2025版高考数学一轮总复习单元检测第五章平面向量与复数（附解析）

这是一份2025版高考数学一轮总复习单元检测第五章平面向量与复数（附解析），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 的化简结果是（ A ）
A. B. C. D.
解：.故选.
2. 已知复数满足，则的虚部为（ A ）
A. B. C. D.
解：，所以.所以 的虚部为.故选.
3. 已知向量,，若，则（ C ）
A. B. C. D. 3
解：由题意，得，所以，解得.所以，所以.故选.
4. 已知,,,是平面内4个不同的点，且，则（ D ）
A. B. C. 2D. 3
解：因为,所以,即.所以.所以.故选.
5. [2022年全国乙卷]已知，且，其中，为实数，则 （ A ）
A. ,B. ,C. ,D. ,
解：，,
所以 解得
故选.
6. 已知,是两个单位向量，且, ，若，则（ A ）
A. B. 7C. 3D. 9
解：，
则，.故选.
7. 如图，在平行四边形中，是的中点，是的中点，则（ D ）
A. B. C. D.
解：因为 是 的中点，是 的中点，所以，.
所以.故选.
8. 如图，在扇形中， ,，为弧上的一点，则的最小值为（ C ）
A. 0B. C. D. 2
解：由题意，知，，
则.
由题图，知当点 与点 重合时，向量 在 方向上的投影向量的模取得最小值.
此时.
所以 的最小值为.故选.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是 （ BCD ）
A. 若，则或
B. 复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为
C. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限
D. 若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为
解：对于，设，只需 即可，故 错误.
对于，表示向量 的复数为，故 正确.
对于，点 的坐标为，则 对应的点为，在第三象限，故 正确.
对于，由题意,知复数 对应的点在以原点为圆心、内圆半径为1、外圆半径为 的圆环上，故所构成的图形面积为 ，故 正确.
故选.
10. 已知向量,，则下列说法正确的是（ ACD ）
A. 若，则
B. 若，则
C. “”是“与的夹角为锐角”的充要条件
D. 若，则在上的投影向量的坐标为,
解：对于，由，得，所以，故 正确.
对于，因为，所以，解得，故 错误.
对于，当 与 的夹角为锐角时，，所以，可得.
当 时，,,所以,,.又当 时，,解得.所以,.所以,,.所以“”是“与 的夹角为锐角”的充要条件，故 正确.
对于，当 时，,，在 上的投影向量为,，故 正确.
故选.
11. 是所在平面内一点，且，下列说法正确的是 （ AD ）
A. 若，则是边的中点
B. 若是边靠近点的三等分点，则,
C. 若点在边的中线上且，则点是的重心
D. 若，则与的面积相等
解：对于，若，则.即点 是边 的中点，故 正确.
对于，当,时，.点 是边 靠近点 的三等分点，故 错误.
对于，点 为 边的中线的中点，故不是重心，故 错误.
对于，设，，则，.故点 在直线 上，点 与点 到 边的距离相等.故 与 的面积相等，故 正确.故选.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，.若向量与平行，则实数的值为 .
解：由题意，得.又，所以，解得.故填.
13. 若复数满足，则17.
解：（方法一）因为，所以，即，解得.
所以.
（方法二）因为，所以.由实系数一元二次方程的虚根的性质,知.故填17.
14. 设，是平面内相交成 角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做在坐标系中的坐标.假设，则的大小为2.
解：依题意，知，.
由，知，所以.
故填2.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13分）已知复数.
（1） 若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围；
解：因为 对应的点在第四象限，
所以 解得,
所以 的取值范围为.
（2） 若为纯虚数，求的模.
[答案]
因为 为纯虚数，
所以 解得，
所以，，.所以，所以 的模为10.
16. （15分）已知，，且.
（1） 求和的值；
解：因为，
所以，
化简得.
.
（2） 求与的夹角的余弦值.
[答案]
,.
所以 与 的夹角的余弦值为.
17. （15分）已知关于的方程有实数根.
（1） 求实数，的值；
解：因为 是方程 的实根，所以.
所以 解得
（2） 已知复数，若复数满足，求的最小值.
[答案]
，则.
复数 在复平面所对应的点 的轨迹是以 为圆心，为半径的圆，如图所示.
当点 在 的连线上时，有最大值或最小值，因为，半径，所以当 时,有最小值，且.
18. （17分）如图，在中， ，，，点在线段上，且,记,.
（1） 用,表示,并求；
解：.
又,
所以.故.
（2） 求.
[答案].
19. （17分）在中，角，，所对的边分别为，，.已知向量,，,，且.
（1） 求角的大小；
解：由题意,得,即.
所以,又,则,，所以,.
（2） 若，求的面积.
[答案]
因为，所以.
所以.
所以 的面积.