高考数学第一轮复习复习第2节　平面向量基本定理及坐标表示（讲义）

这是一份高考数学第一轮复习复习第2节　平面向量基本定理及坐标表示（讲义），共20页。
1.理解平面向量基本定理及其意义.
2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.
1.平面向量基本定理
(1)定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
(2)基底:若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
2.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ为实数,则
a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),
λa=(λx1,λy1),|a|=x12+y12.
(2)向量的坐标表示
①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB→=(x2-x1,y2-y1),
|AB→|=(x2-x1)2+(y2-y1)2.
3.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,a,b共线⇔x1y2-x2y1=0.
1.若a与b不共线,且λa+μb=0,则λ=μ=0.
2.已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则P点坐标为(x1+x22,y1+y22).
3.已知△ABC的重心为G,若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则G(x1+x2+x33,y1+y2+y33).
1.已知a=(3,6),b=(x,y),若a+3b=0,则b等于( B )
A.(1,2)B.(-1,-2)
C.(-1,2)D.(1,-2)
2.已知平面向量a=(2,-1),b=(1,3),那么|a+b|等于( B )
A.5B.13
C.17D.13
解析:因为a+b=(2,-1)+(1,3)=(3,2),
所以|a+b|=32+22=13.
3.给出下列三个向量:a=(12,32),b=(1,-3),c=(-2,6).从中任意取两个作为一组,能构成基底的组数为 .
答案:2
4.已知向量a=(x,1),b=(2,x-1),若(2a-b)∥a,则x= .
解析:2a-b=(2x-2,3-x),
因为(2a-b)∥a,
所以2x-2=x(3-x),
即x2-x-2=0,解得x=2或x=-1.
答案:2或-1
5.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,P为CO的中点.若AB→+AD→=λAP→,则λ= .
解析:因为四边形ABCD为平行四边形,
所以AB→+AD→=AC→=2AO→,
又AP→=32AO→,所以AB→+AD→=43AP→,
又AB→+AD→=λAP→,故λ=43.
答案:43
平面向量基本定理的应用
[例1] (1)如果e1,e2是平面α内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一个基底的是( )
A.e1与e1+e2B.e1-2e2与e1+2e2
C.e1+e2与e1-e2D.e1+3e2与6e2+2e1
(2)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AB,BC的中点,连接CE,DF,交于点G.若CG→=λCD→+μCB→(λ,μ∈R),则λμ= .
解析:(1)D中,e1+3e2=12(6e2+2e1),所以两向量是共线向量,不能作为基底;A,B,C中都能作为基底.故选D.
(2)由题图可设CG→=xCE→(00,u+v≥1.因为1+2>1,所以点P位于阴影区域内,故①正确;同理③正确;而②④错误.故选B.
2.在△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且BD→=2DC→,CE→=3EA→,若AB→=a,AC→=b,则DE→等于( )
A.13a+512bB.13a-1312b
C.-13a-512bD.-13a+1312b
解析:DE→=DC→+CE→=13BC→+34CA→=13(AC→-AB→)-34AC→=-13AB→-512AC→=-13a-512b.故选C.
平面向量的坐标运算
[例2] (1)已知a=(5,-2),b=(-4,-3),若a-2b+3c=0,则c等于( )
A.(133,83)B.(-133,-83)
C.(133,43)D.(-133,-43)
(2)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若CA→=λCE→+μDB→(λ,μ∈R),则λ+μ的值为( )
A.65B.85C.2D.83
解析:(1)因为a-2b+3c=0,
所以c=-13(a-2b).
因为a-2b=(5,-2)-(-8,-6)=(13,4),
所以c=-13(a-2b)=(-133,-43).故选D.
(2)建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,0).
不妨设AB=1,则CD=AD=2,所以C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),
所以CA→=(-2,2),
CE→=(-2,1),DB→=(1,2),
因为CA→=λCE→+μDB→,
所以(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),
所以-2λ+μ=-2,λ+2μ=2,
解得λ=65,μ=25,则λ+μ=85.故选B.
(1)利用向量的坐标运算解题时,首先利用加、减、数乘运算法则进行运算,然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则,转化为方程(组)进行求解.
(2)向量的坐标表示把点与数联系起来,引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化,成为数与形结合的载体,使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.
[针对训练] (1)设向量a=(1,1),b=(3,-2),则3a-2b等于( )
A.(-3,7)B.(0,7)
C.(3,5)D.(-3,5)
(2)已知平行四边形的三个顶点分别是A(4,2),B(5,7),C(-3,4),则第四个顶点D的坐标是 .
