2020届高考数学一轮复习单元检测05《平面向量与复数》提升卷单元检测 理数（含解析）

单元检测五　平面向量与复数(提升卷)

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．

2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．

3．本次考试时间100分钟，满分130分．

4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．若复数z满足iz＝3＋4i，则|z|等于(　　)

A．1B．2C.D．5

答案　D

解析　因为z＝＝－(3＋4i)i＝4－3i，

所以|z|＝＝5.

2．若z1＝(1＋i)2，z2＝1－i，则等于(　　)

A．1＋iB．－1＋iC．1－iD．－1－i

答案　B

解析　∵z1＝(1＋i)2＝2i，z2＝1－i，

∴＝＝＝＝－1＋i.

3．设平面向量m＝(－1,2)，n＝(2，b)，若m∥n，则|m＋n|等于(　　)

A.B.C.D．3

答案　A

解析　由m∥n，m＝(－1,2)，n＝(2，b)，得b＝－4，

故n＝(2，－4)，所以m＋n＝(1，－2)，故|m＋n|＝，故选A.

4.如图所示，向量＝a，＝b，＝c，点A，B，C在一条直线上，且＝－4，则(　　)

A．c＝a＋b B．c＝a－b

C．c＝－a＋2b D．c＝－a＋b

答案　D

解析　c＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝b－a.故选D.

5．设向量a＝(x,1)，b＝(1，－)，且a⊥b，则向量a－b与b的夹角为(　　)

A.B.C.D.

答案　D

解析　因为a⊥b，所以x－＝0，解得x＝，所以a＝(，1)，a－b＝(0,4)，则cos〈a－b，b〉＝＝＝－，所以向量a－b与b的夹角为，故选D.

6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a2019，且A，B，C三点共线(O为该直线外一点)，则S2019等于(　　)

A．2019B．2020C.D．1010

答案　C

解析　A，B，C三点共线，且＝a1＋a2019，则a1＋a2019＝1，所以S2019＝(a1＋a2019)＝，故选C.

7．设a，b是非零向量，则“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的(　　)

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　由a·b＝|a||b|，得cos〈a，b〉＝1，所以a∥b；反之，a∥b不能推得cos〈a，b〉＝1，所以“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分不必要条件，故选B.

8.如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，＝2，则·的值为(　　)

A．2B．－2C．3D．－3

答案　B

解析　·＝(＋)·＝·＝·＝·(－)＝－||2＋·＋||2

＝－6＋1＋3＝－2，故选B.

9．已知a＝(2，cosx)，b＝(sinx，－1)，当x＝θ时，函数f(x)＝a·b取得最大值，则sin等于(　　)

A.B.C．－D．－

答案　D

解析　f(x)＝a·b＝2sinx－cosx＝sin(x－φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，θ－φ＝2kπ＋，k∈Z，解得θ＝2kπ＋＋φ，k∈Z，所以sinθ＝cosφ＝，cosθ＝－sinφ＝－，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝－，cos2θ＝1－2sin2θ＝－，所以sin＝(sin2θ＋cos2θ)＝－，故选D.

10.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝2，·＝－1，则·等于(　　)

A．5 B．6

C．7 D．8

答案　C

解析　·＝2－2＝42－2＝2，·＝2－2＝－1，所以2＝1，2＝2，因此·＝2－2＝92－2＝7，故选C.

11．(2018·西宁检测)定义：|a×b|＝|a||b|sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于(　　)

A．6 B．－8或8

C．－8 D．8

答案　D

解析　cosθ＝＝＝－，且θ∈[0，π]，则sinθ＝，则|a×b|＝|a|·|b|sinθ＝10×＝8，故选D.

12．在△ABC中，＝2，过点M的直线分别交射线AB，AC于不同的两点P，Q，若＝m，＝n，则mn＋m的最小值为(　　)

A．6B．2C．6D．2

答案　D

解析　由已知易得，＝＋，

∴＝＋.

又M，P，Q三点共线，

∴＋＝1，

∴m＝，易知3n－1>0.

mn＋m＝m(n＋1)＝·(n＋1)

＝≥2，

当且仅当m＝n＝1时取等号．

∴mn＋m的最小值为2.

第Ⅱ卷(非选择题　共70分)

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．若复数(a＋i)2在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是________．

答案　－1

解析　因为复数(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，

所以其在复平面内对应的点的坐标是(a2－1,2a)．

又因为该点在y轴负半轴上，

所以有解得a＝－1.

