2025高考数学一轮考点突破训练第四章三角函数与解三角形4.4三角函数的图象与性质

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第四章三角函数与解三角形4.4三角函数的图象与性质，共10页。试卷主要包含了三角函数的定义域、值域，三角函数的周期性，三角函数的奇偶性，三角函数图象的对称性，三角函数的单调性等内容，欢迎下载使用。

例1
（1） 函数的定义域为（ D ）
A. B. C. D.
解：由题意，得，且.
由，得.
由，得 ,.
所以 或 .
所以函数的定义域为.故选.
（2） 【多选题】下列函数中，最大值满足的是（ AB ）
A. B.
C. D.
解：对于，当 时，，故 满足题意.
对于，其中，最大值为，故 满足题意.
对于，，当 时，，故 不满足题意.
对于，，显然 的最大值为1，此时,，函数 无意义，即 不能取1，故 不满足题意.
故选.
【点拨】求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式（组）.三角函数值域的求法:①形如的三角函数，可先化为的形式，再求值域.②形如的三角函数，可先设,化为关于的二次函数，再求值域.
变式1
（1） 函数的定义域是（ C ）
A.
B.
C. ,,
D.
解：由已知，可得 ，，且，
解得，，且.
所以函数的定义域是,,.
故选 .
（2） 函数在时取最小值，则（ A ）
A. B. C. D.
解：.
令，则，
对称轴为.
因为抛物线 开口向上，
所以当 时，取得最小值.所以当 时，取得最小值，即.故选.
考点二 三角函数的周期性
例2 求下列函数的最小正周期.
（1） ；
解：由题意，知 ，即该函数的最小正周期为 .
（2） ;
[答案]
.
该函数的最小正周期为 .
（3） .
[答案]由图象变换规则，知 的最小正周期是 的最小正周期的一半，即 .
【点拨】求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义.②利用公式和的最小正周期为，的最小正周期为对于形如的函数，一般先将其化为的形式再求周期.④带绝对值的三角函数的周期是否减半，要根据图象来确定.利用求最小公倍数的思想，可以求最小正周期，但要注意检验，比如与的最小正周期均为 ，但的最小正周期为.
变式2
（1） 【多选题】下列函数最小正周期为 的是（ AC ）
A. B.
C. D.
解： 中，，最小正周期 中，中，中，.
故选 .
（2） 设，则 .
解：由,可知 是周期 的周期函数，，，，,所以.
则.故填.
考点三 三角函数的奇偶性
例3
（1） 判断下列函数的奇偶性.
① ；
解：
.
因为，，所以 是奇函数.
② ；
[答案]因为，所以.所以，即 ，.定义域不关于原点对称，所以 是非奇非偶函数.
③ .
[答案]
由，得，，解得，.所以 的定义域为，且，.
因为 的定义域关于原点对称，且

.
所以 是偶函数.
（2） 函数的大致图象为（ D ）
A. B.
C. D.
解：函数 的定义域为.由，知 为偶函数，图象关于 轴对称，故，错误.
，故 错误.故选.
【点拨】①判断三角函数的奇偶性时，必须先检查定义域是否关于原点对称.如果是，再验证是否等于或，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数.另外，对较复杂的解析式，可选择先化简再判断，也可直接用取代，再化简判断，还可利用是否成立来判断.注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，“同奇才奇、一偶则偶”.②根据函数奇偶性求参数的值时，主要根据本节常用结论中的充要条件求解.
变式3
（1） 下列函数中，最小正周期为 且为偶函数的是（ C ）
A. B. C. D.
解：对于，的最小正周期 ，故 错误.
对于，为奇函数，故 错误.
对于，的最小正周期 ，且为偶函数，故 正确.
对于，为奇函数，故 错误.故选 .
（2） 已知函数是偶函数，则1.
解：依题意，得，其定义域为
.由 为偶函数，得,.则，即，整理得.而 不恒为0，，因此，所以.故填1.
考点四 三角函数图象的对称性
例4 求函数图象的对称中心和对称轴方程．
解：设，则函数 图象的对称中心为，，即 ，，解得，．
函数 图象的对称轴方程为 ，，即 ，，解得，．
所以 图象的对称中心为,，，对称轴方程为，．
【点拨】①求函数图象的对称轴方程或对称中心坐标时，可利用整体换元法进行求解，注意熟记正弦型、余弦型函数图象对称轴方程、对称中心坐标的形式．②判断某一直线、某一点是否为三角函数图象的对称轴、对称中心时，可根据对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数图象与x轴的交点（当三角函数图象并未向上或向下平移时）这一性质进行检验判断．
变式4 【多选题】已知函数，则下列说法正确的是（ AC ）
A. 的图象关于点,对称B. 的图象关于直线对称
C. 为奇函数D. 为偶函数
解：对于，因为，所以 的图象关于点,对称，故 正确.
对于，由，知 的图象不关于直线 对称，故 错误.
对于，由，知 为奇函数，故 正确.
对于，因为，所以 不为偶函数，故 错误.故选.
考点五 三角函数的单调性
例5 求下列函数的单调递减区间.
（1） ；
解：.由 ，，得,.即所求单调递减区间为，,.
（2） .
[答案].由,，解得 ,.所以函数的单调递减区间为 ，,.
【点拨】求函数的单调区间应遵循简化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性“同增异减”的规律，即视“ ”为一个整体，根据,,的单调区间列不等式求解.
变式5 [2022年北京卷]已知函数，则（ C ）
A. 在,上单调递减B. 在,上单调递增
C. 在,上单调递减D. 在,上单调递增
解：.
中, ,，单调递增.
中,,，先单调递增后单调递减.
中,,，单调递减.
中,,，先单调递减后单调递增.
故选.
课外阅读·三角函数相关的开放举例问题
三角函数的开放举例问题，常以抽象函数形式给出，此时应注意若题中函数具备周期性，则首先考虑三角函数模型.这类问题一般要求学生根据已有的信息“猜想、推理、探究”，从而得出结论.解决这类问题，不仅要求学生有扎实的基本功，还要求学生具备良好的数学建模能力及推理论证能力.
1. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数（答案不唯一）.
;在上单调递增；的图象关于点,对称.
解：由 知函数 是周期为 的函数，故可设.
又 的图象关于点,对称,
所以 ，, ，当 时，成立，故.
令 ，，可得 ，，取,可得.
所以函数 在 上单调递增，则 在 上单调递增,满足②.
所以函数 满足条件①②③.
故填 （答案不唯一）.
2. 函数满足与均为偶函数;在上单调递减.写出一个同时满足①②的函数（答案不唯一）.
解：由①知 是偶函数且周期为4,又在 上单调递减,故考虑余弦函数模型,满足要求.故填 （答案不唯一）.