高考数学第一轮复习复习第2节　导数与函数的单调性（讲义）

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1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
1.函数的单调性与导数的关系
函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,则f′(x)≥0,“f′(x)>0在(a,b)上成立”是“f(x)在(a,b)上单调递增”的充分不必要条件.如f(x)=x3在定义域上是增函数,但是其导数f′(x)=3x2≥0.
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步,确定函数的定义域;
第2步,求出导数f′(x)的零点;
第3步,用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f′(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.
1.(多选题)(选择性必修第二册P86例2改编)如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,则下列判断正确的是( BC )
A.在区间(-2,1)上f(x)单调递增
B.在区间(2,3)上f(x)单调递减
C.在区间(4,5)上f(x)单调递增
D.在区间(3,5)上f(x)单调递减
解析:在区间(-2,1)上,当x∈(-2,-32)时,f′(x)0,故f(x)在(-2,-32)上单调递减,在(-32,1)上单调递增,A错误;在区间(3,5)上,当x∈(3,4)时,f′(x)0,即f(x)在(3,4)上单调递减,在(4,5)上单调递增,D错误.在(4,5)上f′(x)>0,所以f(x)单调递增.在(2,3)上f′(x)-2.
5.若函数f(x)=13x3-32x2+ax+4的单调递减区间为[-1,4],则实数a的值为 .
解析:由题意,得f′(x)=x2-3x+a,
又f(x)的单调递减区间为[-1,4],
所以f′(x)=x2-3x+a≤0的解集为[-1,4],
所以-1,4是方程f′(x)=0的两根,
则a=(-1)×4=-4.
答案:-4
不含参数的函数的单调性
1.已知函数f(x)满足f(x)=f′(2)ex-2-f(0)x+12x2,则f(x)的单调递减区间为( A )
A.(-∞,0)B.(1,+∞)
C.(-∞,1)D.(0,+∞)
解析:由题设f′(x)=f′(2)ex-2-f(0)+x,
则f′(2)=f′(2)-f(0)+2,可得f(0)=2,
即f(0)=f′(2)e-2=2,则f′(2)=2e2,
所以f(x)=2ex-2x+12x2,
得f′(x)=2ex-2+x,
则f′(0)=0且f′(x)单调递增,
当x0,所以函数f(x)=xex在(0,+∞)上为增函数,故B正确;
对于C,f′(x)=3x2-1,令f′(x)>0,得x>33或x0,得00时的解为x=1+1+4a2a,
由f′(x)0时,函数f(x)的减区间为(0,1+1+4a2a),增区间为(1+1+4a2a,+∞).
(1)划分函数的单调区间时,不但要在函数定义域内讨论,而且还要确定导数为0的点和函数的间断点.
(2)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.分类讨论主要是讨论参数的不同取值求出单调性,主要讨论点:
①最高次项系数是否为0;
②导函数是否有极值点;
③导函数两零点的大小关系;
④导函数零点与定义域的关系(即导函数零点与定义域端点的关系)等.
易错警示:(1)若函数的导数中自变量的最高次数含参数,需要考虑参数的正负对函数单调性的影响.
(2)若导函数的解析式的主要部分是二次多项式或者可转化为二次多项式且不能够因式分解,则需要考虑二次三项式是否存在零点,这里涉及对判别式Δ≤0和Δ>0分类讨论.
[针对训练] 已知函数f(x)=(x-a-1)ex-x2+2ax(a∈R),讨论f(x)的单调性.
解:f′(x)=(x-a)ex-2x+2a=(x-a)(ex-2),
令f′(x)=0,则x=a或x=ln 2.
若a=ln 2,f′(x)≥0,
所以函数f(x)在R上单调递增;
若a>ln 2,当x>a或x0,
当ln 20时,xf′(x)-2f(x)0时,F′(x)0的解集为(-1,0)∪(0,1).
答案:(-1,0)∪(0,1)
三、利用f(x)与sin x,cs x构造可导型函数
[典例3] (多选题)已知定义在(0,π2)上的函数f(x),f′(x)是f(x)的导函数,且恒有cs xf′(x)+f(x)sin x2f(π4)B.3f(π6)>f(π3)
C.f(π6)>3f(π3)D.2f(π6)>3f(π4)
解析:根据题意,令g(x)=f(x)csx,x∈(0,π2),则其导数g′(x)=f'(x)csx+f(x)sinxcs2x,又由x∈(0,π2),且恒有cs xf′(x)+f(x)sin x3f(π3);
又由π6g(π4),即f(π6)cs π6>f(π4)cs π4,分析可得2f(π6)>3f(π4).故选CD.
f(x)与sin x,cs x相结合构造可导函数的几种常见形式
F(x)=f(x)sin x,F′(x)=f′(x)sin x+f(x)cs x;
F(x)=f(x)sinx,F′(x)=f'(x)sinx-f(x)csxsin2x;
F(x)=f(x)cs x,F′(x)=f′(x)cs x-f(x)sin x;
F(x)=f(x)csx,F′(x)=f'(x)csx+f(x)sinxcs2x.
[拓展演练] 已知0b>c.
故选D.
[例1] 设函数f(x)=12x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.(1,2]B.(1,3)C.(1,2)D.(1,3]
解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=x-9x=x2-9x,
当x∈(0,3)时,f′(x)0,则f(x)单调递增.
又函数f(x)在区间[a-1,a+1]上单调递减,所以a-1>0,a+1≤3,解得1