14．(2018·石家庄检测)已知若对任意一个单位向量e，满足(a＋b)·e≤2成立，则a·b的最大值是________．

答案　1

解析　(a＋b)·e＝|a＋b|·|e|cos〈a＋b，e〉≤|a＋b|≤2，

当且仅当a＋b，e同向共线时取等号，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2≤4，a·b＝x1x2＋y1y2≤＋≤×4＝1，当且仅当x1＝x2，y1＝y2时取等号，故a·b的最大值是1.

15．欧拉在1748年给出了著名公式eiθ＝cosθ＋isinθ(欧拉公式)是数学中最卓越的公式之一，其中，底数e＝2.71828…，根据欧拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ，任何一个复数z＝r(cosθ＋isinθ)，都可以表示成z＝reiθ的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数z1＝，z2＝，则复数z＝在复平面内对应的点在第________象限．

答案　四

解析　因为z1＝＝2

＝1＋i，z2＝＝cos＋isin＝i，

所以z＝＝＝＝－i.

复数z在复平面内对应的点为Z(，－1)，点Z在第四象限．

16．已知点O为△ABC内一点，且满足＋＋4＝0.设△OBC与△ABC的面积分别为S1，S2，则＝______.

答案　

解析　设E为AB的中点，连接OE，延长OC到D，使OD＝4OC，因为点O为△ABC内一点，且满足＋＋4＝0，所以＋＋＝0，则点O是△ABD的重心，则E，O，C，D共线，OD∶OE＝2∶1，所以OC∶OE＝1∶2，则CE∶OE＝3∶2，则S1＝S△BCE＝S△ABC，所以＝.

三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(12分)在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．

(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

(2)在平面内一点D满足＝－t，若△ACD为直角三角形，且A为直角，试求实数t的值．

解　(1)由题意得＝(3,5)，＝(－1,1)，

故＋＝(2,6)，－＝(4,4)，

所以|＋|＝2，|－|＝4，

故所求对角线的长分别为2，4.

(2)由题设知＝－t＝(3＋2t,5＋t)，

故D(3＋2t,5＋t)，

则＝(2t＋4，t＋7)．

由△ACD为直角三角形，且A＝，

得·＝0，

即(2t＋4，t＋7)·(－1,1)＝0，解得t＝3.

所以满足题意的实数t的值为3.

18．(12分)已知a＝(3，－2)，b＝(2,1)，O为坐标原点．

(1)若ma＋b与a－2b的夹角为钝角，求实数m的取值范围；

(2)设＝a，＝b，求△OAB的面积．

解　(1)∵a＝(3，－2)，b＝(2,1)，

∴ma＋b＝(3m＋2，－2m＋1)，a－2b＝(－1，－4)，

令(ma＋b)·(a－2b)<0，

即－3m－2＋8m－4<0，解得m<，

∵当m＝－时，ma＋b＝－a＋b，

a－2b与ma＋b方向相反，夹角为平角，不合题意．

∴m≠－，

∴若ma＋b与a－2b的夹角为钝角，m的取值范围为∪.

(2)设∠AOB＝θ，△OAB面积为S，

则S＝|a|·|b|sinθ，

∵sin2θ＝1－cos2θ＝1－2，

∴4S2＝|a|2|b|2·sin2θ

＝|a|2|b|2－(a·b)2

＝65－16＝49.

∴S＝.

19．(13分)如图，在△OAB中，点P为线段AB上的一个动点(不包含端点)，且满足＝λ.

(1)若λ＝，用向量，表示；

(2)若||＝4，||＝3，且∠AOB＝60°，求·取值范围．

解　(1)∵＝，∴－＝(－)，

∴＝＋，即＝＋.

(2)∵·＝||·||·cos60°＝6，＝λ(λ>0)，

∴－＝λ(－)，(1＋λ)＝＋λ，

∴＝＋.

∵＝－，

∴·＝·(－)

＝－2＋2＋·

＝＝＝3－.

∵λ>0，∴3－∈(－10,3)．

∴·的取值范围是(－10,3)．

20．(13分)已知向量m＝，n＝，记f(x)＝m·n.

(1)若f(x)＝1，求cos的值；

(2)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求f(2A)的取值范围．

解　(1)f(x)＝m·n＝sincos＋cos2

＝sin＋cos＋

＝sin＋.

由f(x)＝1，得sin＝，

所以cos＝1－2sin2＝.

(2)因为(2a－c)cosB＝bcosC，

由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，

所以2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC，

所以2sinAcosB＝sin(B＋C)．

因为A＋B＋C＝π，所以sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0，

所以cosB＝.

又0<B<，所以B＝，则A＋C＝π，A＝π－C.

又0<C<，则<A<，得<A＋<，

所以<sin≤1.

又因为f(2A)＝sin＋，

故函数f(2A)的取值范围是.