2025届人教新高考高三数学一轮复习考点规范练44椭圆Word版附解析

这是一份2025届人教新高考高三数学一轮复习考点规范练44椭圆Word版附解析，共8页。试卷主要包含了基础巩固，综合应用，探究创新等内容，欢迎下载使用。
1.已知椭圆x24+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则|PF2|等于( )
A.72B.32C.3D.4
2.已知F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,过椭圆C的下顶点且斜率为34的直线与以点F为圆心、半焦距为半径的圆相切,则椭圆C的离心率为( )
A.55B.12C.33D.22
3.已知F1,F2分别为椭圆E:x225+y29=1的左、右焦点,P为椭圆E上一点,直线l平分∠F1PF2的外角,过点F2作直线l的垂线,垂足为M,则|OM|=( )
A.10B.8C.5D.4
4.设F1,F2为椭圆x24+y2=1的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P,Q两点,当四边形PF1QF2的面积最大时,PF1·PF2的值为( )
A.0B.2C.4D.-2
5.(多选)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2,点P(1,1)在椭圆内部,点Q在椭圆上,则以下说法正确的是( )
A.|QF1|+|QP|的最小值为2a-1
B.椭圆C的短轴长可能为2
C.椭圆C的离心率的取值范围为0,5-12
D.若PF1=F1Q,则椭圆C的长轴长为5+17
6.设F1,F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,经过F1的直线交椭圆C于A,B两点,若△F2AB是面积为43的等边三角形,则椭圆C的方程为 .
7.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与椭圆C2:y2a2+x2b2=1(a>b>0)相交于A,B,C,D四点,若椭圆C1的一个焦点为F(-2,0),且四边形ABCD的面积为163,则椭圆C1的离心率e为 .
8.已知点P是圆F1:(x+1)2+y2=16上任意一点(F1是圆心),点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的垂直平分线m与PF1交于点M.求点M的轨迹方程.
9.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=32,求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标.
二、综合应用
10.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1的离心率为e1,双曲线C2:x2a2−y2b2=1的离心率为e2,其中,a>b>0,e1e2=33,直线l:x-y+3=0与椭圆C1相切,则椭圆C1的方程为( )
A.x22+y2=1B.x24+y22=1
C.x26+y23=1D.x216+y28=1
11.(多选)设椭圆的方程为x22+y24=1,斜率为k的直线不经过原点O,且与椭圆相交于A,B两点,M为线段AB的中点.下列说法正确的是( )
A.直线AB与OM垂直
B.若点M的坐标为(1,1),则直线方程为2x+y-3=0
C.若直线方程为y=x+1,则点M的坐标为13,43
D.若直线方程为y=x+2,则|AB|=423
12.(多选)设椭圆C:x24+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆C上的动点,则下列结论正确的是( )
A.离心率e=32
B.|PF2|的最大值为3
C.△PF1F2的面积的最大值为23
D.|PF1+PF2|的最小值为2
13.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,短轴长为2,点P为椭圆上任意一点,则1|PF1|+4|PF2|的最小值是 .
14.(2023广东江门一模)黄金椭圆是一条优美曲线,生活中许多椭圆形的物品,都是黄金椭圆,它完美绝伦,深受人们的喜爱.黄金椭圆具有以下性质:①以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点;②长轴长、短轴长、焦距依次组成等比数列.根据以上信息,黄金椭圆的离心率为 .
15.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,经过原点的直线与椭圆C交于A,B两点,总有∠AFB≥120°,则椭圆C离心率的取值范围为 .
16.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P-1,32为椭圆上一点,|F1F2|为|PF1|和|PF2|的等差中项.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若A为椭圆的右顶点,直线AP与y轴交于点H,过点H的另一直线与椭圆交于M,N两点,且S△HMA=6S△PHN,求直线MN的方程.
17.(2022浙江,21)如图,已知椭圆x212+y2=1.设A,B是椭圆上异于P(0,1)的两点,且点Q(0,12)在线段AB上,直线PA,PB分别交直线y=-12x+3于C,D两点.
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值;
(2)求|CD|的最小值.
三、探究创新
18. 如图,把半椭圆:x2a2+y2b2=1(x≥0)和圆弧:(x-1)2+y2=a2(x0,c>0,所以b=2c.
又a2=b2+c2,a>0,所以a=5c,
所以e=ca=55.
3.C 如图,设F1P的延长线与直线F2M交于点Q.
由直线l平分∠F1PF2的外角,l⊥F2Q,可得|PQ|=|PF2|,M为F2Q的中点.
又O为F1F2的中点,所以|OM|=12|F1Q|.
由椭圆的定义,可知|F1Q|=|PF1|+|PQ|=|PF1|+|PF2|=2a=10,所以|OM|=5.
