2025高考数学一轮考点突破训练第七章立体几何专题突破13球的切接问题

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3.在棱长为的正四面体中，高，外接球半径，内切球半径.
4.在三棱锥中，若有两个面为直角三角形，且这两个三角形有公共的斜边，则斜边的中点为该三棱锥外接球的球心，斜边长的一半为外接球的半径.
5.若几何体外接球的球心到面的距离为，该截面外接圆的半径为，则外接球的半径满足.
6.已知直棱柱，侧棱长为，底面多边形外接圆的半径为，则外接球的半径满足.
核心考点 精准突破
考点一 长（正）方体的外接球
例1 正四面体的所有顶点都在表面积为 的球面上，则该正四面体的棱长为 ．
解：如图，在正方体 中，正四面体为.设球的半径为，则 ，解得.所以,则正方体的棱长为.所以正四面体的棱长为.故填.
【点拨】①长（正）方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．②可以补成长方体的一些特殊三棱锥如下,上面讲到的“共斜边直角三角形所成三棱锥”也可算作其中1种，据此可确定球心.
变式1 已知三棱锥中，为等边三角形，，，则三棱锥的外接球的体积为（ B ）
A. B. C. D.
解：因为在三棱锥 中，为等边三角形，，所以.
因为，所以，.
以，，为过同一顶点的三条棱作正方体（如图所示），则正方体的外接球即三棱锥 的外接球．
因为正方体的体对角线长为，所以其外接球半径.因此三棱锥 的外接球的体积.故选.
考点二 外接球的球心问题
例2 【多选题】正三棱锥的外接球半径为2，，则此正三棱锥的体积为（ AB ）
A. B. C. D.
解：设三棱锥 的外接球球心为，的中心为.由题知，解得.
当外接球球心 在线段 上时，如图1所示.
图1
则,.所以.
当外接球球心 在线段 的延长线上时，如图2所示.则,.所以.故选.
图2
【点拨】确定多面体外接球球心的方法:寻找几何体中一个面的外接圆圆心（正三角形外心为中心，直角三角形外心为斜边中点，一般三角形可用正弦定理确定外心），过点作该平面的垂线，球心就在垂线上，球的半径可用勾股定理求得,如图所示.
变式2 [2023年全国乙卷]已知点,,,均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形， 平面，则2．
解：如图，将三棱锥 补形成直三棱柱.
设 的外接圆圆心为，半径为，则，可得.
设三棱锥 的外接球球心为，连接,，则,.由，得，解得.故填2.
考点三 内切球的球心问题
例3 已知正三棱锥的高为1，底面边长为，则该棱锥的内切球的半径为 ．
解：如图，在正三棱锥 中，过点 作 平面 于点，连接 并延长,交 于点，连接.
易知 为 的中心.
因为，,所以，，.所以.所以三棱锥的体积.
设内切球半径为，则，可得.
故填.
【点拨】求几何体内切球的方法.①等体积法：内切球球心到多面体各面的距离均相等，故可用等体积法为多面体的体积，为多面体的表面积，为内切球的半径）轴截面法：适用于对称几何体，作出轴截面，利用相似三角形以及勾股定理求解.
变式3 如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为，它的内切球的体积为，则（ D ）
A. B. C. D.
解：该几何体的轴截面如图，可得内切球的半径, , ,所以,故选．
考点四 最值问题
例4 【多选题】已知圆柱的轴截面的周长为12，圆柱的体积为，外接球的表面积为，则下列结论正确的是（ BC ）
A. 有最大值，最大值为B. 有最小值，最小值为
C. 有最大值，最大值为D. 有最小值，最小值为
解：设圆柱的底面半径为，高为，圆柱的外接球的半径为.
由，得.
，.
圆柱的体积为，
则函数 的导数为.
当 时，;当 时，.
故函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以当 时，取最大值 .
易得 ，无最小值.
圆柱的外接球的表面积，易知当 时，取最小值 ,无最大值.故选.
【点拨】球的切、接中的最值问题是综合性问题，常见解决方法有导数法、基本不等式法、观察法等.
变式4 半径为2的球内有一内接圆柱，圆柱上、下底面圆周都在球面上，圆柱内有一正四棱锥，其顶点在圆柱上底面圆心，底面正方形4个顶点在下底面圆周上，则四棱锥体积的最大值为 .
解：如图，设圆柱高为，底面圆半径为，则，正四棱锥底面边长为.则，所以，由图可得.令，解得.所以 在,上单调递增，在,上单调递减.则当 时，取得最大值.故填.
图形特征
三棱锥的三条侧棱两两互相垂直
三棱锥的四个面均是直角三角形
三棱锥的对棱两两相等
图示