高考数学第一轮复习复习第2节　空间点、直线、平面之间的位置关系（讲义）

这是一份高考数学第一轮复习复习第2节　空间点、直线、平面之间的位置关系（讲义），共30页。
1.借助长方体模型,在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上,抽象出空间线、面位置关系的定义.
2.了解可以作为推理依据的基本事实和定理.
3.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.
1.四个基本事实
基本事实1:过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面.
基本事实2:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.
基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行.
2.用集合语言描述点、线、面间的位置关系
(1)点与平面的位置关系
点A在平面α内,记作 A∈α;点A不在平面α内,记作 A∉α.
(2)点与直线的位置关系
点A在直线l上,记作 A∈l;点A不在直线l上,记作A∉l.
(3)直线与平面的位置关系
直线l在平面α内,记作l⊂α;直线l不在平面α内,记作 l⊄α.
(4)平面α与平面β相交于直线a,记作 α∩β=a.
(5)直线l与平面α相交于点A,记作 l∩α=A.
(6)直线a与直线b相交于点A,记作 a∩b=A.
3.空间中两直线的位置关系
(1)空间中两直线的位置关系
共面直线相交直线;平行直线;异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点.
(2)异面直线所成的角
①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O分别作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
②范围:(0,π2].
(3)等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
1.(必修第二册P128练习T4改编)“点在直线a上,但不在平面α内”,用数学符号表示正确的是( A )
A.A∈a且A∉αB.A∈a且A⊄α
C.A⊂a且A∉αD.A⊄a且A∈α
解析:“点在直线a上,但不在平面α内”的符号语言为A∈a且A∉α.
2.(多选题)下列叙述正确的是( ABD )
A.若P∈(α∩β),且α∩β=l,则P∈l
B.若直线a∩b=A,则直线a与b能确定一个平面
C.三点A,B,C确定一个平面
D.若A∈l,B∈l且A∈α,B∈α,则l⊂α
解析:点P是两平面的公共点,当然在交线上,故A正确;两相交直线确定一个平面,故B正确;只有不共线的三点才能确定一个平面,故C错误;直线上有两点在一个平面内,则整条直线都在平面内.
3.(2023·重庆月考)如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过( D )
A.点AB.点B
C.点C但不过点MD.点C和点M
解析:因为AB⊂γ,M∈AB,所以M∈γ.又α∩β=l,M∈l,所以M∈β.根据基本事实3可知,M在γ与β的交线上.同理可知,点C也在γ与β的交线上.
4.已知下列说法:
①若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b;
②若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线;
③若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b一定不相交;
④若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面;
⑤若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交.
其中正确的是 (将你认为正确的序号都填上).
解析:①错误.a与b也可能异面.
②错误.a与b也可能平行.
③正确.因为α∥β,所以α与β无公共点.
又因为a⊂α,b⊂β,所以a与b无公共点.
④正确.由已知及③知,a与b无公共点,那么a∥b或a与b异面.
⑤错误.a与β也可能平行.
答案:③④
平面的基本性质及应用
1.(多选题)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是( ABC )
A.C1,M,O三点共线
B.C1,M,O,C四点共面
C.C1,O,A,M四点共面
D.D1,D,O,M四点共面
解析:连接AC,A1C1(图略),
由题意知点O为BD,AC的交点,
且平面C1BD∩平面A1ACC1=C1O,
因为直线A1C交平面C1BD于点M,
所以点M∈直线C1O,
所以C1,M,O三点共线,故选项A正确;
因为C1,M,O三点共线,
所以C1,M,O,C四点共面,故B正确;
因为C1,M,O三点共线,
所以C1,M,O,A四点共面,故C正确;
因为直线OM∩CC1=C1,DD1∥CC1,
所以DD1与OM不平行,
所以D1,D,O,M四点不共面,故D错误.
2.在四面体A-BCD中作截面PQR,若PQ与CB的延长线交于点M,RQ与DB的延长线交于点N,RP与DC的延长线交于点K,给出以下命题:
①直线MN⊂平面PQR;
②点K在直线MN上;
③M,N,K,A四点共面.
其中正确结论的序号为 .
解析:如图所示,四面体A-BCD中作截面PQR,
PQ与CB的延长线交于点M,RQ与DB的延长线交于点N,RP与DC的延长线交于点K,
对于①,M∈PQ,PQ⊂平面PQR,所以M∈平面PQR;同理,N∈平面PQR,
所以直线MN⊂平面PQR,①正确;
对于②,点M∈平面PQR,M∈平面BCD,
点N∈平面PQR,点N∈平面BCD,
所以平面PQR∩平面BCD=MN,
又K∈平面PQR,点K∈平面BCD,
所以点K∈直线MN,即点K在直线MN上,②正确;
对于③,由②知点M,N,K三点共线,则点M,N,K,A四点共面,③正确.
