2023届高考一轮复习讲义（文科）第五章　平面向量 第1讲　平面向量的概念及线性运算学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（文科）第五章　平面向量 第1讲　平面向量的概念及线性运算学案，共13页。学案主要包含了知识梳理，习题改编等内容，欢迎下载使用。

一、知识梳理
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
[注意] (1)向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向．
(2)任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0.
2．向量的线性运算
3.向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．
常用结论
1．两特殊向量
(1)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模是确定的，但方向不确定．
(2)非零向量a的同向单位向量为eq \f(a,|a|).
2．几个重要结论
(1)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))．
(2)eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
(3)若G为△ABC的重心，则有
①eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0；②eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
二、习题改编
1．(必修4P86例4改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则eq \(DC,\s\up6(→))＝ ，eq \(BC,\s\up6(→))＝ ．(用a，b表示)
解析：如图，eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝b－a，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝－eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝－a－b.
答案：b－a －a－b
2．(必修4P118A组T2(3)改编)在平行四边形ABCD中，若|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))|，则四边形ABCD的形状为 ．
解析：如图，因为eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))，所以|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(DB,\s\up6(→))|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．
答案：矩形
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( )
(2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( )
(3)若向量eq \(AB,\s\up6(→))与向量eq \(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( )
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)(1)对向量共线定理认识不准确；
(2)向量的减法忽视两向量的方向关系致误．
1．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立．故前者是后者的充分不必要条件．
2．点D是△ABC的边AB上的中点，则向量eq \(CD,\s\up6(→))＝( )
A．－eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→)) B．－eq \(BC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))
C. eq \(BC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→)) D．eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))
答案：A
平面向量的有关概念(师生共研)
给出下列命题：
①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
③若A，B，C，D是不共线的四点，且eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，则四边形ABCD为平行四边形；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中真命题的序号是 ．
【解析】 ①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．
②是错误的，|a|＝|b|，但a，b的方向不确定，所以a，b的方向不一定相等或相反．
③是正确的，因为eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，所以|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|且eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(DC,\s\up6(→))，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．
④是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．
【答案】 ③
eq \a\vs4\al()
平面向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
(4)非零向量a与eq \f(a,|a|)的关系：eq \f(a,|a|)是与a同方向的单位向量．
1．给出下列命题：
①向量eq \(AB,\s\up6(→))的长度与向量eq \(BA,\s\up6(→))的长度相等；
②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
③|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同；
④若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同．
其中叙述错误的命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.对于②：当a＝0时，不成立；对于③：当a，b之一为零向量时，不成立；对于④：当a＋b＝0时，a＋b的方向是任意的，它可以与a，b的方向都不相同．故选C.
2．下列与共线向量有关的命题：
①相反向量就是方向相反的向量；
②a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b；
③两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件．
其中错误命题的序号为 ．
解析：因为相反向量是方向相反，大小相等的两个向量，所以命题①是错误的；因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以命题②是错误的；因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两个向量平行，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以命题③是正确的．
答案：①②
平面向量的线性运算(师生共研)
(1)(一题多解)(2020·合肥市第二次质量检测)在△ABC中，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则eq \(AD,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b B.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b
C.eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b D．eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b
(2)(2020·河南八市联考改编)在等腰梯形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，点E是线段eq \(BC,\s\up6(→))的中点，若eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，则λ＝ ，μ＝ ．
【解析】 (1)通解：如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→)).因为eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，所以eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b，故选A.
优解一：eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b，故选A.
优解二：由eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，得eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b，故选A.
(2)取AB的中点F，连接CF，则由题意可得CF∥AD，且CF＝AD.
因为eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(FC,\s\up6(→))－eq \(FB,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))－\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，所以λ＝eq \f(3,4)，μ＝eq \f(1,2).
【答案】 (1)A (2)eq \f(3,4) eq \f(1,2)
eq \a\vs4\al()
向量线性运算的解题策略
(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
1．下列四个结论：
①eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0；
②eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))＝0；
③eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))＝0；
④eq \(NQ,\s\up6(→))＋eq \(QP,\s\up6(→))＋eq \(MN,\s\up6(→))－eq \(MP,\s\up6(→))＝0.
其中一定正确的结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.①eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0，①正确；②eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(MO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，②错；③eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝0，③正确；④eq \(NQ,\s\up6(→))＋eq \(QP,\s\up6(→))＋eq \(MN,\s\up6(→))－eq \(MP,\s\up6(→))＝eq \(NP,\s\up6(→))＋eq \(PN,\s\up6(→))＝0，④正确．故①③④正确．
2．已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＋eq \(CP,\s\up6(→))＝0，eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(PD,\s\up6(→))，则实数λ的值为 ．
解析：因为D为边BC的中点，所以eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝2eq \(PD,\s\up6(→))，
又eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＋eq \(CP,\s\up6(→))＝0，
所以eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝2eq \(PD,\s\up6(→))，
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝－2eq \(PD,\s\up6(→))，
所以λ＝－2.
答案：－2
平面向量共线定理的应用(典例迁移)
设两个非零向量a与b不共线．
(1)若eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
【解】 (1)证明：因为eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，
所以eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5eq \(AB,\s\up6(→))，
所以eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))共线，又它们有公共点B，
所以A，B，D三点共线．
(2)因为ka＋b与a＋kb共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是两个不共线的非零向量，
所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，
所以k＝±1.
【迁移探究】 (变条件)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？
解：因为ka＋b与a＋kb反向共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