2025高考数学一轮考点突破训练第七章立体几何7.5空间向量与立体几何第2课时用空间向量研究夹角距离问题

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第七章立体几何7.5空间向量与立体几何第2课时用空间向量研究夹角距离问题，共9页。试卷主要包含了异面直线所成角，直线与平面所成角，平面与平面所成角，求点线、点面距离等内容，欢迎下载使用。
例1 如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，，分别是，的中点，求异面直线与所成角的余弦值.
解：设，，.
则，，，， .
，且,
易得，，
，
.
由于异面直线所成角的范围是，所以异面直线 与 所成角的余弦值为.
【点拨】 要求异面直线与所成角的余弦值，可利用向量的数量积，求出及和的值，再套用公式，求得与所成角的余弦值.由于异面直线所成角的取值范围为，所以，若求得的余弦值为负值，则取其绝对值.
变式1 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点．求直线与直线所成角的余弦值．
解：以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
则,,,，所以,,所以,，即直线 与直线 所成角的余弦值为.
考点二 直线与平面所成角
例2 已知正四棱柱中，，求与平面所成角的正弦值.
解：设，则.分别以，，的方向为 轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.则，，，，，，.
设 为平面 的法向量，则 即 取.设 与平面 所成角为 ，则.
【点拨】利用空间向量求线面角的解题步骤.
变式2 在长方体中，，，求直线与平面所成角的正弦值.
解：如图，以 为坐标原点，以,,所在的直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则,,,.所以,,为平面 的一个法向量.所以,.所以直线 与平面 所成角的正弦值为.
考点三 平面与平面所成角
例3 在长方体中，，，，为的中点，求平面与平面夹角的余弦值.
解：分别以,,为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示.由题意,知，，，，则，.
设平面 的法向量为，则 即 令，得.
易得平面 的一个法向量为.
设平面 与平面 的夹角为 ，
所以，
.
所以平面 与平面 夹角的余弦值为.
【点拨】向量法求二面角与求线面角类似.注意二面角的范围是，二面角的余弦值可以为负值，要清楚题目中所求二面角的平面角是否为钝角.若是求两个平面的夹角,则直接取绝对值即可.
变式3 [2022年天津卷]如图，在直三棱柱中，，,,为的中点，为的中点，为的中点．
（1） 求证：平面.
解：证明：在直三棱柱 中， 平面，且，则.
以点 为坐标原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，，，，，,,，则,,.
易知平面 的一个法向量为.
因为，所以.
因为 平面，所以 平面.
（2） 求直线与平面所成角的正弦值.
[答案]
，，.
设平面 的法向量为，
则
取，可得.
，.
因此，直线 与平面 所成角的正弦值为.
（3） 求平面与平面所成二面角的余弦值．
[答案]
，.
设平面 的法向量为，
则 取，可得.则，.
由图可知，平面 与平面 所成二面角为锐角，故其余弦值为.
考点四 求点线、点面距离
例4 在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.如图,已知在鳖臑中， 平面，，为的中点，则点到平面的距离为 .
解：以 为坐标原点，,所在直线分别为 轴、轴，过点 作平行于 的直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图.则,,,.由 为 的中点,可得.
,,.
设 为平面 的法向量，
则 即
令，可得.
所以点 到平面 的距离为.故填.
【点拨】 利用空间向量求距离的基本方法.①两点间的距离：设点，点，则点到平面的距离：
如图所示，已知为平面 的一条斜线段，为平面 的法向量，则到平面 的距离为.
变式4 已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，为的中点，则点到平面的距离为（ D ）
A. B. 2C. D.
解：如图，以 为原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，,,.所以，，.
设平面 的法向量为，则
令，得,，即,,.
则点 到平面 的距离.故选.