2025高考数学一轮考点突破训练第一章集合与常用逻辑用语不等式1.3等式性质与不等式性质

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第一章集合与常用逻辑用语不等式1.3等式性质与不等式性质，共6页。试卷主要包含了不等式的基本性质，作差或作商比较大小，利用不等式性质求代数式范围等内容，欢迎下载使用。
例1 【多选题】已知，，下列说法正确的是（ ACD ）
A. B.
C. 若，则D. 若，则
解：对于，由，得.从而,则,故 正确.
对于，由，得.当 时，;当 时，，故 错误.
对于，易知，则，，所以，故 正确.
对于，易知.因为 在,上单调递减，所以，故 正确.故选.
【点拨】 利用不等式性质判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断（判断成立时）或反例说明（判断不成立时）.在实际考查中，多与一些常见函数单调性结合考查，此时需要先根据不等式结构灵活构造函数.
变式1
（1） 【多选题】已知，，则下列不等式成立的是（ AB ）
A. B.
C. D.
解：因为，，所以由不等式的基本性质，知，正确.取,,则,所以,故 错误.取，，，，则，.显然，故 错误．故选．
（2） 若实数，满足，则（ B ）
A. B.
C. D.
解：（方法一）由题意，知，则，错误.
，两边均大于0，平方得，正确.
易知 为减函数，，所以,错误.
因为，所以，即，错误.
（方法二）取，，代入各选项验证，，，不成立，只有 项成立.故选.
考点二 作差或作商比较大小
例2
（1） 若，，则与的大小关系为（ B ）
A. B. C. D.
解：（方法一）（作差法）.
因为，，所以，，，所以，即.
（方法二）（特值法）当 时，.当，时，，，则.排除，，.
故选.
（2） 若实数，，满足，，，则（ A ）
A. B. C. D.
解：由题意，得，所以.
又，所以.
所以.故选.
【点拨】作差（商）比较法的步骤如下.①作差（商）变形.配方、因式分解、通分、分母（分子）有理化等.③判断符号（判断商和“1”的大小关系）给出结论.
变式2
（1） 已知,，则与的大小关系是（ B ）
A. B. C. D. 不确定
解：，.因为，所以，故.故选.
（2） 已知，，，则（ A ）
A. B. C. D.
解：，，，则.又，，所以.故选.
考点三 利用不等式性质求代数式范围
例3 【多选题】（教材题改编）设,为实数，满足,，则下列说法正确的是（ ABC ）
A. 的取值范围是B. 的取值范围是
C. 的取值范围是D. 的取值范围是
解：因为，,所以,正确.因为,,所以,正确.当,时，,则,则,所以 的取值范围是;当 时，;当,时，的取值范围是,正确.当 时，,错误.故选.
【点拨】已知，，求（如，，，，等） 的取值范围时，通常利用不等式的同向可加和同向同正可乘的性质求解.
变式3
（1） 若，，则的取值范围是（ B ）
A. B. C. D.
解：因为，所以，所以 又，所以.故选.
（2） 已知，则一定不属于（ D ）
A. B. C. D.
解：因为，所以，即，，所以 一定不属于.故选.
课外阅读·待定系数法求代数式范围
由 ， ，求的取值范围，可利用待定系数法解决，即设 （或其他形式），通过恒等变形求得，的值，再利用不等式的同向可加和同向同正可乘的性质求得的取值范围.不可忽略,的制约关系而单独求出,的范围，再求.
1. 已知且，则的取值范围是 .
解：（方法一）设
，
则
所以.
而，，
所以，即.
（方法二）令则
且，.
所以.
因为，，
所以，.
所以，即.
故填.
2. 若，，则的取值范围是 .
解：设，
则 解得
所以.
而，，
所以.故填.