1sin0.5.故选A.
5.已知α是第二象限角,P(x,5)为其终边上一点,且cs α=24x,则x等于( )
A.3B.±3
C.-2D.-3
答案:D
解析:依题意得cs α=xx2+5=24x<0,由此解得x=-3,故选D.
6.已知点P32,-12在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则角θ的值为( )
A.5π6B.2π3
C.11π6D.5π3
答案:C
解析:因为点P32,-12在第四象限,所以根据三角函数的定义可知tan θ=-1232=-33,且θ为第四象限角,又θ∈[0,2π),所以θ=11π6.
7.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴(如图①).按如下方法剪裁,扇面形状较为美观(如图②).从半径为r的圆面中剪下扇形OAB,使剪下扇形OAB后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为5-12,再从扇形OAB中剪下扇环形ABDC(图②阴影部分)制作扇面,使扇环形ABDC的面积与扇形OAB的面积比值为5-12.则一个按上述方法制作的扇环形ABDC的面积与圆面积的比值为( )
①
②
A.5-12B.5-14
C.3-52D.5-2
答案:D
解析:设扇形OAB的圆心角为α,扇形OAB的面积为S1,扇环形ABDC的面积为S2,圆的面积为S.
由题意可得,S1=12αr2,S2S1=5-12,S=πr2,
所以S2S=5-12S1πr2=(5-1)α4π.
因为剪下扇形OAB后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为5-12,
所以2πr-rα2πr=5-12,则α=(3-5)π,
所以S2S=(5-1)α4π=(5-1)(3-5)π4π=35-5-3+54=5-2.
8.若点P(3,y)是角α终边上的一点,且满足y<0,cs α=35,则tan α= .
答案:-43
解析:由三角函数定义,知cs α=39+y2=35,且y<0,可解得y=-4.
故tan α=yx=-43.
9.已知角α的终边在直线y=-3x上,则10sin α+3csα的值为 .
答案:0
解析:设角α终边上任一点为P(k,-3k)(k≠0),则点P与原点的距离r=k2+(-3k)2=10|k|.
当k>0时,r=10k,则sin α=-3k10k=-310,1csα=10kk=10,即10sin α+3csα=-310+310=0;
当k<0时,r=-10k,则sin α=-3k-10k=310,1csα=-10kk=-10,即10sin α+3csα=310-310=0.
综上,10sin α+3csα=0.
10.设角α是第三象限角,且sinα2=-sinα2,则角α2是第 象限角.
答案:四
解析:由α是第三象限角,可知2kπ+π<α<2kπ+3π2(k∈Z).
故kπ+π2<α2又sinα2=-sinα2,故sinα2<0.
因此α2只能是第四象限角.
11.已知扇形的周长为40,则当扇形的面积最大时,它的半径和圆心角分别为 .
答案:10,2
解析:设扇形的半径为r,圆心角为θ,则rθ+2r=40.
故扇形的面积S=12θr2=12(40-2r)r=-r2+20r=-(r-10)2+100≤100.
当且仅当r=10时,S有最大值100,此时10θ+20=40,θ=2.
故当r=10,θ=2时,扇形的面积最大.
二、综合应用
12.已知角α=2kπ-π5(k∈Z),若角θ与角α的终边相同,则y=sinθ|sinθ|+csθ|csθ|+tanθ|tanθ|的值为( )
A.1B.-1C.3D.-3
答案:B
解析:由α=2kπ-π5(k∈Z)及终边相同的角的概念知,角α的终边在第四象限.
因为角θ与角α的终边相同,所以角θ是第四象限角.
所以sin θ<0,cs θ>0,tan θ<0.
所以y=-1+1-1=-1.
13.(多选)下列说法正确的是( )
A.若0<α<π2,则sin αB.若α是第二象限角,则α2为第一象限角或第三象限角
C.若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0),则sin α=45
D.若扇形的周长为6,半径为2,则其圆心角的大小为1弧度
答案:ABD
解析:若0<α<π2,则sin α14.在与2 382°终边相同的角中,绝对值最小的角的弧度数为 .
答案:-23π30
解析:∵2 382°=397π30=14π-23π30,
∴与2 382°角终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为-23π30.
15.已知点Psin5π6,cs5π6是角α的终边上一点,则cs α= ,角α的最小正值是 .
答案:12 5π3
解析:因为点Psin5π6,cs5π6是角α的终边上一点,
所以cs α=sin5π6sin25π6+cs25π6=sin5π6=12.
因为sin5π6=12>0,cs5π6=-32<0,
所以点P在第四象限,也即α是第四象限角,所以α=2kπ-π3(k∈Z),当k=1时,α取得最小正值为5π3.
三、探究创新
16.已知角θ的终边与480°角的终边关于x轴对称,点P(x,y)在角θ的终边上(不是原点),则xyx2+y2= .
答案:34
解析:由题意知角θ的终边与240°角的终边相同.
∵点P(x,y)在角θ的终边上,∴tan θ=tan 240°=3=yx,于是xyx2+y2=yx1+yx2=31+3=34.
17.顶点在原点,始边在x轴的非负半轴上的角α,β的终边与单位圆交于A,B两点,若α=30°,β=60°,则弦AB的长为 .
答案:6-22
解析:由三角函数的定义,得点A(cs 30°,sin 30°),点B(cs 60°,sin 60°),即点A32,12,点B12,32.
所以|AB|=12-322+32-122=232-12=6-22.