解析:(1)因为向量a=(1,1),b=(3,-2),所以3a-2b=3(1,1)-2(3,-2)=(3,3)-(6,-4)=(-3,7).故选A.
(2)设顶点D(x,y).若平行四边形为ABCD,
则由AB→=(1,5),
DC→=(-3-x,4-y),
得-3-x=1,4-y=5,所以x=-4,y=-1;
若平行四边形为ACBD,则由AC→=(-7,2),
DB→=(5-x,7-y),得5-x=-7,7-y=2,所以x=12,y=5;
若平行四边形为ABDC,则由AB→=(1,5),
CD→=(x+3,y-4),得x+3=1,y-4=5,所以x=-2,y=9.
综上所述,第四个顶点D的坐标为(-4,-1)或(12,5)或(-2,9).
答案:(1)A (2)(-4,-1)或(12,5)或(-2,9)
平面向量共线的坐标表示
[例3] (1)(2021·全国乙卷)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ= ;
(2)已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),O为坐标原点,则AC与OB的交点P的坐标为 .
解析:(1)因为a∥b,所以a=kb(k∈R),
即(2,5)=k(λ,4),得kλ=2,4k=5,解得λ=85,k=54.
(2)法一 由O,P,B三点共线,可设OP→=λOB→=(4λ,4λ),则AP→=OP→-OA→=(4λ-4,4λ).
又AC→=OC→-OA→=(-2,6),
由AP→与AC→共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,
解得λ=34,所以OP→=34OB→=(3,3),
所以点P的坐标为(3,3).
法二 设点P(x,y),则OP→=(x,y),
因为OB→=(4,4),且OP→与OB→共线,
所以x4=y4,即x=y.
又AP→=(x-4,y),AC→=(-2,6),且AP→与AC→共线,
所以(x-4)×6-y×(-2)=0,
解得x=y=3,
所以点P的坐标为(3,3).
答案:(1)85 (2)(3,3)
(1)向量共线的两种表示形式
设a=(x1,y1),b=(x2,y2):①a∥b⇒a=λb(b≠0);②a∥b⇔x1y2-x2y1=0.至于使用哪种形式,应视题目的具体条件而定,一般情况涉及坐标的应用②.
(2)两向量共线的充要条件的作用
判断两向量是否共线(平行),可解决三点共线的问题;另外,利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组),求出未知数的值.
[针对训练] (1)已知向量a=(2,1),b=(x,-1),且a-b与b共线,则x的值为 ;
(2)已知向量OA→=(k,12),OB→=(4,5),OC→=(-k,10),且A,B,C三点共线,则k= .
解析:(1)因为a=(2,1),b=(x,-1),所以a-b=(2-x,2),又a-b与b共线,所以(2-x)×(-1)-2x=0,所以x=-2.
(2)AB→=OB→-OA→=(4-k,-7),
AC→=OC→-OA→=(-2k,-2).
因为A,B,C三点共线,所以AB→,AC→共线,
所以-2×(4-k)=-7×(-2k),解得k=-23.
答案:(1)-2 (2)-23
[例1] 已知在平面直角坐标系xOy中,P1(3,1),P2(-1,3),P1,P2,P3三点共线且向量OP3→与向量a=(1,-1)共线,若OP3→=λOP1→+(1-λ)OP2→,则λ等于( )
A.-3B.3C.1D.-1
解析:设OP3→=(x,y),则由OP3→∥a知x+y=0,
所以OP3→=(x,-x).
由P1,P2,P3三点共线,
OP3→=λOP1→+(1-λ)OP2→,
得(x,-x)=λ(3,1)+(1-λ)·(-1,3)=(4λ-1,3-2λ),
即4λ-1=x,3-2λ=-x,
所以4λ-1+3-2λ=0,解得λ=-1.故选D.
[例2] 在平行四边形ABCD中,AD→=(3,7),AB→=(-2,3),对角线AC与BD交于点O,则CO→的坐标为( )
A.(-12,5)B.(12,5)
C.(-12,-5)D.(12,-5)
解析:因为在平行四边形ABCD中,AD→=(3,7),AB→=(-2,3),对角线AC与BD交于点O,所以CO→=-AO→=-12(AD→+AB→)=(-12,-5).故选C.
[例3] 已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC→=2AD→,则顶点D的坐标为( )
A.(2,72)B.(2,-12)
C.(3,2)D.(1,3)
解析:设D(x,y),AD→=(x,y-2),BC→=(4,3),又BC→=2AD→,所以4=2x,3=2(y-2),
所以x=2,y=72.故选A.