综上,正确的结论序号是①②③.
答案:①②③
(1)判断、证明点或线共面问题的两种方法
①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内.
②将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合.
(2)判断、证明点共线问题的两种方法
①先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上.
②直接证明这些点都在同一条特定直线上.
(3)判断、证明线共点问题的常用方法
先证其中两条直线相交于一点,再证其他直线经过该点.
空间中两条直线的位置关系
两条直线位置关系的判定
[例1] (1)下列四面体中,直线EF与MN可能平行的是( )
(2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:
①直线AM与CC1是相交直线;
②直线AM与BN是平行直线;
③直线BN与MB1是异面直线;
④直线AM与DD1是异面直线.
其中正确的结论为 .(填序号)
解析:(1)根据“过平面内一点和平面外一点的直线,与平面内不过该点的直线异面”,可判定A,B中EF,MN异面;D中,若EF∥MN,则过EF的平面与底面相交,EF就跟交线平行,则过点N有两条直线与EF平行,不可能.故选C.
(2)因为A,M,C1三点共面,且在平面AD1C1B内,但C1∉AM,C∉平面AD1C1B,所以直线AM与CC1是异面直线,同理,AM与BN也是异面直线,AM与DD1也是异面直线,①②错误,④正确;M,B,B1三点共面,且在平面MBB1内,B∉MB1,N∉平面MBB1,因此直线BN与MB1是异面直线,③正确.
答案:(1)C (2)③④
在直接判断不好处理的情况下,反证法、模型法(如构造几何体:正方体、空间四边形等)和特例排除法是解决此类问题的三种常用便捷方法.
异面直线所成的角
[例2] (多选题)(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则( )
A.直线BC1与DA1所成的角为90°
B.直线BC1与CA1所成的角为90°
C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°
D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
解析:如图,连接AD1,在正方形A1ADD1中,AD1⊥DA1,因为AD1∥BC1,所以BC1⊥DA1,所以直线BC1与DA1所成的角为90°,故A正确.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CD⊥平面BCC1B1,又BC1⊂平面BCC1B1,所以CD⊥BC1,连接B1C,则B1C⊥BC1,因为CD∩B1C=C,CD,B1C⊂平面DCB1A1,所以BC1⊥平面DCB1A1,又CA1⊂平面DCB1A1,所以BC1⊥CA1,所以直线BC1与CA1所成的角为90°,故B正确.连接A1C1,交B1D1于点O,则易得OC1⊥平面BB1D1D,连接OB,因为OB⊂平面BB1D1D,所以OC1⊥OB,∠OBC1为直线BC1与平面BB1D1D所成的角.设正方体的棱长为a,则易得BC1=2a,OC1=2a2,所以在Rt△BOC1中,OC1=12BC1,所以∠OBC1=30°,故C错误.因为C1C⊥平面ABCD,所以∠CBC1为直线BC1与平面ABCD所成的角,易得∠CBC1=45°,故D正确.故选ABD.
求异面直线所成角的方法
(1)求异面直线所成角的常用方法是平移法.平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.
(2)求异面直线所成角的三步曲:“一作、二证、三求”.
①一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角;
②二证:证明作出的角是异面直线所成的角;
③三求:解三角形,求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.
[针对训练] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,∠DAD1=45°,∠CDC1=30°,那么异面直线AD1与DC1所成角的余弦值是( )
A.24B.28C.34D.38
解析:连接AB1,B1D1,因为ADB1C1,
所以四边形ADC1B1为平行四边形,
所以AB1∥C1D.
所以∠B1AD1(或其补角)为异面直线AD1与DC1所成的角,设DD1=CC1=a,
因为∠DAD1=45°,∠C1DC=30°,
所以AD=a,CD=3a,
所以AD1=2a,AB1=2a,B1D1=2a,
在△AB1D1中,
cs∠B1AD1=AB12+AD12-B1D122AB1·AD1
=4a2+2a2-4a22×2a×2a
=24,
所以异面直线AD1与DC1所成角的余弦值为24.故选A.
[知识链接]
1.在立体几何中,用一个平面去截几何体(包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、长方体、正方体等),此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面,利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键.
2.确定截面的主要依据有
(1)平面的基本事实.
(2)直线和平面平行的判定和性质.
(3)两个平面平行的性质.
(4)球的截面的性质.
3.正方体中的基本截面类型
[典例]
1.一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如图所示,则截面的可能图形是( )
A.①②④B.②③C.①②③D.②③④
解析:当截面不平行于任何侧面,也不过对角线时得①,
当截面过正方体的体对角线时得②,
当截面平行于正方体的一个侧面时得④,
但无论如何都不能得到截面③.故选A.
2.(多选题)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S,则下列命题正确的是( )
A.当0