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    2025高考数学一轮考点突破训练第一章集合与常用逻辑用语不等式1.5第2课时一元二次不等式

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    2025高考数学一轮考点突破训练第一章集合与常用逻辑用语不等式1.5第2课时一元二次不等式

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    这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第一章集合与常用逻辑用语不等式1.5第2课时一元二次不等式,共7页。试卷主要包含了一元二次不等式的解法,三个“二次”的关系,与一元二次不等式有关恒成立问题等内容,欢迎下载使用。
    例1
    (1) 设集合,,则( B )
    A. B. C. D.
    解:因为,
    ,
    所以.故选.
    (2) 解关于的不等式.
    解:原不等式可化为,
    即.
    当 时,原不等式可化简为,
    原不等式的解集为.
    当 时,原不等式的解集由 和 的大小决定,当 时,;当 时,;当 时,;当 时,.
    所以不等式的解集为:当 时,;
    当 时,;
    当 时,;
    当 时,;
    当 时,.
    【点拨】 ①解一元二次不等式的步骤:第一步,将二次项系数化为正数;第二步,解相应的一元二次方程;第三步,根据一元二次方程的根,结合不等号的方向画图;第四步,写出不等式的解集.②对于含参一元二次不等式的求解,常需要分类讨论,分类标准有:二次项系数符号、不等式对应方程根的大小及判别式符号等.
    变式1
    (1) 不等式的解集是( D )
    A. 或B.
    C. 或D.
    解:不等式可化为,解得.故选.
    (2) 已知关于的不等式仅有一个整数解,求实数的取值范围.
    解:由,得.
    当 时,不等式无实数解.
    当 时,不等式的解为.要使不等式只有一个整数解,则,即.
    当 时,不等式的解为.要使不等式只有一个整数解,则,即.
    综上,实数 的取值范围是.
    考点二 三个“二次”的关系
    例2 【多选题】已知关于的不等式的解集为,则( BD )
    A.
    B. 不等式的解集为
    C.
    D. 不等式的解集为,
    解:因为 的解集为,所以 解得 错误.
    对于,将 代入,得,解得,正确.
    对于,因为不等式 的解集为,所以当 时,,错误.
    对于,将 代入,得,即,解得,正确.故选.
    【点拨】 三个“二次”的关系前面已进行梳理,应用时要注意“心中有图”“数形结合”,并注意最高次幂系数的正负.
    变式2 已知不等式的解集为,则不等式的解集为( A )
    A. B.
    C. D. 或
    解:由题意,得 解得 所以不等式 为,即,解集为.
    故选.
    考点三 与一元二次不等式有关恒成立问题
    命题角度1 在R上的恒成立
    例3 对,不等式恒成立,则实数的取值范围是( A )
    A. B.
    C. D.
    解:依题意,当,即 时,恒成立,满足题意.
    当 时,要使不等式恒成立,
    需 即
    解得.
    综上,实数 的取值范围为.故选.
    【点拨】在上的恒成立,结合本节【常用结论】处理即可,注意讨论二次项系数.
    变式3 若命题“,”是假命题,则实数的取值范围为 .
    解:由题意,知原命题的否定“
    ,”为真命题.
    当 时,不等式为,符合题意.
    当 时,解得.
    综上,实数 的取值范围为.故填.
    命题角度2 在给定区间上恒成立
    例4 若对任意,都有成立,则实数的取值范围是 ,.
    解:当 时,.当 时,.而 在 上单调递减,所以.故填 ,.
    【点拨】 在给定区间上的恒成立,常可用分离参数的方法转化为函数值域问题,很多时候都可以减少不必要的讨论.
    变式4
    (1) 若不等式对一切都成立,则实数的取值范围是,.
    解:由题意,知 对一切 恒成立.令,可知 成立.当 时,函数 单调递减,所以.所以.故填,.
    (2) 已知函数在上单调递减,则实数的取值范围是 .
    解:.依题意,知,,即 恒成立.显然函数 的图象是开口向上的抛物线,所以 解得.所以实数 的取值范围是.
    另解:分类讨论后分离参数.故填.
    命题角度3 给定参数范围的恒成立
    例5 对任意,函数的值恒大于零,则的取值范围是( B )
    A. B.
    C. D.
    解:设.
    由 在 上恒成立,
    得 解得
    所以 或.
    所以 的取值范围是.故选.
    【点拨】 给定参数范围的恒成立,常采用变更主元的方法,转化为一次函数在上恒成立问题:若恒成立即直线上两点的函数值均大于零,则由直线的特点可知,两点之间的所有点的函数值均大于零;同理,若恒成立
    变式5 已知集合,对于任意,使不等式恒成立的的取值范围为( B )
    A. 或 B. 或
    C. D.
    解:(方法一)构造,由 且,得 或.
    (方法二)由,得,所以.
    不等式 对 恒成立,
    即不等式 对 恒成立,即不等式 对 恒成立.
    所以只需 或 对 恒成立.
    所以只需 或 对 恒成立.
    因为,所以 或.
    故选.

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