[例4] 如图,OC→=2OP→,AB→=2AC→,OM→=mOB→,ON→=nOA→,若m=38,那么n等于( )
A.34B.23C.45D.58
解析:法一 由OC→=2OP→,AB→=2AC→,知C是AB的中点,P是OC的中点,所以OC→=12(OA→+OB→),则OP→=14(OA→+OB→),
又OM→=38OB→,ON→=nOA→,从而MN→=ON→-OM→=nOA→-38OB→,MP→=OP→-OM→=14(OA→+OB→)-38OB→=14OA→-18OB→,又M,P,N三点共线,所以存在实数λ,使MN→=λMP→成立,即nOA→-38OB→=λ(14OA→-18OB→).又OA→,OB→不共线,所以n=14λ,-38=-18λ,解得λ=3,n=34.故选A.
法二 设MP→=λMN→,因为OM→=38OB→,ON→=nOA→,所以OP→=OM→+MP→=38OB→+λ(ON→-OM→)=38OB→+λ(nOA→-38OB→)=38(1-λ)OB→+nλOA→,又知OC→=2OP→,所以OP→=12OC→=14OA→+14OB→,所以38(1-λ)=14,nλ=14,解得λ=13,n=34.故选A.
[例5] 如图所示,向量a,b,c在正方形网格中,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则λμ等于( )
A.1B.2C.3D.4
解析:以向量a,b的交点为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1),A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3).
因为c=λa+μb,所以-1=-λ+6μ,-3=λ+2μ,解得λ=-2,μ=-12,因此,λμ=-2-12=4.故选D.
[例6] 已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ= .
解析:2a+b=(4,2),因为c=(1,λ),且c∥(2a+b),所以1×2=4λ,即λ=12.
答案:12
[例7] 已知O为坐标原点,点C是线段AB上一点,且A(1,1),C(2,3),|BC→|=2|AC→|,则向量OB→的坐标是 .
解析:由点C是线段AB上一点,|BC→|=2|AC→|,得BC→=-2AC→.设点B(x,y),则(2-x,3-y)=-2(1,2),即2-x=-2,3-y=-4,解得x=4,y=7.所以向量OB→的坐标是(4,7).
答案:(4,7)
[例8] 如图,已知平面内有三个向量OA→,OB→,OC→,其中OA→与OB→的夹角为120°,OA→与OC→的夹角为30°,且|OA→|=|OB→|=1,|OC→|=23.若OC→=λOA→+μOB→(λ,μ∈R),则λ+μ= .
解析:法一 如图,作平行四边形OB1CA1,
则OC→=OB1→+OA1→,
因为OA→与OB→的夹角为120°,OA→与OC→的夹角为30°,
所以∠B1OC=90°.
在Rt△OB1C中,∠OCB1=30°,|OC→|=23,
所以|OB1→|=2,|B1C→|=4,
所以|OA1→|=|B1C→|=4,
所以OC→=4OA→+2OB→,
所以λ=4,μ=2,所以λ+μ=6.
法二 以O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(1,0),B(-12,32),C(3,3).
由OC→=λOA→+μOB→,
得3=λ-12μ,3=32μ,
解得λ=4,μ=2.
所以λ+μ=6.
答案:6
[选题明细表]
1.若向量AB→=(2,3),AC→=(4,7),则BC→等于( B )
A.(-2,-4)B.(2,4)
C.(6,10)D.(-6,-10)
2.在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是( B )
A.e1=(0,0),e2=(1,2)
B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)
C.e1=(3,5),e2=(6,10)
D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)
3.如图,在平行四边形ABCD中,E是AD的中点,F在线段BE上,且BF=3FE,记a=BA→,b=BC→,则CF→等于( D )
A.23a+13bB.23a-13b
C.-14a+38bD.34a-58b
解析:取a=BA→,b=BC→作为基底,
则BE→=a+12b.
因为BF=3FE,
所以BF→=34BE→=34(a+12b)=34a+38b,
所以CF→=BF→-BC→=34a+38b-b=34a-58b.
4.(多选题)设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD的交点,则可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是( AC )
A.AD→与AB→B.DA→与BC→
C.CA→与DC→D.OD→与OB→
解析:如图,平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底,对于A,AD→与AB→不共线,可作为基底;对于B,DA→与BC→为共线向量,不可作为基底;对于C,CA→与DC→是两个不共线的向量,可作为基底;对于D,OD→与OB→在同一直线上,是共线向量,不可作为基底.