4.D 根据题意可知,当P,Q分别在椭圆短轴端点处时,四边形PF1QF2的面积最大.不妨令P(0,1),
∵F1(-3,0),F2(3,0),
∴PF1=(-3,-1),PF2=(3,-1),
∴PF1·PF2=-2.
5.ACD 由|F1F2|=2可得F2(1,0),所以PF2⊥x轴.
A中,|QF1|+|QP|=2a-|QF2|+|QP|=2a-(|QF2|-|QP|)≥2a-|PF2|=2a-1,当且仅当Q,P,F2三点共线且点Q在第一象限时,取到最小值为2a-1,所以A正确.
B中,因为P在椭圆内,所以b>1,短轴长2b>2,故B不正确.
C中,因为P在椭圆内,所以长轴长2a>|PF1|+|PF2|=1+5,所以离心率e=2c2a|F1F2|,
所以点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,
其中长轴长为4,焦距为2,则短半轴长为3,
所以点M的轨迹方程为x24+y23=1.
9.解 椭圆方程可化为x2m+y2mm+3=1,m>0.
∵m-mm+3=m(m+2)m+3>0,∴m>mm+3.
∴a2=m,b2=mm+3,c=a2-b2=m(m+2)m+3.
由e=32,得m+2m+3=32,∴m=1.
∴椭圆的标准方程为x2+y214=1,∴a=1,b=12,c=32.
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a=2和2b=1,焦点坐标分别为F1(-32,0),F2(32,0),四个顶点的坐标分别为A1(-1,0),A2(1,0),B1(0,-12),B2(0,12).
10.C 椭圆C1:x2a2+y2b2=1的离心率e1=c1a=1-b2a2,双曲线C2:x2a2−y2b2=1的离心率e2=c2a=1+b2a2,由e1e2=33,得1-b2a21+b2a2=33,则a=2b.由x2+2y2-2b2=0,x-y+3=0,得3x2+12x+18-2b2=0,由Δ=122-4×3×(18-2b2)=0,解得b2=3,则a2=6,故椭圆C1的方程为x26+y23=1.故选C.
11.BD 对于A选项,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则M(x1+x22,y1+y22).
由已知得x122+y124=1,x222+y224=1,两式相减,整理得y1-y2x1-x2·y1+y2x1+x2=-2,即kAB·kOM=-2≠-1,
故选项A错误.
对于B选项,因为kAB·kOM=-2,kOM=1,所以kAB=-2,所以直线方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,故选项B正确.
对于C选项,若直线方程为y=x+1,点M(13,43),则kAB·kOM=1×4=4≠-2,所以选项C错误.
对于D选项,直线方程为y=x+2,与椭圆方程x22+y24=1联立,得到2x2+(x+2)2-4=0,整理得3x2+4x=0,解得x1=0,x2=-43,所以|AB|=-43-02+23-22=423,故选项D正确.
12.AD 因为椭圆C:x24+y2=1,所以a=2,b=1,c=a2-b2=3,所以e=ca=32.故A正确.
设点P(x,y),则PF2=(3-x,-y),
因为点P在椭圆C上,所以|PF2|2=(x-3)2+y2=(x-3)2+1-x24=3x24-23x+4.
因为-2≤x≤2,所以当x=-2时,|PF2|2最大,即|PF2|最大,此时|PF2|max=2+3.故B错误.
因为S△PF1F2=12×2c·|y|=3|y|,所以当|y|最大时,△PF1F2的面积最大.
又-1≤y≤1,所以当y=±1时,△PF1F2的面积取得最大值,为3.故C错误.
设坐标原点为O,则|PF1+PF2|=2|PO|=2x2+y2=23x24+1.
因为-2≤x≤2,所以1≤3x24+1≤4,所以2≤|PF1+PF2|≤4.故D正确.
故选AD.
13.94 据题意ca=32,b=1,a2=b2+c2,解得a=2,c=3,于是|PF1|+|PF2|=2a=4,
所以1|PF1|+4|PF2|=14(1|PF1|+4|PF2|)(|PF1|+|PF2|)=14(5+|PF2||PF1|+4|PF1||PF2|)≥94,
当且仅当|PF2|=2|PF1|,即|PF2|=83,|PF1|=43时,等号成立.
14.-1+52 设左顶点A(-a,0),上顶点B(0,b),
则直线AB的方程为bx-ay+ab=0,
以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点,
则原点到直线AB的距离aba2+b2=c,即a2b2=a2c2+b2c2,即(a2-c2)b2=a2c2,
即b4=(ac)2,所以b2=ac.
长轴长、短轴长、焦距依次组成等比数列,
则(2b)2=2a×2c=4ac,
所以b2=ac.
综上,b2=ac,即a2-c2=ac,
两边同除以a2得1-e2=e,又0