5.已知A(-1,-1),B(m,m+2),C(2,5)三点共线,则m的值为( A )
A.1B.2C.3D.4
解析:AB→=(m,m+2)-(-1,-1)=(m+1,m+3),
AC→=(2,5)-(-1,-1)=(3,6),
因为A,B,C三点共线,
所以AB→∥AC→,
所以3(m+3)-6(m+1)=0,
所以m=1.
6.(多选题)在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E,F分别是AB,CD的中点,AC与BD交于点M,设AB→=a,AD→=b,则下列结论正确的是( ABD )
A.AC→=12a+b
B.BC→=-12a+b
C.BM→=-13a+23b
D.EF→=-14a+b
解析:AC→=AD→+DC→=AD→+12AB→=12a+b,
故A正确;
BC→=BA→+AD→+DC→=-AB→+AD→+12AB→
=-12a+b,故B正确;
BM→=BA→+AM→=-AB→+23AC→=-23a+23b,
故C错误;
EF→=EA→+AD→+DF→=-12AB→+AD→+14AB→=-14a+b,故D正确.
7.已知e1,e2是不共线向量,a=me1+2e2,b=ne1-e2,且mn≠0,若a∥b,则mn等于( C )
A.-12B.12C.-2D.2
解析:因为a∥b,所以a=λb,
即me1+2e2=λ(ne1-e2),则λn=m,-λ=2,得mn=-2.
8.已知点A(1,3),B(4,-1),写出一个与向量AB→共线的向量坐标为 .
解析:因为A(1,3),B(4,-1),所以AB→=(3,-4),所以与向量AB→共线的向量的坐标可以是(3λ,-4λ),λ∈R.
答案:(6,-8)(答案不唯一)
9.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB→=a,BC→=b,CA→=c,且CM→=3c,CN→=-2b.
(1)求3a+b-3c;
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;
(3)求M,N的坐标及向量 MN→的坐标.
解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),
c=(1,8).
(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=
(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
(2)法一 因为mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),
所以-6m+n=5,-3m+8n=-5,解得m=-1,n=-1.
法二 因为a+b+c=0,
所以a=-b-c,
又a=mb+nc,所以mb+nc=-b-c,
所以m=-1,n=-1.
(3)设O为坐标原点,因为CM→=OM→-OC→=3c,
所以OM→=3c+OC→=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).
所以M(0,20).
又因为CN→=ON→-OC→=-2b,
所以ON→=-2b+OC→=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),
所以N(9,2),所以MN→=(9,-18).
10.已知点A(2,3),B(4,5),C(7,10),若AP→=AB→+λAC→(λ∈R),且点P在直线x-2y=0上,则λ的值为( B )
A.23B.-23C.32D.-32
解析:设P(x,y),
则由AP→=AB→+λAC→,
得(x-2,y-3)=(2,2)+λ(5,7)=(2+5λ,2+7λ).
所以x=5λ+4,y=7λ+5.
又点P在直线x-2y=0上,
故5λ+4-2(7λ+5)=0,解得λ=-23.
11.(多选题)在直角三角形ABC中,P是斜边BC上一点,且满足BP→=2PC→,点M,N在过点P的直线上,若AM→=mAB→,AN→=nAC→(m>0,n>0),则下列结论正确的是( ABD )
A.1m+2n为常数
B.m+2n的最小值为3
C.m+n的最小值为169
D.m,n的值可以为m=12,n=2
解析:如图所示,
由BP→=2PC→,可得AP→-AB→=2(AC→-AP→),
所以AP→=13AB→+23AC→.
因为AM→=mAB→,AN→=nAC→(m>0,n>0),
所以AB→=1mAM→,AC→=1nAN→,
所以AP→=13mAM→+23nAN→.
因为M,P,N三点共线,
所以13m+23n=1,
所以1m+2n=3.
当m=12时,n=2,故A,D正确;
m+2n=(m+2n)(13m+23n)=2n3m+2m3n+53≥
22n3m·2m3n+53=3,当且仅当m=n=1时,等号成立,故B正确;m+n=(m+n)(13m+23n)=n3m+2m3n+1≥2n3m·2m3n+1=223+1,当且仅当n=2m时,等号成立,故C错误.
12.若α,β是平面内一个基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标.现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为 .
解析:因为a在基底p,q下的坐标为(-2,2),
所以a=-2p+2q=(2,4),
令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),
所以-x+y=2,x+2y=4,
即x=0,y=2,
所以a在基底m,n下的坐标为(0,2).
答案:(0,2)
知识点、方法
题号
平面向量基本定理的应用
2,3,4,6,10,11
平面向量的坐标运算
1,9
平面向量共线的坐标表示
5,7,8
综合问题
12,13,14